（暑假作业）基础与拔高专题：二元一次方程组- 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组的概念辨析、解法体系与实际应用，融合传统方法与创新技巧，构建从基础到拔高的递进式训练，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|1-17题|定义辨析、代入/加减消元、参数整数解分析|概念生成→解法掌握→简单应用| |拔高训练|18-20题|轮换对称解法、项目化租车建模、组本方程新定义迁移|方法创新→实际问题建模→信息迁移应用|

（暑假作业）基础与拔高专题：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册苏科版（2024） 基础巩固 1．下列式子中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 3．已知a、b满足方程组 ，则的值为（     ） A．－3 B．3 C．－4 D．4 4．小华在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①②消去y，则a，b的值可能是（     ） A．2，3 B．2， C．3，2 D．3， 5．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（     ） A．2或10 B．2或9 C．3或9 D．3或10 6．有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70．若将两个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．61 B．76 C．80 D．144 7．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，，则（    ）． A． B． C． D． 8．明代《九章算法比类大全》记载：“今有甲乙二匠造屋，共得钱五百文、甲匠日得三十文，乙匠日得二十文．甲、乙先后作工，凡二十二日而毕．问甲乙各作几日？”其大意是：“现有甲、乙两位工匠合作建房，总共获得工钱文．甲匠每日工钱是文，乙匠每日工钱是文．两人先后做工，共用天完成．问甲、乙各做工多少天？”设甲匠做工天，乙匠做工天，根据题意，可列方程组为 A． B． C． D． 9．已知，用含x的代数式表示y，得y=______． 10．已知是方程组的解，则的值为_____． 11．一笔奖金总额为元，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的倍，若把这笔奖金发给个人，并且要求一等奖的人数不能超过二等奖人数，二等奖人数不能超过三等奖人数，那么一等奖的奖金金额是________元． 12．下表中的每一对、的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为__________． 2 1 0 … 2 4 6 8 … ？ 13．若关于、的二元一次方程组的解是，则的值为________． 14．已知关于，的方程组，有下列结论：①当时，则；②当时，方程组的解也是的解；③当时，；④不论取什么数，，都不可能互为相反数．其中你认为正确的有________．（把正确的序号填在横线上） 15．解方程组 (1) (2) (3) 16．已知关于x，y的二元一次方程组（m，n为实数）的解满足．求证：． 17．《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题，今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱，甲乙两人各带了多少钱？ 拔高训练 18．项目化学习 项目主题：确定最省钱的租车方案 项目背景：为迎接“七一”党的生日，某校决定于六月下旬组织本校七、八年级学生前往靖宇革命纪念馆进行“传承红色基因，弘扬革命精神”主题研学活动． 数据收集： ①七、八年级师生共485人． ②平安出租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决：利用以上数据完成下列问题． (1)根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号每辆客车的租金分别是多少元． (2)该学校本次研学准备租用平安出租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并从中选出最省钱的方案． 19．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 20．给出定义：已知关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，，且），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“组本方程”，例如方程的“组本方程”为． (1)写出的“组本方程”是______，由该方程和其“组本方程”组成的方程组的解是______； (2)若关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，，且）的系数满足． ①求该方程与其“组本方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假作业）基础与拔高专题：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A B C B C 1．D 【详解】解：A、不是等式，不属于方程，故A错误； B、中项的次数为，不是二元一次方程，故B错误； C、中是常数，方程只含有1个未知数，是一元一次方程，不是二元一次方程，故C错误； D、满足“含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1的整式方程”，是二元一次方程，故D正确． 2．A 【详解】解：将代入各选项验证， 代入A选项的两个方程： ，与方程右边相等，成立； ，与方程右边相等，成立，符合题意； 代入B选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入C选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入D选项的，得，方程不成立，不符合题意． 3．B 【分析】将方程组两式相加得到，利用其与所求式的相反数关系求解. 【详解】解：， 两式相加得， ∴. 4．A 【详解】解：观察方程组中的系数之间的关系可知，①②可以消去， 则，的值可能是2，3． 5．B 【分析】先利用加减消元法解方程组，再根据方程组的解均为整数，为正整数，可得是28和70的正公约数，进而求出的值． 【详解】解：， ①②得 ， ∴ ， 将代入②，解得 ， ∵ 方程组的解均为整数，为正整数， ∴ 是28和70的正公约数，且， 28和70的正公约数为，符合条件的或， 当时，； 当时，； ∴ 正整数的值为2或9． 6．C 【分析】根据图1和图2中阴影部分的面积得到，则可推出，，进而推出，据此构成方程组求出a、b的值，再计算图3中阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 联立①②可解得， ∴图3中的阴影部分的面积 ． 7．B 【分析】根据规定列得关于，的二元一次方程组为，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 则． 8．C 【分析】根据题意找出两个等量关系：一是甲乙做工总天数为天，二是总工钱为文，据此列方程组即可． 【详解】解：设甲匠做工天，乙匠做工天， ∵甲乙两人先后做工共用天完成， ∴可得第一个方程为， 又∵甲每日工钱文，乙每日工钱文，总工钱为文， ∴甲总工钱为，乙总工钱为，可得第二个方程， 故可列方程组． 9． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10． 【分析】根据方程组的解的定义，将已知的的值代入原方程组，得到关于的二元一次方程组，求解得到的值后，代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程组，可得， 解方程，解得， 将代入，得， 将，代入，得． 11．或 【分析】获一等奖人，获二等奖人，获三等奖人，由之间的关系结合均为整数，即可得出的值，设三等奖的奖金金额为元，则二等奖的奖金金额为元，一等奖的奖金金额为元，根据奖金的总额为元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论（取其为整数的值）． 【详解】解：获一等奖人，获二等奖人，获三等奖人，根据题意， 且，，均为整数， ∴，，． 设三等奖的奖金金额为元，则二等奖的奖金金额为元，一等奖的奖金金额为元， 依题意，得：，，， 解得：，（不合题意，舍去） ，． ∴一等奖的奖金金额为（元）或（元）． 12． 【分析】先从表格中选取两组，的值代入二元一次方程，得到关于，的二元一次方程组，解方程组得到，的值，确定二元一次方程，再将代入方程，即可求出“？”表示的数． 【详解】解：选取表格中，代入， ， 解方程组得， 因此原二元一次方程为， 将代入，得 ， 解得． 即表中“？”表示的数为． 13． 【分析】将方程组的解代入方程，可得关于，的方程组，然后解方程组求出、后代入即可得答案． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组的解是， ∴， 解得：， ∴． 14．①③④ 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到，关于的表达式，再逐个验证每个结论即可． 【详解】解： 由①②得：， 解得， 把代入②得：， 即方程组的解为， ①当时，，， 则，故①正确． ②当时，，， ，， ，故②错误． ③若，则， 整理得，解得，故③正确， ④若，互为相反数，则， 因为，故不论取何值，，都不可能互为相反数，故④正确． 则①③④正确． 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ，得， ，得， 把代入①，得， 故原方程组的解为． （2）解：， 原方程组整理，得， ，得， ，得， ， 把代入②，得， 故原方程组的解为． （3）解：， ，得    ， ，得， ， 把代入③，得， 把代入①，得， 故原方程组的解为． 16．证明：， 得，化简得， 将代入得， 方程组的解满足， ，整理得， 两边同除以2得，得证； 【分析】利用加减消元法用，表示出，，代入化简可得到． 【详解】略 17．甲带了钱，乙带了钱． 【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲带了x钱，乙带了y钱， 根据题意得， 解得 ∴甲带了钱，乙带了钱． 18．(1)A型号每辆客车租金为600元，B型号每辆客车租金为1000元 (2)满足条件的租车方案有2种：方案1：租用A型客车15辆，B型客车2辆；方案2：租用A型客车4辆，B型客车7辆；最省钱的方案为租用A型客车4辆，B型客车7辆，租金为9400元 【分析】（1）设A型号每辆客车租金为元，B型号每辆客车租金为元，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设租用A型客车辆，B型客车辆，根据题意列出关于、的二元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设A型号每辆客车租金为元，B型号每辆客车租金为元， 由题意得， 解得， ∴A型号每辆客车租金为600元，B型号每辆客车租金为1000元； （2）解：设租用A型客车辆，B型客车辆， 由题意可得， 整理得， ∴， ∵、均为正整数， ∴当时，，当时，， ∴满足条件的租车方案有2种：方案1：租用A型客车15辆，B型客车2辆；方案2：租用A型客车4辆，B型客车7辆； 方案1的费用为：（元）， 方案2的费用为：（元）， ∵， ∴最省钱的方案为租用A型客车4辆，B型客车7辆，租金为9400元． 19．(1) (2) 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为； （2）解： 得， ∴， 得， 得，解得， 把代入⑦得，解得， ∴原方程组的解为． 20．(1)； (2)①；②2027 【分析】（1）根据“组本方程”定义写出对应方程，再用加减消元法解方程组； （2）①利用加减消元法结合的条件推导方程组的解； ②将方程组的解代入方程得到m与n的数量关系，整体代入代数式求值． 【详解】（1）解：∵原方程为， 根据“组本方程”定义，互换y的系数与常数项， ∴组本方程为； 联立得方程组，解得：． （2）解：①原方程与其组本方程组成的方程组为， 由得：， ∵， ∴， ∴， 将代入①，得，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程组的解为； ②将代入， 得，即， ∴， ∵， ∴， ∴原式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $