第五单元 运算律【导图知识卡片+知识梳理+10个考点讲练+8个奥数拓展+真题难度分层演练 共56题】-2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建运算律单元知识体系，将整数四则混合运算顺序、加法与乘法的交换律结合律、乘法分配律及易错点按“基础概念-运算技巧-易错警示”递进梳理，用对比框架图呈现运算律字母表达式与应用场景，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于分层递进的练习设计，高频考点讲练结合近两年名校易错题，如“24点”运算培养运算能力，奥数拓展通过高斯配对求和发展推理意识，真题演练分基础通关与能力提升，如鸡兔同笼问题强化应用意识。提供解题技巧与易错点拨，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

null2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 运算律『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+10个考点讲练+8个奥数拓展+真题难度分层演练 共56题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 整数四则混合运算 3 知识点二 加法和乘法的结合律和交换律 4 知识点三 乘法分配律 4 知识点四 易错点拨 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 无括号的运算顺序 5 高频考点二 带有小括号的混合运算 6 高频考点三 带有中括号的混合运算 7 高频考点四 24点 8 高频考点五 整数加法交换律 9 高频考点六 整数乘法交换律 10 高频考点七 整数加法结合律 11 高频考点八 整数减法的性质 12 高频考点九 整数乘法结合律 13 高频考点十 整数乘法分配律 14 难点突破 奥数拓展 15 奥数拓展一 带有中括号的混合运算 15 奥数拓展二 24点 16 奥数拓展三 整数加法交换律 17 奥数拓展四 整数乘法交换律 18 奥数拓展五 整数加法结合律 19 奥数拓展六 整数减法的性质 21 奥数拓展七 整数乘法结合律 23 奥数拓展八 整数乘法分配律 25 优选真题 实战演练 27 【基础通关】 27 【能力提升】 31 知识点一 整数四则混合运算 1. 四则混合运算。 （1）在不含小括号的算式中，如果只有加、减法或者只有乘、除法，要按照从左到右的顺序计算；如果既有乘、除法又有加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法。 （2）在含有小括号的算式里，要先算小括号里面的。 2. 中括号。 “[  ]”叫作中括号，在算式中和小括号的作用一样，可以改变运算顺序。在既有中括号，又有小括号的算式中，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 3.混合运算图。 知识点二 加法和乘法的结合律和交换律 1.加法交换律。 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这个规律叫加法交换律，用字母表示为 a＋ｂ ＝ b＋a。 2.乘法交换律。 两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。这个规律叫乘法交换律，用字母表示为a×ｂ ＝ ｂ×a。 温馨提示：运用加法交换律和乘法交换律可以验算加法和乘法的计算是否准确。 3.加法结合律。 三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，结果不变。这个规律叫作加法结合律，用字母表示为(a＋ｂ)＋ｃ＝a＋(ｂ＋ｃ)。 温馨提示：利用加法交换律，先把和是整十或整百的两个数交换到一起，再利用加法结合律计算，这样计算较简便。 4.减法的性质。 一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个减数的和。用字母表示：a-ｂ-ｃ＝a-(ｂ＋ｃ)。 5.乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，结果不变。这个规律叫作乘法结合律，用字母表示为(a×ｂ)×ｃ＝a×(ｂ×ｃ)。 温馨提示：乘法交换律和乘法结合律的区别:在连乘算式中，与原式相比，如果乘数位置发生了变化，运用的就是乘法交换律;如果运算顺序发生了改变，运用 的就是乘法结合律。有时，为了计算简便，会同时运用这两种运算律。 知识点三 乘法分配律 两个数的和同一个数相乘，可以先把这两个数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。用字母表示是(a＋ｂ)×ｃ＝a×ｃ＋ｂ×ｃ。 乘法分配律可以正用，也可以逆用。当出现(a＋ｂ)×ｃ 的情况时，如果a×ｃ和ｂ×ｃ计算都很简便时，那么可以先算a×ｃ和ｂ×ｃ，再把两个积相加；当出现a×c＋ｂ×ｃ的情况时，如果a＋ｂ的和正好是整十、整百、整千数，那么可以用(a＋ｂ)×ｃ来计算。 知识点四 易错点拨 易错点拨01：整数四则混合运算 1.计算不含括号的混合运算时，应先算乘除法，后算加减法。 2.在计算同一级运算时，按照从左到右的顺序进行计算。 3.混合运算中含有中括号的，一定要把中括号里面的算式全部算完才能去掉中括 号，否则运算顺序就会发生改变，结果也就发生了改变。 易错点拨02：加法和乘法的结合律和交换律 1.在减法和除法中不存在交换律。 2.加法交换律改变的是加数的位置，加法结合律改变的是运算顺序。 3.在利用加法结合律时要注意把结合的两个数用小括号括起来。 4.两个数相乘（即一个数同一个接近整十、整百、整千……的数相乘），有时不能直接应用乘法结合律，可以根据乘数的特点对乘数进行适当的变换。 易错点拨03：乘法分配律 1.运用乘法分配律进行计算时，乘数应与两个加数分别相乘，再把两个积相加。 2.乘法分配律是乘、加这两种运算之间的一种规律，而乘法交换律和乘法结合律只是乘法运算的一种规律。 高频考点一 无括号的运算顺序 【典例精讲】（25-26四年级下·河南驻马店·期末）计算5400－23×16＋80时，第一步计算( )法，第二步计算 ( )法，第三步计算( )法，添括号使运算顺序变为先算加法，再算乘法，最后算减法，原式改写为( )。 【答案】 乘 减 加 5400－23×（16＋80） 【思路引导】四则混合运算规则：没有括号时，先算乘除法，后算加减法；同级运算从左往右依次计算。想要先算加法，需要给加法部分添加小括号；要保证第二步算乘法，加法整体作为乘法的一个乘数。 【规范解答】计算5400－23×16＋80时，第一步计算乘法，第二步计算减法，第三步计算加法，添括号使运算顺序变为先算加法，再算乘法，最后算减法，原式改写为5400－23×（16＋80）。 【变式训练】（25-26四年级下·海南省直辖县级单位·期末）下面算式中，去掉括号不改变运算顺序的算式是哪一个？（    ） A．（18＋69）×（50－25） B．（18×69）－（50÷25） C．18×[（69－50）＋25] D．1000－480÷（4×8） 【答案】B 【思路引导】四则混合运算顺序：有括号先算括号内的运算，没有括号先算乘除，后算加减，同级运算从左到右依次计算，依此判断去掉括号前后运算顺序是否变化，即可解答。 【规范解答】A．原式（18＋69）×（50－25），先算小括号里的加法，再算小括号里的减法，最后计算乘法；去掉括号后算式变为18＋69×50－25，先算乘法，再算加法，最后计算减法，运算顺序改变，不符合题意； B．原式（18×69）－（50÷25），先算小括号里的乘法，再算小括号里的除法，最后计算减法；去掉括号后算式变为18×69－50÷25，先算乘法，再算除法，最后计算减法，运算顺序不变，符合题意； C．原式18×[（69－50）＋25]，先算小括号里的减法，再算中括号里的加法，最后计算乘法；去掉括号后为18×69－50＋25，先算乘法，再算减法，最后计算加法，运算顺序改变，不符合题意； D．原式1000－480÷（4×8）先算小括号里的乘法，再算括号外的除法，最后计算减法；去掉括号后为1000－480÷4×8，先算除法，再算乘法，最后算减法，运算顺序改变，不符合题意。 算式中，去掉括号不改变运算顺序的算式是（18×69）－（50÷25）。 高频考点二 带有小括号的混合运算 【典例精讲】（25-26四年级下·安徽芜湖·期末）根据、、，列成综合算式：( )。 【答案】100－（270÷45＋12）＝82 【思路引导】根据等量代换，将100－18＝82中的18替换为6＋12，再将6替换为270÷45，最后验证所得的综合算式的运算顺序是否与分步算式相同。 【规范解答】将100－18＝82中的18替换为6＋12，得100－（6＋12）＝82 将6替换为270÷45，得100－（270÷45＋12）＝82 观察其运算顺序，先算除法得到6，再算加法得到18，最后算减法得到82，与分步算式运算顺序相同。 【变式训练】（25-26四年级下·河南安阳·期末）280减33与44的和，再除以13，商是多少？列成综合算式是（    ）。 A．[280－（33＋44）]÷13 B．[（280－33）＋44]÷13 C．（280－33＋44）÷13 D．280－[（33＋44）÷13] 【答案】A 【思路引导】先算33与44的和，再算280减这个和的差，最后用差除以13，需要添加括号保证运算顺序正确。 【规范解答】先计算加法： 再计算减法： 最后计算除法，需将减法部分用中括号括起来，综合算式为： 高频考点三 带有中括号的混合运算 【典例精讲】（25-26四年级下·河南驻马店·期末）若把算式“16×500－200÷50”的运算顺序改为先算减法，再算除法，最后算乘法，则算式变为（    ） A．16×（500－200）÷50 B．（16×500－200）÷50 C．16×[（500－200）÷50] D．16×（500－200÷50） 【答案】C 【思路引导】四则运算中括号可以改变运算顺序，先算减法要给加小括号，接下来要先算除法再算乘法，需要把整体用中括号括起来。 【规范解答】第一步，给减法运算加小括号，得到： 第二步，给包含减法的除法运算加中括号，得到： 此时算式的运算顺序为先算小括号内的减法，再算中括号内的除法，最后算括号外的乘法，符合要求。 【变式训练】（25-26四年级下·安徽铜陵·期末）把23＋57＝80、440－80＝360、360×3＝1080改写成一个综合算式：( )。 【答案】 【思路引导】按分步计算的顺序来替换：最后一步算的是360×3，而360是由440－80得到的，先把360替换成440－80，得到 （440－80）×3；这里的80又是 23＋57的结果，再把80替换成23＋57，因为要先算加法、再算减法、最后算乘法，所以要给加法加上小括号，就能得到符合运算顺序的综合算式了。 【规范解答】 [440－（23＋57）]×3 ＝[440－80]×3 ＝360×3 ＝1080 把23＋57＝80、440－80＝360、360×3＝1080改写成一个综合算式：[440－（23＋57）]×3＝1080。 高频考点四 24点 【典例精讲】（25-26四年级下·河北唐山·期末）运用＋，－，×，÷和括号，每个数都要用上，但只能用一次，结果是24。 ①2，4，4，6； ②1，2，3，6。 【答案】①（2×4－4）×6＝24（答案不唯一） ②（6＋2）×1×3＝24（答案不唯一） 【思路引导】根据数的特点，四则混合运算的运算顺序，进行尝试凑数或添加运算符号即可解决问题。 ①先考虑乘法运算4×6＝24，2乘4得8，8减4得4，4与6相乘得24。 ②先考虑乘法运算3×8＝24，6加2得8，8乘1得8，8与3相乘得24。 