3.1 列代数式表示数量关系-【随堂笔记】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

3.1列代数式表示数量关系 课前·预习笔记 预 1,能用字母表示一些简单问题中的数量关系和变化规律 习 ·2.了解代数式的概念，能用代数式表示简单问题中的数量关系.重点@ 目 标 !3.在具体情境中，能求出代数式的值，并解释它的实际意义。 能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，建立符号意识. 第步 明确考情 11.考频：5年3考 12.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第三步梳理知识 :1,用字母代替数使我们的表达从一个具体问题推广到一类问题，更具有一般性 2.式子5t, 5,450m-720,子，4如，心，它们都是用运算符号把数或表示数的立 预 母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 习3.两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定， 任 1 这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系， 务 第三步预习检测 1.我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予3a实际 意义的例子中不正确的是() A.若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买α千克葡萄花费的总金额 B.若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长 C.若一层楼高3米，则3a表示a层楼的高度 D.若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数 2.用代数式表示“x的2倍与3的差”为（) A.3-2x B.2x-3 C.2(x-3) D.2(3-x) 3.一辆汽车的速度是vkm/h,t小时行驶 km. 4.半径为rcm的圆的周长是 cm,面积是 cm2. 第三章 代数式 71 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1>》用字母表示数 举一反三》参考答案见答案册PI1 1.用字母表示数：用字母代替数使我们的表达从一个具体问题 1-1某商品原价为a元，以 推广到一类问题，更具有一般性 (0-5)元出售，则下列说 摩注意事项：（1)用字母可以表示任意数或式子. 法中，能正确表示该商品出 (2)同一问题中，不同的量要用不同的字母表示. 2.书写规范 售价格的是() A.先打3折，再降5元 (1)在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将数放在字母 B.先打7折，再降5元 前，乘号写作“·”或省略不写. C.先降5元，再打3折 (2)除法运算一般用分数的形式表示.例如1+a写成】 D.先降5元，再打7折 (3)字母与数相乘时，通常把数写在字母的前面.例如5a 1-2一个两位数，个位上的 (4)字母前面的数是分数的，如果既能写成带分数，又能写 数字为m,十位上的数字为n, 如果在它们之间添上一个0， 成假分数，一般写成很分数的形式。刻1写成 就得到一个三位数，用代数式 区拓展提升 表示这个三位数为(） 在现实生活中，有的量用数表示，有的量用字母 A.10n +m B.100n+m 表示，字母和数一样可以参与运算，用含有字母的式子也能 C.nm D.100m+n 把数量关系简明地表示出来。 1-3用含有字母的式子表示 下列数量关系： 例1[衔接教材P71练习]用含有字母的式子表示下列数量关系： )比a的子大5的数是 (1)某商品的利润为a元，利润率为10%，此商品进价为 元； (2)与b的和是100的数是 (2)一个两位数，它的十位数为x,个位数字比十位数字大3， 则这个两位数为 (3)自来水每立方米m元， 【解析】(1)由“进价×利润率=利润”可知，此商品的进价为 电每千瓦时n元，小丽家本月 a÷10%=10a(元)；(2)这个两位数的个位数字为x+3,所 用水8立方米、用电100千瓦 以这个两位数为10x+x+3=11x+3. 时，应缴水电费元。 【答案】(1)10a;(2)11x+3. ☆方法点拨 用字母表示实际问题中的数量关系时，先弄清题意，抓住 关键性词语，再根据题意列式子， 72 随堂笔记7年级数学RJ上册 知识点2>代数式的概念及意义 举一反三●》参考答案见答案册P11 1.式子5，兮450m-720,子，4，d,它们都是用运算符号把 2-1已知下列各式：S= 2h,a,-2,a+b,a+b= 数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代 数式 ·单独的一个最或一个字母也是代裁式 6+a,2≥0，之，其中属于 产注意事项：(1)运算符号可以是加、减、乘、除、乘方 还有今后要学习的开方.(2)代数式中不能含有”=“ 代数式的共有() ”≤” A.3个 B.4个 “≥” “>”，也就是说等式和不等式都不是 C.5个 D.6个 代数式，如x+y=2,a≤3b都不是代数式 2.用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的 3-1请分析下列赋予4a实 数量或数量关系 际意义的例子中不正确的是 () 例2[教材P70例题](1)苹果原价是p元/kg,现在按九折优 A.若一个两位数中的十位数 惠出售，用代数式表示苹果的售价； 字是4，个位数字是a,则 (2)一个长方形的长是0.9m,宽是pm,用代数式表示这个 4a表示这个两位数 长方形的面积； B.若一个正方形的边长为a, (3)某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍 则4a表示这个正方形的周长 少10件，用代数式表示去年的产量； C.在数学活动中，老师把学 (4)一个长方体水池底面的长和宽都是am,高是hm,池内水的 生分为4组，每组a人， 体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积 则4a表示参加活动的学生 【答案】解：(1)苹果的售价是0.9p元/kg; 总人数 (2)这个长方形的面积是0.9pm; D.若葡萄的价格是4元/千 (3)去年的产量是（2n-10)件； 克，则4a表示买a千克葡 (4)由长方体的体积=长×宽×高，得这个长方体水池的容积 萄花费的总金额 是a·a·hm,即ahm,故池内水的体积为写ahm。 例3[教材71例题]说出下列代数式的意义： (1)2a+3;(2)2(a+3);(3)6(4)2+2x+8. 【答案】解：(1)2a+3的意义是a的2倍与3的和； (2)2(a+3)的意义是a与3的和的2倍； (3)品的意义是c除以a,b的积的商： (4)x2+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和. 女方法点拔 描述一个代数式的意义的三种途径：（1)从代数式本身出 发来描述字母之间的数量关系；(2)联系生活实际赋予字 母一定的实际意义；(3)联系几何背景赋予字母一定的几 何意义 第三章代数式73 知识点3>列代数式 举一反三》>参考答案见答案册P2 1.列代数式：在解决一些数学问题与实际问题时， 往往需要先4-1某地居民生活用水收费 把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示 标准：每月用水量不超过17 出来，也就是要列代数式. 立方米，每立方米a元；超 2.用字母表示数，字母可以和数一样参与运算，从而可以用代 过部分每立方米（a+1.2) 数式把数量或数量关系简明地表示出来，更具有一般性. 元.该地区某用户上月用水 例41[教材P72例题]用代数式表示： 量为20立方米，则应缴水费 (1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需 为() 的钱数.总钱裁=2个面包的总价+3瓶饮料的总价 A.20a元 (2)把a元钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%，到期时 B.(20a+24)元 的利息是多少元？利息=本金年利率×存期 C.(17a+3.6)元 (3)某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80 D.(20a+3.6)元 元出售，现在的售价是多少元？现在的售价=原来的标价一降价裁 5-1轮船的静水速度为50千 【答案】解：（1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b 米/时，水速为a千米/时，轮 元的饮料所需的钱数为(2a+3b)元. 船顺水行驶3小时与逆水行驶 (2)根据题意，得a×2.75%×3=8.25%a,因此到期时的利 2小时的行程差是() 息为8.25%a元 A.(50+a)千米 (3)现在的售价为（1.1x-80)元. B.(50-a)千米 例51[教材P72例题]甲、乙两地之间公路全长240km,汽车 C.(50-5a)千米 从甲地开往乙地，行驶速度为。k如1时间一蒸餐 D.(50+5a)千米 (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加3km/h,那么汽车从甲地到乙地 需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 【答案】解：(1)汽车从甲地到乙地需要行驶40h (2)如果汽车的行驶速度增加3km/h,那么汽车从甲地到乙 地需要行骏智.汽车加快速度后可以早到(240-2 v+3 )h. 女方法点拔 列代数式常用的方法：（1)认真审题，将问题中表示数量 关系的词语正确地转换为对应的运算.和、差、积、商、 增加、扩大、缩小、倍、比、除以等都是表示数量关系的 常用词语. (2)注意题目的语言叙述所表示的运算顺序，一般“先 读先算” (3)在复杂的问题中，要明确题意中数量关系的运算顺 序，正确使用表明运算顺序的括号，分出层次，逐步列出 代数式. 74 随堂笔记7年级数学RJ上册 知识点4>反比例 举一反三》>参考答案见答案册P2 1.两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这 6-1下面每组的两个量中， 两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之 成反比例的量是() 间的关系叫作反比例关系， A.汽车行驶的速度一定，行 2.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积 驶的时间和距离 (飞是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用y=k来 B.长方形的周长一定，长和宽 表示. C.练习本的单价一定，购买 注意事项：正比例关系与反比例关系的异同 的本数和总价 相同点：(1)两种关系中都有两个变量，一个定量.(2)在 D.圆柱的体积一定，它的底 两个变量中，当一个量变化时，另一个变量也随着变化 面积和高 不同点：（1)正比例关系变化的方向相同，反比例关系变化的 6-2给一间房子铺地砖，每 方向相反.(2)正比例关系相对应的两个变量的商一定，反比例 块地砖的面积和所需地砖的 关系相对应的两个变量的积一定，(3)正比例关系的关系式为义= 数量如下： k(k≠0)，反比例关系的关系式为y=k(k≠0) 每块地砖 所需地砖 例6[教材P74例题]如图，四个圆柱形容器内部的底面积分 的面积/m2数量/块 别为10cm2,20cm2,30cm2,60cm2.分别往这四个容器中 0.2 300 注入300cm的水. 0.3 200 (1)四个容器中水的高度分别是多少厘米？ 0.4 150 (2)分别用x（单位：cm)和y(单位：cm)表示容器内部 0.6 100 0.8 75 的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什 … 么比例关系？ 题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量 (1)每块地砖的面积和所需 它们之间具有关系：圆柱的体积三 地砖的数量有什么关系？ 底面积×高。高=圆柱的体积 (2)若每块地砖的面积是0.5 底面积 平方米，需要多少块地砖？ 【答案】解：()四个容器中水的高度分别为0 =30(cm), 9=15(em.0=10(cm.0=5(em. (2)y=300.y与x成反比例关系. 课本练习[教材1,3,75练习] 1.填空题 答案 (1)每包书有10册，6包书有 册，n包书有 册； 1.(1)60 10n (2)王芳今年m岁，她去年 岁，6年后 岁； (2)(m-1) (m+6) (3)将pkg糖装入n个包装袋中，每袋糖的质量相同，每 (3) n 袋装入糖kg; (4)a3 (4)棱长为a的正方体的体积是 第三章代数式75 2.说出下列代数式的意义： 2.(1)a的2倍与c的3倍的和； (1)2a+3c; (2)3(m-n); (3)a2+1; (2)m与n的差的3倍； (3)a的平方与1的和； 3.代数式100-2x可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请 (4)a的3倍与b的5倍的商. 举例说明. 3.答案不唯一，例如：100-2x 4.用代数式表示： 可以表示用100元买2袋单价 为x元的大米后剩余的钱数， (1)比a的2倍大1的数； 4.(1)2a+1; (2)a的相反数与b的一半的差； (2) -a-2 (3)a的平方除以b的商 5.