第1章 勾股定理 综合评价（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材 宁夏专版）

北师NX 数学八年级上册 第一章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目 要求) 题号 2 3 4 5 6 7 答案 1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 A.2,3,4 B.4,6,7 C.5,11,12 D.6,8,10 2.在△ABC中，∠C=90°，AC=9,AB=15,则BC的长是 A.10 B.12 C.16 D.20 3.由两个直角三角形和三个正方形组成的图形如图所示，其中阴影部分的面积是 A.16 B.25 C.41 D.50 C C E (第3题图) (第5题图) (第6题图) (第7题图) (第8题图) 4.已知一个三角形三边的长度之比为5：12：13，它的周长为60，则它的面积是 A.120 B.144 C.196 D.60 5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，以AB为一边作Rt△ABC,要求顶点C在 格点上，则图中不符合条件的点是 ) A.Ci B.C2 C.Cs D.C 6.在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的 意思是：一根竹子原高一丈(10尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面 () A.4尺 B.3.6尺 C.4.5尺 D.4.55尺 7.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧（孤所在圆的半径都 相等)，两弧相交于M,N两点，直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD= DC,AE=4,AD=5,则AB的长为 A.9 B.8 C.7 D.6 8.如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=15,AC=25,沿过点A的直线将纸片折叠，使 点B落在BC上的点D处，折痕交BC于点F,再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交AC于 点E,交BC于点G,则DE的长为 () A.6 B.7 C.8 D.9 1 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9.写出一组你喜欢的勾股数： 10.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D.若AB=BC=17,AD=8,则CD的长为 2m B B DC 1.5m (第10题图) (第11题图) (第12题图) (第13题图) 11.一个人字梯的侧面示意图如图所示，其中梯子撑开后最高点A距地面的高度AD为1.2m,两 侧梯子AB,AC的长度均为1.3m,则此时梯子底端B,C之间的距离为m, 12.如图，一扇门框的高为2m,宽为1.5m,童师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m,宽 2.7m;②号木板长2.8m,宽2.8m;③号木板长4m,宽2.4m.可以从这扇门通过的木板是 .(填序号) 13.如图，在△ABC中，AC=5,BC=12,AB=13,AD平分∠CAB,DE⊥AB,垂足为E,则△BDE 的周长为 14.如图，已知一艘小船以8 n mile/h的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15 n mile/h 的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2h后，两船相距 n mile. 东 南 (第14题图) (第15题图) (第16题图) 15.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设 直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若a十b=14,小正方形的面积为4，则大正方 形的面积为 16.如图，在一个长方形草坪ABCD上放着一个长方体木块.已知AD=6m,AB=4m,该木块的 较长边与AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要 爬行的最短路程是 m 三、解答题（本题共10小题，其中17,18,19,20,21,22题每题6分，23,24题每题8分，25,26题每 题10分，共72分) 17.如图，以Rt△ABC的直角边BC为一边作长方形BCDE,求阴影部分的面积. 3 cm 8 cm 17 cm 2 18.如图，在△ABC中，点D在BC上，AC=15,CD=8,AD=17,AB=25,求BD的长. 19.某款婴儿推车的侧面示意图如图所示.已知∠ACB=90°，支架AC=6dm,DE=5dm,BE= 12dm,且D是AC的中点，求两轮的圆心A,B之间的距离. 20.如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别 按下列要求画图. (1)在图①中，画一个直角三角形，使每条边的长度都是整数； (2)在图②中，画出一个面积为10的正方形. 