精品解析：黑龙江牡丹江市第三高级中学2025-2026学年高二下学期期末数学试卷

2025---2026学年度第二学期期末考试题 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：孟庆德 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量，且，那么的值为（ ） A. 0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求概率. 【详解】随机变量，， 则. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得： 3. 若展开式中的常数项为60，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，整理后令的指数为0，得到常数项相应的项数，由常数项的值求的值. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 当时，，则有，解得. 故选：B. 4. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B. 5. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得到，等价于，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】利用乘法分配律和二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由二项式定理可知：的展开式中含的项为： ，所以的系数为2. 7. 某智能机器人公司从某年起7年的利润情况如下表所示，y关于x的回归直线方程是，则该智能机器人公司第4年利润的残差是（ ） 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 m A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，根据回归方程，得到，从而得到方程，求出，再计算出当时，，求出残差. 【详解】由题意，，关于的回归直线方程为， 所以，故，解得， 所以当时，，则． 故选：A 8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出，，，判断A，由条件概率公式和全概率公式依次判断B、C、D选项即可. 【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确； 乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确； 则有，故C不正确； 则，故D正确； 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（   ） A. 对一组数据做线性回归分析，残差全部为 0 时，拟合效果完美 B. 数据2，5，7，9，10的 40 百分位数是 5 C. 独立性检验可以精确判断两个分类变量是否有关 D. 相关系数r的绝对值越接近 1，变量间线性相关性越强 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，残差定义：残差 = 实际值 - 回归预测值. 若所有残差都为0，说明所有样本点都落在回归直线上，线性拟合效果达到最优；A 正确. 对于B，，所以这组数据的百分位数是，B错误； 对于 C，独立性检验（卡方检验）只能在一定犯错概率下推断两个分类变量是否有关，属于概率性判断，无法做到精确判定；C 错误. 选项 D，线性相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；越接近0，线性相关性越弱；D 正确. 10. 已知A，B为随机事件，且，，则下列结论错误的是（ ） A. 若互斥，则 B. 若相互独立， C. 若，则 D. 若相互独立，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式判断A；利用概率的加法公式判断B；利用对立事件和条件概率的概率公式判断C；利用独立事件的概率公式判断D. 【详解】若互斥，则，故A正确； 若相互独立，则， 则，故B正确； 若相互独立，则相互独立， 则，故D错误； 若，则， 则，则， 则，故C错误. 故选：CD 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C. 对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为－0.8728，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质、残差的意义、相关系数的内涵以及百分位数的计算公式逐项计算判断即可. 【详解】由题意得，，， 则，故选项A正确； ∵在残差的散点图中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确； ∵，且， ∴a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故选项C错误. ，所以一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为第8个数字和第9个数字的平均值，即，D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】当时，原不等式为恒成立，则符合题意； 当时，需使，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 13. 已知全集，集合，集合，则______________； 【答案】. 【解析】 【分析】先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解. 【详解】全集，集合，则； 集合，则； 故答案为：. 14. 已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可得出，则，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为随机变量满足，，， 由正态分布的对称性可得， 所以正实数、满足， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． （1）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （2）记比赛结束时的场数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）X分布为 3 4 5 ． 【解析】 【分析】（1）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4场的概率，然后利用条件概率求解； （2）先确定的取值，并计算相应的概率，列出分布列，根据期望计算公式计算. 【小问1详解】 设事件A表示“比赛恰好进行4场”，事件B表示“甲队获胜”． 甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获胜，其概率为． 比赛4场甲队获胜，即前3场甲队胜2场，第4场甲队胜， 概率为． 比赛5场甲队获胜，即前4场甲队胜2场，第5场甲队胜， 概率为． ∴甲队获胜的概率为． 甲队获胜且比赛恰好进行了4场的概率为． ∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为． 【小问2详解】 X的可能取值为3，4，5． ； ； ． ∴X分布为 3 4 5 ． 16. 为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表： 男性 女性 喜欢 12 4 不喜欢 6 8 （1）能否有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关? （2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为，求的分布列． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）没有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关 （2）的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论；（2）根据题意求出离散型随机变量可能取值以及对应的概率，列出分布列. 