第1章 勾股定理(随堂反馈)（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材 宁夏专版）

21.(1)证明：.'AB∥CD,.∠FAB=∠C.∠C=∠ABE,.∠FAB=∠ABE..AC∥BE.(2)解：.AD⊥BE,.∠BGD=90°. .AC∥BE,.∠FAD=∠BGD=90°..AB∥CD,∴.∠FAB=∠C=65°，∠ADC=∠BAD..∠BAD=∠FAD-∠FAB=25°. ∴.∠ADC=25°. 2.解：(1)50（②）平均数为品×(6×4+7×10+8×15+9×11+10×10)=826（分），众数为8分，中位数为8分.(3)社区工作人 员大约需准备一等奖奖品的数量为50×8-10（份）. 23,解：①)设甲种长枣每千克的价格为x元，乙种长枣每千克的价格为y元根据题意，得亿十2)-28 解得x=8, 答：甲种长枣 2x+3y=46, y=10. 每千克的价格为8元，乙种长枣每千克的价格为10元.(2)W=10a十8(50一a)=2a+400(30≤a≤50).2>0，.W随a的增大而 增大.∴.当a=30时，W有最小值，最小值为2×30+400=460.答：此次采购的最低费用为460元. 24.解：(1)√4×16=√64=8，√4×25=√100=10，√16×25=√400=20，且8,10,20都是整数，.4,16,25这三个数是“漂亮 数”.(2)两组数分别为：1,9,16；4,25,64.（答案不唯一）(3)9<25<m,.“最小算术平方根”为√9×25=√225=15，“最大算术平 方根”为√25×m,即√25m..√/25m=3X15..25m=(3×15)2,解得m=81. 25.解：(1)连接AC.:∠B=90°，AB=BC=452m,∴AC=√AB2+BC=90m,∠CAB=∠ACB=45°.：AC+AD2=902+ (30√3)2=10800，CD2=(603)2=10800,∴.AC+AD=CD2..△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°.∴.∠DAB=∠CAD+ ∠CAB=135°.(2)这辆车不能被摄像头监控到.理由如下：过点D作DM⊥DA,交BE于点M.由(1)知∠DAB=135°，.∠DAM= 180°-∠DAB=45°.，DM⊥DA,'.∠ADM=90°..∠AMD=90°-∠DAM=45°.∴.DM=DA=30√3m.∴.点A,M为摄像头在 道路BE上能监控的最远位置.在Rt△ADM中，AM=√AD2+DM=30√6m.∴.BM=AB+AM=(45√2+30√6)m.105√2> 45√2+30√6，∴.这辆车不能被摄像头监控到. 26.解：(1D在)=是x十3中，令x=0,则)y=3,B(0,3).令y=0,则x十3=0，解得x=-4,A(-4,0).:C是点A关于y轴 对称的点C(4,0.CD∥y轴，点D的横坐标为4.当x=4时，=子x+3=6,D(4,6).(2):A(-4,0),C(4,0),D(4,6), ∴.AC=8,CD=6.∴.AD=√AC+CD=10.由折叠的性质，得∠ACP=∠ACP=90°，CP=CP,AC=AC=8,∠DCP=180° -∠ACP=90°，CD=AD-AC=2.设CP=CP=a,.DP=CD-PC=6-a.在Rt△DCP中，CP2+CD2=DP2,即a2+22= (6-a),解得a=号P(4,号）.(3)存在.设P(4,mCP=m,DP=m-61.Sace=2SCP=2DP.m=2m-61, 解得m=4或m=12,点P4,)或P4,12.当P4,时，直线OP的函数表达式为=联立少= 4x+3 解得12， .Q(12, (y=12. (y=x, 3 4 12).当P(4,12)时，直线OP的函数表达式为y=3x.联立 y=4x+3,6 解得 =言'Q(告4)小：综上所述，满足条件的点Q的 y=3x, （y=4. 坐标为12,12)或(÷4)： 随堂反馈 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 知识梳理 ①勾股弦②平方和平方a2十b2=c2 当堂练习 1.D2.B3.D 4.解：(1)在Rt△ABC中，AC=AB2+BC=202+152=625,所以AC=25.(2)因为AE⊥CD,所以∠E=90°.在Rt△ACE中，AE =AC-CE2=252-242=49,所以AE=7. 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 当堂练习 1.C2.10.73.48 34 4.解：因为S大E影=2，S大E方第=4S直角三角形十S小E第=4X号ab十(b-a)2,所以2=4X合ab十(6一).化简，得a2+0=2. 5.解：在Rt△ABC中，AC=AB2-BC=2.52-1.52=4,所以AC=2m.在Rt△A1B1C中，A1C=A1B2-B1C=2.52-2.4=0. 49,所以A1C=0.7m.所以AA1=AC-A1C=1.3m.答：电杆上两固定点A和A1的距离是1.3m. 2一定是直角三角形吗 知识梳理 ①a2+b2=c2②正整数 当堂练习 1.A2.C3.直角4.705.63 6.解：因为AB⊥BC,所以∠ABC=90°.在Rt△ABC中，AC2=AB2十BC=12+22=5.