图① 图② —3— 21.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴 盒的一个侧面ABCD倒下到AB'C'D'的位置，连接AC,AC,CC,设AB=a,BC=b,AC=c, 请利用四边形BCCD的面积验证勾股定理：a2+b2=c2. D B'C a 22.学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m,BC=15m,CD=7m,土地 价格为2000元/，请你计算出学校征收这块土地需要多少元. 9D 23.如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,D,E分别为边AB,BC上的点，连接CD,DE, AE,且满足AE垂直平分CD. (1)判断△ADE的形状，并说明理由； (2)求BE的长. 4- 24.【问题情境】中卫沙坡头景区开展消防应急演练，针对景区高层游客服务楼进行云梯实操.如 图，消防员将一架长25m的云梯AB斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7m, ∠ACB=90° 【独立思考】(1)求这架云梯顶端距地面的距离AC 【深入探究】(2)消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A'位置上（云梯长度不改变）， AA’=4m,求梯子的底端滑动的距离BB'. 【问题解决】(3)在演练中，高24的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验 表明，云梯靠墙摆放时，若云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的弓，则云梯和消防员相对 安全.在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24高的墙头去救援被困人员？ 25.定义：在△ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,且a,b,c满足ac十a2=b2,则称这个三角形为“类 勾股三角形”.请根据以上定义解答下列问题： (1)如图①，若△ABC是“类勾股三角形”，且AB=BC,AC>AB,求∠C的度数. (2)如图②，在△ABC中，∠B=2∠A,且∠ACB>∠A,D是AB上的点，连接CD,满足AD= CD,过点C作CE⊥AB,垂足为E.试说明：△ABC为“类勾股三角形”. 图① 图② 5 26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发，沿射线BC 以2cm/s的速度移动，设点P移动的时间为ts. (1)当点P移动到BC的中点时，t的值是 (2)当t<4时，若BP=AP,求BP的长； (3)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 处 一6—向右作PE∥AB,则∠A+∠APE=180.:PE∥AB,AB∥CD,∴.PE∥CD.∴∠DPE=∠D..∠APE=∠DPE-∠APD=∠D -∠APD.∴∠A十∠D-∠APD=180°.(3)∠APD=∠D-∠A.理由如下：过点P向右作PF∥AB.,PF∥AB,AB∥CD,.PF ∥AB∥CD.∴.∠D=∠DPF,∠A=∠APF.:∠APD=∠DPF-∠APF,∴∠APD=∠D-∠A. 2.解：(1)过点C向右作CF∥BE,∴.∠BCF+∠CBE=180°.：∠CBE=130°，.∠BCF=50°.，∠BCD=110°，∴∠DCF=∠BCD -∠BCF=60°.BE∥MN,.CF∥MN.∴∠CDM=∠DCF=60°.(2)AB∥CD,∴.∠ABC+∠BCD=180°.，∠BCD=110°， ∴.∠ABC=70°.：∠CBE=130°，.∠ABE=∠CBE-∠ABC=60°. 3.540°4.C 5.(解法一)解：，AG∥CD,∴.∠AGE=∠CDE=60°.AF∥DE,∴.∠BAF=∠AGE=60°. (解法二)解：，BM∥AF,CN∥DE,.∠BAF=∠ABM,∠DCN=∠CDE=60°.：AF∥DE,.BM∥CN.∴.∠MBC=∠NCB. AB∥CD,∴.∠ABC=∠BCD.∴∠ABC-∠MBC=∠BCD-∠NCB,即∠ABM=∠DCN.∴∠BAF=-∠CDE=60°. 第七章章末复习 思维导图 相等相等互补相等相等互补平行 考点整合 1.C2.D 3.解：(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.(2)已知：如图，CD⊥AB于点 M,EF⊥AB于点N.求证：CD∥EF.证明：：CD⊥AB,EF⊥AB,∴∠CMN=∠ENB=9O°..CD∥EF. 4.B5.A6.D7.C8.99 9.(1)证明：AB⊥AC,∴∠BAC=90°..∠BAD=∠BAC+∠1=130..∠BAD+∠B=180°..AD∥BC.(2)解：AD∥BC, (AD=CB, ∴.∠ACB=∠1.在△ADC和△CBA中，∠1=∠ACB,∴.△ADC≌△CBA(SAS).∠D=∠B=50°. LAC=CA, 10.解：(1)OE与MD平行.理由如下：：OD⊥DM,.∠ODM=90°.OE⊥OF,.∠EOF=90°..∠ODM=∠EOF..OE∥MD. (2)∠MNB=58°，.∠MNO=180°-∠MNB=180°-58°=122°.AB∥CD,.