某种商品每袋4.8元，一个月内销售了m袋.用代数式表示这 3) b 个月内销售这种商品的收入 5.4.8m元 6.有两块棉田，一块面积为mhm2(公顷，1hm2=10m2),平均 6.(ma+nb)kg. 7.(a2-b2)mm2, 每公顷产棉花akg;另一块面积为nhm,平均每公顷产棉花 8.成反比例关系.因为汽车行驶 bkg.用代数式表示两块棉田的棉花总产量 的平均速度与时间的乘积是一 7.在一个大正方形铁皮中挖去一个小正方形铁皮，大正方形的边 个定值，所以平均速度与时间 长是amm.小正方形的边长是bmm.用代数式表示剩余铁皮 成反比例关系。 9.(1)成反比例关系.因为装箱 的面积.正方形的面积=边长×边长 数与每箱的质量的乘积是一个 8.如果汽车行驶的路程一定，那么汽车行驶的平均速度与时间是 定值 从甲地到乙地的路程一定，故平均速 否成反比例关系？为什么？度和时间的乘积一定 (2)成反比例关系.因为长方 9.判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： 体的底面积与高的乘积是一个 定值 (1)一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数 (3)不成反比例关系。因为荧 与每箱的质量；长方体的体积=底面积x高=定值 光笔的费用与中性笔的费用的 (2)长方体的体积一定，长方体的底面积与高； 乘积不是一个定值 (3)购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性 10.(1)500吨； (2)运输的天数是随着每天 笔的费用.荧光笔费用+中性笔费用=定值 运输的吨数的减小而增大的； 10.某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天 (3)at=500,t与a成反比 数之间的关系如下表表示。 例关系. 每天运输的吨数 500 250 100 50 运输的天数 2 5 10 (1)这批货物共有多少吨？500×1=250×2=100×5=50×10 乘积一定 (2)运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？ (3)用t表示运输的天数，用α表示每天运输的吨数，用式子 表示t与a的关系.t与a成什么比例关系？ 76 随堂笔记7年级数学RJ上册 课后·提升笔记 题型训练， 题型1●>》用字母表示实际问题中的数量关系 变式训陈》参考答案见答案册P12 例1某商品价格经历了两次上调，其中第二次增长率是第一次增长 1-1拿100元钱去买钢笔，买 率的一半.若第一次上调前价格为α元，第一次增长率为x,则经历 了单价为3元的钢笔n支，则剩 两次上调后的价格为 ) 下的钱为 元，最多能买 【解析】因为第一次上调前价格为α元，第一次增长率为x,且第二 这种钢笔 支 次增长率是第一次增长率的一半，所以经历一次上调后的价格为 a1+x)元，经历两次上调后的价格为a(1+x)(1+2)元 【答案】a(1+x)(1+2) 题型2●》根据题意列代数式 变式训陈》参考答案见答案册P12 例2用代数式表示： 2-1用代数式表示： (1)比x的平方的5倍少2的数可以表示为 (1)a的7倍与26的差； (2)一台电脑的进价为α元，加上40%的利润标价后再打9折 (2)x,y两数的平方和减去 出售，则这台电脑的售价为 元 两数积的2倍； 【解析】(1)x的平方的5倍表示为5x2,比它少2的数表示为 (3)a的倒数与b的和. 5x2-2.(2)这台电脑的利润为40%a元，则标价为(a+ 40%a)元，所以这台电脑的售价为0.9(a+40%a)元. 【答案】(1)5x2-2(2)0.9(a+40%a) 链接中考 考点列代数式 点的路程为 公里.（用含x的代数式 题型 难度 分值 表示) 选择题、填空题 ★★☆ 3分 【解析】由总路程-已跑的路程=离终点的路 程得，他离健康跑终点的路程为（7.5-10x) 典例[长春中考]2023长春马拉松于5月21 公里 日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5 【答案】(7.5-10x) 公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟 x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终 第三章代数式 77x=-2时，-2+7=5<10， x=5时，5+7=12>10. 所以，最后输出的结果y是12. 2.3.2科学记数法 预习检测 1.B2.B 3.B 4.1.7×10 举一反三 1-1B 2-1(1)250000000;(2)378000; (3)72500;(4)-3210000. 变式训练 1-1A1-2D 2-1獬：（1)因为3.14×108=31.4×10， 所以3.14×107<3.14×108； (2)因为7.201×1013=72.01×102， 所以8.999×102<7.201×10； (3)因为12100=1.21×104， 所以1.21×104=12100； (4)因为-1.02×100=-10.2×10°， 所以-5.64×10°>-1.02×1010 第三章 3.1列代数式表示数量关系 预习检测 1.D2.B3.t4.2mrm2 举一反三 1-1B【解析】(10a-5)元，表示该商 2.3.3 近似数 预习检测， 1.D2.C3.D 4.B 举三反三 1-1D 2-1C【解析】0.05049精确到0.1是 0.1,A选项正确；0.05049精确到百分位是 0.05,B选项正确；0.05049精确到千分位是 0.050,C选项错误；0.05049精确到0.001是 0.050,D选项正确. 2-2D【解析】根据题目中的数据和四舍 五人法可以解答本题，2.026≈2.03. 变式训练， 1-1D【解析】近似数2.30精确到百分位 应是从千分位上的数字四舍五入得到的.若千分 位上的数字大于或等于5，百分位上的数字应是 9,十分位上是2，若千分位上的数字小于5， 百分位上的数字应是0，十分位上的数字是3， 所以a的取值范围是2.295≤a<2.305: 2-1D【解析】近似数精确到哪一位，应 当看末位数字实际在哪一位.四舍五入得到的 近似数3.05×10，精确到了万位. 代数式 品出售价格的是先打7折，再降5元. 1-2B【解析】由题意可知，这个三位数 的百位上的数字为n,十位上的数字为0，个 位上的数字为m,即这个三位数是100n+m. 1-3(1)2a+5;(2)100-6;(3)(8m+ 100n). 2-1B【解析】a,-2,a+b,2属于代 数式，共4个. 3-1A【解析】若4和a分别表示一个两 位数中的十位数字和个位数字，则40+a表示 这个两位数，故A选项错误；正方形的边长为 a,则4a表示正方形的周长，故B选项正确； 在数学活动中，老师把学生分为4组，每组a人， 则4a表示参加活动的学生总人数，故C选项正 确；若葡萄的价格是4元/千克，则4a表示买a 千克葡萄花费的总金额，故D选项正确， 4-1D【解析】根据题意知，应缴水费= 17立方米的水费+(20-17)立方米的水费， 即17a+(20-17)(a+1.2)=(20a+3.6)元. 5-1D【解析】由题意可得，轮船顺水行驶 3小时与逆水行驶2小时的行程差是：(50+a)× 3-(50-a)×2=150+3a-100+2a=(5a+ 50)千米. 6-1D【解析】A.速度一定，时间和距 离成正比例；B.周长一定，长和宽不成比例； C.单价一定，本数和总价成正比例；D.圆柱 的体积一定，底面积和高成反比例， 6-2解：(1)0.2×300=60,0.3×200=60， 0.4×150=60.所以每块地砖的面积和所需地 砖的数量之积为定值，所以每块地砖的面积和 所需地砖的数量成反比例关系， (2)设需要x块，由题意得0.5x=0.2×300, 解得x=120 答：需要120块地砖. 变式训练 1-1100-3n33 2-1解：(1)a的7倍可表示为7a, 所以a的7倍与26的差可表示为7a-26. (2)x,y两数的平方和可表示为x2+y, x,y两数积的2倍可表示为2xy, 所以x,y两数的平方和减去两数积的2倍可 表示为x2+y2-2xy. （3)a的倒数可表示为。， 所以a的倒数与b的和可表示为+b. 3.2 代数式的值 预习检测 1.C2.B 3.解：正方形的面积为（a+b)2，两个四分之 一圆的面积分别为}心，4m,故阴影部分 的面积为(a+b)2-4a2-4, 1 当a=2,b=1时，阴影部分的面积为（2+ 12-4×4-x1=9-m 举一反三 1-1C【解析】因为x的相反数是-3， 所以x=3,所以2x-1=2×3-1=5. 1-2D【解析】因为2y+x=8,所以2xy+ x-3=8-3=5. 2-1解：因为1x+31+(y-分)2-0，所以 1x+31=0,(y-2=0, 1 所以x=-3,y=2, 1 所以x+2y=-3+2×2=-3+1=-2. 3-1解：(1)12+6×2=12+12=24（元）. 故答案为24. (2)依题意得12+6(x-2)=6x(元). 答：应付运费6x元. (3)够运费.理由如下， 12+6×（7-2)=12+30=42(元)，因为 50元>42元，所以够运费. 4-1解：（1)图中阴影部分的面积为x2+ 3x+6. (2)当x=3时， 2