【规范解答】①（2×4－4）×6 ＝（8－4）×6 ＝4×6 ＝24（答案不唯一） ②（6＋2）×1×3 ＝8×1×3 ＝8×3 ＝24（答案不唯一） 【变式训练】（25-26四年级下·广西柳州·期末）巧算24点：用数字2、4、6、8经过怎样的运算能得到24？ 列综合算式计算：_________________________________________＝24。 【答案】（8÷4＋2）×6 【思路引导】在这几个数中可以加入“＋”、“－”、“×”、“÷”符号，或者括号，数字位置可交换，只要使计算结果等于24即可，四个数字中有一个是6，4×6＝24，可以将另外三个数通过运算得到4即可。 【规范解答】（8÷4＋2）×6 ＝（2＋2）×6 ＝4×6 ＝24 列综合算式计算：（8÷4＋2）×6＝24。（答案不唯一） 高频考点五 整数加法交换律 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）计算下列各题，并运用加法交换律或乘法交换律进行验算。 156＋423＝验算：        165×78＝验算： 【答案】579；12870 【思路引导】（1）根据整数加法的计算法则可得，先将个位上的数对齐，再进行计算；验算时直接交换两个加数的位置，先将个位上的数对齐，再进行计算。 （2）先用两位数的个位乘三位数，得到的末位和两位数的个位对齐；再用两位数的十位去乘三位数，得到的末位和两位数的十位对齐；最后将两次乘得的数相加即可；验算时直接交换两个乘数的位置，先用三位数的个位乘两位数，得到的末位和三位数的个位对齐；再用三位数的十位去乘两位数，得到的末位和三位数的十位对齐；再用三位数的百位去乘两位数，得到的末位和三位数的百位对齐；最后将三次乘得的数相加即可。 【规范解答】156＋423＝579                   165×78＝12870 验算：       验算： 【变式训练】（25-26四年级下·福建龙岩·期末）4月15日是全民国家安全教育日。学校组织学生观看“防溺水”教育宣传片。四年级有268名学生观看，五年级有278名学生观看，六年级有332名学生观看。这三个年级一共有多少名学生观看？ 【答案】 878名 【思路引导】把三个年级的观看人数相加，就是三个年级一共观看的人数，可利用加法交换律凑整简便计算。 【规范解答】268＋278＋332 ＝268＋332＋278 ＝600＋278 ＝878（名） 答：这三个年级一共有878名学生观看。 高频考点六 整数乘法交换律 【典例精讲】（25-26四年级下·福建漳州·期末）同学们参加“六一”文艺表演，每人发一把扇子。学校准备的扇子够吗？ 【答案】 够 【思路引导】要判断扇子是否足够，需要先用25乘9，求出每支队伍的人数，再乘4，计算出参加表演的总人数，（计算时根据乘法交换律，进行计算），再将总人数和扇子总数比较大小。 【规范解答】25×9×4 ＝25×4×9 ＝100×9 ＝900（人） 900＜1000 答：学校准备的1000把扇子够。 【变式训练】（25-26四年级下·陕西渭南·阶段检测）下面运算结果不相等的一组是（    ）。 A．165－99与165－100－1 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【思路引导】选项A：根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），进行计算分析。 选项B：根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），进行分析。 选项C：根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，进行分析。 选项D：根据乘法交换律：a×b＝b×a，进行分析。 【规范解答】A．计算得165－99＝66，165－100－1＝64，结果不相等；简便推导也可得：165－99＝165－（100－1）＝165－100＋1，和165－100－1结果不相等。 B．根据除法的性质：连续除以两个数，等于除以两个数的乘积，二者结果相等。 C．根据乘法分配律提取公因数56，36×56＋56×64＝（36＋64）×56，二者结果相等。 D．根据乘法交换律，交换两个乘数位置积不变，36×71＝71×36，二者结果相等。 高频考点七 整数加法结合律 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）观察每个算式中加数的特点并计算。 465＋56＋35        165＋127＋273        81＋342＋119＋58 132＋（487＋268）        111＋112＋113＋114＋115＋116＋117＋118＋119 【答案】556；565；600； 887；1035 【思路引导】观察算式加数特征，算式中存在能凑成整百、整千的数，需要交换加数位置、重新结合分组，运用加法交换律：a＋b＝b＋a和加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），简化计算；有括号可以去括号重新组合。 【规范解答】465＋56＋35 ＝465＋35＋56 ＝500＋56 ＝556 165＋127＋273 ＝165＋（127＋273） ＝165＋400 ＝565 81＋342＋119＋58 ＝（81＋119）＋（342＋58） ＝200＋400 ＝600 132＋（487＋268） ＝132＋487＋268 ＝132＋268＋487 ＝400＋487 ＝887 111＋112＋113＋114＋115＋116＋117＋118＋119 ＝（111＋119）＋（112＋118）＋（113＋117）＋（114＋116）＋115 ＝230＋230＋230＋230＋115 ＝460＋230＋230＋115 ＝690＋230＋115 ＝920＋115 ＝1035 【变式训练】（25-26四年级下·河南新乡·期末）算式156＋272＋128＝156＋（272＋128）运用了（    ）。 A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】B 【思路引导】加法交换律是两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法结合律是三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，据此判断即可。 【规范解答】算式中等号左右的三个加数156、272、128的位置没有发生改变，仅等号右侧改变了运算顺序，优先计算后两个数272与128的和，符合加法结合律的特征。 高频考点八 整数减法的性质 【典例精讲】（25-26四年级下·安徽铜陵·期末）小丽在计算□－（235＋65）时，错算成□－235＋65，她的结果与正确结果相比，（    ）。 A．一样大 B．大65 C．大130 D．小130 【答案】C 【思路引导】先把正确算式去括号，再和错误算式对比，根据减法的性质逆运算计算两个结果的差值即可判断。 【规范解答】正确结果： 错误结果： 即错误结果比正确结果大130。 【变式训练】（25-26四年级下·河南郑州·期末）乐乐发现在计算一些题目时，去掉括号可以改变运算顺序，让运算简便，如：a＋（b＋c）＝a＋b＋c、a－（b＋c）＝a－b－c。 (1)在计算“a－（b－c）”这样的题目时，去掉括号，等号后面怎样写？你能通过举例或说理的方式进行研究吗？把研究过程记录下来。 (2)通过刚才的研究，你有什么发现？写一写。 【答案】(1)原式a－（b－c）可以看作a＋[－（b－c）]，即a＋（－b＋c）。因此，去掉括号后，表达式变为：a－b＋c。 (2)根据减法的性质，括号前为减号时，括号内各项符号需改变。 【思路引导】括号前是“－”号，去括号后，括号里各项符号都要改变，括号前是“＋”号，去括号后，括号里各项的符号都不变。 【规范解答】（1）答：原式a－（b－c）可以看作a＋[－（b－c）]，即a＋（－b＋c）。因此，去掉括号后，表达式变为：a－b＋c。 （2）答：根据减法的性质，括号前为减号时，括号内各项符号需改变。 高频考点九 整数乘法结合律 【典例精讲】（25-26四年级下·河南新乡·期末）一个计算器上的数字键“6”坏了，如果想用这个计算器计算218×16，应该怎么按键呢？请你用算式表示出来：( )。 【答案】218×2×8（答案不唯一） 【思路引导】可以将16分成不含有6的几个数的积的形式，再用218依次乘分成的几个数，即可解答。 【规范解答】例如：16＝2×8 所以，按键可以用算式表示为：218×2×8。（答案不唯一） 【变式训练】（25-26四年级下·河南周口·期末），运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．交换律＋结合律 【答案】C 【思路引导】两个数相乘，交换乘数的位置积不变，是乘法交换律；三个数相乘，可以先把前两个数相乘再乘第三个数，也可以先把后两个数相乘再和第一个数相乘，结果不变，是乘法结合律。 【规范解答】8×29×125＝29×8×125，此步骤交换了8和29的位置，运用了乘法交换律； 29×8×125＝29×（8×125），此步骤先计算后两个数的乘积，运用了乘法结合律。因此原式同时运用了乘法交换律和乘法结合律。 高频考点十 整数乘法分配律 【典例精讲】（25-26四年级下·山西临汾·期末）计算下面各题，怎样算简便就怎样算。          【答案】9600；661；100000 【思路引导】运用乘法分配律； 把括号去掉简便计算； 把32看作8×4，利用乘法结合律，先算125×8，再算4×25，最后把它们的积相乘。 【规范解答】 【变式训练】（25-26四年级下·河南安阳·期末）用计算器计算“1528×49”时，发现数字键“4”坏了。如果还用这个计算器，你会怎样计算？请写出算式( )。 【答案】1528×7×7或1528×50－1528 【思路引导】计算器数字键“4”损坏，不能直接输入49；可以运用乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或乘法分配律：a×c－b×c＝（a－b）×c，对乘数49进行等值变形，避开数字“4”。 【规范解答】乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c） 把49拆成7×7，算式变为：1528×7×7 乘法分配律：a×c－b×c＝（a－b）×c 把49看成50－1，算式变为：1528×（50－1）＝1528×50－1528 任选一个填写即可。 奥数拓展一 带有中括号的混合运算 【典例精讲】苹果每箱30千克，梨每箱25千克。水果店卖出苹果和梨各20箱，卖出的苹果比梨多多少千克？两位同学分别作了如下解答： 小芳：30×20－25×20 ＝600－500 ＝100（千克） 小东：（30－25）×20 ＝5×20 ＝100（千克） （1）你觉得哪些同学的解法正确？在相应的名字上面画“√”。 （2）在你认为正确的解法中，你喜欢谁的？请你用文字说明这种解法的思路。 【答案】（1）两位同学的解法都正确，见详解 （2）我喜欢小东的解法，先算出每箱苹果和每箱梨相差多少千克，又已知苹果和梨都卖出20箱，用相差的重量乘卖出的总箱数即可得到卖出的苹果比卖出的梨多多少千克。（答案不唯一） 【思路引导】根据给出的两位同学的算式，小芳是先算出各自的重量再相减，小东是先算出两者一箱的差值，再算总差值，据此解答即可。 【规范解答】（1）两位同学的解法都正确 √小芳：30×20－25×20 ＝600－500 ＝100（千克） √小东：（30－25）×20 ＝5×20 ＝100（千克） （2）我喜欢小东的解法，先算出每箱苹果和每箱梨相差多少千克，又已知苹果和梨都卖出20箱，用相差的重量乘卖出的总箱数即可得到卖出的苹果比卖出的梨多多少千克。