第二十三章 数据分析与统计估计（13考点+15易错+易错训练）（知识清单）数学新教材冀教版九年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“数据分析与统计估计”核心内容，涵盖集中趋势（算术/加权平均数、中位数、众数）、离散程度（极差、方差、标准差）、数据分布（四分位数、箱线图）及样本推断总体等知识范畴，搭建了从概念理解到实际应用的递进式学习支架。 清单以“易错点分类+对点训练”构建知识体系，标注15类高频易错点（如“求中位数忘记排序”“加权平均数忽略权重”），结合箱线图绘制步骤分解等实用设计，培养学生数据意识与推理意识。通过“统计量选择决策”等实例，助力不同学生高效掌握，教师可精准定位教学重难点，提升课堂实效。

第二十三章 数据分析与统计估计 知识点一、算术平均数 一般地，如果有n个数，那么叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，“”读作“拔”. 1.求算术平均数时，只需将所有数据加起来求出总和，再除以数据的总个数即可； 2.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”； 3.在实际问题中，算数平均数要带单位，与原数据单位一致； 4.算术平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系； 5.算术平均数的缺点是 受个别值的影响，有时并不能代表一组数据的平均水平； 6.一组数据的平均值只有一个，每个数据的变化都会引起平均值的变化（若添上或去掉的这个数据刚好与平均数相同，就不会引起平均值的变化）. 知识点二、平均数的简化公式 一般地，一组数据中的各个数值较大时，可以将各个数据减去一个适当的常数a（常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数），得到一组新数据：那么这组数据的平均数. 知识点三、加权平均数 1.权的概念 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 2.加权平均数的计算公式 （1）一般地，设为k个数据，依次为k个数据的权数，则称为这组数据的加权平均数. （2）数据按的比计算平均数，则 （3）设数据所占的百分比分别为，且，则. 知识点四、中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列（从小到大或从大到小都可以），如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 1.一组数据的中位数不一定出现在这组数据中； 2.一组数据的中位数是唯一的； 3.由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半； 4.中位数仅与数据按大小的排列后的位置有关，当一组数据中个别据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 知识点五、众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 1.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势； 2.一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也有可能没有众数； 3.众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数； 4.众数考查的是各个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映出这组数据的集中趋势. 知识点六、选择合适的统计量描述数据的集中趋势 平均数、众数、中位数都能反映出一组数据的集中趋势，其中平均数的应用最为广泛，三个统计量各有特点： 1.用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，所以平均数应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有着重要的作用，但平均数计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响. 2用众数作为一组数据的代表，主要是对各数据出现频数的考查，其大小只与这组数据的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 3.用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但中位数不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可以用中位数来描述其集中趋势. 知识点七、极差的定义及计算公式 1.一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差； 2.极差计算公式：极差＝最大值－最小值. 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的. 知识点八、 四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 知识点九 箱线图绘制步骤 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 知识点十、方差及标准差 1.方差的概念 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的方差，通常用来表示，即（方差的基本公式）. 若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方. 2.方差的其他公式： （1）或者，方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方. ①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小； ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变； ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 有时，也会用方差的算术平方根（标准差），即来描述一组数据的离散程度. 知识点十一、极差、方差及标准差的区别与联系 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数； 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 3.对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大. 知识点十二 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 知识点十三 用样本推断总体 用样本推断总体是统计的核心思想，核心是通过抽取部分样本的数据，估计整体总体的特征，适用于总体数量大、无法全面调查的情况。常用调查方式为抽样调查，要求样本具备随机性、广泛性和代表性，避免人为偏差。 主要应用：利用样本的平均数、中位数、众数、方差，估计总体的集中趋势和波动程度。样本容量越大，样本数据越接近总体真实情况，估计结果越准确。 常见易错点：样本选取片面不随机、容量过小导致误差大；混淆样本、总体、个体、样本容量概念；误将样本结果当作总体绝对结果，忽略统计估计存在误差。 易错点1 求一组数据的平均数 易错提醒 计算平均数时，容易遗漏重复数据、少数个别数据，导致求和出错。混淆算术平均数与加权平均数，忽略数据权重直接求平均。部分学生计算总分、数据个数时粗心出错。误用样本平均数直接等同于总体平均数，忽略抽样误差，未理解平均数仅为估计值，并非精准定值。 【对点训练】1．（2025·湖南益阳·模拟预测）某校为丰富学生课余生活，举行了艺术周活动，八年级一班的合唱成绩如表： 成绩/分 9.2 9.3 9.6 9.7 9.9 评委/人 2 2 3 2 1 若去掉一个最高分和一个最低分后，则余下数据的平均分是（     ） A．9.51分 B．9.5分 C．9.6分 D．9.625分 【对点训练】2．（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【对点训练】3．（25-26八年级下·广东广州·期末）已知一组数据，，，的平均数为7，则另一组数据，，7，，的平均数是_______． 易错点2 利用已知的平均数求相关数据的平均数 易错提醒 利用已知平均数求解新数据平均数时，易直接套用原平均数计算，忽略数据增减、分组变化。混淆整体与部分平均数，错误叠加两组平均数。常搞错数据总个数、总数量，权重分配出错。部分学生不会利用平均数公式逆向推导，忽视数据整体变化规律，导致计算结果偏差，出现解题错误。 【对点训练】4．（25-26八年级下·浙江湖州·阶段检测）有40个数，小明同学第一次统计这些数的平均成绩为82分，在复查时发现漏记了其中的一个数86，那么这40个数的实际平均数为（     ） A．85.2 B．84.15 C．83.6 D．82.1 【对点训练】5．（25-26八年级下·四川广安·期末）已知一组数据，，，…，的平均数为2，则另一组新数据，，，…，的平均数是_____． 【对点训练】6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3，则a，b，c，4，d，e这组数据的平均数是___________． 易错点3 求加权平均数 易错提醒 求解加权平均数时，最容易忽略各数据的权重，直接套用普通平均数公式计算。常看错、漏代权重数值，混淆权重占比与数据本身。计算时容易出现权重求和不为总数、权重分配错乱等问题。部分学生不会根据题意区分算术平均与加权平均，公式运用错误，最终导致计算结果出错。 【对点训练】7．（25-26八年级下·云南红河·期末）李昊参加校园美术比赛，素描得90分，色彩得96分，综合知识得95分，学校将素描、色彩、综合知识按的比例计算总评成绩，那么李昊的总评成绩是______________． 【对点训练】8．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为（     ） A．10分 B．9分 C．8分 D．6.4分 【对点训练】9．（2026·浙江·中考真题）锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9 若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为、、，则三项得分的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”） 易错点4 利用加权平均数求未知数据的值 易错提醒 利用加权平均数求未知数据时，学生常写错加权公式，弄错已知数据与对应权重。容易权重代入错误、漏乘对应权重，导致方程列写出错。解方程计算粗心，忽略权重总和关系，不会检验结果合理性。部分学生混淆算术与加权公式，无法正确列式求解未知数值，频繁出现解题错误。 【对点训练】10．（2026·辽宁盘锦·一模）校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为分．则评委更看重______．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 【对点训练】11．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高是，这里的__________． 【对点训练】12．（25-26八年级下·北京西城·期末）一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 易错点5 运用加权平均数做决策 易错提醒 运用加权平均数做决策时，易随意更改题目给定权重，凭主观判断分配比例。忽视权重代表的实际意义，盲目计算对比数据。常因计算失误导致加权平均分出错，造成决策判断失误。部分学生不会结合实际情境分析结果，只比对数值大小，忽略决策的合理性与适用性。 【对点训练】13．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某校举办了创意编程挑战赛，只有甲、乙两位同学进入最终决赛．决赛对创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项满分均为10分），甲、乙两位同学的各项得分如下： 同学 创意设计/分 代码实现/分 答辩展示/分 甲 8 8 9 乙 8 9 8 如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算个人最终决赛成绩，请通过计算说明哪位同学会获得第一名． 【对点训练】14．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩(单位：分)如表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 85 90 乙 92 83 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，谁将被录用？ (2)如果公司认为笔试成绩比面试成绩更重要，笔试和面试按的比例计算总成绩，谁将被录用？ 【对点训练】15．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 易错点6 求中位数与众数 易错提醒 求解中位数时，容易忘记先将数据从小到大排序，直接取中间数值导致错误，分不清数据奇偶个数的不同求法。找众数时，常漏找多个重复次数最多的数据，误以为众数唯一。部分学生混淆中位数、众数定义，不会根据数据特征判断，审题粗心，频繁出现概念性和计算性错误。 【对点训练】16．（2026·江苏无锡·中考真题）体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．8，9 B．9，9 C．9，8 D．11，9 【对点训练】17．（26-27九年级上·全国·单元复习）从1到10这10个整数中可重复地选出5个整数，并按从小到大的顺序排列，中位数是3，唯一的众数是8，这5个数的和为________． 【对点训练】18．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了12名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95，85．若去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（     ） A．97分 B．90分 C．88分 D．87分 易错点7 利用中位数、众数求未知数据的值 易错提醒 利用中位数、众数求未知数据时，容易忽略数据排序规则，错误推导未知数范围。常固化认知认为众数唯一，遗漏多众数的可能性造成漏解。不会结合定义分类讨论，仅凭单一条件求值，忽略数据合理性，容易产生增根。同时混淆中位数与众数的判定条件，导致列式与求解出现失误。 【对点训练】19．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若一组数据，，，的众数和中位数相等，则的值为________． 【对点训练】20．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）若一组数据：11，13，7，9，x，8，9，11，唯一的众数是11，则这组数据的中位数是（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【对点训练】21．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，则这个数的中位数是___________ ． 易错点8 运用中位数、众数做决策 易错提醒 运用中位数、众数做决策时，易混淆两者统计意义，盲目用单一数据判断整体水平。误用众数代表整体平均情况，或用中位数反映数据集中趋势特点。不结合实际场景分析，忽略极端数据影响，不会根据题意选取合适统计量。仅凭数值大小主观决策，导致分析片面、决策失误。 【对点训练】22．（26-27九年级上·全国·课后作业）下表是随机抽取的某公司部分员工的月收入资料： 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 2000 人数 1 1 1 3 6 1 11 2 (1)请求出月收入的平均数、中位数和众数； (2)甲，乙两人分别用样本平均数和中位数来描述公司全体员工月收入水平，指出谁的观点比较科学合理，能真实地反映公司全体员工月收入水平，并说出另一个人的观点不能真实反映公司全体员工月收入水平的原因． 【对点训练】23．（2025·浙江温州·三模）新修订的《未成年人保护法》是一部保障未成年人权益的法律．为宣传该保护法我校开展有关知识竞赛，将竞赛成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别赋分如下表．划分等级后，某两个参赛班级的成绩整理如下图． 组别 赋分 A 0 B 2 C 4 D 6 E 8    (1)填写以下表格． 平均数 中位数 众数 九（1）班 4.24分 ________分 8分 九（2）班 ________分 4分 ________分 (2)结合以上统计量，判断哪个班的团体成绩较好？请说明理由． 【对点训练】24．（25-26八年级下·山西临汾·期末）2026年5月12日，太原卫星发射中心用长征六号改运载火箭，成功发射了千帆极轨09组卫星．为提高学生对航空航天知识的了解程度，某校组织八、九年级学生进行了航空航天知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A．，B．，C．，D．），部分信息如下： 八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100 九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 71 a 70 九年级 71 80 b c 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______． (2)根据上述数据，你认为该校八、九年级的航空航天知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)竞赛后各年级要评选“航天之星”，规则是：个人最终成绩根据基础知识、应用能力与创新思维按照的比例确定（满分100分）．已知八年级小明的基础知识分为85分，应用能力分为90分，创新思维分为80分；小红的基础知识分为95分，应用能力分为80分，创新思维分为85分，分别计算小明和小红的最终得分，并判断谁的成绩更高． 易错点9 求四分位数 易错提醒 求解四分位数时，最容易忘记先将数据从小到大排序，直接取值导致结果错误。易错点集中在数据个数奇偶判断失误，记错四分位数的位置计算公式。部分学生混淆中位数与四分位数，搞错下、上四分位数的划分区间，不会准确截取分段数据，计算取值混乱，造成解题出错。 【对点训练】25．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）一组数据1，6，3，4，2，7，5，8，9，它的第三四分位数是__________． 【对点训练】26．（25-26八年级下·河北唐山·期末）“幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用以内的一个数来表示，该数越接近表示满意程度越高．现随机抽取位市民，他们的幸福感指数分别为，，，，，，，，则该组数据的第一四分位数为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】27．（26-27九年级上·全国·课后作业）为了提高学生对“非遗文化”的了解，某地区甲、乙两个学校举行了“非遗文化”知识竞赛，决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：，，，，，，，，，． 乙校：，，，，，，，，，． (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 易错点10 画箱线图 易错提醒 绘制箱线图时，常因未正确排序数据、算错四分位数导致图形关键节点出错。容易混淆最大值、最小值与异常值，错误延伸线段。部分学生漏标数轴刻度、刻度不均，箱体长短绘制比例失调。还容易弄错中位数在箱体中的位置，画图不规范，遗漏关键标注，造成箱线图信息不准确、不符合标准。 【对点训练】28．（25-26八年级下·山西大同·期末）某同学将英语演讲比赛中每位选手最终得分绘制成如图所示的统计图，根据图中数据可以得到（     ） ①这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； ②所有选手得分的平均分为85分； ③最高分与最低分相差6分； ④所有选手得分的上四分位数为88分． A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①④ 【对点训练】29．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【对点训练】30．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组成绩的四分位数． (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． 易错点11 求方差 易错提醒 计算方差时，容易记错公式，漏除以数据总个数，或混淆平均数与单个数据的差值。常出现平方运算失误、正负号处理错误，未平方直接求差求和。部分学生分不清总体方差与样本方差的区别，同时忽略方差非负的性质。计算步骤粗心，数据代入错误，导致最终结果偏差出错。 【对点训练】31．（25-26八年级下·吉林·期末）在一次数学测试中，5名同学的数学成绩分别为：78，82，85，90，95．则这组数据的平均数和方差分别为（     ） A．86，35.6 B．86，30.8 C．85，34 D．85，30.8 【对点训练】32．（2025·山东潍坊·模拟预测）若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 【对点训练】33．（25-26八年级下·云南昆明·期末）若一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据的平均数和方差分别是（     ） A． B． C． D． 易错点12 运用方差做决策 【对点训练】34．（26-27九年级上·全国·课后作业）射击训练班中的甲，乙两名选手在次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：，，，， 乙：，，，， 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 a 9 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)________，________，________； (2)完成图中表示乙成绩变化情况的折线统计图； (3)若选手乙再射击第次，命中的成绩是环，则选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会________．（填“变大”“变小”或“不变”） (4)教练根据这次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ 【对点训练】35．（2026·辽宁·中考真题）某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用打印技术制造．现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末（打印原料）可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一： 每桶打印合格产品数（单位：个） 甲：48，51，48，51，48，50，51，50，51，52 乙：45，49，46，56，45，49，54，48，49，59 信息二：    信息三： 每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 乙 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数的值； (2)求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数的值； (3)若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌？说明理由． 【对点训练】36．（25-26八年级下·福建福州·期末）某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 轮次 1 2 3 4 5 6 7 8 A 9 9 10 10 9 7 6 8 B 10 8 8 9 10 9 8 10 　　　　　　    　图1 【数据分析】 选手 平均数 方差 众数 下四分位数 中位数 上四分位数 A 8.5 1.75 ② ③ ④ 9.5 B ① 0.75 10 8 9 ⑤ (1)小明利用平均数、方差、众数（如图1）进行分析，①处应填_______环，②处应填_______环；小颗利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析，③处应填_______环，④处应填_______环，⑤处应填_______环． (2)如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，需要从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁参赛？说明理由． 易错点13 离差平方和及其应用 易错提醒 求解离差平方和时，易混淆数据与平均数的离差，出现正负号书写错误。常遗漏平方运算，或重复计算、漏算个别数据离差。很多学生将离差平方和与方差公式混淆，误多除以数据个数。应用解题时，不会利用其非负性分析数据波动，计算粗心、代入数据出错，导致结果错误。 【对点训练】37．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 【对点训练】38．（25-26八年级下·青海西宁·期末）某中学八年级学生开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，小明将抽样调查的成绩分成两组进行分析，并计算了组内离差平方和，其中第7组至第10组的组内离差平方和如下表，则这四种分法中，第________组分法的组内成绩数据波动最小，两组之间数据差异最大．（填写“7”或“8”或“9”或“10”） 组序 … 7 8 9 10 … 组内离差平方和 … 136.945 125.792 124.182 132.000 … 【对点训练】39．（25-26八年级下·陕西西安·期末）为了解八年级学生在跳绳方面的水平状况，改进体育教学，某校从八年级随机抽取了若干位同学进行跳绳测评，下面是对八年级（1）班抽取的10位同学1分钟跳绳次数（单位：次）的分析过程； 【收集与整理】将10位同学的1分钟跳绳次数四六分组，统计如下： 分组方式 组别 次数 方式一 I组 120，130，135，135 II组 135，140，140，140，150，165 方式二 甲组 120，130，135，135，135，140 乙组 140，140，150，165 【描述与分析】各组数据统计量分析表： 分组方式 组别 平均数 中位数 众数 离差平方和 组内离差平方和 方式一 I组 130 150 II组 140 140 600 方式二 甲组 135 乙组 145 140 根据以上信息，解答下面问题： (1)填空：上表中， ， ； (2)计算表中的值；（要求写出计算过程） (3)【判断与决策】为方便教学，需要按照组内离差平方和最小原则进行分组．请通过计算选择你认为合适的分组方式． 易错点14 用样本所占百分比推测总体的数量 【对点训练】40．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）在丰富学生15分钟课间活动、落实健康学校建设理念的同时，也为了更好地对接中考体育球类测试项目，了解某校九年级20个班级学生喜欢球类活动的情况，体育老师抽取了100名九年级学生进行问卷调查，了解学生对足球、篮球、排球三种球的喜爱情况．（每位学生必选且只能选一种喜欢的球）． (1)下面的抽样方法中，__________更具代表性． A．从九年级20个班中选择三个班，在其中随机抽取100名学生 B．从九年级所有女生中随机抽取100名学生 C．从九年级所有学生中随机抽取100名学生 (2)对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表： 调查结果统计表 球类 足球 篮球 排球 合计 人数 20 48 100 请根据上述信息，解答下列问题． ①统计表中________，扇形统计图中_______，表示“足球”的扇形的圆心角是_______度； ②若该校九年级有900名学生，估计最喜欢篮球的有多少人？ ③根据上述调查情况，写一条合理的建议． 【对点训练】41．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，营造校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动．数学课外小组针对学生的阅读打卡积分进行了调查，分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据： A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图）： B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10 数学课外小组对所抽取学生积分进行了整理与分析，并汇总得到了如下所示的相关数据： A班 B班 平均数 中位数 8 众数 8 方差 0.84 根据以上信息，解答下列问题． (1)补全以上样本数据的条形统计图和统计表； (2)若9分及9分以上为班级“阅读小达人”．已知B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？ (3)为了让更多学生坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明哪个班应该得奖．（写出两条理由即可） 【对点训练】42．（25-26七年级下·北京密云·期末）某工程公司为选拔高级测绘技术员，按照“核心岗位技能选拔标准”组织考核．考核分为理论笔试与实地测绘，两项满分均为分，两项成绩之和为考核总成绩，总成绩高于分为“优秀”等级．为了解本次考核的整体水平，公司从总成绩与分项成绩两方面进行数据统计与分析． (1)随机抽取名技术员的总成绩数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 总成绩 频数 频率 1 总计 根据以上信息，完成以下问题： ①表中_________，_________，_________； ②补全频数分布直方图； ③若此次考核共有名技术员参加，根据上面的统计结果，估计此次技能考核中成绩为“优秀”等级的技术员约有_________人． (2)随机抽取名技术员理论笔试与实地测绘的分项成绩数据，绘制统计图（如图）．若记理论笔试成绩不低于实地测绘成绩的人数为，其余人数记为，则________（填“>”“=”“<”）． 易错点15 数据分析与统计估计大题常考 【对点训练】43．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在今年端午节来临之际，我县某初中学校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动比赛，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制如下统计图表，部分信息如下： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数/名 1 2 a b 2 根据以上信息，解答下列问题： (1)样本中，七年级实践活动成绩为7分的学生有___________名，七年级实践活动成绩的众数为___________分； (2)已知八年级10名学生活动成绩的中位数为分，则___________，___________； (3)若该校八年级共有600名学生，根据此次活动估计该校八年级将有多少名学生获得满分． 【对点训练】44．（25-26八年级下·河北唐山·期末）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，实验中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 87 90 (1)上述表中，__________，__________，并补全箱线图； (2)由箱线图可知八年级所抽取学生的下四分位数是__________； (3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； (4)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图进行说明． 【对点训练】45．（25-26八年级下·河北保定·期末）为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛．从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用x表示，共分四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩（单位：分）：． 七、八两年级各名学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的年级去县里参加团体赛，请问选________年级更合适（填“七”或“八”）； (2)上述图表中：中位数________，第一四分位数________； (3)若该校七年级有人，八年级有人参加本次知识竞赛，且规定不低于分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 1．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图为某地区2026年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（    ） A．该地区3月有重度污染天气 B．该地区3月的值比2月集中 C．该地区3月的值中位数大于2月值的中位数 D．整体看，该地区2月的空气质量好于3月 2．（25-26八年级下·河北保定·期末）一次数学趣味知识竞赛后，马老师根据甲、乙、丙三个班级学生得分情况，绘制了对应的箱线图．根据该图判断下列说法正确的是（     ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数低于甲班学生得分的中位数 D．若每班有40个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，丙班分数最高 3．（25-26八年级下·重庆·期中）八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 4．（2026·河北邯郸·模拟预测）某校为了解学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取若干名学生进行调查，将每周阅读时间x（小时）分成五组，分组情况如下：A：，B：，C：，D：，E：，并将获得的数据整理后绘制成不完整的统计图，如图，下列说法正确的是（    ） A．中位数落在C组 B．众数落在B组 C．平均数落在B组 D．无法确定中位数、平均数、众数落在哪一组 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 6．（25-26八年级上·江西抚州·期末）若一组数据6，x，10，12，24，2的平均数为10，则这组数据的上四分位数是_______． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了，经重新计算，全班平均分是91.7分，五一班有学生_______人． 8．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）求一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，则该组数据的方差___________． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在从小到大排列的五个数x，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则加入的这个数为_____，x的值为_____． 10．（2025·北京海淀·模拟预测）为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如表： 每周课外阅读时间x（小时）                          合计 频数 8 17 b 15 a 频率           c      1 表中组的频数b满足．下面有四个推断： ①表中a的值为100； ②表中c的值可以为； ③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在之间； ④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6． 所有合理推断的序号是______． 11．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）某景区有甲、乙两条上山的小路，均由连续的台阶构成，如图所示是甲、乙两路段部分台阶示意图（图中数据表示每一级台阶的高度，单位：） (1)分别求出两段台阶高度的中位数； (2)嘉淇计算了甲路段台阶高度的方差，请参照如下她的计算方法，计算乙路段台阶高度的方差，并分析哪段台阶路走起来更舒服？为什么？ 嘉淇的计算 解： 12．（2025·河北衡水·模拟预测）为增强学生垃圾分类意识，某校从七、八年级各随机抽取了名学生进行相关测试，将测试成绩分（为整数）分为五个等级：A：，B：，C：，D：，E：，并绘制成如图的统计图． (1)八年级被抽取学生测试成绩中位数为，则一定落在_____等级中，C等级的共有_____名学生； (2)比较两个年级成绩在分以下（不含分）的百分比的大小，并根据比较结果给出一条合理的建议； (3)请说明七年级被抽取学生的测试成绩中会有众数吗？ 13．（25-26八年级下·河北保定·期末）某区举办科普知识竞赛．从甲、乙两校学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．＜；B．＜；C．＜；D．），下面给出部分信息： 乙校名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲、乙两校名学生成绩统计表 学校 甲校 乙校 平均数 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选________校更合适（填“甲”或“乙”）； (2)图表中：中位数________，第一四分位数________； (3)该区甲校有学生人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 14．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）我校七年级一共有600名学生，团委准备调查他们对“国际马拉松赛”活动的了解程度． (1)在确定调查方式时，团委设计了以下三种方案：方案一：调查七年级部分女生；方案二：调查七年级部分男生；方案三：到七年级每个班去随机调查一定数量的学生． 请问其中最具代表性的一个方案是__________； (2)团委采用了最具代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，求该校抽样调查的学生人数为多少人？并将条形统计图补充完整． (3)在扇形统计图中，请计算了解一点所占扇形的圆心角是多少度？ (4)请你估计七年级约有多少学生不了解“国际马拉松赛”活动． 15．（24-25八年级下·浙江温州·期中）某区举办科普知识竞赛，从甲、乙两校学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 乙校20名学生的竞赛成绩：63，63，65，71；72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98；99． 甲、乙两校20名学生成绩统计表 学校 甲校 乙校 平均数 82 82 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选______校更合适（填“甲”或“乙”）； (2)上述图表中：中位数______，下四分位数______； (3)该区甲校有学生1120人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 数据分析与统计估计 知识点一、算术平均数 一般地，如果有n个数，那么叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，“”读作“拔”. 1.求算术平均数时，只需将所有数据加起来求出总和，再除以数据的总个数即可； 2.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”； 3.在实际问题中，算数平均数要带单位，与原数据单位一致； 4.算术平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系； 5.算术平均数的缺点是 受个别值的影响，有时并不能代表一组数据的平均水平； 6.一组数据的平均值只有一个，每个数据的变化都会引起平均值的变化（若添上或去掉的这个数据刚好与平均数相同，就不会引起平均值的变化）. 知识点二、平均数的简化公式 一般地，一组数据中的各个数值较大时，可以将各个数据减去一个适当的常数a（常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数），得到一组新数据：那么这组数据的平均数. 知识点三、加权平均数 1.权的概念 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 2.加权平均数的计算公式 （1）一般地，设为k个数据，依次为k个数据的权数，则称为这组数据的加权平均数. （2）数据按的比计算平均数，则 （3）设数据所占的百分比分别为，且，则. 知识点四、中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列（从小到大或从大到小都可以），如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 1.