【小问1详解】 由题可得， 所以没有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关； 【小问2详解】 由题可得男性的人数可能取值为：0，1，2，3 ， ， ， , 所以的分布列为： 0 1 2 3 17. 某超市为销售一种商品，派人统计了去年该商品的每日广告费用（百元）与当日销售量（百件）的关系，以便对今年广告方案的制定提供相关的数据参考，得到的数据如下： 日广告费用（百元） 2 3 4 5 6 日销售量（百件） 1.5 1.7 2.0 2.2 2.6 已知与线性相关. （1）根据表中的数据，求关于的经验回归方程； （2）利用（1）中的经验回归方程，估计当日广告费用为1000元时，日销售量为多少件？ 附：参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【答案】（1） （2）件 【解析】 【分析】（1）由统计表格中的数据，利用回归系数的公式，求得和，即可得到回归方程； （2）由（1）知，当时，求得（百件），即可得到结论. 【小问1详解】 解：由统计表格中的数据，可得，， 且，， 可得，则， 所以关于的经验回归方程是. 【小问2详解】 解：由（1）知回归方程是， 当时，（百件），所以估计当日广告费用为元时，日销售量为件. 18. 求下列代数式的最值： （1）已知，求的最小值； （2）已知，，且满足.求的最小值； （3）当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）最小值为5 （2）最小值为18 （3）最大值为9. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. 【小问2详解】 因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. 【小问3详解】 不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 19. 某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为. （1）假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率； （2）假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n张话费优惠券的概率为. （ⅰ）证明（）为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）求数列的最值. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）商场恰好发出了n张话费优惠券的事件，是发放张后选择A套餐的事件， 与发放张后选择B套餐的事件的和， 则，， ，而， 因此（）是以为首项，为公比的等比数列， 当2时，， ，而满足上式， 所以. （ⅱ）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解. （2）（ⅰ）根据给定条件可得，构造新数列推理得证，并借助累加法及等比数列前n项和公式求出通项公式；（ⅱ）由（ⅰ）中通项公式，按奇偶讨论并借助单调性求出最值. 【小问1详解】 记选择A套餐的事件为，顾客领取优惠券的事件为， 则， 因此. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）当（ⅰ）知，， 当为偶数时，，数列是递减数列，， 当为奇数时，，数列是递增数列，， 所以数列的最小值为，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025---2026学年度第二学期期末考试题 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：孟庆德 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量，且，那么的值为（ ） A. 0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若展开式中的常数项为60，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既非充分也非必要条件 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 7. 某智能机器人公司从某年起7年的利润情况如下表所示，y关于x的回归直线方程是，则该智能机器人公司第4年利润的残差是（ ） 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 m A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（   ） A. 对一组数据做线性回归分析，残差全部为 0 时，拟合效果完美 B. 数据2，5，7，9，10的 40 百分位数是 5 C. 独立性检验可以精确判断两个分类变量是否有关 D. 相关系数r的绝对值越接近 1，变量间线性相关性越强 10. 已知A，B为随机事件，且，，则下列结论错误的是（ ） A. 若互斥，则 B. 若相互独立， C. 若，则 D. 若相互独立，则 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C. 对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为－0.8728，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为_____. 13. 已知全集，集合，集合，则______________； 14. 已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_______. 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． （1）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （2）记比赛结束时的场数为X，求X的分布列和数学期望． 16. 为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表： 男性 女性 喜欢 12 4 不喜欢 6 8 （1）能否有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关? （2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为，求的分布列． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17. 某超市为销售一种商品，派人统计了去年该商品的每日广告费用（百元）与当日销售量（百件）的关系，以便对今年广告方案的制定提供相关的数据参考，得到的数据如下： 日广告费用（百元） 2 3 4 5 6 日销售量（百件） 1.5 1.7 2.0 2.2 2.6 已知与线性相关. （1）根据表中的数据，求关于的经验回归方程； （2）利用（1）中的经验回归方程，估计当日广告费用为1000元时，日销售量为多少件？ 附：参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 18. 求下列代数式的最值： （1）已知，求的最小值； （2）已知，，且满足.求的最小值； （3）当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 19. 某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为. （1）假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率； （2）假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n张话费优惠券的概率为. （ⅰ）证明（）为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）求数列的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $