2.3.1 乘方-【随堂笔记】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

2.3有理数的乘方 2.3.1 乘方 课前·预习笔记 预 1.理解有理数的乘方的意义 习 2.会进行有理数的乘方运算.重点@ 目3.掌握有理数的混合运算顺序。 标 14. 能熟练、正确地进行有理数的混合运算. 重点心 第步明确考情 1.考频：5年5考 2.分值：3分 !3.题型：选择题、填空题 第已步梳理知识 :1.乘方的定义 求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方.一般地，n个相同的乘数a相乘，即 a·a·a·…·g,记作a”,读作“a的n次方”，当a”看作a的n次方的结果时， n个 也可读作“a的n次幂”. !2.乘方的意义 预 乘方的结果叫作幂，在a”中，a叫作底数，n叫作指数， 幂 指数 习 是指因数的个数 任3.有理数的乘方运算 底数 务 将有理数的乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再 计算幂的绝对值 4. 有理数混合运算的顺序 (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 第三步预习检测 1.下列说法正确的是( A.-23的底数是-2 B.2×32的底数是2×3 C.(-3)4的底数是-3，指数是4 D.-34的幂是-12 2.计算：-23+[(-4)2-(1-32)×3]. 56 随堂笔记7年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读 写n个a相乘时，用省略号表示其中一部分 知识点1>》乘方的概念 举一反三》参考答案见答案册9 一般地，n个相同的乘数a相乘，即g·a·a…·g,记作 1-143可表示为() n个 a”,读作“a的n次方”. 一共有n个a相乘 A.4×4×4 求个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂 B.3×3×3×3 在a中，a叫作底数，n叫作指数，当a看作a的n次方的结 C.3×4 果时，也可读作“a的n次幂”。 D.4+4+4 一个裁可以看作这个最本身的一次方，指裁1通常省略不写 国拓展提升(1)乘方表示一种运算，是求几个相同乘数的 积的运算，它的本质仍然是乘法运算， 1一2下列各组数中，底数相 同的是() (2)乘方的形式中α表示相同的乘数，n表示相同乘数的 A.34和43 个数 B.-32和（-3)2 例1[衔接教材P52练习]把下列各式写成幂的形式，并指出 C.（-4)3和-43 底数、指数各是什么， D.24和-24 (1)(-2)×(-2)×(-2); (2) (3)m·m·m·…·m 2n个 【答案】解：(1)（-2)×(-2)×（-2)=（-2)3，底 数是-2，指数是3； (2) ×号××号=（层，底数是指数是4 (3)m·m·m·…·m=m2“,底数是m,指数是2n. 2n个 女方法点我 书写幂时，如果底数是负数或分数，应将底数用括号括 起来. 知识点2>乘方的运算 举一反三●》参考答案见答案册9 有理数乘方运算的符号规律： (1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数： (2)正数的任何次幂都是正数.任何载的偶次幂都是非负裁 (3)0的任何正整数次幂都是0. 例2[教材P51例题]计算： ()(-4:(②)(-2：(3)(-子”秦琴鞭整离装美年将 第二章有理数的运算 57 【答案】解：(1)（-4)3=（-4)×（-4)×(-4)=-64；2-1下列各组数中，数值相 (2)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×（-2)=16; 等的是() A.34和43 (a)(-=(-号×(-骨×(-子)8 B.-42和(-4)2 C.-23和(-2)3 例3[衔接教材P52练习]计算： D.24和-24 (1)-92；(2)(-1)24; 8)(-13:4号 3-1如果实数a,b满足 (a-3)2+1b+11=0,那么 【答案】解：(1)-92=-9×9=-81； b等于（) A.1B.-1C.-3D.3 (2)（-1)2024=1; (3)(-13)P=(-)×(-×(-年=-2 〔4>23-2×2×2=- 3 3 ★方法京拔大 紧扣乘方的意义，将乘方运算转化为乘法运算进行计算，关 键要看清底数和指数， 知识点3>利用计算器进行乘方运算 举一反三●》参考答案见答案册P10 不同类型的计算器操作方法可能有所不同，使用教材中所示类 型的计算器时，平方按键，立方按（键，其他次方按键 和次数的数字键， 例4[教材52例题]用计算器计算(-8)和(-3)6 4-1用计算器计算1.32和 【答案】解：用带符号键©)的计算器，有 (-7)5. C©©8①O⑤© 显示结果为 -32768; O©3①©⑥© 显示结果为 729. 因此，(-8)5=-32768，(-3)6=729. ★方法流拨 不同类型的计算器操作方法可能有所不同，对于比较大的数 的乘方运算，如果要计算它的幂，我们可以利用计算器进行 运算. (1)按“0N”键开启计算器； (2)按照算式的书写顺序准确输入数据； (3)按“=”键执行运算，计算器显示结果； (4)每一次进行新的运算之前按“AC”键清零。 58 随堂笔记7年级数学RJ上册 知识点4>有理数的混合运算 举一反三》参考答案见答案册PI0 做有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算时，应注意以下运 5-1计算： 算顺序： (1)-24-3×(-1)3- 0洗莱立再乘除录后加诚：（来学到） (-1)4; (2)同级运算，从左到右进行；分别为同绒运算 (2)-42-16÷(-2)×2 (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括 号依次进行. (-1)19. 例5[教材P53例题]计算： (1)2×(-3)3-4×(-3)+15; (2)(-2)3+(-3)×(-42+2)-（-3)2÷(-2). 【答案】解：(1)原式=2×(-27)-（-12)+15 =-54+12+15 =-27; (2)原式=-8+(-3)×(-16+2)-9÷（-2) =-8+(-3)×（-14)-（-4.5) =-8+42+4.5 =38.5. ★方法原拨 6-1计算： 紧扣有理数混合运算的运算顺序，运算中的符号处理是解决 0-1-号×[1-41- 问题的关键， (-3)2]; 例61[链接教材P54练习]计算： (2)[-53x(-7)-( (1)-1-(1-)÷3×13-(-3)21; 号门x(-品. (2)(-1)2+(-5)×[(-2)3+2]-(-4)2÷(-2) 【答案】解：(1)-14-(1-)÷3×13-(-3)21 =-1-73×13-91 绝对值和括号类似，先算绝对值 =1名×写×6.除去转化方集去 =-1-1 =-2; (2)(-1)25+(-5)×[(-2)3+21-(-42÷(-2 =-1+(-5)×(-8+2)-16÷(-2) =-1+（-5)×(-6)+32 =-1+30+32 =61. 第二章有理数的运算 59 知识点5>利用有理数的混合运算解决问题 >举一反三●》>参考答案见答案册P10 在进行有理数的混合运算时，一要正确应用运算法则；二要注 7-1当把一张纸对折1次 意运算顺序；三要根据算式的特点，灵活运用运算律简化计算. 时，纸的层数为2；对折2次 例71[教材P53例题]观察下面三行数： 时，纸的层数为4，照这样对 折下去： -2,4,-8,16,-32,64,；①，探究 利用乘方的意义进行规律 (1)你能发现纸对折后的层 0,6,-6,18,-30,66,…;② 数和对折的次数有什么关系 吗？ 分析一行数的变化规 (2)当你将纸对折4次时， -1,2,-4,8,-16,32，….③ ,、律主要从两个方面 进行：一是符号的变 纸的层数是多少？ (1)第①行中的数可以看成按什么规律排列化规律：二是绝对值 (3)如果一张纸的厚度是 的变化规律 0.1mm,假设对折6次，求 (2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ 对折后纸的总厚度是多少 (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和. 【答案】解：(1)第①行中的数可以看成按如下规律排列： -2,（-2)2,(-2)3,（-2)4,…. (2)对比第①②两行中位置对应的数，可以发现： 第②行中的数是第①行中相应的数加2，即 -2+2,（-2)2+2,(-2)3+2,(-2)4+2, 对比第①③两行中位置对应的数，可以发现： 第③行中的数是第①行中相应数的)，即 （-2)×2(-22×2(-2×2(-2×2 (3)每行中第10个数的和是 +关键是确定每行的 第10个裁是几这 (-2)°+[(-2)+2]+（-2)”×2排列克4得出 1可以由第①行数的 =1024+(1024+2)+1024×2 =1024+1026+512 =2562. 课本练习·[教材P52,54练习]平的族装和指装是解题的天健答案 紧扣乘方的意义，准确指出乘方 1.(1)(-7)3中，底数、指数各是什么？ 1.(1)底数是-7，指数是8. (2)-10叫作底数，8叫 (2)（-10)8中，-10叫作什么数？8叫作什么数？（-10)8是 作指数，(-10)8是正数. 正数还是负数？ 2.(1)1;(2)-1; 2.计算： 计算时应先确定幂的符号， 特别注 (3)512;(4)-125; 意(-1)10与-10的区别 (1)(-1)10；(2)(-1)7；(3)83; (4)(-5)3; (5)0.01;(6)6 (6)(-2)；(7)(-10);(8)(-10)5. (7)10000; (5)0.13； (8)-100000. 3.用计算器计算： 3.(1)1771561; (2)268435456; (1)（-11)6;(2)16; (3)8.43;(4)(-5.6)3 (3)592.704; (4)-175.616. 60 随堂笔记7年级数学RJ上册 4.计算： 4.(1)0; (1)(-1)10×2+(-2)3÷4; (2(-5)°-3x(-2； (2-1252 3)号×（兮）×品÷： (3): (4)9992. (4)(-10)4+[(-4)2-(3+32)×2]. 课后·提升笔记 题型训练 题型1●》利用偶次幂的非负性解决问题 >变式训练》参考答案见答案册PI0 例1已知a,b都是有理数，若(a+2)2+1b-11=0,则1-1已知(a-2)2+1b+11= (a+b)225的值是（) 0,求(-a-b)24+(a+b)20 A.-2025 B.-1 C.1 D.2025 的值. 【解析】因为(a+2)2+1b-11=0,(a+2)2≥0,1b-11≥0，所 以a+2=0,b-1=0,解得a=-2,b=1,所以(a+b)2= (-2+1)20w=(-1)225=-1. 【答案】B 题型2》有关乘方的规律探究问题 变式训练》参考答案见答案册P10 例2给出下列两组算式： 2-1探索规律：31=3，个 (4×5)2与42×52； 位数字是3；32=9，个位数 [(-3)×9与(-3)°x9 字是9；33=27，个位数字是 7;34=81,个位数字是1； (1)计算各组算式，每组的结果相等吗？ 35=243,个位数字是3；36= (2)想一想，当n是正整数时，（ab)” 729,个位数字是9…那么 (3)用你发现的规律计算(-0.125)18×81 3?的个位数字是 【答案】解：(1)因为(4×5)2=202=400,42×52=16×25=400， 3224的个位数字是 所以(4×5)2=42×52； 因为(-3)×9°=(-3)=-27，(-3P×9=7×72四=-27， 所以[(-子)x9]=(-子)3x9. (2)(ab)"=a"b”,故答案为ab". (3)(-0.125)18×819=(-0.125)8×818×8=(-0.125× 8)18×8=(-1)18×8=8. 第二章有理数的运算 61 题型3●》利用有理数的混合运算解决新定义运算问题 >变式训练》参考答案见答案册P0 例3规定一种运算：ab=ad-bc,例如23 3-1小力在电脑上设计了一 c d 45 =2×5 个有理数运算程序：输入a, 3×4=-2,则(-1)24 按※键，再输入b,得到运算 a※b=d2-b2-[2(a-1)- 1.25 “2值为( A.1 B.3 C.-11 D.-13 名]÷(a-).求(-2)※ 【解析】由题意可得，原式=(-1)25×(-2)-4×1.25 =(-1)×(-8)-5 =8-5 =3. 【答案】B 题型4●》利用有理数的混合运算解决程序流程问题 >变式训练>参考答案见答案册P10 例④下图是一个计算程序，若输入α的值为-1，则输出的结 4-1下图是一个有理数混合 果b为( 运算程序的流程图，请根据 这个程序回答问题：当输入 输入( 输出b 的x为-16时，最后输出的 结果y是多少？ 输入x A.-5 B.-6 C.5 D.6 【解析】把a=-1代入，得 [(-1)2-(-2)]×(-3)+4 +[4-(-32)×(3- 2)÷(-0.5) =(1+2)×（-3)+4 =3×(-3)+4 大于10 否 =-9+4 =-5. 是 【答案】A 输出y 链接中考 考点1◆乘方 考点2◆含乘方的有理数混合运算 题型 难度 分值 题型 难度 分值 选择题、填空题 ★★☆ 3分 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 例1[包头中考]a2=1,b是2的相反数，则 典例2[杭州中考]计算：4+（-2)2×5= a+b的值为（ A.-3 B.-1 A.-16 B.16 C.20 D.24 【解析】4+(-2)2×5=4+4×5=4+20=24. C.-1或-3 D.1或-3 【答案】D 【解析】因为a2=1,b是2的相反数，所以a= ±1，b=-2.①当a=-1,b=-2时，a+b= -3;②当a=1,b=-2时，a+b=-1. 【答案】C 62 随堂笔记7年级数学RJ上册(2)(-27)÷9 =(-27-) 1 -3品 -3品 (3)14-(爱+6-子)×24]÷(-5列 =算-（层x24+6×24-2×241(-5) 3 1 =克-(9+4-18)1÷(-5) =2+5)x(-》 2x(片+5x(片 1 器 6-1解：[5-(-1)]÷3×4=8(h),13+ 8=21. 答：此刻的时间是21：00. 7-1解：(1)93.58÷(-3.56)≈-26.29； (2)-6.85÷3.2+8.74×0.52≈2.40. 变式训练 1-12【解析】因为有理数x,y满足xy≠ 0,所以话=山，罗=，所以m=高+ y的最大值是m=1+1=2. 2-1解：（-2△7)△4 =[-(-3△4 =7A4 =7(-) 3-1解：原式的倒数=（后-分-兮+名）÷ =后2g+8)×(-) =-(后×78-分×8-写×8+ x78) =-（12-39-26+65) =-12, 故原式=-2 1 22×22 333×333 4-1解：+2+1=121；1+2+32+1 4444×4444 12321；1+2+3+4+3+2+1=1234321. 55555×55555 1+2+3+4+5+4+3+2+1=123454321. 2.3有理数的乘方 2.3.1乘方 预习检测 1.C 2.解：原式=-8+[16-(-8×3)] =-8+40 =32 举三反三 1-1A【解析】43表示3个4相乘，即4× 4×4. 1-2D【解析】24的底数是2，-24的底 数也是2，故D选项符合题意. 2-1C【解析】因为34=81,43=64， 34≠43，所以选项A中的两个数值不相等；因 为-42=-16，（-4)2=16，-42≠(-4)2， 所以选项B中的两个数值不相等；因为-2= -8,（-2)3=-8,所以-23=(-2)3，所以 选项C中的两个数值相等；因为24=16，-2= -16,24≠-24，所以选项D中的两个数值不 相等. 3-1B【解析】依题意得，a-3=0,b+ 1=0,所以a=3,b=-1,所以b“=(-1)3= -1. 4-1解：1.32的按键顺序为回日3个2 =,显示结果为1.69；(-7)5的按键顺序为 ☑(-)⑦)个5曰，显示结果为-16807. 所以1.32=1.69，（-7)5=-16807. 5-1解：(1)-24-3×(-1)3-（-1)4 =-16-3×(-1)-1 =-16+3-1 =-14; (2)-4-16(-2)×7-(-1)m =-16+8×2+1 =-16+4+1 =-11. 6-1解：()-1@-号×[1-4-(-3)] =-1-号×(4-9) -1-号×《-50 =-1+2 =1; (2)[-5÷3x(-7》)-(-号)1x(-0) =[-5x×(》-1x(-) 8x(-品-号x(-品 3.2 =-4+5 7 =-20 7-1解：(1)设对折的次数是n,则对折后 纸的层数是2” (2)当对折4次，即n=4时，纸的层数是 24=16. (3)当对折6次时，对折后纸的总厚度是0.1× 26=0.1×64=6.4(mm). 变式训练 1-1解：因为(a-2)2+1b+11=0, 所以a-2=0,b+1=0, 解得a=2,b=-1, 所以(-a-b)224+(a+b)202s =[-2-(-1)]204+[2+(-1)]205 =(-1)2024+12025 =1+1 =2. 2-171【解析】由题意可知，对于底 数是3的幂，个位数字只出现3,9,7,1这 四个数，且按这一顺序每4个一循环，因此， 欲求3？，324的个位数字是多少，关键看共有 几个循环，余数是几.因为7÷4=1…3，所 以3？的个位数字是7，而2024÷4=506，故 3224的个位数字是1. 3-1解：原式=(-2)2-(2)2-[2×(-2- 0-](-2-》 2 =4-4-2×(-3)-2】×(-号) =4子9 _11 0 4-1解：根据题意，得 x+[4-(-3)×(兮)÷(-0.5)] =x+[4-(-9)×(-石)×(-2)] =x+(4+3) =x+7, 当输人x=-16时，-16+7=-9<10， x=-9时，-9+7=-2<10， 0 x=-2时，-2+7=5<10， x=5时，5+7=12>10. 所以，最后输出的结果y是12. 2.3.2科学记数法 预习检测 1.B2.B 3.B 4.1.7×10 举一反三 1-1B 2-1(1)250000000;(2)378000; (3)72500;(4)-3210000. 变式训练 1-1A1-2D 2-1獬：（1)因为3.14×108=31.4×10， 所以3.14×107<3.14×108； (2)因为7.201×1013=72.01×102， 所以8.999×102<7.201×10； (3)因为12100=1.21×104， 所以1.21×104=12100； (4)因为-1.02×100=-10.2×10°， 所以-5.64×10°>-1.02×1010 第三章 3.1列代数式表示数量关系 预习检测 1.D2.B3.t4.2mrm2 举一反三 1-1B【解析】(10a-5)元，表示该商 2.3.3 近似数 预习检测， 1.D2.C3.D 4.B 举三反三 1-1D 2-1C【解析】0.05049精确到0.1是 0.1,A选项正确；0.05049精确到百分位是 0.05,B选项正确；0.05049精确到千分位是 0.050,C选项错误；0.05049精确到0.001是 0.050,D选项正确. 2-2D【解析】根据题目中的数据和四舍 五人法可以解答本题，2.026≈2.03. 变式训练， 1-1D【解析】近似数2.30精确到百分位 应是从千分位上的数字四舍五入得到的.若千分 位上的数字大于或等于5，百分位上的数字应是 9,十分位上是2，若千分位上的数字小于5， 百分位上的数字应是0，十分位上的数字是3， 所以a的取值范围是2.295≤a<2.305: 2-1D【解析】近似数精确到哪一位，应 当看末位数字实际在哪一位.四舍五入得到的 近似数3.05×10，精确到了万位. 代数式 品出售价格的是先打7折，再降5元. 1-2B【解析】由题意可知，这个三位数 的百位上的数字为n,十位上的数字为0，个 位上的数字为m,即这个三位数是100n+m. 1-3(1)2a+5;(2)100-6;(3)(8m+ 100n). 2-1B【解析】a,-2,a+b,2属于代