一组数据的中位数不一定出现在这组数据中； 2.一组数据的中位数是唯一的； 3.由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半； 4.中位数仅与数据按大小的排列后的位置有关，当一组数据中个别据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 知识点五、众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 1.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势； 2.一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也有可能没有众数； 3.众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数； 4.众数考查的是各个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映出这组数据的集中趋势. 知识点六、选择合适的统计量描述数据的集中趋势 平均数、众数、中位数都能反映出一组数据的集中趋势，其中平均数的应用最为广泛，三个统计量各有特点： 1.用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，所以平均数应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有着重要的作用，但平均数计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响. 2用众数作为一组数据的代表，主要是对各数据出现频数的考查，其大小只与这组数据的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 3.用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但中位数不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可以用中位数来描述其集中趋势. 知识点七、极差的定义及计算公式 1.一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差； 2.极差计算公式：极差＝最大值－最小值. 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的. 知识点八、 四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 知识点九 箱线图绘制步骤 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 知识点十、方差及标准差 1.方差的概念 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的方差，通常用来表示，即（方差的基本公式）. 若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方. 2.方差的其他公式： （1）或者，方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方. ①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小； ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变； ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 有时，也会用方差的算术平方根（标准差），即来描述一组数据的离散程度. 知识点十一、极差、方差及标准差的区别与联系 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数； 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 3.对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大. 知识点十二 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 知识点十三 用样本推断总体 用样本推断总体是统计的核心思想，核心是通过抽取部分样本的数据，估计整体总体的特征，适用于总体数量大、无法全面调查的情况。常用调查方式为抽样调查，要求样本具备随机性、广泛性和代表性，避免人为偏差。 主要应用：利用样本的平均数、中位数、众数、方差，估计总体的集中趋势和波动程度。样本容量越大，样本数据越接近总体真实情况，估计结果越准确。 常见易错点：样本选取片面不随机、容量过小导致误差大；混淆样本、总体、个体、样本容量概念；误将样本结果当作总体绝对结果，忽略统计估计存在误差。 易错点1 求一组数据的平均数 易错提醒 计算平均数时，容易遗漏重复数据、少数个别数据，导致求和出错。混淆算术平均数与加权平均数，忽略数据权重直接求平均。部分学生计算总分、数据个数时粗心出错。误用样本平均数直接等同于总体平均数，忽略抽样误差，未理解平均数仅为估计值，并非精准定值。 【对点训练】1．（2025·湖南益阳·模拟预测）某校为丰富学生课余生活，举行了艺术周活动，八年级一班的合唱成绩如表： 成绩/分 9.2 9.3 9.6 9.7 9.9 评委/人 2 2 3 2 1 若去掉一个最高分和一个最低分后，则余下数据的平均分是（     ） A．9.51分 B．9.5分 C．9.6分 D．9.625分 【答案】B 【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，然后再求平均数即可． 【详解】解：由题意知，最高分和最低分为9.9，9.2， 则余下的数据的平均数为（分） 【对点训练】2．（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【详解】解：． 【对点训练】3．（25-26八年级下·广东广州·期末）已知一组数据，，，的平均数为7，则另一组数据，，7，，的平均数是_______． 【答案】7 【分析】先根据平均数的定义求出原数据的总和，再整理得到新数据的总和，最后根据平均数定义计算新数据的平均数． 【详解】解：由题意，根据平均数的定义，原数据满足 新数据的总和为 新数据共有个，因此新数据的平均数为． 易错点2 利用已知的平均数求相关数据的平均数 易错提醒 利用已知平均数求解新数据平均数时，易直接套用原平均数计算，忽略数据增减、分组变化。混淆整体与部分平均数，错误叠加两组平均数。常搞错数据总个数、总数量，权重分配出错。部分学生不会利用平均数公式逆向推导，忽视数据整体变化规律，导致计算结果偏差，出现解题错误。 【对点训练】4．（25-26八年级下·浙江湖州·阶段检测）有40个数，小明同学第一次统计这些数的平均成绩为82分，在复查时发现漏记了其中的一个数86，那么这40个数的实际平均数为（     ） A．85.2 B．84.15 C．83.6 D．82.1 【答案】B 【分析】根据小明计算的平均数和漏记的数求出这40个数的实际总和，再除以40即可得到答案． 【详解】解：， , ∴这40个数的实际平均数为． 【对点训练】5．（25-26八年级下·四川广安·期末）已知一组数据，，，…，的平均数为2，则另一组新数据，，，…，的平均数是_____． 【答案】 【分析】根据算术平均数的定义，先由原数据的平均数得到原数据的总和，再计算新数据的算术平均数即可． 【详解】解：数据，，，，的平均数为， ，即， ∴新数据的平均数为：． 【对点训练】6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3，则a，b，c，4，d，e这组数据的平均数是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平均数．解决本题的关键是熟练掌握平均数的定义． 根据a，b，c的平均数是2，求出a，b，c的和，根据d，e的平均数是3，求出d，e的和，即可求a，b，c，4，d，e的平均数． 【详解】∵数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3， ∴，， ∴a，b，c，4，d，e的平均数是， ． 故答案为：． 易错点3 求加权平均数 易错提醒 求解加权平均数时，最容易忽略各数据的权重，直接套用普通平均数公式计算。常看错、漏代权重数值，混淆权重占比与数据本身。计算时容易出现权重求和不为总数、权重分配错乱等问题。部分学生不会根据题意区分算术平均与加权平均，公式运用错误，最终导致计算结果出错。 【对点训练】7．（25-26八年级下·云南红河·期末）李昊参加校园美术比赛，素描得90分，色彩得96分，综合知识得95分，学校将素描、色彩、综合知识按的比例计算总评成绩，那么李昊的总评成绩是______________． 【答案】94分 【分析】已知三项成绩和对应权重比，利用加权平均数的计算方法即可求出总评成绩． 【详解】解： ， 因此总评成绩为94分． 【对点训练】8．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为（     ） A．10分 B．9分 C．8分 D．6.4分 【答案】C 【分析】根据雷达图读取五项能力的具体得分，结合给定的权重比例，利用加权平均数公式进行计算即可． 【详解】解： 分， ∴他的综合得分为8分． 【对点训练】9．（2026·浙江·中考真题）锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9 若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为、、，则三项得分的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”） 【答案】B 【分析】根据加权平均数的计算方法，分别求出三个套餐的加权得分，比较大小即可得到结果． 【详解】解：分别计算三个套餐的加权平均数： 套餐A的得分：（分）； 套餐B的得分：（分）； 套餐C的得分：（分）； ∵， ∴加权平均数最高的是B． 易错点4 利用加权平均数求未知数据的值 易错提醒 利用加权平均数求未知数据时，学生常写错加权公式，弄错已知数据与对应权重。容易权重代入错误、漏乘对应权重，导致方程列写出错。解方程计算粗心，忽略权重总和关系，不会检验结果合理性。部分学生混淆算术与加权公式，无法正确列式求解未知数值，频繁出现解题错误。 【对点训练】10．（2026·辽宁盘锦·一模）校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为分．则评委更看重______．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 【答案】演唱技巧 【分析】通过设未知数，根据总分列出方程，求出两项的权重，比较权重大小即可得到结论． 【详解】解：设演唱技巧的权重为，则舞台表现的权重为， 根据题意得： 解得， 则， ∵，演唱技巧的权重更大， ∴评委更看重演唱技巧． 【对点训练】11．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高是，这里的__________． 【答案】175 【分析】设30名男生的平均身高为acm，根据平均数的定义，列出方程即可解决问题． 【详解】解：某班共有50名学生，其中30名男生，20名女生，平均身高为168cm； 设30名男生的平均身高为acm， 则有：=168， 解得a=175（cm）． 故答案为：175． 【点睛】本题考查的是加权平均数的应用．本题易出现的错误是对，168这两个平均数的理解不正确． 【对点训练】12．（25-26八年级下·北京西城·期末）一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【答案】7 【分析】先根据加权平均数计算公式求出甲组的加权平均成绩，再根据两组平均成绩相等建立关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得， 即， 解得． 易错点5 运用加权平均数做决策 易错提醒 运用加权平均数做决策时，易随意更改题目给定权重，凭主观判断分配比例。忽视权重代表的实际意义，盲目计算对比数据。常因计算失误导致加权平均分出错，造成决策判断失误。部分学生不会结合实际情境分析结果，只比对数值大小，忽略决策的合理性与适用性。 【对点训练】13．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某校举办了创意编程挑战赛，只有甲、乙两位同学进入最终决赛．决赛对创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项满分均为10分），甲、乙两位同学的各项得分如下： 同学 创意设计/分 代码实现/分 答辩展示/分 甲 8 8 9 乙 8 9 8 如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算个人最终决赛成绩，请通过计算说明哪位同学会获得第一名． 【答案】解：甲同学的最终决赛成绩为（分）， 乙同学的最终决赛成绩为（分）． ， 甲同学会获得第一名． 【分析】用对应项目的得分乘以其对应权重得到各项目加权得分，求和后再除以权重总和得到两人的综合成绩，比较综合成绩即可得到结论． 【详解】略 【对点训练】14．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩(单位：分)如表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 85 90 乙 92 83 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，谁将被录用？ (2)如果公司认为笔试成绩比面试成绩更重要，笔试和面试按的比例计算总成绩，谁将被录用？ 【答案】(1)两人平均分相同，均可被录用 (2)乙将被录用 【分析】（1）求出甲乙两人的分数的算术平均数，再比较即可； （2）求出甲乙两人的分数的加权平均数，再比较即可． 【详解】（1）解：∵笔试和面试同等重要， ∴甲平均分为：，乙平均分为：， ∴两人平均分相同，均可被录用； （2）解：∵笔试和面试按的比例计算总成绩， ∴甲总成绩为：，乙总成绩为：， ∵ ∴乙将被录用． 【对点训练】15．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从英文笔译员的岗位能力需求入手，确定读写测试的权重应更高，说的权重应最低，以此筛选选项． 【详解】解：英文笔译员的核心工作为书面翻译，读写能力的重要性高于听说，且说的权重应最低 选项A权重为，写的权重最高，读次之，说的权重最低，符合题意； 选项B权重为，未体现岗位侧重，不符合题意； 选项C权重为，听的权重与读写相同，未突出读写的核心地位，不符合题意； 选项D权重为，说的权重最高，不符合题意． 易错点6 求中位数与众数 易错提醒 求解中位数时，容易忘记先将数据从小到大排序，直接取中间数值导致错误，分不清数据奇偶个数的不同求法。找众数时，常漏找多个重复次数最多的数据，误以为众数唯一。部分学生混淆中位数、众数定义，不会根据数据特征判断，审题粗心，频繁出现概念性和计算性错误。 【对点训练】16．（2026·江苏无锡·中考真题）体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．8，9 B．9，9 C．9，8 D．11，9 【答案】B 【详解】解：∵数据，，，，中出现次数最多， ∴众数为． ∵将数据从小到大排列后，第个数据为， ∴中位数为． 【对点训练】17．（26-27九年级上·全国·单元复习）从1到10这10个整数中可重复地选出5个整数，并按从小到大的顺序排列，中位数是3，唯一的众数是8，这5个数的和为________． 【答案】22 【分析】从小到大排列的5个数，中位数是第3个数；众数是5个数中出现次数最多的数． 【详解】解：由题可知，这五个数字为1，2，3，8，8， 则这5个数的和为． 【对点训练】18．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了12名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95，85．若去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（     ） A．97分 B．90分 C．88分 D．87分 【答案】C 【分析】先统计原数据各分数的出现次数，确定原众数，再判断去掉各选项分数后众数是否改变． 【详解】解：原个数据中各分数的出现次数为：分出现次，分出现次，分出现次，分出现次，分出现次，分出现次， ∴原数据的众数为分和分， ∵分不在原数据中， ∴小蓝的分数不可能是分，故A选项不符合题意； ∵去掉分或分后，分和分的出现次数仍均为次，众数不变，故B、D选项不符合题意， ∵去掉个分后，分出现次，分仍出现次，众数变为分，发生改变，故C选项符合题意． 易错点7 利用中位数、众数求未知数据的值 易错提醒 利用中位数、众数求未知数据时，容易忽略数据排序规则，错误推导未知数范围。常固化认知认为众数唯一，遗漏多众数的可能性造成漏解。不会结合定义分类讨论，仅凭单一条件求值，忽略数据合理性，容易产生增根。同时混淆中位数与众数的判定条件，导致列式与求解出现失误。 【对点训练】19．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若一组数据，，，的众数和中位数相等，则的值为________． 【答案】 【分析】这组数据存在众数，因此只能等于已有数据，，中的一个，分类讨论验证众数和中位数是否相等即可． 【详解】解：∵这组数据存在众数， 又∵原有数据各出现一次， ∴或或， 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，不合题意，舍去； 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，符合题意； 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，不合题意，舍去； 综上，． 【对点训练】20．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）若一组数据：11，13，7，9，x，8，9，11，唯一的众数是11，则这组数据的中位数是（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】先根据众数的定义确定的取值，再将数据从小到大排序，根据中位数的定义计算即可． 【详解】解：∵ 原数据中9和11都已经出现2次，其余数各出现1次，且这组数据的唯一众数是11， ∴ ，保证11出现次数最多，符合唯一众数要求， 将这组数据从小到大排序得：， ∵ 数据总个数为8，是偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数，即第4个和第5个数的平均数， ∴ 中位数为 ． 【对点训练】21．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，则这个数的中位数是___________ ． 【答案】 【分析】根据众数的定义确定、、、、这组数据的众数，进而根据平均数的定义求出n的值，再根据中位数的定义可得答案． 【详解】解：、、、、有唯一众数， 、、、、这组数中的众数为， 、、的平均数与、、、、的唯一众数相同， 、、的平均数为， ∴ ， 这个数这个数为， 从小到大排列依次是：、、、、、、、， 这个数的中位数是． 易错点8 运用中位数、众数做决策 易错提醒 运用中位数、众数做决策时，易混淆两者统计意义，盲目用单一数据判断整体水平。误用众数代表整体平均情况，或用中位数反映数据集中趋势特点。不结合实际场景分析，忽略极端数据影响，不会根据题意选取合适统计量。仅凭数值大小主观决策，导致分析片面、决策失误。 【对点训练】22．（26-27九年级上·全国·课后作业）下表是随机抽取的某公司部分员工的月收入资料： 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 2000 人数 1 1 1 3 6 1 11 2 (1)请求出月收入的平均数、中位数和众数； (2)甲，乙两人分别用样本平均数和中位数来描述公司全体员工月收入水平，指出谁的观点比较科学合理，能真实地反映公司全体员工月收入水平，并说出另一个人的观点不能真实反映公司全体员工月收入水平的原因． 【答案】(1)平均数为，中位数为；众数为3000 (2)乙的观点比较科学合理，甲用平均数来反映公司员工的月收入水平受极端值的影响，只有3名员工达到平均水平 【分析】（1）根据平均数计算公式，中位数和众数的定义进行求解即可； （2）根据中位数、众数和平均数的意义，进行解答即可． 【详解】（1）解：， 平均数为， 将26个人的工资从小到大进行排序，排在第13的是3000元，排在第14的是3400元，因此中位数为：； 26个人的工资中出现次数最多是3000元，因此众数为3000． （2）略 【对点训练】23．（2025·浙江温州·三模）新修订的《未成年人保护法》是一部保障未成年人权益的法律．为宣传该保护法我校开展有关知识竞赛，将竞赛成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别赋分如下表．划分等级后，某两个参赛班级的成绩整理如下图． 组别 赋分 A 0 B 2 C 4 D 6 E 8    (1)填写以下表格． 平均数 中位数 众数 九（1）班 4.24分 ________分 8分 九（2）班 ________分 4分 ________分 (2)结合以上统计量，判断哪个班的团体成绩较好？请说明理由． 【答案】(1)3；4.28；6 (2)从平均数看，九（2）班高于九（1）班，说明整体水平更高；从中位数看，九（2）班也高于九（1）班，说明九（2）班中等水平的学生成绩更高．综上，九（2）班团体成绩更好． 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的概念即可解答； （2）根据平均数和中位数作出判断即可． 【详解】（1）解：九（2）班的成绩平均数为分； 根据扇形统计图可得九（1）班的学生数为偶数个，且中间两个数的成绩为分和分，则九（1）班的成绩的中位数为分； 在九（2）班的成绩中分出现次数最多，则九（2）班的成绩的众数为分； （2）略 【对点训练】24．（25-26八年级下·山西临汾·期末）2026年5月12日，太原卫星发射中心用长征六号改运载火箭，成功发射了千帆极轨09组卫星．为提高学生对航空航天知识的了解程度，某校组织八、九年级学生进行了航空航天知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A．，B．，C．，D．），部分信息如下： 八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100 九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 71 a 70 九年级 71 80 b c 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______． (2)根据上述数据，你认为该校八、九年级的航空航天知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)竞赛后各年级要评选“航天之星”，规则是：个人最终成绩根据基础知识、应用能力与创新思维按照的比例确定（满分100分）．已知八年级小明的基础知识分为85分，应用能力分为90分，创新思维分为80分；小红的基础知识分为95分，应用能力分为80分，创新思维分为85分，分别计算小明和小红的最终得分，并判断谁的成绩更高． 【答案】(1)70；80；55 (2)解：九年级的学生成绩更好，理由如下： 两个年级的平均分相同，但是九年级的学生成绩的中位数，众数和优秀率都比八年级的高，故九年级的学生成绩更好； (3)小明的最终得分为分，小红的最终得分为分，小红的成绩更高． 【分析】（1）根据中位数，众数和优秀率的定义求解即可； （2）根据平均数、众数、中位数、优秀率进行比较即可； （3）根据加权平均数的计算方法求出两人的最终得分，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：∵八年级20名学生的竞赛成绩中，得分为70分的人数最多， ∴八年级20名学生的竞赛成绩的众数为70分，即； 把九年级20名学生的竞赛成绩按照从低到高的顺序排列，第10个数为80，第11个数为80， ∴九年级20名学生的竞赛成绩的中位数为，即； 由题意得，， ∴； （2）略 （3）解：小明的最终得分为分， 小红的最终得分为分， ∵， ∴小红的成绩更高． 易错点9 求四分位数 易错提醒 求解四分位数时，最容易忘记先将数据从小到大排序，直接取值导致结果错误。易错点集中在数据个数奇偶判断失误，记错四分位数的位置计算公式。部分学生混淆中位数与四分位数，搞错下、上四分位数的划分区间，不会准确截取分段数据，计算取值混乱，造成解题出错。 【对点训练】25．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）一组数据1，6，3，4，2，7，5，8，9，它的第三四分位数是__________． 【答案】 7（或7.5） 【详解】解：法一：将原数据从小到大排列为 ，，，，，，，，，数据总个数， ∵第三四分位数对应位置， ∴不是整数，取大于的最小整数， ∴第三四分位数是排列后第个数据，即； 法二：将数据排序后，后四位数据为，，，， ∴第三四分位数为. 【对点训练】26．（25-26八年级下·河北唐山·期末）“幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用以内的一个数来表示，该数越接近表示满意程度越高．现随机抽取位市民，他们的幸福感指数分别为，，，，，，，，则该组数据的第一四分位数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将数据从小到大排序为 方法一：，第一四分位数为第个与第个数据的平均数，即； 方法二：第一四分位数为这四个数据的中位数，即． 【对点训练】27．（26-27九年级上·全国·课后作业）为了提高学生对“非遗文化”的了解，某地区甲、乙两个学校举行了“非遗文化”知识竞赛，决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：，，，，，，，，，． 乙校：，，，，，，，，，． (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 【答案】(1)，， (2)如图所示即为所作， (3)根据箱线图和四分位数可知，甲组成绩和乙组成绩的中位数相等，说明两组的中间水平相当，都有一半成员成绩不低于分；甲组箱体明显比乙组的长，说明甲组成绩比较分散，波动大，乙组的成绩比较集中，波动小． 【分析】（1）先对甲校测试成绩数据从小到大排序，再根据四分位数的计算规则进行求解； （2）先求得甲校测试成绩中最大值和最小值，再结合（1）中四分位数画图即可； （3）根据箱线图的特点和四分位数的意义解答即可． 【详解】（1）解法一： 甲校成绩从小到大排列为，，，，，，，，，， 第一四分位数为前个数据的中位数， 第一四分位数为． 第二四分位数为个数据的中位数， 第二四分位数为． 第三四分位数为后个数据的中位数， 第三四分位数为． 解法二： 甲校成绩从小到大排列为，，，，，，，，，， ， 第一四分位数为第个数，即． ， 第二四分位数为第个数与第个数的平均数，即． ， 第三四分位数为第个数，即． （2）解：由甲校数据知，最小值为60，最在值为100，结合（1）的数据即可画图； （3）略． 易错点10 画箱线图 易错提醒 绘制箱线图时，常因未正确排序数据、算错四分位数导致图形关键节点出错。容易混淆最大值、最小值与异常值，错误延伸线段。部分学生漏标数轴刻度、刻度不均，箱体长短绘制比例失调。还容易弄错中位数在箱体中的位置，画图不规范，遗漏关键标注，造成箱线图信息不准确、不符合标准。 【对点训练】28．（25-26八年级下·山西大同·期末）某同学将英语演讲比赛中每位选手最终得分绘制成如图所示的统计图，根据图中数据可以得到（     ） ①这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； ②所有选手得分的平均分为85分； ③最高分与最低分相差6分； ④所有选手得分的上四分位数为88分． A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①④ 【答案】D 【详解】解：由箱线图可知， 这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； 所有选手得分的中位数为85分，平均数无法确定； 最高分与最低分相差分； 所有选手得分的上四分位数为88分， 结论①、④正确，②、③错误． 【对点训练】29．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【答案】(1)70，90，96 (2)甲组的箱线图如下： (3)根据箱线图和四分位数可知，甲组成绩和乙组成绩的中位数相等，说明两组的中间水平相当，都有一半成员成绩不低于90分；甲组箱体明显比乙组的长，说明甲组成绩比较分散，波动大，乙组的成绩比较集中，波动小．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）先将甲组数据从小到大排列，再根据四分位数的定义求解即可； （2）先求得甲组数据中，最大值和最小值，再结合（1）中四分位数画图即可； （3）根据箱线图的特点和四分位数的意义解答即可． 【详解】（1）解法一：将甲组数据从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91， 92，96，98，100， 则甲组前半部分有5个数据，则下四分位数是70； 甲组数据的中位数为第5个和第6个数据的平均数，则中位数为， 甲组的后半部分有5个数据，则上四分位数是96； 解法二：将甲组数据从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91， 92，96，98，100， ∵，，， ∴，，； （2）略 （3）略 【对点训练】30．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组成绩的四分位数． (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． 【答案】(1)第一四分位数是70，第二四分位数（中位数）是90，第三四分位数是96 (2)如图，即为甲组的箱线图． 【分析】（1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可． 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 共10个数，，，， ，，， 即第一四分位数是70，第二四分位数（中位数）是90，第三四分位数是96； （2）略 易错点11 求方差 易错提醒 计算方差时，容易记错公式，漏除以数据总个数，或混淆平均数与单个数据的差值。常出现平方运算失误、正负号处理错误，未平方直接求差求和。部分学生分不清总体方差与样本方差的区别，同时忽略方差非负的性质。计算步骤粗心，数据代入错误，导致最终结果偏差出错。 【对点训练】31．（25-26八年级下·吉林·期末）在一次数学测试中，5名同学的数学成绩分别为：78，82，85，90，95．则这组数据的平均数和方差分别为（     ） A．86，35.6 B．86，30.8 C．85，34 D．85，30.8 【答案】A 【分析】根据平均数和方差公式求解即可． 【详解】解：平均数． 方差． 【对点训练】32．（2025·山东潍坊·模拟预测）若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 【答案】A 【详解】解：设原数据的平均数为． ∵原数据方差为3， ∴． 新数据的平均数为， 新数据的方差为 ． 【对点训练】33．（25-26八年级下·云南昆明·期末）若一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据的平均数和方差分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当数据中每个数变为原数的倍再加时，新平均数为乘原平均数加，新方差为乘原方差，利用规律直接计算即可. 【详解】解：∵原数据的平均数为，方差为， ∴新数据的平均数为； 新数据的方差为. 易错点12 运用方差做决策 【对点训练】34．（26-27九年级上·全国·课后作业）射击训练班中的甲，乙两名选手在次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：，，，， 乙：，，，， 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 a 9 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)________，________，________； (2)完成图中表示乙成绩变化情况的折线统计图； (3)若选手乙再射击第次，命中的成绩是环，则选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会________．（填“变大”“变小”或“不变”） (4)教练根据这次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ 【答案】(1)，， (2)乙成绩变化情况的折线统计图如下： (3)变小 (4)解∵两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小， ∴甲的成绩较稳定， ∴选择甲参加射击比赛． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的计算方法求解即可； （2）根据（1）中结果，画出乙成绩变化情况的折线统计图即可； （3）根据乙的次成绩，求出次成绩的方差，与原方差比较即可得出答案； （4）根据平均数相同，方差越小，成绩越稳定解答即可． 【详解】（1）解：∵乙的次成绩为，，，，， ∴乙的次成绩的平均数； ∵甲的次成绩为，，，，，其中数据出现的次数最多， ∴甲的成绩的众数； 把乙的次成绩从低到高排列为，，，，， ∵最中间的数据为， ∴乙的次成绩的中位数． （2）解：由（1）可知，，， 乙成绩变化情况的折线如下：略 （3）解：∵乙的第次命中的成绩是环，， ∴次成绩的平均数为， ∴次成绩的方差为， ∵， ∴选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会变小． （4）解：略 【对点训练】35．（2026·辽宁·中考真题）某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用打印技术制造．现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末（打印原料）可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一： 每桶打印合格产品数（单位：个） 甲：48，51，48，51，48，50，51，50，51，52 乙：45，49，46，56，45，49，54，48，49，59 信息二：    信息三： 每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 乙 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数的值； (2)求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数的值； (3)若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌？说明理由． 【答案】(1)50 (2)49 (3)解：工厂的质检部门会推荐甲品牌，理由如下： 甲、乙的平均数都为，而甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 故工厂的质检部门会推荐甲品牌． 【分析】（1）根据平均数求解公式列式求解即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）根据平均数和方差的意义分析判断，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：将乙按从小到大的顺序排列为：45，45，46，48，49，49， 49，54，56，59， 其中第五位与第六位数是49，49， 中位数； （3）略 【对点训练】36．（25-26八年级下·福建福州·期末）某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 轮次 1 2 3 4 5 6 7 8 A 9 9 10 10 9 7 6 8 B 10 8 8 9 10 9 8 10 　　　　　　    　图1 【数据分析】 选手 平均数 方差 众数 下四分位数 中位数 上四分位数 A 8.5 1.75 ② ③ ④ 9.5 B ① 0.75 10 8 9 ⑤ (1)小明利用平均数、方差、众数（如图1）进行分析，①处应填_______环，②处应填_______环；小颗利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析，③处应填_______环，④处应填_______环，⑤处应填_______环． (2)如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，需要从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁参赛？说明理由． 【答案】(1)①9；②9；③；④9；⑤10 (2)解：选B参赛．理由如下： A的射击比赛成绩的平均数为，方差为， B的射击比赛成绩的平均数为，方差为， B的射击比赛成绩的平均数明显高于A的，说明B的射击比赛成绩好于A的， B的射击比赛成绩的方差明显低于A的，说明B的射击比赛成绩波动小，发挥更稳定， 所以选B参赛． 【分析】（1）根据平均数、方差、众数以及四分位数的计算方法求解即可； （2）从平均数和方差的角度考虑即可求解． 【详解】（1）解：①B的成绩：10，8，8，9，10，9，8，10， 平均数是， ②A的成绩：6，7，8，9，9，9，10，10， 数据9出现了三次，次数最多，众数是9， ③方法一：位置计算：， 下四分位数取第2、3个数的平均数：， 方法二：中位数：第4、5个数的平均数：， 前四个数为6，7，8，9， 则下四分位数为； ④A的中位数取第4、5个数的平均数：， ⑤B的成绩重新排序：8，8，8，9，9，10，10，10， 方法一：位置计算：， 上四分位数取第6、7个数的平均数：； 方法二：中位数：第4、5个数的平均数：， 后四个数为9，10，10，10， 则上四分位数为； （2）略 易错点13 离差平方和及其应用 易错提醒 求解离差平方和时，易混淆数据与平均数的离差，出现正负号书写错误。常遗漏平方运算，或重复计算、漏算个别数据离差。很多学生将离差平方和与方差公式混淆，误多除以数据个数。应用解题时，不会利用其非负性分析数据波动，计算粗心、代入数据出错，导致结果错误。 【对点训练】37．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】6 【分析】已知每个数据与平均数的差，根据离差平方和的定义直接计算即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为，由题意可得，，． 离差平方和是所有数据离差的平方之和， 这组数据的离差平方和为：． 【对点训练】38．（25-26八年级下·青海西宁·期末）某中学八年级学生开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，小明将抽样调查的成绩分成两组进行分析，并计算了组内离差平方和，其中第7组至第10组的组内离差平方和如下表，则这四种分法中，第________组分法的组内成绩数据波动最小，两组之间数据差异最大．（填写“7”或“8”或“9”或“10”） 组序 … 7 8 9 10 … 组内离差平方和 … 136.945 125.792 124.182 132.000 … 【答案】9 【分析】组内离差平方和越小，组内成绩数据波动越小；总离差平方和固定时，组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，两组数据差异越大，只需比较四个组的组内离差平方和的大小即可得到结果． 【详解】解：根据数据波动与离差平方和的关系，组内离差平方和越小，组内数据波动越小， ∵总离差平方和为定值，组间离差平方和等于总离差平方和减去组内离差平方和， ∴组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，两组之间数据差异越大， 比较四个组的组内离差平方和，得， ∴第9组的组内离差平方和最小，符合要求． 【对点训练】39．（25-26八年级下·陕西西安·期末）为了解八年级学生在跳绳方面的水平状况，改进体育教学，某校从八年级随机抽取了若干位同学进行跳绳测评，下面是对八年级（1）班抽取的10位同学1分钟跳绳次数（单位：次）的分析过程； 【收集与整理】将10位同学的1分钟跳绳次数四六分组，统计如下： 分组方式 组别 次数 方式一 I组 120，130，135，135 II组 135，140，140，140，150，165 方式二 甲组 120，130，135，135，135，140 乙组 140，140，150，165 【描述与分析】各组数据统计量分析表： 分组方式 组别 平均数 中位数 众数 离差平方和 组内离差平方和 方式一 I组 130 150 II组 140 140 600 方式二 甲组 135 乙组 145 140 根据以上信息，解答下面问题： (1)填空：上表中， ， ； (2)计算表中的值；（要求写出计算过程） (3)【判断与决策】为方便教学，需要按照组内离差平方和最小原则进行分组．请通过计算选择你认为合适的分组方式． 【答案】(1)； (2)由表格可得，； (3)方式二的分组更合适； 由题意得，方式一的组内离差平方和：， ∵， ∴方式二的分组更合适． 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）先算出方式一的组内离差平方和，再结合题意选择即可． 【详解】（1）解：由表格可得，，； （2）略 （3）略 易错点14 用样本所占百分比推测总体的数量 【对点训练】40．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）在丰富学生15分钟课间活动、落实健康学校建设理念的同时，也为了更好地对接中考体育球类测试项目，了解某校九年级20个班级学生喜欢球类活动的情况，体育老师抽取了100名九年级学生进行问卷调查，了解学生对足球、篮球、排球三种球的喜爱情况．（每位学生必选且只能选一种喜欢的球）． (1)下面的抽样方法中，__________更具代表性． A．从九年级20个班中选择三个班，在其中随机抽取100名学生 B．从九年级所有女生中随机抽取100名学生 C．从九年级所有学生中随机抽取100名学生 (2)对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表： 调查结果统计表 球类 足球 篮球 排球 合计 人数 20 48 100 请根据上述信息，解答下列问题． ①统计表中________，扇形统计图中_______，表示“足球”的扇形的圆心角是_______度； ②若该校九年级有900名学生，估计最喜欢篮球的有多少人？ ③根据上述调查情况，写一条合理的建议． 【答案】(1)C (2)①32，48，； ②288；③喜欢排球的学生人数较多，可以多开展排球课外活动． 【分析】（1）根据样本的代表性可得答案； （2）①由总人数减去喜欢足球与排球的人数可得a的值，由喜欢排球的人数除以总人数可得n的值，由喜欢足球的百分比乘以360度可得答案； ②用九年级人数乘以喜欢篮球的比例即可． ③喜欢排球的学生人数较多提出相关建议即可． 【详解】（1）解：C的抽取范围更全面，更具代表性； （2）解：①由题意可得：， ，即． ，即表示“足球”的扇形的圆心角是． ②（人） 答：若该校九年级有900名学生，估计最喜欢篮球的有288人． ③略 【对点训练】41．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，营造校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动．数学课外小组针对学生的阅读打卡积分进行了调查，分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据： A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图）： B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10 数学课外小组对所抽取学生积分进行了整理与分析，并汇总得到了如下所示的相关数据： A班 B班 平均数 中位数 8 众数 8 方差 0.84 根据以上信息，解答下列问题． (1)补全以上样本数据的条形统计图和统计表； (2)若9分及9分以上为班级“阅读小达人”．已知B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？ (3)为了让更多学生坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明哪个班应该得奖．（写出两条理由即可） 【答案】(1)补全条形统计图如图所示： 补全统计表如下： A班 B班 平均数 中位数 8 众数 8 方差 0.84 (2) (3)解：B班阅读氛围更好．理由：B班的平均分、中位数都高于A班，且方差更小说明成绩更稳定． 【详解】（1）解：根据统计图可得，获得10分的学生人数为（人）， 补全条形统计图略． A班学生的积分平均数为； A班学生的积分分出现次数最多，故众数为； A班学生的积分的方差为； B班学生的积分平均数为； B班学生的积分从小到大的第5名和第6名成绩分别为8和9，故中位数为； 补全统计表略； （2）解：B班的“阅读小达人”人数为（名）． （3）略 【对点训练】42．（25-26七年级下·北京密云·期末）某工程公司为选拔高级测绘技术员，按照“核心岗位技能选拔标准”组织考核．考核分为理论笔试与实地测绘，两项满分均为分，两项成绩之和为考核总成绩，总成绩高于分为“优秀”等级．为了解本次考核的整体水平，公司从总成绩与分项成绩两方面进行数据统计与分析． (1)随机抽取名技术员的总成绩数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 总成绩 频数 频率 1 总计 根据以上信息，完成以下问题： ①表中_________，_________，_________； ②补全频数分布直方图； ③若此次考核共有名技术员参加，根据上面的统计结果，估计此次技能考核中成绩为“优秀”等级的技术员约有_________人． (2)随机抽取名技术员理论笔试与实地测绘的分项成绩数据，绘制统计图（如图）．若记理论笔试成绩不低于实地测绘成绩的人数为，其余人数记为，则________（填“>”“=”“<”）． 【答案】(1)①，，； ②频数分布直方图如图所示： ③ (2) 【分析】（1）①根据频数率频率数总数，分别求出、、的值即可； ②根据①中的值，补全频数分布直方图即可； ③用乘以“优秀”等级所占比例即可得出答案； （2）如图，连接，根据统计图的横轴与纵轴表示的意义得出上的点表示理论笔试成绩与实地测绘成绩相同，根据下方及线上的点的数量小于上方的点的数量即可得出． 【详解】（1）解：①∵在组中，频数为，频率为， ∴（名）， ∵在组中，频率为， ∴（名）， ∵在组中，频数为， ∴． ②补全频数分布直方图如图所示：略 ③由统计表可知，抽取的名技术员的总成绩高于分的有（名）， ∴名技术员中，成绩为“优秀”等级的技术员约有（人）． （2）解：如图，连接， 由统计图的横轴与纵轴表示的意义可知，上的点表示理论笔试成绩与实地测绘成绩相同，下方的点表示理论笔试成绩大于实地测绘成绩， ∵下方及线上的点的数量小于上方的点的数量， ∴． 易错点15 数据分析与统计估计大题常考 【对点训练】43．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在今年端午节来临之际，我县某初中学校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动比赛，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制如下统计图表，部分信息如下： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数/名 1 2 a b 2 根据以上信息，解答下列问题： (1)样本中，七年级实践活动成绩为7分的学生有___________名，七年级实践活动成绩的众数为___________分； (2)已知八年级10名学生活动成绩的中位数为分，则___________，___________； (3)若该校八年级共有600名学生，根据此次活动估计该校八年级将有多少名学生获得满分． 【答案】(1)， (2)， (3)名 【分析】（1）根据题意，得出七年级实践活动成绩为7分的学生有（名），然后根据众数的定义即可求得众数； （2）根据中位数的定义，将八年级的活动成绩从低到高排列，那么其中位数应是第个和第6个数据的平均数，结合已知条件易得第5个和第6个数据分别为8分，9分，再根据表格中数据即可求得答案； （3）利用样本估计总体即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，样本中，七年级实践活动成绩为7分的学生有（名）． 七年级实践活动成绩中分出现的次数最多（占比最大）， 七年级实践活动成绩的众数为分． （2）解：将八年级的活动成绩从低到高排列后，它的中位数应是第5个和第6个数据的平均数， 又∵八年级10名学生活动成绩的中位数为分，且成绩均为不低于6的整数， ∴第5个和第6个数据的和为（分）， ∴第5个和第6个数据分别为8分，9分． ∵成绩为6分和7分的人数为（名）， ∴成绩为8分的人数为（名），成绩为9分的人数为（名）， 即，． （3）解：由题意得，（名）． 答：估计该校八年级将有名学生获得满分． 【对点训练】44．（25-26八年级下·河北唐山·期末）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，实验中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 87 90 (1)上述表中，__________，__________，并补全箱线图； (2)由箱线图可知八年级所抽取学生的下四分位数是__________； (3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； (4)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图进行说明． 【答案】(1)，； (2) (3)300人； (4)八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均数和众数高于七年级，从箱线图看，八年级中间的学生成绩高于90分，所以八年级的学生成绩更好 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出a，b，然后补全箱线图即可； （2）根据下四分位数的定义求解即可； （3）用600乘以成绩超过90分的人数所占的比例即可得解； （4）根据平均数、中位数以及众数的意义分析即可． 【详解】（1）解：七年级所抽取学生的中位数； ∵93出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 补全七年级的箱线图如图； （2）解：由箱线图可知，八年级所抽取学生的下四分位数是； （3）解：八年级随机抽取的12名学生中90分以上的有6人，（人）， 答：估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人； （4）略 【对点训练】45．（25-26八年级下·河北保定·期末）为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛．从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用x表示，共分四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩（单位：分）：． 七、八两年级各名学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的年级去县里参加团体赛，请问选________年级更合适（填“七”或“八”）； (2)上述图表中：中位数________，第一四分位数________； (3)若该校七年级有人，八年级有人参加本次知识竞赛，且规定不低于分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】(1)八 (2)； (3)估计该校七、八年级成绩优秀的学生总人数为人． 【分析】（1）在平均数相同的情况下，方差小的成绩稳定，即选八年级更合适． （2）根据中位数和第一四分位数的定义分别计算即可． （3）分别计算两年级成绩为优秀的百分比，再分别乘以各自总人数即可． 【详解】（1）解：∵在七、八两年级平均数均为的情况下，七年级的方差大于八年级的方差， ∴八年级成绩稳定， 故选八年级更合适． （2）解：∵八年级名学生的竞赛成绩从小到大排列为（单位：分）：， ∴八年级成绩的中位数为第十位和第十一位成绩的平均值，即，第一四分位数为第五位和第六位成绩的平均值，即． （3）解：由题意可得七年级名学生在A等级的百分比为：， ∵八年级名学生不低于分的成绩有五人， ∴其所占百分比为：， ∴七年级人中成绩为优秀的人数约为（人），八年级人中成绩为优秀的人数约为（人）， ∴该校七、八年级成绩优秀的学生总人数为人． 1．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图为某地区2026年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（    ） A．该地区3月有重度污染天气 B．该地区3月的值比2月集中 C．该地区3月的值中位数大于2月值的中位数 D．整体看，该地区2月的空气质量好于3月 【答案】B 【分析】通过观察箱线图的特征，结合的定义，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项，从箱线图中可见月有值在之间， ∵值在之间说明重度污染， ∴该地区年月有重度污染天气，故选项说法正确． 选项，观察箱线图，月的箱形更窄，数据更集中，月的箱形更宽，数据更分散， ∴该地区年月的值不如月集中，故选项说法错误． 选项，从箱线图中可看出月值的中位数对应的位置高于月， ∴该地区年月的值中位数大于月值的中位数，故C选项说法正确． 选项，∵值越小，空气质量越好，月的值整体小于月， ∴整体看，该地区月的空气质量好于月，故选项说法正确． 2．（25-26八年级下·河北保定·期末）一次数学趣味知识竞赛后，马老师根据甲、乙、丙三个班级学生得分情况，绘制了对应的箱线图．根据该图判断下列说法正确的是（     ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数低于甲班学生得分的中位数 D．若每班有40个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，丙班分数最高 【答案】D 【分析】根据箱线图的特征，分析各班级的中位数、极差、数据离散程度（方差）以及四分位数的位置进行判断． 【详解】解：由箱线图可知： 对于A，甲班箱体及须的长度最短，数据分布最集中，方差应最小，故A错误； 对于B，乙班最大值与最小值的差（极差）最大，说明学生得分两极分化最明显，故B错误； 对于C，丙班箱体中间的横线（中位数）位置最高，甲班最低，即丙班中位数高于甲班，故C错误； 对于D，每班40人，，按成绩从高到低排列，前10名位于上四分位数（箱体上沿）以上，第11名成绩接近；观察图形，丙班的最高（接近90分），甲、乙班较低，故丙班第11名成绩最高，故D正确． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组， 则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170， ， 乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195， 乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 4．（2026·河北邯郸·模拟预测）某校为了解学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取若干名学生进行调查，将每周阅读时间x（小时）分成五组，分组情况如下：A：，B：，C：，D：，E：，并将获得的数据整理后绘制成不完整的统计图，如图，下列说法正确的是（    ） A．中位数落在C组 B．众数落在B组 C．平均数落在B组 D．无法确定中位数、平均数、众数落在哪一组 【答案】D 【分析】根据中位数，众数，平均数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、由图可得调查总人数为（人）， ∴A组人数为（人），中位数是从小到大排列后的第25个和第26个数据的平均数， ∴A组和B组人数一共为（人）， ∴第25个数据为B组的最后一个，则第26个数据是C组第一个， ∴当第25个数是3，第26个数是4时，中位数为，则在B组； 当第25个数是3，第26个数是5时，中位数为，则在C组； ∴中位数不能确定在哪一组，故选项不符合题意； B、由题意得，D组人数为（人）， ∴可得B组人数最多，但这只表示每周阅读时间在范围内的人数最多， ∵不知道每组内数据的具体分布情况， ∴无法确定具体的众数，即无法确定众数落在哪一组，故选项不符合题意； C、∵E组数据范围为， ∴当E组数据都为8时，平均数为，则落在C组； 当E组数据都为15时，平均数为，则落在D组； ∴平均数不能确定在哪一组，故选项不符合题意； D、综上所述，中位数，众数，平均数所在组均无法确定，故选项符合题意． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，再根据箱线图的相关定义依次判断即可． 【详解】解：选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（第一四分位数），因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误． 6．（25-26八年级上·江西抚州·期末）若一组数据6，x，10，12，24，2的平均数为10，则这组数据的上四分位数是_______． 【答案】12 【分析】本题考查了上四分位数，平均数．先根据平均数为10求出x的值，再将数据从小到大排序，最后求上四分位数，即可作答． 【详解】解：∵数据6，x，10，12，24，2的平均数为10， 则， ∴． 则数据为6，6，10，12，24，2，按从小到大的排序后为2，6，6，10，12，24． 数据个数为， 依题意，， ∵不是整数， ∴向上取整数，即为5， 故这组数据的上四分位数是排序后数据中的第5个数，即12， 故答案为：12 7．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了，经重新计算，全班平均分是91.7分，五一班有学生_______人． 【答案】 【分析】本题考查平均数，用“”求出少算的分数，因为前后平均分相差分，根据“少算的分数前后平均分相差的分数这个班的人数”解答即可． 【详解】解： (人)， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）求一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，则该组数据的方差___________． 【答案】 【分析】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差的定义及其计算公式． 先由方差计算公式得出这组数据为，再根据算术平均数计算公式计算出这组数据的平均数，然后代入方差公式计算即可． 【详解】解：由方差计算公式可得，这组数据为， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在从小到大排列的五个数x，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则加入的这个数为_____，x的值为_____． 【答案】 6 1 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和平均数，原来五个数的中位数是6，如果再加入一个数，变成了偶数个数，则中位数是中间两位数的平均数，由此可知加入的一个数是6，再根据平均数的公式得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：从小到大排列的五个数x，3，6，8，12的中位数是6， ∵再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等， ∴加入的一个数是6， ∵这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等， ∴ 解得． 故答案为：6，1． 10．（2025·北京海淀·模拟预测）为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如表： 每周课外阅读时间x（小时）                          合计 频数 8 17 b 15 a 频率           c      1 表中组的频数b满足．下面有四个推断： ①表中a的值为100； ②表中c的值可以为； ③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在之间； ④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6． 所有合理推断的序号是______． 【答案】①② 【分析】本题考查频数(率)分布表，中位数，从表中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键．①根据数据总和频数频率，列式计算可求a的值；②根据组的频数b满足，可求的频率范围，进一步得到c的值的范围，从而求解；③根据中位数的定义即可求解；④根据加权平均数的计算公式即可求解． 【详解】解：①． 故表中a的值为100，是合理推断； ②， ， ， ， 故表中c的值为，表中c的值可以为，是合理推断； ③∵表中组的频数b满足． ∴，， ∴这100名学生每周课外阅读时间的中位数可能在之间，也可能在之间，故此推断不是合理推断； ④这a名学生每周课外阅读时间的平均数可以超过6，故此推断不是合理推断． 故答案为：①②． 11．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）某景区有甲、乙两条上山的小路，均由连续的台阶构成，如图所示是甲、乙两路段部分台阶示意图（图中数据表示每一级台阶的高度，单位：） (1)分别求出两段台阶高度的中位数； (2)嘉淇计算了甲路段台阶高度的方差，请参照如下她的计算方法，计算乙路段台阶高度的方差，并分析哪段台阶路走起来更舒服？为什么？ 嘉淇的计算 解： 【答案】(1)甲路段台阶中位数为15厘米，乙路段台阶中位数为16厘米 (2)乙方差为，甲路段的台阶走起来更舒服一些， 理由： ， ， ， 甲路段台阶高度的数据分布比较集中，偏离平均数较小即波动较小，比较稳定， 甲路段的台阶走起来更舒服一些． 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）先求出乙路段高度的平均数，进而求出乙路段高度的方差，再与甲路段高度的方差比较即可得到结论． 【详解】（1）解：将甲路段台阶的高度从小到大进行排序为14，14，15,15,16,16，排在中间的两个数为15，15， 甲路段台阶高度的中位数为， 将乙路段台阶的高度从小到大进行排序为10，11，15，17，18,19，排在中间的两个数为15，17， 乙路段台阶高度的中位数为； （2）略 12．（2025·河北衡水·模拟预测）为增强学生垃圾分类意识，某校从七、八年级各随机抽取了名学生进行相关测试，将测试成绩分（为整数）分为五个等级：A：，B：，C：，D：，E：，并绘制成如图的统计图． (1)八年级被抽取学生测试成绩中位数为，则一定落在_____等级中，C等级的共有_____名学生； (2)比较两个年级成绩在分以下（不含分）的百分比的大小，并根据比较结果给出一条合理的建议； (3)请说明七年级被抽取学生的测试成绩中会有众数吗？ 【答案】(1)D， (2)七年级分以下的学生占比较多，应加强垃圾分类知识的学习 (3)七年级抽取的测试成绩中会有众数，理由如下： ∵C：，为整数， ∴C等级中的数据有、、、、共种可能， ∵七年级成绩在C等级的有人， ∴C等级中必有重复的数据， ∴七年级抽取学生的测试成绩中会有众数． 【分析】（1）先求出八年级D、E两个等级的人数，再根据中位数的定义判断即可； （2）分别求出两个年级成绩在分以下的百分比，比较后，给出建议即可； （3）根据C等级中的数据有、、、、共种可能，C等级中有人，可得C等级中必有重复的数据，即可得出答案． 【详解】（1）解：由扇形统计图可知， 八年级D、E两个等级的人数分别为（人），（人）， ∴八年级被抽取学生测试成绩从高到低排列，第个数据在D等级中， ∴中位数一定落在D等级中， ∵C等级在扇形统计图中所占百分比为， ∴C等级的共有名学生． （2）解：由扇形统计图可知，八年级成绩在分以下的百分比为， 由条形统计图可知，七年级成绩在分以下的百分比为， ∵， ∴七年级分以下的学生占比较多，应加强垃圾分类知识的学习． （3）解：略 13．（25-26八年级下·河北保定·期末）某区举办科普知识竞赛．从甲、乙两校学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．＜；B．＜；C．＜；D．），下面给出部分信息： 乙校名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲、乙两校名学生成绩统计表 学校 甲校 乙校 平均数 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选________校更合适（填“甲”或“乙”）； (2)图表中：中位数________，第一四分位数________； (3)该区甲校有学生人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 【答案】(1)乙 (2)； (3)人 【分析】（1）根据方差的意义求解即可； （2）根据中位数与第一四分位数的定义计算即可； （3）总人数乘样本中不低于90分的学生人数所占比例即可． 【详解】（1）解：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定；方差越大，数据的波动越大，成绩越不稳定， ∵134.7， 所以乙校的成绩更稳定； （2）解：乙校20名学生的成绩已经按从小到大的顺序排列： 63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99， 样本容量，是偶数， 中位数是排序后第10个数据和第11个数据的平均数， 第10个数据是82，第11个数据是84， 计算：， 方法1：第一四分位数是将数据分为前半部分和后半部分后，前半部分数据的中位数， 前半部分数据为前10个数据：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82， 这10个数据的中位数是第5个数据和第6个数据的平均数， 第5个数据是72，第6个数据是72， 计算：； 方法2：∵，是整数， ∴第一四分位数是第5和第6个数据的平均数，即为； （3）解：根据扇形统计图可知，甲校样本中成绩不低于90分（A组）的学生占比为， 利用样本估计总体，该区甲校成绩不低于90分的学生人数约为： （人）， 答：估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有336人． 14．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）我校七年级一共有600名学生，团委准备调查他们对“国际马拉松赛”活动的了解程度． (1)在确定调查方式时，团委设计了以下三种方案：方案一：调查七年级部分女生；方案二：调查七年级部分男生；方案三：到七年级每个班去随机调查一定数量的学生． 请问其中最具代表性的一个方案是__________； (2)团委采用了最具代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，求该校抽样调查的学生人数为多少人？并将条形统计图补充完整． (3)在扇形统计图中，请计算了解一点所占扇形的圆心角是多少度？ (4)请你估计七年级约有多少学生不了解“国际马拉松赛”活动． 【答案】(1)方案三 (2)人， (3)72度 (4)60名 【分析】（1）根据方案的特征进行分析求解即可； （2）用总人数减去其余三类人数得到 “比较了解” 人数，即可补全条形． （3）该类人数÷抽样总数，代入 “了解一点” 数据直接计算即可； （4）用总体人数 ד不了解” 样本占比，估算七年级对应人数即可． 【详解】（1）解：方案一只调查女生、方案二只调查男生，样本有性别偏向，不具有七年级代表性； 方案三在每个班随机抽学生，抽样均匀、覆盖全体七年级学生，最具代表性． （2）解：被调查的总人数为（人）， 则比较了解的人数为， 补全图形略； （3）解：， 答：了解一点所占扇形的圆心角是72度； （4）解：（人）， 答：估计七年级约有60名学生不了解“国际马拉松赛”活动． 15．（24-25八年级下·浙江温州·期中）某区举办科普知识竞赛，从甲、乙两校学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 乙校20名学生的竞赛成绩：63，63，65，71；72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98；99． 甲、乙两校20名学生成绩统计表 学校 甲校 乙校 平均数 82 82 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选______校更合适（填“甲”或“乙”）； (2)上述图表中：中位数______，下四分位数______； (3)该区甲校有学生1120人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 【答案】(1)乙 (2)83；72 (3)人 【分析】（1）方差越小，成绩越稳定，据此可得答案； （2）根据中位数和下四分位数的定义可得答案； （3）用1120乘以甲校样本中参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴甲校的方差大于乙校的方差， ∴乙的成绩更加稳定， ∴选乙校更合适； （2）解：由题意得，， （3）解：人， 答：估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有人． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $