第一章 3 勾股定理的应用-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

3 勾股定理的应用 课前·预习笔记 预 少 应用勾股定理及直角三角形的判别条件（勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题，进 目 步发展应用意识 标 第○步明确考情 11.考频：5年2考 2.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第三步梳理知识 1,利用勾股定理及其逆定理解决实际问题 利用勾股定理解决有关高度、宽度、长度、距离等问题，还可以判别三角形是不是直角 三角形 第步预习检测 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=6,将它的锐角A翻折，使得点A落在边 BC的中点D处，折痕交AC边于点E,交AB边于点F,则DE的长为( 预 A.2 习 B.3 否 5 C. D. 8 2.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题：今有池方一丈，葭生其中 央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一 个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺（如图），如果把 这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面（不考虑弯曲）.请问水的深度与这 根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺.根据题意，可列方程( A.x2+102=(x+1)2 B.(x-1)2+52=x2 C.x2+52=(x+1)2 D.(x-1)2+102=x2 第一章勾股定理 17 课堂·听课笔记川 新知解读 知识点》 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题 举一反三》参考答案见答案册3 1.利用勾股定理解决有关高度、宽度、长度、距离等问题 1-1如图，一棵高为8m的大 实际问题 →数学问题 →解决问题 树被台风刮断，AC=4m,则大 树折断处与地面的距离BC的 问题情境 数学 构造直角三角形 运用勾股定理求 长为( 建模 相关线段的长 夕 依据是勾股 最好取使AB,BC 2.直角三角形的判断·定理的逆定理 长为整裁的点 步骤 具体操作 图示 ①取点 在∠C两边上分别取，点A,B,并连接AB A.3 m B.4 m ②测量 测量AC,BC,AB的长 A C.5m D.6m ③计算 计算AC2+BC2和AB2的值 若AC2+BC2=AB2,则△ABC是直角三角 ④判断 形，且∠C=90°；若AC2+BC2≠AB2, 则∠C≠90° 例1如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好 与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m,CD=1m,试求滑道AC 的长 D E B 【答案】解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,AE的 长度为(x-1)m. 在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2, 即(x-1)2+32=x2,解得x=5. 故滑道AC的长度为5m. 例21如图1，如果只给你一把带有刻度的直尺，你能否检验∠P 2-1如图，已知在△ABC中， 是不是直角？简述你的方法，并说明理由. D是BC的中点，DE⊥BC,垂 足为点D,DE交AB于点E, 且BE-EA2=AC2.试说明： ∠A=90°. 图1 图2 【答案】解：能检验 方法：①如图2，在射线PM上截取PA,使得PA为3cm,确定点A 的位置，在射线PN上截取PB,使得PB为4cm,确定点B的 18随堂笔记8年级数学BS上册 位置； ②连接AB,得△PAB; ③用刻度尺测量AB的长度，若AB恰为5cm,则说明∠P是直 角，否则，∠P不是直角. 理由如下： PA=3cm,PB=4cm,PA2+PB2=32+42=52, 若AB=5cm,则PA2+PB2=AB2 所以△PAB是直角三角形，∠P是直角 ★方法京拨 利用勾股定理的逆定理判断是否垂直的步骤： (1)从问题中得出相应三角形的各边长， (2)计算最长边的平方和较短两边的平方和： (3)回归问题，若相等，则所验证的角是直角；否则不是直角. 课本练习[教材P14随堂练习] 1.五根小木棒的长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆成两个 答案 直角三角形，如图所示的三个图形中哪个是正确的？ 1.图2是正确的 25 20 24 24 25 20 25 15 20 图1 图2 图3 课后·提升笔记 题型训练 题型1●》勾股定理在折叠问题中的应用 变式训练》参考答案见答案册3 例小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作. 1-1如图所示，在长方形 操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端 ABCD中，AD=6,AB=10,若将 点A与B重合，折痕为DE. 长方形ABCD沿DE折叠，使点 (1)如果AC=6cm,AB=10cm,可求得△ACD的周长为 C落在AB边上的点F处，则线 cm; 段CE的长为( (2)如果∠CAD:∠BAD=1:4,可求得∠B的度数为 D 操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿 直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=9cm, AB=15cm,请求出CD的长. F 2 1 > B.17 30 D c号 D.10 E 图1 图2 第一章勾股定理 19 【答案】解：操作一： (1)在Rt△ABC中，AC=6cm,AB=10cm, 1-2如图，长方形ABCD中， 根据勾股定理，得BC2=AB2-AC2=102-62=64, AB=3,BC=4,点E是BC边上 所以BC=8cm. 一点，连接AE,把∠B沿AE折 由折叠的性质，得AD=BD, 叠，使点B落在点B'处.当 所以△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC= △CEB'为直角三角形时，BE 6+8=14(cm). 的长为 D 故答案为14. (2)设∠CAD=x,则∠BAD=4x. 由折叠的性质，得AD=BD 所以∠B=∠BAD=4x. 因为∠C=90°，所以∠B+∠BAC=90°， B E 所以4x+4x+x=90°，所以x=10°， 所以∠B=40°. 故答案为40°. 操作二： 在Rt△ABC中，AC=9cm,AB=15cm, 根据勾股定理，得BC2=AB2-AC2=152-92=144, 所以BC=12cm. 根据折叠的性质，得AE=AC=9cm. 因为AB=15cm, 所以BE=AB-AE=6cm. 设CD=xcm,则BD=(12-x)cm, 由折叠的性质，知DE=CD=xcm. 在Rt△BDE中，根据勾股定理，得DE2+BE2=BD, 所以x2+62=(12-x)2, 所以x=4.5,所以CD=4.5cm, 题型2●>勾股定理在实际生活中的综合应用 >变式训练》参考答案见答案册3 例2小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A,小王的赛车2-1如图，公路MN和公路PQ 从点C出发，以4/s的速度由西向东行驶，同时小林的赛车 在点P处交会，公路PQ上点A 从点B出发，以3m/s的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车 处有一所学校，点A到公路MW 之间的距离小于或等于25m时，遥控信号会相互干扰，AC= 的距离AB=80m,现有一拖拉 40m,AB=30m. 机在公路MN上以18km/h的 (1)出发3s时，遥控信号是否会相互干扰？ 速度沿PW方向行驶，拖拉机行 (2)当两赛车与A点的距离之和为35m时，遥控信号是否会相 驶时周围100m以内都会受到 噪声的影响，则该校受影响的时 互干扰？ 间为多少秒？ B C B 20随堂笔记8年级数学BS上册 【答案】解：(1)如图，出发3s时，CC1=12m,BB1=9m. 因为AC=40m,AB=30m, 所以AC1=28m,AB1=21m, C 所以B,C=AC+AB=282+212=352 所以B,C1=35m. 因为35m>25m, 所以出发3s时，遥控信号不会相互干扰 (2)设出发ts时，两赛车与A点的距离之和为35m. 根据题意，得40-4t+30-3t=35,解得t=5, 此时202+152=252，所以两赛车之间的距离为25m. 故当两赛车与A点的距离之和为35m时，遥控信号会相互干扰. 题型3》勾股定理的逆定理在实际生活中的应用 变式训练)》参考答案见答案册3 例3一镀轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛， 3-1如图，甲、乙两位探险者 再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的 到沙漠进行探险，两人从同一 最短距离是60km. M 地点0同时出发.甲、乙两位探 (1)若轮船速度为25km/h,求轮船从C岛沿CA 险者的速度分别为3km/h, 返回A港所需的时间， 4km/h,且2h后分别到达A,B 东 (2)C岛在A港的什么方向？ 点，若A,B两点的直线距离为 【答案】解：(1)由题意得AD=60km. 10km,甲探险者沿着北偏东 在Rt△ABD中，AD2+BD=AB2, 30°的方向行走，则乙探险者的 行走方向是( 即602+BD2=1002 北 所以BD=80km. 所以CD=BC-BD=125-80=45(km). 309 所以AC2=CD2+AD2=452+602=5625, 所以AC=75km. 南 则75÷25=3(h),故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间 A.南偏西30° 为3h. B.北偏西30° (2)因为AB2+AC2=1002+752=15625,BC2=1252=15625, C.南偏东60° 所以AB2+AC2=BC2, D.南偏西60° 所以∠BAC=90°， 所以∠NAC=180°-90°-48°=42°. 所以C岛在A港的北偏西42°方向. 第一章勾股定理 21 题型4●》勾股定理与轴对称的综合应用 变式训练)》参考答案见答案册P4 例4如图1，A,B两个小集镇在河流的同侧，分别到河岸L的 4-1如图，在四边形ABCD 距离为AC=10km,BD=30km,且CD=30km,现在要在河边建 中，AD=CD,AC⊥BC,DE平分 一自来水厂，分别向A,B两镇供水，铺设水管的费用为每千米2 ∠ADC交AB于点E,M是DE 万元，请你在河岸L上选择水厂的位置M(作图并标注出来)，使 上的动点.已知AC=4,BC=3, 铺设水管的总费用最少，并求出最少总费用， 求△MBC周长的最小值. B B D C、M HD L 图1 图2 【答案】解：如图2，作A关于L的对称点A',连接A'B,交L于点 M,点M即为水厂的位置. 连接AM,过点A'作A'K⊥BD,交BD的延长线于点K, 可得DK=A'C=AC=10km,A'K=CD=30km. 所以BK=BD+DK=40km. 在Rt△A'KB中，由勾股定理，得 A'B2=A'K2+BK2=302+402=2500, 所以A'B=50km. 所以AM+BM=A'M+BM=A'B=50km, 50×2=100(万元)， 所以铺设水管的总费用最少是100万元. 链接中考 考点利用勾股定理解决实际问题 【解析】将展开图还原为圆柱体，当木筷按如图 所示的情况放入杯子内时，露在杯子外面的部 题型 难度 分值 分最短 选择题、填空题 ★★★ 3分 如图，连接BC,在Rt△ABC中，AB2=BC2+ 典例[南京中考]无盖圆柱形杯子的展开图 AC2=225, 如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在 所以AB=15cm,所以h=20-15=5(cm). 该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 所以木筷露在杯子外面的部分至少有5cm. cm. 12 cm 12 cm B 9 cm 9cm h最小的情况 【答案5 22随堂笔记8年级数学BS上册因为△ABC的周长为36cm, 所以AB+BC+AC=36cm, 即3x+4x+5x=36, 所以x=3, 所以AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm. 因为AB2+BC2=AC2」 所以△ABC是直角三角形 运动3s时，BP=AB-AP=9-3×1=6(cm), BQ=2×3=6(cm), 所以Sw=BP.B0=7x6x6=18(cm), 故运动3s时，△PBQ的面积为18cm2. 3勾股定理的应用 预习检测 1.D2.B 举三反写 1-1A【解析】由题意，得BC+AB=8m, AC=4m.因为∠C=90°，所以AB2=AC2+ BC2,所以(8-BC)2=BC2+42,所以BC=3m. 2-1解：连接CE,如图 因为D是BC的中点，DE⊥BC, 所以BD=CD,∠BDE=∠CDE=90°. 又因为DE=DE, 所以△BDE≌△CDE, 所以CE=BE. 因为BE2-EA2=AC2, B 所以CE2-EA2=AC2,即EA2+AC2=CE2, 所以△ACE是直角三角形，且∠A=90°. 变式训练 1-1C【解析】由折叠的性质可知，DF= DC=10,CE=EF.在Rt△DAF中，AF=DF2 AD2=102-62=64,所以AF=8.则BF=AB- AF=10-8=2.在Rt△BEF中，EF2=BE2+ BF,即CE2=(6-CE)2+2,解得CE= 3 1-2号或3【解析】当△cBB为直角三角 形时，有以下两种情况： ①当∠CB'E=90°时，如图1所示，连接AC.在 Rt△ABC中，AB=3,BC=4,所以AC2=42+ 32=25,则AC=5.因为∠B沿AE折叠，使点B 落在点B'处，所以∠AB'E=∠B=90°.又因为 ∠CB'E=90°，所以点A,B',C共线，即∠B沿 AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处， 则EB=EB',AB=AB'=3,所以CB′=5-3=2. 设BE=EB'=x,则CE=4-x.在Rt△CEB'中， 因为EB2+CB2=CE2,所以x2+2=(4-x)2,解 3 得=，即BE= D B' E E 图1 图2 ②当点B'落在AD边上时，如图2所示.此时四 边形ABEB'为正方形，∠CEB'=90°，所以BE= AB=3.综上所述，BE的长为或3. 2-1解：如图，假设拖拉 机行驶到C处，学校开始受 到影响，连接AC,则AC= 100m, 所以BC2=1002-802= M 60,所以BC=60m. 假设拖拉机行驶到D处，学校开始不受影响， 连接AD,则AD=100m, 所以BD=60m,所以CD=120m. 因为080÷18=00h=24, 所以该校受影响的时间为24s. 3-1C【解析】因为甲、乙两位探险者的速 度分别为3km/h,4km/h,且2h后分别到达 A,B点，所以0A=3×2=6(km),0B=4×2= 8(km).因为AB=10km,所以OA2+OB2= AB2,所以∠AOB=90°.因为甲探险者沿着北偏 东30°的方向行走，所以乙探险者的行走方向 是南偏东60°. 4-1解：如图，连接D AM.设AC交DE于 点F. 因为AC⊥BC,AC=4,A BC=3, 所以AB2=AC2+BC2=42+32=25,所以AB=5. 因为AD=CD,DE平分∠ADC交AC于点F, 所以直线DE是线段AC的垂直平分线， 即点A与点C关于DE对称，所以AF=CF. 因为M是DE上的动点， 所以MC=MA,所以MC+MB=MA+MB. 当点A,M,B三点在同一条直线上时，即点M与点 E重合时，MC+MB=MA+MB=EA+EB=AB, 此时MC+MB最小，即△MBC周长的值最小， 因为AB+BC=5+3=8, 所以△MBC周长的最小值为8. ☆问题解决策略：反思 预习检测， 1.C2.434 举一反三 1-1A【解析】如图所示： 由于圆柱体的底面周长为 24cm,则4C=24×3= 12cm.又因为BC=5cm,所以AB2=AC2+ BC2=122+52=169,所以AB=13cm.故蚂蚁 爬行的最短距离为13cm. 第二章 1认识实数 预习检测 1.A 4 1-2解：如图所示 因为AC=2r·4=24(m),BC=10-3=7(m), 所以AB2=AC2+BC2=24+ 72=625, 所以AB=25m. 答：彩带最短需要25m. 2-1解：如图，展开后，E 四边形EACG是长方形，其 中AC=AB+BC=3+5= 8(cm),CG=BF=6cm.连 接AG,交BF于点K,则沿 着AK,KG的路线爬行最快 根据勾股定理，得AG2=AC2+CG2=82+62= 100,所以AG=10cm. 答：蜘蛛爬过的路程是10cm. 变式训练 1-1C【解析】其侧面展开图如图，作点C 关于AB的对称点F,连接DF,交AB于点E,连 接CE. 因为中间可供滑行的部分的截C --,F 面是半径为2.5m的半圆，所以 BC=mR=2.5π=7.5(m),AB= E CD=20 m, 所以CF=15m. 在Rt△CDF中，DF2=CF2+ CD2=152+202=625,所以DF=25m, 所以他滑行的最短距离约为25m. 2-12.6【解析】D 将木块展开，得到如 图所示的长方形， AB=2+0.4+0.4- Q.4=24(m),BC=1m在Rt△ABC中，AC2= AB+BC2=2.42+12=6.76,所以AC=2.6m,即 一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 2.6m 实数 2.解：号，20%，2,3.10101001-（每两个1 之间0的个数逐次加1)；-0.78，-T 29 -3.1415926,-34,-1:0,2,-1;-,