在△ACD中，AC+CD=5十2=9，AD2= 32=9,所以AC十CD2=AD2.所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.所以AC⊥CD. 3勾股定理的应用 当堂练习 1.C2.A 3.解：连接AC.因为AB=BC=2km,∠ABC=90°，所以AC2=AB2十BC2=8,∠BAC=45°.所以AC2十AD2=8十3.52=20.25.因 为CD2=4.5=20.5,所以AC十AD2=CD.所以△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°.所以∠DAB=∠BAC+∠CAD=135°. 4.解：延长FC,交AB于点G,则CG⊥AB,AG=CD=1m,CG=AD=15m.设BG=xm,则BC=(26一1一x)m.在Rt△BGC中， 因为BG十CG=BC,所以x2+152=(26-1-x)2,解得x=8.所以BG=8m.所以AB=BG十AG=9m.答：AB段的长度为9m. 第二章实数 1认识实数 知识梳理 ①无限不循环有理数无理数②一一对应③一aa0一a 当堂练习 LB2B3发314是 4.1--31,-吾(20，-(-6)(3)-(-）3.14(01.52552552，-号 5.解：AC,AD的长是无理数.理由如下：因为AB2=32+42=25=52,AC2=32+12=10,AD2=32+22=13,所以AC,AD的长是无 理数. 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 知识梳理 ①算术平方根00②aa-a 当堂练习 1.A2.B3.381 4解：(1)因为12=14，所以144的算术平方根是12，即V0-12(2)因为（告）广-号，所以号的算术平方根是号，即√票 /16 号.(3)因为0.7)2=0.49，所以0,49的算术平方根是0.7，即V0的=0.7 5.解：(1)原式=8.(2)原式=子.(3)原式=-14（④原式-06.（⑤）原式-令.(6)原式=1.3 第2课时平方根 知识梳理 ①平方±√a正、负根号a②两个相反数0 当堂练习 1.B2.B3.±20±1.1±号4.05.8 6.解：1)x=2,x=士V反.(2)22=8，x2=16,x=士4(31-x=1,或1-x=-1,x=0,或x=2. 7.解：(1)因为2a一2的平方根是士3,3a十b一1的算术平方根是4，所以2a一2=9,3a十b-1=16.所以a=5.5,b=0.5.所以a一3b =5.5一3×0.5=4.所以a一3b的算术平方根为2.(2)由(1)知√a一3b=2,所以√a一3b的平方根为士√2. 35 第3课时立方根 当堂练习 152100-号3.-7441)-5(2)-0.83)含 5.解：(1)由题意，得4a-1=33,3a十b=25,解得a=7,b=4.(2)由(1)得2a-b-1=9,所以2a-b-1的平方根为士3，立方根为9. 第4课时估算及用计算器开方 当堂练习 1.C2.B3.(1)4.362(2)-1.811(3)5.666 4獬：1因为3>是所以w5>√厚=号所以-5<-号.（②）因为6≈249，≈2.571,240<2.571，所以6<沉.(8) 因为1<5<，所以w5-1<1.所以5←<号 3二次根式 第1课时二次根式及其乘除运算 知识梳理 0va(a≥0)( 瓜√号 当堂练习 1.C2.C3.0(答案不唯一)4.-15.24 6解：1)原式=6v.(2②)原式=√=言(3)原式=-.(40原式=√18×号×号=6=4.(5)原式=2+2×2×w8+ √J24 (W5)2=4+4√5+3=7+4√5.(6)原式=√54÷√6+√96÷√6=√9+√/16=3+4=7. 第2课时二次根式的性质及其加减运算 知识梳理 ①av6ya ②分母能开得尽方的因数或因式③最简被开方数相同 当堂练习 1.B2.B3.(1)30(2)10V5(3) 4解：1)原武=2v后-后-后.（②）原式=3v厄+4=7反.(3)原式-25+号-29-+.（④原式-√层×2+7×2 3 -V厚+V5厨=56原式=3×2vg-4×9-3+2g-6vg-E-5+22=55+2 第3课时二次根式的混合运算 当堂练习 1.D2cae-得 4解：服式=vI-3.2)源式=2+6.(8)原式=5-w5+)×后×，万=5-5+V×后5-1-5=-1 (4)原式=1-5+5+1-2√5=2-2√5. 5.解：(3√2+2√6)2-(3+√3)×(4-√3)=(18+24√3+24)-(12-3√5+4√3-3)=33+23√3(cm).答：剩余部分的面积为 (33+23√3)cm2. 第三章位置与坐标 1确定位置 当堂练习 1.9排8号2.A3.D 2平面直角坐标系 第1课时平面直角坐标系 当堂练习 1.C 36第一章 勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 知识梳理 ①我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 ,较长的直角边称为 ,斜边称 为 ②勾股定理：直角三角形两条直角边长度的 等于斜边长度的 ·如果用 a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边的长度，那么 当堂练习 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2,AC=3,则AB2等于 () A.1 B.3 C.4 D.5 225 289 A (第1题图) (第3题图) 2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.若∠A=90°，则下列等式成立的是 ( A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2 C.a2+c2=b2 D.c2-a2=b2 3.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289，则字母A所代表的正方形的面积为( ) A.4 B.8 C.16 D.64 4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D为AB边上的一点，连接CD,过点A作AE⊥CD 交CD的延长线于点E.已知AB=20,BC=15,CE=24. (1)求线段AC的长. (2)求线段AE的长. ·1· 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 当堂练习 1.某校的长方形操场如图所示，如果一名学生要从A处走到C处，至少要走( A.140m B.120m C.100m D.90m A D 60m -----日D BL A E 80m AKKKA B D (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.星期天，小华在公园放风筝，其示意图如图所示，小华为计算风筝的高度，测得风筝线 的长BC=15m,BD=12m.已知小华的身高AB=1.7m,则风筝离地面的高度CE为 m. 3.如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长AC为26cm,底边上的高AD 为10cm,则底边BC的长为 cm. 4.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵 爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方 形，用它可以验证勾股定理.请写出验证过程.（提示：利用大正方形的面积的两种不同 求法列出等式) 5.如图，线段AB是电杆的一条固定拉线，AB=2.5m,BC=1.5m,另一条拉线A1B1在 地面上的固定点B1到杆底C的距离B1C=2.4m,拉线A1B1=2.5m.求电杆上两固 定点A和A1的距离. ·2· 2 一定是直角三角形吗 知识梳理 ①如果三角形三条边的长度a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形 ②满足a2+b2=c2的三个 ,称为勾股数. 当堂练习 1.下列各组数是勾股数的是 ( A.3,4,5 B.1.5,2,2.5 C.32,42,52 ng子日 2.一个直角三角形的三边长分别为6,8,10，对应的角分别为∠A,∠B,∠C,则直角是 ) A.∠A B.∠B C.∠C D.不能确定 3.如图，以△ABC的三边为边长分别向外作正方形，它们的面积分别是S1,S2,S3.如果 S1+S2=S3,那么△ABC的形状是 三角形， S S. (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.如图，村庄A,C在公路l1上，村庄B在公路l2上，连接AB,BC.若BC⊥l2,且AB= 240m,AC=70m,BC=250m,则点C到直线AB的距离是m. 5.如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格 的格点（网格线的交，点）上.若∠B=27°，则∠C的度数为 6.如图，在四边形ABCD中，AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且AB⊥BC,连接AC.试说 明：AC⊥CD. 3 3勾股定理的应用 当堂练习 1.如图，湖的两端有A,B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130m, CB=120m,则AB的长为 () A.30m B.40m C.50m D.60m 北 ÷东 B (第1题图) (第2题图) 2.如图，OA=18,OB=24,AB=30,点A在点北偏西50°方向，则点B在点O() A.北偏东40°方向 B.北偏东50°方向 C.南偏东40°方向D.南偏东50°方向 3.如图，地铁口C和小明家B两地恰好处在东西方向上，且相距2km(即BC=2km),学 校A在小明家B正北方向的2km处（即AB=2km,AB⊥BC),公园D与地铁口C的 距离CD为4.5km,公园D到学校A的距离AD为3.5km.求公园、学校和小明家三 地组成的∠DAB的度数. D(公园) (学校)A B (小明家)（地铁口） 4.某设计师打造的一款项目的示意图如图所示，其BC段和垂直于地面的AB段均由不 锈钢管材打造，两段总长度为26，长方形CDEF是一木质平台的侧面示意图，测得 CD=1m,AD=15m,求AB段的长度. 。4