∠MDC=∠MNO=122°.OD⊥DM, .∠ODM=90°.∴.∠ODC=∠MDC-∠ODM=122°-90°=32°. 综合评价 第一章综合评价 1.D2.B3.D4.A5.D6.D7.D8.C9.12,16,20(答案不唯-)10.211.112.③13.2014.3415.10016.10 17.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AC一AB2=17-82=225,所以BC=15cm.所以S影=BC·CD=15×3=45(cm2). 18.解：在△ACD中，AC+CD2=152+82=289,AD2=172=289,所以AC+CD2=AD2.所以△ACD是直角三角形，且∠C=90°. 在Rt△ABC中，BC=AB2-AC2=252-152=400,所以BC=20.所以BD=BC-CD=12. 19.解：因为D是AC的中点，所以CD=2AC=3dm.因为∠ACB=90,所以∠DCE=180°-∠ACB=90°.在Rt△CDE中，由勾 股定理，得CE2=DE-CD=52-32=16,所以CE=4dm.所以BC=BE-CE=8dm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC 十BC=62十82=100，所以AB=10dm.答：两轮的圆心A,B之间的距离为10dm. 20.解：(1)如图，Rt△ABC即为所求.(2)如图，四边形ABCD即为所求. A C B 图① 图② 21.解：由题意，得CD'=CD=AB=a,AD=AD=BC=b,AC=AC=c,所以Rt△CD'A≌Rt△ABC(SSS).所以∠CAD'= ∠ACB.因为∠ACB十∠CAB=90°，所以∠CAD'+∠CAB=90°.所以∠CAC=90°.因为S四边形CD=2 SACD'A十S△Acc,所以2X 名ab叶合c=号(a+b0(6叶a).所以+=. 22.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC2=202+152=625.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2=AC- 25 CD2=625-71=576,所以AD=24m.所以Snam=Sac+Sac=2AB·BC+号CD·AD=234m.234X200=46800 (元).答：学校征收这块土地需要468000元. 23.解：(1)△ADE是直角三角形.理由如下：因为AC十BC=62十82=100，AB2=102=100,所以AC+BC2=AB2.所以△ABC 是直角三角形，且∠ACB=90°.因为AE垂直平分CD,所以AC=AD,CE=DE.因为AE=AE,所以△ACE≌△ADE(SSS).所以 ∠ADE=∠ACB=90°.所以△ADE是直角三角形.(2)由(1)知AD=AC=6,CE=DE,∠ADE=90°，所以BD=AB-AD=4,DE =CE=BC-BE=8-BE,∠BDE=90°.在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2+DE=BE2,即42+(8-BE)2=BE2.所以BE=5. 24.解：(1)在Rt△ABC中，AC=AB2-BC=252-72=576,所以AC=24m.答：这架云梯顶端距地面的距离AC是24m.(2)由 题意，得A'B'=AB=25m,A'C=AC-AA'=20m.在Rt△A'B'C中，B'C2=A'B2-A'C2=252-202=225,所以B'C=15m.所以 BB-B'C-BC=8m答：梯子的底端滑动的距离BB是8m(3)能，理由如下：由题意，得相对安全的距离不小于25X号-5(m. 因为252-242=49=72,7>5，所以云梯的顶端能到达24m高的墙头去救援被困人员. 25.解：(1)设BC=a,AC=b,AB=c.因为△ABC是“类勾股三角形”，所以ac+a2=b.因为AB=BC,所以a=c.所以c2+a2=b. 所以△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°.所以∠C=45°.(2)设BC=a,AC=b,AB=c.因为AD=CD,所以∠A=∠DCA.所以 ∠ADC=180°-∠A-∠DCA=180°-2∠A.所以∠CDB=180°-∠ADC=2∠A.因为∠B=2∠A,所以∠B=∠CDB.因为CE⊥ AB,所以∠CED=∠CEB=90,又因为CB=CE,所以△BCE2△DCE(AAS.所以CD=AD=CB=a,DE=BE=,所以AE =AD+DE=a+22=生，在R△AEC中，由勾股定理，得CE=AC-AE=份-（生）”，在Rt△CED中，由勾股定理，得 CE=CD-DB=a-(）)‘.所以6-（生）=a2-(2）',所以ac十d=.所以△ABC为类勾殷三角形n 26.解：(1)2(2)在Rt△ABC中，因为AB=10cm,AC=6cm,所以BC=AB2-AC=64.所以BC=8cm.所以当t<4时，点P 在线段BC上.如图①，连接AP.因为AP=BP=2tcm,BC=8cm,所以PC=BC-BP=(8-2t)cm.在Rt△ACP中，由勾股定理， 得PC心+AC-AP,即（8-20：+6：-(2，解得1-空所以Bp-2×空-孕(cm.(3)分两种情况讨论：①当∠APB=90时，点 P和点C重合，t=8÷2=4(s);②当∠BAP=90°时，点P在线段BC的延长线上，如图②.因为BP=2tcm,BC=8cm,所以PC= BP-BC=(2t-8)cm.在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP2=AC+PC=62+(2t-8)2.在Rt△ABP中，由勾股定理，得AP2= BP-AB=(20-10.所以6+(2：-8)2=(2)-102，解得：=华综上所述，当△ABP为直角三角形时，的值为4或25。 图① 图② 第二章综合评价 1.D2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.C9.5(答案不唯一)10.>11.-a612.913.1.0114.-215.1006 16.8-4W3 1.解：1x=±名(2)x-2=-3.x=-1. 18,-日0，-0i2,1.414拒，-7，吾，1.414 19.解：(1)原式=3√2-6√5-3√2=-6√5.(2)原式=9-8-√54÷6=1-3=-2. 20.解：(1)因为一个正数的两个平方根分别是a十2和2a一5，所以a十2+2a-5=0,解得a=1.因为b-3的立方根为-3，所以b- 3=(-3)3=-27,解得b=-24.(2)因为4a-b=4×1-(-24)=28,所以4a-b的算术平方根为2√7. 21.解：(1)><<(2)因为a十1>0，b-1<0,a-b<0,所以原式=a十1十2(1-b)十(b-a)=a+1十2-2b+b-a=3-b. 22.解：(1)因为a,b互为相反数，c,d互为倒数，所以a十b=0,cd=1.因为e的平方根为士8，所以e=64.因为f的绝对值是4，所以 f=士4.所以=16.所以p-√'+VF-cd+=0叶-1+=.(2)27-2 23.解：(1)x+y=√5-√2+W5+√2=2V5,x-y=√5-√2-(W5+√2)=-2V2,xy=(W5-√2)(W5+√2)=3.(2)x2-xy+y2=(x+ y)2-3xy=(2√5)2-3×3=11. 24.解：)根据题意，得V5m=10,所以m=19=25.(2)根据题意，得(2-√2)(6+2m)=6.所以12+22m-62-2m=6,即 5 26 （22-2)m=6V2-6.所以m=65-6=3. 2√2-2 25.解：(1)W32√22√3(2)由图可得长方形木板的长为(22+2√3)dm,宽为(W3+2√2)dm.(2√2+23)(W3+2√2)=6√6+ 14(dm2).答：长方形木板的面积为(66+14)dm2.(3)剩余的A木板的长为23dm,宽为3+2√2-2√3=(2√2-√3)dm.因为1 <2√2-√3<1.5,3<2√3<4，所以最多能截出长为1.5dm,宽为1dm的长方形木板2块. 26.解：(1)如图①，构造△DEF.因为DE=√22+3=√I3,EF=√+1=√2，DF=√+4=√I7,在△DEF中，DF-EF< DE,所以-区<V瓜.(2)△DEF如图②所示.S=5X4-合X2X8-号X5X2-号×4X2=8.(3)如图③，构造△ADP, △PCE及长方形PDBE,连接AC,其中AB=12,AD=a,BD=b,PD=BE=2,CE=3.所以AP=√AD+PD=√a2+4,PC= √PE+CE=√+9，AC=√AB2+BC=13.因为AP+PC≥AC,所以√a2+4+√+9≥13.所以√a2+4+√+9的最小 值为13. 图① 图② 图③ 第三章综合评价 1.B2.B3.B4.A5.C6.A7.B8.D9.(3,8)10.111.(3,-1)12.(3,-3)13.(-4,-1)14.(0,-2) 15.(0,6)或(0，-6)16.(400,4) 17.解：因为x=3,y2=25,所以x=土3，y=士5.因为点P(x,y)在第二象限内，所以x<0,y>0.所以x=一3，y=5.所以点P的 坐标为(-3,5). 18.解：由题意，得AD=2-(一2)=4，BC=4-(一3)-7，所以S8=子(AD+BGX3=子×(4十7)X3=16.5 19.解：(1)如图所示，体育场的坐标为(3,4).(2)如图所示. 北 A 体育场 小强家。 60° 学校 火车站 文化馆 459 西 0 409 东 65 明家 4 影院 P公园 B B 高铁站 南 博物馆 (第19题图) (第20题图) (第23题图) 20.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.(2)A1(一1，一4)，B1(一2，一2)，C1(0,一1) 21.解：(1)因为点M(2m一4,1一m)的横坐标为4，所以2m一4=4，解得m=4.所以1一m=一3.所以点M的坐标为(4，一3).(2)因 为点M在第四象限，且点M到x轴、y轴的距离相等，所以2m一4十1一m=0,解得m=3. 22.解：由折叠及长方形的性质可知，AE=AO=BC=10,DE=DO,AB=OC=8.在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE= √/AE一AB=6,所以CE=BC-BE=4.所以点E的坐标为(4,8).在Rt△DCE中，由勾股定理，得DC+CE2=DE2.因为DE= OD,所以(8-OD)2+42=OD2.所以OD=5.所以点D的坐标为(0,5). 23.解：(1)学校在小明家东北方向2km处，博物馆在小明家南偏东50°方向4km处.(2)图中到小明家距离相同的地方是学校、公 园和影院.(3)如图所示 24.解：(1)A(一3，一1).点A及△ABC如图所示.(2)y(3)点D的坐标为（一3,1）或（一3，一3）. O D 图① 图② (第24题图) (第26题图) 27