2.1.1 有理数的加法-【随堂笔记】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

2.1有理数的加法与减法 2.1.1 有理数的加法 课前·预习笔记 预 1.掌握有理数加法的运算法则， 能熟练进行有理数的加法运算，体会分类和归纳的思 习 想方法 目·2.在利用有理数的加法解决实际问题的过程中，提高分析问题和解决问题的能力.重点© 标 13. 理解并灵活运用有理数的加法运算律简化运算.重点© 第二步明确考情 11,考频：5年3考 12.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第已梳理知识 :1.有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对 值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0· (3)一个数与0相加，仍得这个数 预2.加法交换律：在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变，即α+b= 习 b+a 3.加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两 任 务 个数相加，和不变，即(a+b)+c=a+(b+c): 第目步预习检测 1.(-8)+(-7)=( A.1 B.-15 C.15 D.-23 :2.潜水艇所在的海拔是-50米，在它的上方10米处有一只海豚，则海豚所在的海拔 是() A.-60米 B.-40米 C.40米 D.60米 3.小红解题时，将式子（-8)+（-3)+8+（-4)先变成[（-8)+8] [(-3)+(-4)]再计算结果，则小红运用了（) A.加法的交换律 B.加法的交换律和结合律 C.加法的结合律 D.无法判断 30 随堂笔记7年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1>同号两数相加 举一反三》参考答案见答案册P4 法则：同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数1-1有理数α，b在数轴上的 的绝对值的和· “+”号可省略不写丽 对应点的位置如下图所示，则 用字母表示：若a>0,b>0,则a+b=+(lal+1b1)； a+b的值为( 若a<0,b<0,则a+b=-（1al+1b1). 0 0 “一”号不能省略 A.正数 B.负数 注意事项：同号两数相加的运算，先看清两个加数的符号是同为 C.0 D.非负数 正还是同为负，确定和的符号，再把两个数的绝对值相加 1-2计算： (1)(-13)+(-18)=； 例1[衔接教材P28练习]计算： (1)(-4)+(-7); (2)(+30)+(+60); -+(--一 (3)(-0.8)+(-3.8)； (4)-34+(-1b. 【答案】解：(1)(-4)+(-7)=-(4+7)=-11； (2)(+30)+(+60)=+(30+60)=90; 两个正数的 (3)(-0.8)+（-3.8)=-(0.8+3.8)=-4.6; 和是正基 (4-3号+(-1-(3+1=-4分 两个负数的 和是负裁 知识点2》异号两数相加 举一反三》参考答案见答案册5 法则：(1)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的 2-1如果a>0,b<0,且1b1> 加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小 lal,则a+b() 者的差.互为相反数的两个数相加得0. A.一定是正数 用字母表示：若a>0,b<0,且Ia1>1b1,则a+b= B.一定是负数 +(1al-lb1);若a<0,b>0,且lal>Ibl,则a+b=-(1al- C.可能是正数 lb1);若a>0,b<0,且lal=1bl,则a+b=0. D.可能是0 (2)一个数与0相加，仍得这个数. 2-2计算： 用字母表示：a+0=a. (1)3+(-5)= (2)5+(-5)=; 注意事项：若两个数的和为正数，则这两个加数有三种可能： (3)(-3)+0= ①两个都是正数：②一个是正数、一个是负数，且正数的绝对值大 于负数的绝对值：③一个是正数、一个是0 例2[教材P27例题]计算： (1)(-3)+(-9); (2)(-8)+0; (3)12+(-8); (4)(-4.7)+3.9; (5)(-2)+(+2. 第二章 有理数的运算 31 取相同的特号，简称“同取同”+ 【答案】解：(1)(-3)+(-9)=-(3+9)=-12； (2)(-8)+0=-8; 同号两数相加 (3)12+（-8)=+（12-8)=4;”异号两数相加 (4)(-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=-0.8; (5)(-乃》+(+宁》=0取对值线大两和发的特号.商称环家大 知识点3>有理数的加法运算律 举一反三》参考答案见答案册5 1.有超数的加法运算维产务登界个新氧素州 3-1计算(-5)+(-4)+ (1)加法交换律：在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的 5+3 ,可以运用( ) 位置，和不变，即a+b=b+. A.加法交换律 (2)加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个 B.加法结合律 数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即(a+b)+c三 C.加法交换律和加法结合律 a+(b+c). D.以上都不对 2.有理数加法运算的技巧 (1)互为相反数的两个数先相加一“相反数结合法”； 3-2计算： (2)符号相同的数先相加—“同号结合法”； (1)(+7)+(-6)+(-7); (3)分母相同（或分母成倍数关系易化成同分母）的数先相 2)(-2)+(-2+3+ 加一“同分母结合法”； (4)几个数相加得到整数先相加一“凑整法”； (5)整数与整数、小数与小数先相加—一“同形结合法”； (6)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别 相加一“拆分法”. 注意事项：利用有理数的加法交换律时，要连同加数的符号一起 交换，北要时需加括号 例3[教材P29例题]计算： (1)8+(-6)+(-8);(2)16+（-25)+24+(-35) 【答案】解：(1)8+(-6)+(-8) =[8+(-8)]+(-6) =0+（-6) =-6; (2)16+(-25)+24+(-35)》 =16+24+[(-25)+(-35)]同号两裁相加 =40+(-60)异号两裁相加 =-20. 知识点4>加法运算律的实际应用 举一反三》参考答案见答案册P5 在实际问题中，若出现多个量相加时，通常结合正、负数的实际 意义建立多个有理数相加的模型来解决问题. 32 随堂笔记7年级数学RJ上册 例4[教材P29例题]10袋小麦称后记录（单位：kg)如图所示. 10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50kg为质量标准，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？ 50.550.550.849.550.6 多个加数相加时 4-1食品店一周中各天的盈 往往有多种组合方 亏情况如下（盈利为正）： 法，不要硬套法则 132元，-12.5元，-10.5元，127 要仔细观察，根据 题目的特点，灵活 元，-87元，136.5元，98元. 50.749.249.450.950.4 运用运算律 一周的总盈亏情况如何？ 【答案】解法1：先计算10袋小麦一共多少千克： 50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+ 50.4=502.5. 再计算总计超过多少千克： 502.5-50×10=2.5. 解法2：把每袋小麦超过50kg的千克数记作正数，不足的千克数 记作负数.10袋小麦对应的数分别为+0.5，+0.5，+0.8，-0.5， +0.6,+0.7,-0.8,-0.6,+0.9,+0.4. 0.5+0.5+0.8+(-0.5)+0.6+0.7+(-0.8)+(-0.6)+ 0.9+0.4 =[0.5+(-0.5)]+[0.8+(-0.8)]+[0.6+(-0.6)]+ (0.5+0.7+0.9+0.4) =2.5. 50×10+2.5=502.5. 答：10袋小麦一共502.5kg,总计超过2.5kg ★方法点拨、 在求多个较大加数的和时，可以先选取一个适当的数为标 准，然后求出每个加数与标准数的差值，并灵活运用运算 律，可使运算过程简便且不容易出错， 课本练习[教材28，P30练习] 1.用算式表示下面的结果： (答案 (1)温度由-4℃上升7℃；(2)收入7元，又支出5元. 1.(1)-4+7=3(℃)； 2.口算： (2)7+(-5)=2(元). (1)(-4)+(-6); (2)4+(-6); (3)(-4)+6; 2.(1)-10;(2)-2; (4)(-4)+4 (5)(-4)+14; (6)(-14)+4; (3)2;(4)0; (7)6+(-6); (8)0+(-6); (9)(-8)+0. (5)10;(6)-10; 3.计算： (7)0;(8)-6;(9)-8. (1)15+(-22); (2)(-13)+(-8); 3.(1)-7;(2)-21; (3)(-0.9)+1.5; ④分+(-子》. (30.6:(4)-6 第二章有理数的运算 33 4.请你用生活实例解释(-3)+2=-1，（-3)+(-2)=-5的4.现在的气温是-3℃，上升 意义 2℃后的气温是-1℃；小 5.计算： 明已经支出3元，现在又支 同号结合法 出2元，那么一共支出5元. (1)23+(-17)+6+(-22); (答案不唯一) 5.(1)-10;(2)-3; (2)（-2)+3+1+(-3)+2+(-4); (3)号：(4)-2 相反数结合法 6.450+（-80)+150= (3)1+(-1)+1+(-1); 3 6 520(元). (4)31+(-2 4 )53 7.9000+(-300)+500= 5 +（-8 9200(m). 同分母结合法 利用有理数的加法解下列各题（第6~7题）： 6.某银行储蓄卡中存有人民币450元，先取出80元，随后又存 人150元.储蓄卡中还存有人民币多少元？ 7.一架飞机从9000m的高度先下降300m,再上升500m.这时 飞机的飞行高度是多少米？ 课后·提升笔记 题型训练 题型1●>有理数加法与数轴的综合 变式训川练》参考答案见答案册P5 例1已知lal=2,1b=2,Icl=3,且有理数a,b,c在数轴上的1-1已知有理数a,b,c在数轴 位置如图所示，计算a+b+c的值. 上的位置如下图所示，则下列 b a 结论中错误的是( 0 【答案】解：由数轴可知b<0,0<a<c A.a+b<0 因为lal=2,Ib1=2,lcl=3, B.a+c<0 所以a=2,b=-2,c=3, C.a+b+c<0 所以a+b+c=2+(-2)+3=3. D.la+bl=a+b 题型2●>有理数加法与相反数、绝对值的综合 变式训练》参考答案见答案册P5 例2若a的相反数是-3，b的绝对值是4，则a+b= 2-1已知a是最大的负整数， 【解析】因为a的相反数是-3，b的绝对值是4，所以a=3, b是绝对值最小的整数，c是最 b=±4，所以当a=3,b=4时，a+b=3+4=7;当a=3,b=-4 小的正整数，则|a+b+c|等 时，a+b=3+（-4)=-1;所以a+b=7或-1. 于() 【答案】7或-1 A.-1B.0C.1D.2 34随堂笔记7年级数学RJ上册 题型3●>利用有理数的加法解决实际问题 变式训练》参考答案见答案册5 例3强强在一条东西走向的跑道上跑步，他先向东跑了60， 3-1某潜水员先潜入水下 又向西跑了80m,试根据题意列出算式计算，他现在位于什么位 59m,又上升36m,那么潜水 置？与原来位置相距多少米？ 员现在的位置是」 【答案】解：以起点为原点，规定向东为正，根据题意列式为 (+60)+(-80)=-20. 所以他现在位于起点的西边，与原来位置相距20. 题型4●》利用拆项结合法进行多个有理数的加法运算 变式训练》参考答案见答案册P5 例4阅读下面文字： 4-1计算： 对(-5音)+(-9号》+172+(-3可以如吓下计算： ()(-3高)+(-12)+ 原式=[(-5)+(-名)]+[(-9)+(-子)]+(17+子)+ 23 2 [(-3)+(-2)] (2)(-2024号)+2023子+ =[(-5)+(-9)+7+(-31+[(-吾)+(-号)++(-2) (-202)+2021号 =0+(-14) -14 上面这种方法叫拆项法，类比上面的方法计算： (-2025号)+2024子+(-20237)+2022 【答案】解：原式=[(-2025)+(-子)】+(2024+子)+[(-20☒) +(-名)]+(2m+2) =[(-2025)+2024+(-2023)+202]+[(-子)+3+ (-名)+ =-2+(-) =-24 链接中考 考点有理数的加法 典例[温州中考]计算9+(-3)的结果是 题型 难度 分值 A.6 B.-6 C.3D.-3 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 【解析】9+(-3)=+(9-3)=6. 【答案】A 第二章有理数的运算 352.5,1-0.8|=0.8,|-3.61=3.6,而0.8<1cl>1bl,所以a<b<c. 0.9<2.5<3.6,所以最接近标准的是C选项. 1-2B【解析】因为点在数轴上表示的数 2-1解：因为(a-2)2+13b+31=0, 距离原点越近，其绝对值越小，所以绝对值最 所以a-2=0,3b+3=0, 小的数对应的点是点B. 所以a=2,b=-1. 2-1A【解析】因为1-31=3，I-11= 3-1解：(1)根据数轴可得a<0,b> 1,3>1,所以-3<-1<0<1，即其中最小 0,c>0. 的数是-3. (2)如图所示， 2-2D【解析】两个负数比较大小，绝对 -c-b a 0 -a b c 值越大，对应的数越小，故A,B选项错误； (3)①因为a<0,所以1al=-a; 0的绝对值为0，故C选项错误；绝对值相等 ②因为b>0,所以1b1=b; 的两个数可能相等，也可能互为相反数，故D 选项正确 ③因为c>0,所以Icl=c; 故答案为①-a;②b;③c. (4)因为a<0,b>0,c>0,1al=1,Ib1= 变式训练， 2,Icl=3, 1-1-1(答案不唯一) 【解析】由数轴 所以a=-1,b=2,c=3. 可知，绝对值小于3的负有理数为-1.（答案 不唯一) 1.2.5有理数的大小比较 2-1<【解析】因为+（-3)=-3， 1-=5,-3<5,所以+(-3)<1 1 预习检测 3. 1.C2.A3.C 4.B 3-1D【解析】因为-269℃<-253℃< -195.8℃<-183℃，所以液化温度最低的 举三反写 气体是氨气 1-1C【解析】由数轴上a,-b,-c的 位置可知，a<0,-c<0,-b>0,且Ial> 第二章 有理数的运算 21有理数的加法与减法 举三反写 1-1B【解析】由数轴可知，a<0,b< 2.1.1有理数的加法 0,所以a+b的值为负数 预习检测 1-21)-31;(2)-8 1.B2.B3.B 【解析】(1)(-13)+(-18)=-(13+ 18)=-31:(2)-名+(-子)=-(8+（596+36)23m 所以潜水员现在的位置是水下32m. )是 4-1解：(1)(-3局)+(-1)+2号+ 2-1B【解析】因为a>0,b<0,且Ib1> 21 Ial,所以a+b<0. 2 2-2(1)-2;(2)0;(3)-3. 【解析】(1)3+（-5)=-(5-3)=-2； =[-3+(-0)]+[-1+(-2)刀+(2+ (2)5+(-5)=0；(3)(-3)+0=-3. 多》+2+2》 3-1C【解析】将式子(-5)+(-子)+ =[(-3)+(-1)+2+2]+[-0+(-) 5+子先变成(-5+5)+(-+子)再计算结 .317 5+2 果，运用了加法交换律和加法结合律， 3-2解：(1)(+7)+(-6)+(-7) =0+(-+) =(+7)+(-7)+(-6) =-6; 二10 2)(-3+(-高+2+(- (2)(-2024 )+2023+(-2022名)+ =[(-3)+3]+[(-)+(-五] 2021号 =1+(-1) =0. =[-2024+(-号)】+(2023+)+ 4-1解：132+（-12.5)+（-10.5)+ [-2022+(-名)]+2021+7 127+(-87)+136.5+98=383.5（元). 答：一周的总盈亏情况是盈利383.5元. =[-2024+2023+（-2022)+2021]+ 〔-号++(-+ 变式训练， 1-1D【解析】根据题意可知c<b<0<a =-2+( 且lcl>lbl>lal.所以a+b<0,a+c<0,a+ b+c<0,故A,B,C选项正确；Ia+b|>0, 2 而a+b<0,故D选项错误. 2-1B【解析】因为a是最大的负整数， 2.1.2有理数的减法 b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数， 所以a=-1,b=0,c=1,所以1a+b+cl= 预习检测 1-1+0+11=0. 1.D2.D 3-1水下23m【解析】设水上为正，水 3.-7-5+4 下为负.则水下59m可以表示为-59m,上升 36m可以表示为+36m.根据题意列式为 4解：()原式=-44+45-2}-2+ -·5