（答案不唯一） 【考点剖析】本题主要借助不同的解答方法，考查了数学知识的综合应用。 【变式训练】两数相除商是5，余数是23。已知被除数、除数、商和余数的总和是255，请你求出除数是多少。 （1）根据“两数相除商是5，余数是23”，请你表示被除数和除数的关系。 （2）依据你的思路，写出完整的解答过程。 【答案】（1）被除数＝除数×5＋23 （2）见详解 【思路引导】（1）根据被除数＝除数×商＋余数，又知道“两数相除商是5，余数是23”，所以被除数＝除数×5＋23。 （2）因为被除数、除数、商和余数的总和是255，所以用255减去商5，再减去余数23，求出被除数和除数的和；又因为被除数除以除数有余数，再把余数减去；两数相除商是5，所以被除数是除数的5倍，被除数和除数共（5＋1）份数，所以最后再除以（5＋1）即可求出除数。 【规范解答】（1）被除数和除数的关系是：被除数＝除数×5＋23。 （2）255－5－23＝227 （227－23）÷（5＋1） ＝204÷（5＋1） ＝204÷6 ＝34 答：除数是34。 【考点剖析】此题主要考查的是在有余数的除数算式中，被除数＝除数×商＋余数。 奥数拓展二 24点 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）用6，2，7，4这四个数字，写出一道得数是24的算式：( )。 【答案】（6＋2）×（7－4）＝24 【思路引导】算24点常用思路：凑3×8、4×6、2×12，或是通过加减混合运算得出24。给定数字6、2、7、4，可以尝试不同组合方式。 【规范解答】想要算出24，可以利用8×3＝24。用6和2相加得到8，7和4相减得到3，再将两个结果相乘。 （6＋2）×（7－4） ＝8×3 ＝24 算式：（6＋2）×（7－4）＝24 （答案不唯一） 【变式训练】（25-26四年级下·河北邯郸·期末）用2、3、5、7四个数字，经过怎样的运算才能得到24？写出这个算式：( )。 【答案】 【思路引导】先思考哪些整数运算能得到24，例如3×8＝24，4×6＝24，12×2＝24，或者21＋3＝24等。然后观察给定的数字2、3、5、7，尝试通过加、减、乘、除及括号凑出上述组合中的数字。注意每个数字只能使用一次。 【规范解答】思路一：构造21＋3＝24。因为3×7＝21，剩余数字为2和5。 观察发现5−2＝3。 所以可以将5−2的差与7相乘，再加上3。 列综合算式为： （5−2）×7＋3 ＝3×7＋3 ＝21＋3 ＝24 思路二：构造15＋9＝24。因为3×5＝15，剩余数字为2和7。 观察发现7＋2＝9。 所以可以将3与5的积加上7与2的和。 列综合算式为： 3×5＋7＋2 ＝15＋7＋2 ＝22＋2 ＝24。 奥数拓展三 整数加法交换律 【典例精讲】（23-24四年级下·全国·课后作业）你会用高斯配对求和的方法计算1＋3＋5＋7＋…＋57＋59吗？试试吧！ （1）算一算：1＋3＋5＋7＋…＋57＋59 （2）我发现：配对求和的解题关键：先观察算式中数据的特点，若算式中数据两两（    ）可以凑成某个（    ）的数，可利用（    ）法将数据两两结合再进行计算。分组时注意一共分成了多少组，有没有数据遗漏。 【答案】（1）900； （2）结合；相同；配对 【思路引导】（1）观察题目可发现算式是1－59所有奇数相加，首尾相加等于60，第二个加数和倒数第二个加数等于60，以此类推，全部两两结合进行计算即可。 （2）根据（1）的解题方法，找出类似题型的解题思路解答即可。 【规范解答】（1）1＋3＋5＋7＋…＋57＋59 ＝（1＋59）＋（3＋57）＋（5＋55）＋…＋（29＋31）两两配对，共15组 ＝60＋60＋60＋…＋60 ＝60×15 ＝900 （2）配对求和的解题关键：先观察算式中数据的特点，若算式中数据两两结合可凑成某个相同的数，可利用配对法将数据两两结合再进行计算。分组时注意一共分成了多少组，有没有数据遗漏。 【考点剖析】本题应仔细观察数据，发现数据规律是解答此题的关键。 【变式训练】（    ）。 A．460 B．440 C．420 D．400 【答案】D 【思路引导】利用加法交换律和结合律，凑成每两个加数相加等于20，再计算。 【规范解答】 ＝（1＋19）＋（2＋18）＋…＋20＋…＋（18＋2）＋（19＋1） ＝20×20 ＝400 故答案为：D 【考点剖析】认真观察算式，找出其中的规律，数出一共有多少个20相加是解题关键。 奥数拓展四 整数乘法交换律 【典例精讲】请用简便方法计算，并写出过程。 57＋66＋43        653－198            455－（155＋30） 999＋99＋9＋3             50－49＋48－47＋…＋4－3＋2－1 【答案】166；455；270 1110；25 【思路引导】①根据加法交换律，计算即可； ②198＝200－2，根据减法的性质，计算即可； ③根据减法的性质，计算即可； ④3＝1＋1＋1，然后根据加法交换律和结合律，计算即可； ⑤50－49＝1，48－47＝1，…4－3＝1，2－1＝1，根据加法结合律，计算即可。 【规范解答】①57＋66＋43 ＝57＋43＋66 ＝100＋66 ＝166 ②653－198 ＝653－（200－2） ＝653－200＋2 ＝453＋2 ＝455 ③455－（155＋30） ＝455－155－30 ＝300－30 ＝270 ④999＋99＋9＋3 ＝999＋99＋9＋（1＋1＋1） ＝（999＋1）＋（99＋1）＋（9＋1） ＝1000＋100＋10 ＝1110 ⑤50－49＋48－47＋…＋4－3＋2－1 ＝（50－49）＋（48－47）＋…＋（4－3）＋（2－1） ＝1＋1＋…＋1＋1 ＝1×（50÷2） ＝25 【变式训练】（24-25四年级下·全国·单元复习）简算： 202220222022×2023－202320232023×2022。 【答案】0 【思路引导】遇到较大数的简算题时，可将较大数转换成较小数；202220222022＝2022×100010001；202320232023＝2023×100010001，所以202220222022×2023－202320232023×2022＝2022×100010001×2023－2023×100010001×2022，再利用乘法交换律为2023×100010001×2022－2023×100010001×2022，结果是0。 【规范解答】202220222022×2023－202320232023×2022 ＝2022×100010001×2023－2023×100010001×2022 ＝2023×100010001×2022－2023×100010001×2022 ＝0 【考点剖析】把大数转化成两个数相乘的形式，并够熟练使用运算定律是解决本题关键。 奥数拓展五 整数加法结合律 【典例精讲】用简便方法计算。 35＋37＋39＋41＋…＋81＋83＋85 【答案】1560 【思路引导】观察这个算式，每个加数比前一个加数大2，第一个加数是35，最后一个加数是85，则一共有（85－35）÷2＋1＝26个加数。根据加法交换律和加法结合律可知，第一个加数与最后一个加数的和是35＋85＝120，第二个加数与倒数第二个加数的和是37＋83＝120。这26个加数可分成26÷2＝13组，每组的和是120，得数是120×13＝1560。 【规范解答】35＋37＋39＋41＋…＋81＋83＋85 ＝（35＋85）＋（37＋83）＋……＋（59＋61） ＝120×13 ＝1560 【考点剖析】熟记加法运算律是解题关键。 【变式训练】（23-24四年级下·河北·假期作业）下面算式结果的末尾有多少个连续的0？ 【答案】4046个 【思路引导】先把写成，写成，然后利用乘法分配律把算式展开变为，再利用带符号搬家变为，最后利用加法结合律与乘法分配律变为，先算小括号内的加法和减法，得到，即可求解。 【规范解答】 答：有4046个连续的0。 【考点剖析】解答本题的关键是要熟练运用乘法运算律和加法运算律。 奥数拓展六 整数减法的性质 【典例精讲】（23-24四年级下·河北·假期作业）简便计算下面各题。 （1）9999×7777＋3333×6666 （2）2023×12341234－20232023×1234 （3）198198198198÷18018018018 （4）（1＋93＋94）×（93＋34＋65）－（1＋93＋34＋65）×（93＋94） 【答案】（1）9980001； （2）0； （3）11； （4）5 【思路引导】（1）根据积不变的规律把算式变成9999×7777＋9999×2222，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c变成9999×（7777＋2222）使得计算简便。 （2）2023×12341234－20232023×1234变成2023×10001×1234－2023×10001×1234使得计算简便。 （3）198198198198÷18018018018根据商不变的规律，被除数和除数同时除以1001001001使得计算简便。 （4）运用设数法，假设93＋94＝a，93＋34＋65＝b，把算式变成（1＋a）×b－（1＋b）×a，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c和减法的性质a－b－c＝a－（b＋c），使得原数变成b－a，这样再把算式代入算出结果。 【规范解答】（1）9999×7777＋3333×6666 ＝9999×7777＋9999×2222 ＝9999×（7777＋2222） ＝9999×9999 ＝（10000－1）×9999 ＝10000×9999－1×9999 ＝99990000－9999 ＝99980001 （2）2023×12341234－20232023×1234 ＝2023×10001×1234－2023×10001×1234 ＝0 （3）198198198198÷18018018018 ＝（198×1001001001）÷（18×1001001001） ＝198÷18 ＝11 （4）设93＋94＝a，93＋34＋65＝b， 那么原式转化为 （1＋a）×b－（1＋b）×a ＝b＋a×b－a－b×a ＝b－a ＝93＋34＋65－93－94 ＝5 【考点剖析】乘法分配律是常用的简便运算的方法，这里要根据数字的特点，灵活运用。 【变式训练】（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）（7×1－3×1）＋（7×3－3×2）＋（7×5－3×3）＋…＋（7×49－3×25）＝( )。 【答案】3400 【思路引导】先去掉原算式的括号，再交换位置，把原式变成7×1＋7×3＋7×5＋…＋7×49－3×1－3×2－3×3－…－3×25，然后根据加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）以及减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把算式变成（7×1＋7×3＋7×5＋…＋7×49）－（3×1＋3×2＋3×3＋…＋3×25），再根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，把算式变成7×（1＋3＋5＋…＋49）－3×（1＋2＋3＋…＋25），第一个括号里面是从1到49连续奇数之和，第二个括号里面是从1到25连续自然数之和，根据“（首项＋末项）×项数÷2”求出括号里面数的和，再按顺序计算即可得解。 【规范解答】（7×1－3×1）＋（7×3－3×2）＋（7×5－3×3）＋…＋（7×49－3×25） ＝7×1－3×1＋7×3－3×2＋7×5－3×3＋…＋7×49－3×25 ＝7×1＋7×3＋7×5＋…＋7×49－3×1－3×2－3×3－…－3×25 ＝（7×1＋7×3＋7×5＋…＋7×49）－（3×1＋3×2＋3×3＋…＋3×25） ＝7×（1＋3＋5＋…＋49）－3×（1＋2＋3＋…＋25） ＝7×（1＋49）×25÷2－3×（1＋25）×25÷2 ＝7×50×25÷2－3×26×25÷2 ＝4375－975 ＝3400 【考点剖析】先去掉括号，交换位置，再灵活运用乘法分配律进行简算是解题的关键。 奥数拓展七 整数乘法结合律 【典例精讲】简便计算。 9999×2222＋3333×3334        2014×20152015－2015×20142014 981＋5×9810＋49×981           123×456÷789÷456×789÷123 2＋4＋6＋……＋100           （2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999） 【答案】33330000；0 98100；1 2550；1000 【思路引导】（1）把9999拆成3333×3，然后运用乘法结合律把式子化为3333×6666＋3333×3334，再运用乘法分配律进行计算即可； （2）把20152015拆成2015×10001，20142014拆成2014×10001，再运用乘法结合律和乘法分配律进行计算即可； （3）把9810拆成981×10，再运用乘法交换律和乘法分配律进行计算即可； （4）同级运算可以带符号交换位置，把原式化为（123÷123）×（456÷456）×（789÷789）再进行计算即可； （5）观察算式由2＋4＋6＋……＋100，共有100÷2＝50个数，首位相加依次相加则共有25组102，再运用乘法分配律进行计算即可； （6）每个数列都有1000 项，因此我们可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到1000个差，再求出所有差的和。 【规范解答】9999×2222＋3333×3334 ＝（3333×3）×2222＋3333×3334 ＝3333×（3×2222）＋3333×3334 ＝3333×6666＋3333×3334 ＝3333×（6666＋3334） ＝3333×10000 ＝33330000 2014×20152015－2015×20142014 ＝2014×（2015×10001）－2015×（2014×10001） ＝（2014×2015）×10001－（2015×2014）×10001 ＝（2014×2015）×（10001－10001） ＝（2014×2015）×0 ＝0 981＋5×9810＋49×981 ＝981＋5×981×10＋49×981 ＝981＋5×10×981＋49×981 ＝981＋50×981＋49×981 ＝（1＋50＋49）×981 ＝100×981 ＝98100 123×456÷789÷456×789÷123 ＝123÷123×456÷456×789÷789 ＝（123÷123）×（456÷456）×（789÷789） ＝1×1×1 ＝1×1 ＝1 2＋4＋6＋……＋100 ＝（2＋100）×50÷2 ＝（2＋100）×（50÷2） ＝（2＋100）×25 ＝2×25＋100×25 ＝50＋2500 ＝2550 （2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999） ＝（2－1）＋（4－3）＋（6－5）……＋（2000－1999） ＝1＋1＋1＋1……＋1 ＝1000 【考点剖析】熟记乘法运算律并灵活运用是解题关键。 【变式训练】（23-24四年级下·全国·课后作业）用简便方法计算。 9999×2222＋3333×3334 【答案】33330000 【思路引导】把9999看作是3333与3的积，利用乘法结合律，把9999×2222变为：（3333×3）×2222＝3333×（3×2222）； 把3334看作是3333与1的和，利用乘法分配律，把3333×3334变为：3333×（3333＋1）＝3333×3333＋3333×1； 最后再利用乘法分配律，即可简算。 【规范解答】9999×2222＋3333×3334 ＝（3333×3）×2222＋3333×（3333＋1） ＝3333×（3×2222）＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×6666＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×（6666＋3333＋1） ＝3333×10000 ＝33330000 【考点剖析】根据数据的特点找出相同的因数再运用乘法分配律简便计算。 奥数拓展八 整数乘法分配律 【典例精讲】脱式计算。 （1）127×72＋127×28      （2）104×46     （3）864÷[（27－23）×12] 【答案】（1）12700；（2）4784；（3）18 【思路引导】（1）（2）运用乘法分配律简算； （3）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外面的除法。 【规范解答】（1）127×72＋127×28 ＝127×（72＋28） ＝127×100 ＝12700 （2）104×46 ＝（100＋4）×46 ＝100×46＋4×46 ＝4600＋184 ＝4784 （3）864÷[（27－23）×12] ＝864÷[4×12] ＝864÷48 ＝18 【变式训练】递等式计算。 （1）         （2） （2）                   （4） 【答案】（1）14927；（2）93636 （3）111000；（4）2968 【解析】第（1）题，先算乘法和除法，再算减法；第（2）题，113除以113结果是1，再计算306乘306；第（3）题，把888写成111乘8，凑整计算；第（4）题，两个数的和除以一个数，等于这两个数分别除以这个数，得到的结果再相加。 【规范解答】（1） （2） （3） （4） 【基础通关】 1．（25-26四年级下·山西长治·期末）奇奇在简便运算时，将316－99算成316－100－1，得到的结果比正确结果（    ）。 A．多1 B．多2 C．少2 D．少1 【答案】C 【思路引导】计算时，把99看作100来减，原本多减了1要补加1，错算成再减1，一共多减了2，结果就比正确结果少2。 【规范解答】正确结果： ＝316－（100－1） ＝316－100＋1 ＝216＋1 ＝217 错误结果： 相差： 得到的结果比正确结果少2。 2．（25-26四年级下·山西太原·期末）爸爸今年40岁，比小红年龄的4倍还大4岁，小红今年（    ）岁。 A．9 B．11 C．14 D．6 【答案】A 【思路引导】爸爸的年龄减去多出来的4岁，刚好是小红年龄的4倍，用得到的差除以4即可求出小红的年龄。 【规范解答】 （岁） 3．（25-26四年级下·河南安阳·期末）125×4×8×25＝（125×8）×（25×4）所依据的运算定律是（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【思路引导】乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变； 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变； 乘法分配律：两个数的和（差）与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加（减）。 【规范解答】原式为，首先交换因数4和8的位置，得到，这一步运用了乘法交换律； 再添加括号将和结合、和结合优先计算，得到，这一步运用了乘法结合律。因此该变形同时用到乘法交换律和结合律。 4．（25-26四年级下·山西临汾·期末）研学团甲乙两队共86人，甲比乙多14人，甲队( )人。 【答案】 50 【思路引导】已知甲乙两队的总人数（和）是86人，甲队比乙队多的人数（差）是14人，要求甲队人数（大数）。根据和差问题的数量关系，若给乙队加上14人，则两队人数相等，总人数变为原来的和加上差，此时总人数相当于甲队人数的2倍。依据公式：（和＋差）÷2＝大数，即可求出甲队人数。 【规范解答】（86＋14）÷2 ＝100÷2 ＝50（人） 5．（25-26四年级下·山西临汾·期末）聪聪用计算器计算时，发现数字键“6”坏了。请你设计另一种方案，使他还能用计算器计算：( )。（写算式） 【答案】 【思路引导】计算器数字键“6”损坏，不能直接输入26，需要把26改写成不含数字6的算式。可以拆分：26＝2×13，或者26＝25＋1，或者26＝52÷2。 【规范解答】由分析可得使他还能用计算器计算：。（答案不唯一） 6．（25-26四年级下·河南安阳·期末）135－75＋25＝135－（75＋25）。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据减法的性质，将等于号右边的算式改写为135－75－25，再与左边的算式比较即可。 【规范解答】因为135－（75＋25）＝135－75－25 又因为算式135－75－25与算式135－75＋25不相等 所以135－75＋25＝135－（75＋25）不成立，原题说法错误。 故答案为：× 7．（25-26四年级下·河南信阳·期末）小丽用简便方法计算25×39时，误算成25×40－1，她算的结果比正确结果多24。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】先根据乘法分配律算出25×39的正确结果，再算出误算的结果，比较二者的差值即可判断。 【规范解答】正确结果： ＝ ＝ ＝ 误算的结果： 相差：，即误算的结果比正确结果多24。原题说法正确。 故答案为：√ 8．（25-26四年级下·山西长治·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 [196＋（84－12）]×5    101×87 99×38＋38        48×125 【答案】1340；8787； 3800；6000 【思路引导】先算小括号里的减法，再算中括号里的加法，最后算乘法； 101可拆为100＋1，利用乘法分配律，分别用100和1乘87后再相加； 可把单独的38看作38×1，利用乘法分配律，提取公因数38后计算剩余项的和，再与38相乘； 48可拆为6×8，且8×125的积为整千数，利用乘法结合律，先算8乘125，再乘6。 【规范解答】[196＋（84－12）]×5 ＝[196＋72]×5 ＝268×5 ＝1340 101×87 ＝（100＋1）×87 ＝100×87＋87 ＝8700＋87 ＝8787 99×38＋38 ＝（99＋1）×38 ＝100×38 ＝3800 48×125 ＝（6×8）×125 ＝6×（8×125） ＝6×1000 ＝6000 9．（25-26四年级下·河南安阳·期末）合唱社团准备为队员们购买演出服装，上衣每件128元，裤子每条72元，合唱社团要买36套，需要花多少钱？ 【答案】7200元 【思路引导】每件上衣的价钱乘买的套数，等于上衣总共需要的钱，每条裤子的价钱乘买的套数，等于裤子总共需要的钱，然后相加即等于买36套需要花的钱，可以根据乘法分配律简便计算。 【规范解答】128×36＋72×36 ＝（128＋72）×36 ＝200×36 ＝7200（元） 答：需要花7200元。 10．（25-26四年级下·河南安阳·期末）体育器材室借毽子。 为保障课间与体育课活动需求，学校体育器材室储备了充足的毽子。原有毽子600个，二年级借走219个，（    ）。现在器材室还剩多少个毽子？ (1)根据欢欢的解法：600－219－181，把题中信息补充完整。 (2)用与欢欢不同的方法解答这道题。 【答案】(1)一年级借走181个（答案不唯一） (2)600−（219＋181）＝200（个） 【思路引导】（1）算式（600−219−181）是连续减去两个数，600是原有总数，219是二年级借走的，减去181代表还有另外一个年级借走181个，据此作答即可。 （2）先算一共借走多少，再用总数减去一共借走的，也就是带小括号的算式：总数−（二年级借走＋另一年级借走）。 【规范解答】（1）根据分析，补充条件： 一年级（其他年级也可以）借走181个。 （2）600−（219＋181） ＝600−400 ＝200（个） 答：现在器材室还剩200个毽子。 【能力提升】 1．五个人同时吃5个苹果，用了5分钟，那么10个人同时吃10个苹果，需要（    ）分钟。 A．5 B．10 C．20 D．50 【答案】A 【思路引导】由5个小朋友同时吃5个苹果需要5分钟，可知一个小朋友吃一个苹果需要5分钟，因为是同时吃苹果，所以10个小朋友同时吃10个苹果需要的时间，跟一个小朋友吃一个苹果需要的时间相同，即5分钟。 【规范解答】5÷（5÷5） ＝5÷1 ＝5（分） 5×（10÷10） ＝5×1 ＝5（分） 所以，10个人同时吃10个苹果，需要5分钟。 故答案为：A 【考点剖析】做这道题要弄明白5个小朋友同时吃5个苹果所用的时间其实就是一个小朋友吃一个苹果所用的时间，10个小朋友同时吃10个苹果其实也是一个小朋友吃一个苹果的时间，重在理解“同时”。 2．（25-26四年级下·安徽芜湖·期末）下面各图中体现了乘法分配律的有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】判断4个情境是否符合乘法分配律：公式：a×c＋b×c＝（a＋b）×c，突破口就是逐个翻译每个图对应的算式，匹配这个模型。 【规范解答】A．①125×9×8＝125×8×9：交换9和8的位置，运用乘法交换律，不体现乘法分配律； B．②小正方形总数：3×（6＋4）＝3×6＋3×4，体现乘法分配律； C．③107×28＝107×（8＋20）＝107×8＋107×20，两位数乘法竖式算理依托乘法分配律，体现乘法分配律； D．④服装总价：（46＋54）×28＝46×28＋54×28，体现乘法分配律。 综上，②③④共3个符合。 3．（25-26四年级下·安徽滁州·期末）红、黄两条彩带一共长60厘米，其中红彩带比黄彩带长8厘米。求黄彩带的长度，下面的算式中，（    ）是错误的。 A．（60－8）÷2 B．（60＋8）÷2 C．60－（60＋8）÷2 【答案】B 【思路引导】较短的黄彩带长度可以用（总长度－长度差）除以2计算，也可以先算出红彩带长度，再用总长度减去红彩带长度得到。 【规范解答】A．，得到的是黄彩带的长度，算式成立； B．，得到的是红彩带长度，不能用来直接求黄彩带，所以B是错误算式； C．，先算出红彩带长度，用总长度减去红彩带长度，得到黄彩带，算式成立。 4．（25-26四年级下·山西临汾·期末）如果○＋△＝100，且○×☆＋△×☆＝2000，那么☆＝( )；如果□×★＝70，那么（□×3）×（★×3）＝( )。 【答案】 20 630 【思路引导】根据乘法分配律的逆运用，○×☆＋△×☆＝（○＋△）×☆，因为结果等于2000，○＋△＝100，所以用2000除以100即得到☆；利用乘法交换律和结合律，（□×3）×（★×3）＝（□×★）×（3×3），因为☐×★＝70，代入计算出结果即可。 【规范解答】2000÷100＝20 70×3×3 ＝210×3 ＝630 所以，如果○＋△＝100，且○×☆＋△×☆＝2000，那么☆＝20；如果☐×★＝70，那么（□×3）×（★×3）＝630。 5．鸡兔同笼，鸡比兔多10只，但鸡脚比兔脚少60条，则鸡有( )只，兔有( )只。 【答案】 50 40 【思路引导】先把差距补齐，假设减少 10 只鸡那么鸡兔只数相同，鸡脚比兔脚少：60 ＋ 10 ×2＝80（条）。将1只鸡和 1只兔分为 1 组，每组鸡脚比兔脚少：4－2＝2（条），所以一共：80÷2＝40（组），那么兔有40 只，鸡有：40＋10＝50（只）。 【规范解答】（60＋10×2）÷2 ＝（60＋20）÷2 ＝80÷2 ＝40（只） 40＋10＝50（只） 所以，鸡有50只，兔有40只。 【考点剖析】本题主要考查了鸡兔同笼问题，解答此类问题一般用假设法。 6．（25-26四年级下·河北秦皇岛·期末）计算（280－60）×（15＋12）要先求差与和，再求积。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据混合运算规则：算式中只含有同一级运算就按照从左到右的顺序计算；含有两级运算，先算乘除法，再算加减法；含有小括号的要先算小括号里面的，再算小括号外面的。据此解答即可。 【规范解答】（280－60）×（15＋12） ＝220×（15＋12） ＝220×27 ＝5940 计算（280－60）×（15＋12）要先求差与和，再求积。原题说法正确。 故答案为：√ 7．（25-26四年级下·河北衡水·期末）25×7×4＝25×4×7＝700，前面的计算运用了乘法交换律。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】乘法交换律的核心是交换因数的位置积不变，本题中仅交换了因数7和4的位置，符合乘法交换律的特征。 【规范解答】 ＝ ＝100×7 ＝700 计算过程仅交换了因数7和4的位置，符合乘法交换律的定义。说法正确。 故答案为：√ 8．（25-26四年级下·山西长治·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 （1）45＋32＋55        （2）88×125 （3）810÷9＋18×24        （4）940×[128－（154－31）] 【答案】 （1）132；（2）11000； （3）522；（4）4700 【思路引导】（1）用加法交换律，先算能凑整的45＋55＝100，再加32。 （2）把88拆成8×11，利用8×125＝1000的常用凑整组合简便计算。 （3）先算除法和乘法，再算加法。 （4）先算小括号里的减法，再算中括号的减法，最后算乘法。 【规范解答】（1）45＋32＋55 ＝45＋55＋32 ＝100＋32 ＝132 （2）88×125 ＝11×8×125 ＝11×（8×125） ＝11×1000 ＝11000 （3）810÷9＋18×24 ＝90＋432 ＝522 （4）940×[128－（154－31）] ＝940×[128－123] ＝940×5 ＝4700 9．（25-26四年级下·安徽滁州·期末）“五一”期间某超市开展优惠活动，其中一款袋装饼干的优惠活动如下： 袋数 1－50 51－100 100以上 价格 15元/袋 12元/袋 10元/袋 乐乐幼儿园大（1）班有32人，大（2）班有35人，大（3）班有36人。 (1)如果三个班分别购买，一共需要多少元？ (2)经过协商，三个班决定合起来购买，可以节省多少元？ 【答案】(1) 1545元 (2) 515元 【思路引导】（1）依题意可知：乐乐幼儿园1）班有32人，大（2）班有35人，大（3）班有36每个班人数都在1-50区间，所以适用15元/袋的单价，用每个班的人数乘15，分别计算出每个班的购买费用，然后求和即可； （2）先计算三个班的总人数，用可求得总人数，判断总人数对应的优惠区间，确定合一起购买的单价，计算出合买的总费用，再用分别购买的总费用减去合买的总费用，得到节省的金额。 【规范解答】（1） （元） 答：三个班分别购买，一共需要元。 （2） （人） （元） （元） 答：三个班合起来购买，可以节省元。 10．（25-26四年级下·山东临沂·期末）王老师将一筐苹果分给学生，若分给一组每人5个，则余下10个苹果；若分给二组每人8个，则缺2个苹果，已知二组比一组少3名学生。这筐苹果有多少个？ 【答案】70个 【思路引导】二组比一组少3人。先用8乘3，求出如果二组增加3人、人数与一组相同时，这3人还需要24个苹果；再加上原来缺的2个，得到按每人8个分时共缺26个。按每人5个分余10个，按每人8个分缺26个，盈亏总差是10加26等于36个；每人分得的数量相差8减5等于3个，用36除以3求出一组有12人。最后用12乘5再加余下的10个，求出苹果总数是70个。 【规范解答】假设二组人数和一组同样多，每人分8个苹果时，共缺： 8×3＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 一组人数： （10＋26）÷（8－5） ＝36÷3 ＝12（人） 苹果总数： 12×5＋10 ＝60＋10 ＝70（个） 答：这筐苹果有70个。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 运算律『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+10个考点讲练+8个奥数拓展+真题难度分层演练 共56题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 整数四则混合运算 3 知识点二 加法和乘法的结合律和交换律 4 知识点三 乘法分配律 4 知识点四 易错点拨 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 无括号的运算顺序 5 高频考点二 带有小括号的混合运算 6 高频考点三 带有中括号的混合运算 6 高频考点四 24点 6 高频考点五 整数加法交换律 7 高频考点六 整数乘法交换律 7 高频考点七 整数加法结合律 7 高频考点八 整数减法的性质 8 高频考点九 整数乘法结合律 8 高频考点十 整数乘法分配律 8 难点突破 奥数拓展 9 奥数拓展一 带有中括号的混合运算 9 奥数拓展二 24点 10 奥数拓展三 整数加法交换律 10 奥数拓展四 整数乘法交换律 10 奥数拓展五 整数加法结合律 11 奥数拓展六 整数减法的性质 11 奥数拓展七 整数乘法结合律 12 奥数拓展八 整数乘法分配律 12 优选真题 实战演练 13 【基础通关】 13 【能力提升】 14 知识点一 整数四则混合运算 1. 四则混合运算。 （1）在不含小括号的算式中，如果只有加、减法或者只有乘、除法，要按照从左到右的顺序计算；如果既有乘、除法又有加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法。 （2）在含有小括号的算式里，要先算小括号里面的。 2. 中括号。 “[  ]”叫作中括号，在算式中和小括号的作用一样，可以改变运算顺序。在既有中括号，又有小括号的算式中，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 3.混合运算图。 知识点二 加法和乘法的结合律和交换律 1.加法交换律。 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这个规律叫加法交换律，用字母表示为 a＋ｂ ＝ b＋a。 2.乘法交换律。 两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。这个规律叫乘法交换律，用字母表示为a×ｂ ＝ ｂ×a。 温馨提示：运用加法交换律和乘法交换律可以验算加法和乘法的计算是否准确。 3.加法结合律。 三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，结果不变。这个规律叫作加法结合律，用字母表示为(a＋ｂ)＋ｃ＝a＋(ｂ＋ｃ)。 温馨提示：利用加法交换律，先把和是整十或整百的两个数交换到一起，再利用加法结合律计算，这样计算较简便。 4.减法的性质。 一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个减数的和。用字母表示：a-ｂ-ｃ＝a-(ｂ＋ｃ)。 5.乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，结果不变。这个规律叫作乘法结合律，用字母表示为(a×ｂ)×ｃ＝a×(ｂ×ｃ)。 温馨提示：乘法交换律和乘法结合律的区别:在连乘算式中，与原式相比，如果乘数位置发生了变化，运用的就是乘法交换律;如果运算顺序发生了改变，运用 的就是乘法结合律。有时，为了计算简便，会同时运用这两种运算律。 知识点三 乘法分配律 两个数的和同一个数相乘，可以先把这两个数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。用字母表示是(a＋ｂ)×ｃ＝a×ｃ＋ｂ×ｃ。 乘法分配律可以正用，也可以逆用。当出现(a＋ｂ)×ｃ 的情况时，如果a×ｃ和ｂ×ｃ计算都很简便时，那么可以先算a×ｃ和ｂ×ｃ，再把两个积相加；当出现a×c＋ｂ×ｃ的情况时，如果a＋ｂ的和正好是整十、整百、整千数，那么可以用(a＋ｂ)×ｃ来计算。 知识点四 易错点拨 易错点拨01：整数四则混合运算 1.计算不含括号的混合运算时，应先算乘除法，后算加减法。 2.在计算同一级运算时，按照从左到右的顺序进行计算。 3.混合运算中含有中括号的，一定要把中括号里面的算式全部算完才能去掉中括 号，否则运算顺序就会发生改变，结果也就发生了改变。 易错点拨02：加法和乘法的结合律和交换律 1.在减法和除法中不存在交换律。 2.加法交换律改变的是加数的位置，加法结合律改变的是运算顺序。 3.在利用加法结合律时要注意把结合的两个数用小括号括起来。 4.两个数相乘（即一个数同一个接近整十、整百、整千……的数相乘），有时不能直接应用乘法结合律，可以根据乘数的特点对乘数进行适当的变换。 易错点拨03：乘法分配律 1.运用乘法分配律进行计算时，乘数应与两个加数分别相乘，再把两个积相加。 2.乘法分配律是乘、加这两种运算之间的一种规律，而乘法交换律和乘法结合律只是乘法运算的一种规律。 高频考点一 无括号的运算顺序 【典例精讲】（25-26四年级下·河南驻马店·期末）计算5400－23×16＋80时，第一步计算( )法，第二步计算 ( )法，第三步计算( )法，添括号使运算顺序变为先算加法，再算乘法，最后算减法，原式改写为( )。 【变式训练】（25-26四年级下·海南省直辖县级单位·期末）下面算式中，去掉括号不改变运算顺序的算式是哪一个？（    ） A．（18＋69）×（50－25） B．（18×69）－（50÷25） C．18×[（69－50）＋25] D．1000－480÷（4×8） 高频考点二 带有小括号的混合运算 【典例精讲】（25-26四年级下·安徽芜湖·期末）根据、、，列成综合算式：( )。 【变式训练】（25-26四年级下·河南安阳·期末）280减33与44的和，再除以13，商是多少？列成综合算式是（    ）。 A．[280－（33＋44）]÷13 B．[（280－33）＋44]÷13 C．（280－33＋44）÷13 D．280－[（33＋44）÷13] 高频考点三 带有中括号的混合运算 【典例精讲】（25-26四年级下·河南驻马店·期末）若把算式“16×500－200÷50”的运算顺序改为先算减法，再算除法，最后算乘法，则算式变为（    ） A．16×（500－200）÷50 B．（16×500－200）÷50 C．16×[（500－200）÷50] D．16×（500－200÷50） 【变式训练】（25-26四年级下·安徽铜陵·期末）把23＋57＝80、440－80＝360、360×3＝1080改写成一个综合算式：( )。 高频考点四 24点 【典例精讲】（25-26四年级下·河北唐山·期末）运用＋，－，×，÷和括号，每个数都要用上，但只能用一次，结果是24。 ①2，4，4，6； ②1，2，3，6。 【变式训练】（25-26四年级下·广西柳州·期末）巧算24点：用数字2、4、6、8经过怎样的运算能得到24？ 列综合算式计算：_________________________________________＝24。 高频考点五 整数加法交换律 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）计算下列各题，并运用加法交换律或乘法交换律进行验算。 156＋423＝验算：        165×78＝ 验算： 【变式训练】（25-26四年级下·福建龙岩·期末）4月15日是全民国家安全教育日。学校组织学生观看“防溺水”教育宣传片。四年级有268名学生观看，五年级有278名学生观看，六年级有332名学生观看。这三个年级一共有多少名学生观看？ 高频考点六 整数乘法交换律 【典例精讲】（25-26四年级下·福建漳州·期末）同学们参加“六一”文艺表演，每人发一把扇子。学校准备的扇子够吗？ 【变式训练】（25-26四年级下·陕西渭南·阶段检测）下面运算结果不相等的一组是（    ）。 A．165－99与165－100－1 B．与 C．与 D．与 高频考点七 整数加法结合律 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）观察每个算式中加数的特点并计算。 465＋56＋35        165＋127＋273        81＋342＋119＋58 132＋（487＋268）        111＋112＋113＋114＋115＋116＋117＋118＋119 【变式训练】（25-26四年级下·河南新乡·期末）算式156＋272＋128＝156＋（272＋128）运用了（    ）。 A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 高频考点八 整数减法的性质 【典例精讲】（25-26四年级下·安徽铜陵·期末）小丽在计算□－（235＋65）时，错算成□－235＋65，她的结果与正确结果相比，（    ）。 A．一样大 B．大65 C．大130 D．小130 【变式训练】（25-26四年级下·河南郑州·期末）乐乐发现在计算一些题目时，去掉括号可以改变运算顺序，让运算简便，如：a＋（b＋c）＝a＋b＋c、a－（b＋c）＝a－b－c。 (1)在计算“a－（b－c）”这样的题目时，去掉括号，等号后面怎样写？你能通过举例或说理的方式进行研究吗？把研究过程记录下来。 (2)通过刚才的研究，你有什么发现？写一写。 高频考点九 整数乘法结合律 【典例精讲】（25-26四年级下·河南新乡·期末）一个计算器上的数字键“6”坏了，如果想用这个计算器计算218×16，应该怎么按键呢？请你用算式表示出来：( )。 【变式训练】（25-26四年级下·河南周口·期末），运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．交换律＋结合律 高频考点十 整数乘法分配律 【典例精讲】（25-26四年级下·山西临汾·期末）计算下面各题，怎样算简便就怎样算。          【变式训练】（25-26四年级下·河南安阳·期末）用计算器计算“1528×49”时，发现数字键“4”坏了。如果还用这个计算器，你会怎样计算？请写出算式( )。 奥数拓展一 带有中括号的混合运算 【典例精讲】苹果每箱30千克，梨每箱25千克。水果店卖出苹果和梨各20箱，卖出的苹果比梨多多少千克？两位同学分别作了如下解答： 小芳：30×20－25×20 ＝600－500 ＝100（千克） 小东：（30－25）×20 ＝5×20 ＝100（千克） （1）你觉得哪些同学的解法正确？在相应的名字上面画“√”。 （2）在你认为正确的解法中，你喜欢谁的？请你用文字说明这种解法的思路。 【变式训练】两数相除商是5，余数是23。已知被除数、除数、商和余数的总和是255，请你求出除数是多少。 （1）根据“两数相除商是5，余数是23”，请你表示被除数和除数的关系。 （2）依据你的思路，写出完整的解答过程。 奥数拓展二 24点 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）用6，2，7，4这四个数字，写出一道得数是24的算式：( )。 【变式训练】（25-26四年级下·河北邯郸·期末）用2、3、5、7四个数字，经过怎样的运算才能得到24？写出这个算式：( )。 奥数拓展三 整数加法交换律 【典例精讲】（23-24四年级下·全国·课后作业）你会用高斯配对求和的方法计算1＋3＋5＋7＋…＋57＋59吗？试试吧！ （1）算一算：1＋3＋5＋7＋…＋57＋59 （2）我发现：配对求和的解题关键：先观察算式中数据的特点，若算式中数据两两（    ）可以凑成某个（    ）的数，可利用（    ）法将数据两两结合再进行计算。分组时注意一共分成了多少组，有没有数据遗漏。 【变式训练】（    ）。 A．460 B．440 C．420 D．400 奥数拓展四 整数乘法交换律 【典例精讲】请用简便方法计算，并写出过程。 57＋66＋43        653－198            455－（155＋30） 999＋99＋9＋3             50－49＋48－47＋…＋4－3＋2－1 【变式训练】（24-25四年级下·全国·单元复习）简算： 202220222022×2023－202320232023×2022。 奥数拓展五 整数加法结合律 【典例精讲】用简便方法计算。 35＋37＋39＋41＋…＋81＋83＋85 【变式训练】（23-24四年级下·河北·假期作业）下面算式结果的末尾有多少个连续的0？ 奥数拓展六 整数减法的性质 【典例精讲】（23-24四年级下·河北·假期作业）简便计算下面各题。 （1）9999×7777＋3333×6666 （2）2023×12341234－20232023×1234 （3）198198198198÷18018018018 （4） （1＋93＋94）×（93＋34＋65）－（1＋93＋34＋65）×（93＋94） 【变式训练】（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）（7×1－3×1）＋（7×3－3×2）＋（7×5－3×3）＋…＋（7×49－3×25）＝( )。 奥数拓展七 整数乘法结合律 【典例精讲】简便计算。 9999×2222＋3333×3334        2014×20152015－2015×20142014 981＋5×9810＋49×981           123×456÷789÷456×789÷123 2＋4＋6＋……＋100           （2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999） 【变式训练】（23-24四年级下·全国·课后作业）用简便方法计算。 9999×2222＋3333×3334 奥数拓展八 整数乘法分配律 【典例精讲】脱式计算。 （1）127×72＋127×28      （2）104×46     （3）864÷[（27－23）×12] 【变式训练】递等式计算。 （1）         （2） （2）                   （4） 【基础通关】 1．（25-26四年级下·山西长治·期末）奇奇在简便运算时，将316－99算成316－100－1，得到的结果比正确结果（    ）。 A．多1 B．多2 C．少2 D．少1 2．（25-26四年级下·山西太原·期末）爸爸今年40岁，比小红年龄的4倍还大4岁，小红今年（    ）岁。 A．9 B．11 C．14 D．6 3．（25-26四年级下·河南安阳·期末）125×4×8×25＝（125×8）×（25×4）所依据的运算定律是（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法分配律 4．（25-26四年级下·山西临汾·期末）研学团甲乙两队共86人，甲比乙多14人，甲队( )人。 5．（25-26四年级下·山西临汾·期末）聪聪用计算器计算时，发现数字键“6”坏了。请你设计另一种方案，使他还能用计算器计算：( )。（写算式） 6．（25-26四年级下·河南安阳·期末）135－75＋25＝135－（75＋25）。( )（判断对错） 7．（25-26四年级下·河南信阳·期末）小丽用简便方法计算25×39时，误算成25×40－1，她算的结果比正确结果多24。( )（判断对错） 8．（25-26四年级下·山西长治·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 [196＋（84－12）]×5    101×87 99×38＋38        48×125 9．（25-26四年级下·河南安阳·期末）合唱社团准备为队员们购买演出服装，上衣每件128元，裤子每条72元，合唱社团要买36套，需要花多少钱？ 10．（25-26四年级下·河南安阳·期末）体育器材室借毽子。 为保障课间与体育课活动需求，学校体育器材室储备了充足的毽子。原有毽子600个，二年级借走219个，（    ）。现在器材室还剩多少个毽子？ (1)根据欢欢的解法：600－219－181，把题中信息补充完整。 (2)用与欢欢不同的方法解答这道题。 【能力提升】 1．五个人同时吃5个苹果，用了5分钟，那么10个人同时吃10个苹果，需要（    ）分钟。 A．5 B．10 C．20 D．50 2．（25-26四年级下·安徽芜湖·期末）下面各图中体现了乘法分配律的有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26四年级下·安徽滁州·期末）红、黄两条彩带一共长60厘米，其中红彩带比黄彩带长8厘米。求黄彩带的长度，下面的算式中，（    ）是错误的。 A．（60－8）÷2 B．（60＋8）÷2 C．60－（60＋8）÷2 4．（25-26四年级下·山西临汾·期末）如果○＋△＝100，且○×☆＋△×☆＝2000，那么☆＝( )；如果□×★＝70，那么（□×3）×（★×3）＝( )。 5．鸡兔同笼，鸡比兔多10只，但鸡脚比兔脚少60条，则鸡有( )只，兔有( )只。 6．（25-26四年级下·河北秦皇岛·期末）计算（280－60）×（15＋12）要先求差与和，再求积。( )（判断对错） 7．（25-26四年级下·河北衡水·期末）25×7×4＝25×4×7＝700，前面的计算运用了乘法交换律。( )（判断对错） 8．（25-26四年级下·山西长治·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 （1）45＋32＋55        （2）88×125 （3）810÷9＋18×24        （4）940×[128－（154－31）] 9．（25-26四年级下·安徽滁州·期末）“五一”期间某超市开展优惠活动，其中一款袋装饼干的优惠活动如下： 袋数 1－50 51－100 100以上 价格 15元/袋 12元/袋 10元/袋 乐乐幼儿园大（1）班有32人，大（2）班有35人，大（3）班有36人。 (1)如果三个班分别购买，一共需要多少元？ (2)经过协商，三个班决定合起来购买，可以节省多少元？ 10．（25-26四年级下·山东临沂·期末）王老师将一筐苹果分给学生，若分给一组每人5个，则余下10个苹果；若分给二组每人8个，则缺2个苹果，已知二组比一组少3名学生。这筐苹果有多少个？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 第五单元运算律『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+10个考点讲练+8个奥数拓展+真题难度分层演练共56题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版四上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络.· 心 知识梳理温故知新. ....3 知识点一整数四则混合运算 知识点二加法和乘法的结合律和交换律 ...4 知识点三乘法分配律...... 知识点四易错点拨… 5 考点讲练真题汇总… 高频考点一无括号的运算顺序… …5 高频考点二带有小括号的混合运算…6 第1页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点三带有中括号的混合运算. 高频考点四24点.. 6 高频考点五整数加法交换律.… .7 高频考点六整数乘法交换律 7 高频考点七整数加法结合律. ….7 高频考点八整数减法的性质.8 高频考点九整数乘法结合律.… 高频考点十整数乘法分配律.... 难点突破奥数拓展………… 9 奥数拓展一带有中括号的混合运算.。 .9 奥数拓展二24点... 10 奥数拓展三整数加法交换律………… 10 奥数拓展四整数乘法交换律…… 10 奥数拓展五整数加法结合律....... .......................11 奥数拓展六整数减法的性质 ................11 奥数拓展七整数乘法结合律 12 奥数拓展八整数乘法分配律.·.. 12 优选真题实战演练。 13 【基础通关】 ……….13 【能力提升】 第2页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 导图指引梳理脉络 Q加法交换律 加法交换律和乘法交换律 a+b=b+a 加法交换律 乘法交换律 加法结合律 乘法结合律 例如：6+4=4+6 a+b=b+a axb=bxa (a+b)+c=a+(b+c) (a×b)×c=a×(b×c) (2+3)+4=2+(3+4) (2×4）×3=2×(4×3) 。加法结合律 6+4=4+6 3×5=5×3 (12+8)+7=12×(8+7) (125×8)×4=125×(8×4) (a+b)+c=a+(b+c) 26+5=5+26 125×4=4×125 例如：(2+3)+4=2+(3+4) 先杞前两个数相加，或 先把前两个数相 运算 交换加法浅乘法算式中 先杞后两个数相加，和 元把后两个数相来， 0乘法交换律 两个数的位置，和不变 不。 不变。 axb=bxa 例如：3×5=5×3 运算顺序 。乘法结合律 北师大版数学四年级上册 1.先说出下面各题的运算顺序，再计算。 想一想。先厚什么？ (axb)×c=ax(bxc) 35+65×40÷5 再算什么？养成习惯 例如：(2×4)×3=2×(4×3) 第五单元运算律 12×(153-83)+8 根重要！ 单元复习思维导图 。乘法分配律 (96-6)×(15+9) (a+b)×c▣axc+bxc 2.试一试：你能添上括号使9÷3×5-2=1成立吗？ 例如：(2+3)×4=2×4+3×4 请中括号“]”来师忙。 来算5-2=3 1.交换律文换两个纸的位重，和成秘不变。 9+[3×(5-2)] 再算3×3=9 25×4=4×25100+36=36+100 最后算9+9=】 =9+[3×3] 2结合律先前两个相加（和来）。我先后两 乘法分配律 个数相加（相来），和成和不交。 (25+75)+18=25+(75+18) 简 (a+b)×e=a×c+bxe 先算“()”里的，再算【】”里的 (7×4)×25=7×(4×25) 3.分配律 用一个分别去另两个数的和 便运算 (3+5)x4 =4×8+6 生活中的运算律应用 -3×4+5x4 共有多少头牛？ 每串20颗，一共20韦 梳30个，檎50个，桃40个 等于用这个数分别去乘这两个数 再把积相加。 oooo (20+30)×5=20×5+30×5 2C2 (3+5)×4=3×4+5×4 整理与复习 0+040=0100+0 知识结棉国 我的何 四则运算的运算顺序 =40 =120(个 网题级 1。同级运算：从左到右依次计算 2两缆运算：先算乘，后算加 用a,b,c代表三个数 用a,b,c代表三个数 分配 。有括号：先括号里的。再算括号外的 (a+b)xc=axc4b×d (a+b)+c=a+(b+c) 57+288+43 35+28 (9%-6)×(15+9 (axb)xc=a×(bc) 5+6=63 63 90×24=2160 这就是加法帖合律 知识梳理温故知新 知识点一整数四则混合运算 1.四则混合运算 (1)在不含小括号的算式中，如果只有加、减法或者只有乘、除法，要按照从左到右的顺序计算；如 果既有乘、除法又有加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法。 (2)在含有小括号的算式里，要先算小括号里面的。 2.中括号。 “[]”叫作中括号，在算式中和小括号的作用一样，可以改变运算顺序。在既有中括号，又有小括 号的算式中，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 3.混合运算图。 第3页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 只有加减法或只有乘除法的， 按从左到右的顺序计算 没有括号的 有乘除法和加减法的，要 四则混合运算 先算乘除法，后算加减法 的运算顺序 要先算小括号里面的，再算中括号 有括号的 里面的，最后算中括号外面的 知识点二加法和乘法的结合律和交换律 1.加法交换律。 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这个规律叫加法交换律，用字母表示为a十b=b十a。 2.乘法交换律。 两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。这个规律叫乘法交换律，用字母表示为a×b=b× a。 温馨提示：运用加法交换律和乘法交换律可以验算加法和乘法的计算是否准确。 3.加法结合律。 三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，结果不变。 这个规律叫作加法结合律，用字母表示为(a十b)+c=a+(b+c)。 温馨提示：利用加法交换律，先把和是整十或整百的两个数交换到一起，再利用加法结合律计算，这 样计算较简便。 4.减法的性质。 一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个减数的和。用字母表示：a-b-c=a-(b十c)。 5.乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘， 结果不变。这个规律叫作乘法结合律，用字母表示为(a×b)×c=a×(bXc)。 温馨提示：乘法交换律和乘法结合律的区别：在连乘算式中，与原式相比，如果乘数位置发生了变化， 运用的就是乘法交换律；如果运算顺序发生了改变，运用 的就是乘法结合律。有时，为了计算简便，会同时运用这两种运算律。 知识点三乘法分配律 两个数的和同一个数相乘，可以先把这两个数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。用字 母表示是(a+b)Xc=a×c+b×c。 乘法分配律可以正用，也可以逆用。当出现(a+b)×c的情况时，如果a×c和b×c计算都很简便 第4页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 时，那么可以先算a×c和b×c,再把两个积相加；当出现a×c十b×c的情况时，如果a+b的和 正好是整十、整百、整千数，那么可以用(a+b)×c来计算。 知识点四易错点拨 易错点拨01：整数四则混合运算 1.计算不含括号的混合运算时，应先算乘除法，后算加减法。 2.在计算同一级运算时，按照从左到右的顺序进行计算。 3.混合运算中含有中括号的，一定要把中括号里面的算式全部算完才能去掉中括 号，否则运算顺序就会发生改变，结果也就发生了改变。 易错点拨02：加法和乘法的结合律和交换律 1.在减法和除法中不存在交换律。 2.加法交换律改变的是加数的位置，加法结合律改变的是运算顺序。 3.在利用加法结合律时要注意把结合的两个数用小括号括起来。 4.两个数相乘（即一个数同一个接近整十、整百、整千…的数相乘），有时不能直接应用乘法结合 律，可以根据乘数的特点对乘数进行适当的变换。 易错点拨03：乘法分配律 1.运用乘法分配律进行计算时，乘数应与两个加数分别相乘，再把两个积相加。 2.乘法分配律是乘、加这两种运算之间的一种规律，而乘法交换律和乘法结合律只是乘法运算的一种 规律。 考点讲练真题汇总 高频考点一无括号的运算顺序 【典例精讲】(25-26四年级下·河南驻马店·期末)计算5400一23×16十80时，第一步计算( 法，第二步计算( )法，第三步计算( )法，添括号使运算顺序变为先算加法，再算乘法， 最后算减法，原式改写为( )。 【变式训练】(25-26四年级下·海南省直辖县级单位·期末)下面算式中，去掉括号不改变运算顺序的 算式是哪一个？( A.(18+69)×(50-25) B.(18×69)-(50÷25) C.18×[(69-50)+25] 第5页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 D.1000-480÷(4×8) 高频考点二带有小括号的混合运算 【典例精讲】(25-26四年级下·安徽芜湖·期末)根据270÷45=6、6+12=18、100-18=82，列 成综合算式：( ）。 【变式训练】(25-26四年级下·河南安阳·期末)280减33与44的和，再除以13，商是多少？列成综 合算式是( )。 A.[280-(33+44)]÷13 B.[(280-33)+44]÷13 C.(280-33+44)÷13 D.280-[(33+44)÷13] 高频考点三带有中括号的混合运算 【典例精讲】(25-26四年级下·河南驻马店·期末)若把算式“16×500一200÷50”的运算顺序改为先 算减法，再算除法，最后算乘法，则算式变为( A.16×(500-200)÷50 B.(16×500-200)÷50 C.16×[(500-200)÷50] D.16×(500-200÷50) 【变式训练】(25-26四年级下·安徽铜陵·期末)把23+57=80、440-80=360、360×3=1080改写成 一个综合算式：( )。 高频考点四24点 【典例精讲】(25-26四年级下·河北唐山·期末)运用十，一，×，÷和括号，每个数都要用上，但只 能用一次，结果是24。 ①2,4,4,6： ②1,2,3,6。 【变式训练】(25-26四年级下·广西柳州·期末)巧算24点：用数字2、4、6、8经过怎样的运算能得 到24？ 列综合算式计算： =24。 第6页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点五整数加法交换律 【典例精讲】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)计算下列各题，并运用加法交换律或乘法交换律进行 验算。 156+423=验算： 165×78= 验算： 【变式训练】(25-26四年级下·福建龙岩·期末)4月15日是全民国家安全教育日。学校组织学生观看 “防溺水”教育宣传片。四年级有268名学生观看，五年级有278名学生观看，六年级有332名学生观看。 这三个年级一共有多少名学生观看？ 高频考点六整数乘法交换律 【典例精讲】(25-26四年级下·福建漳州·期末)同学们参加“六一”文艺表演，每人发一把扇子。学 校准备的扇子够吗？ 每支队伍有9列，每 列站25个同学。 共有4支队伍，准备 1000把扇子，够吗？ 【变式训练】(25-26四年级下·陕西渭南·阶段检测)下面运算结果不相等的一组是( ）。 A.165-99与165-100-1 B.176÷11÷8与176÷(11×8) C.36×56+56×64与(36+64)×56D.36×71与71×36 高频考点七整数加法结合律 【典例精讲】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)观察每个算式中加数的特点并计算。 465+56+35 165+127+273 81+342+119+58 第7页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 132+(487+268) 111+112+113+114+115+116+117+118+119 【变式训练】25-26四年级下河南新乡期末)算式156+272+128=156+(272+128)运用了( )。 A.加法交换律B.加法结合律 C.加法交换律和结合律D.乘法分配律 高频考点八整数减法的性质 【典例精讲】(25-26四年级下·安徽铜陵·期末)小丽在计算☐一(235+65)时，错算成☐一235十65， 她的结果与正确结果相比，( )。 A.一样大 B.大65 C.大130 D.小130 【变式训练】(25-26四年级下·河南郑州·期末)乐乐发现在计算一些题目时，去掉括号可以改变运算 顺序，让运算简便，如：a十(b十c)=a十b十c、a一(b十c)=a一b一c。 (1)在计算“一(b一c)”这样的题目时，去掉括号，等号后面怎样写？你能通过举例或说理的方式进行 研究吗？把研究过程记录下来。 (2)通过刚才的研究，你有什么发现？写一写。 高频考点九整数乘法结合律 【典例精讲】(25-26四年级下·河南新乡·期末)一个计算器上的数字键“6”坏了，如果想用这个计算 器计算218×16，应该怎么按键呢？请你用算式表示出来：( ）。 【变式训练】(25-26四年级下·河南周口·期末)8×29×125=29×(8×125)，运用了( ）。 A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.交换律+结合律 高频考点十整数乘法分配律 【典例精讲】(25-26四年级下·山西临汾·期末)计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 96×58+96×42 844-(144+39) 125×32×25 第8页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26四年级下·河南安阳·期末)用计算器计算“1528×49”时，发现数字键“4”坏了。 如果还用这个计算器，你会怎样计算？请写出算式()。 难点突破奥数拓展 奥数拓展一带有中括号的混合运算 【典例精讲】苹果每箱30千克，梨每箱25千克。水果店卖出苹果和梨各20箱，卖出的苹果比梨多多少千 克？两位同学分别作了如下解答： 小芳：30×20-25×20 小东：(30-25)×20 =600-500 =5×20 =100(千克) =100(千克) (1)你觉得哪些同学的解法正确？在相应的名字上面画“√”。 (2)在你认为正确的解法中，你喜欢谁的？请你用文字说明这种解法的思路。 【变式训练】两数相除商是5，余数是23。已知被除数、除数、商和余数的总和是255，请你求出除数是 多少。 (1)根据“两数相除商是5，余数是23”，请你表示被除数和除数的关系。 (2)依据你的思路，写出完整的解答过程。 第9页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展二24点 【典例精讲】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)用6,2,7,4这四个数字，写出一道得数是24的算 式：( )。 【变式训练】(25-26四年级下·河北邯郸·期末)用2、3、5、7四个数字，经过怎样的运算才能得到24？ 写出这个算式：( ）。 奥数拓展三整数加法交换律 【典例精讲】(23-24四年级下·全国·课后作业)你会用高斯配对求和的方法计算1十3十5十7十…十57 +59吗？试试吧！ (1)算一算：1+3+5+7++57+59 (2)我发现：配对求和的解题关键：先观察算式中数据的特点，若算式中数据两两( )可以凑成 某个( )的数，可利用( )法将数据两两结合再进行计算。分组时注意一共分成了多少 组，有没有数据遗漏。 【变式训练】1+2+3+.+18+19+20+19+18++3+2+1=( )。 A.460 B.440 C.420 D.400 奥数拓展四整数乘法交换律 【典例精讲】请用简便方法计算，并写出过程。 57+66+43 653-198 455-(155+30) 999+99+9+3 50-49+48-47+…+4-3+2-1 【变式训练】(24-25四年级下·全国·单元复习)简算：202220222022×2023-202320232023×2022。 第10页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展五整数加法结合律 【典例精讲】用简便方法计算。 35+37+39+41+.+81+83+85 【变式训练】(23-24四年级下·河北·假期作业)下面算式结果的末尾有多少个连续的0？ 999…99×999…99+1999…99 2023个9 2023个92023个9 奥数拓展六整数减法的性质 【典例精讲】(23-24四年级下·河北·假期作业)简便计算下面各题。 (1)9999×7777+3333×6666 (2)2023×12341234-20232023×1234 (3)198198198198÷18018018018 (4)(1+93+94)×(93+34+65)-(1+93+34+65)×(93+94) 【变式训川练】(24-25六年级下·北京海淀·开学考试)(7×1-3×1)+(7×3-3×2)+(7×5-3× 3)+…+(7×49-3×25)=( ）。 第11页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展七整数乘法结合律 【典例精讲】简便计算。 9999×2222+3333×3334 2014×20152015-2015×20142014 981+5×9810+49×981 123×456÷789÷456×789÷123 2+4+6+…+100 (2+4+6+…+2000)-(1+3+5+…+1999) 【变式训练】(23-24四年级下·全国·课后作业)用简便方法计算。 9999×2222+3333×3334 奥数拓展八整数乘法分配律 【典例精讲】脱式计算。 (1)127×72+127×28 (2)104×46 (3)864÷[(27-23)×12] 【变式训练】递等式计算。 (1)167×90-1545÷15 (2)113×306÷113×306 第12页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 (2)888×125 (4)3020-(1050+250)÷25 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26四年级下·山西长治·期末)奇奇在简便运算时，将316-99算成316一100一1，得到的结果 比正确结果( )。 A.多1 B.多2 C.少2 D.少1 2.(25-26四年级下·山西太原·期末)爸爸今年40岁，比小红年龄的4倍还大4岁，小红今年( 岁。 A.9 B.11 C.14 D.6 3.(25-26四年级下河南安阳期末)125×4×8×25=(125×8)×(25×4)所依据的运算定律是( A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.乘法交换律和结合律 D.乘法分配律 4.(25-26四年级下·山西临汾·期末)研学团甲乙两队共86人，甲比乙多14人，甲队（ )人。 5.(25-26四年级下·山西临汾·期末)聪聪用计算器计算153×26时，发现数字键“6”坏了。请你设 计另一种方案，使他还能用计算器计算：( )。(写算式) 6.(25-26四年级下·河南安阳·期末)135-75+25=135-(75+25)。（ )(判断对错) 7.(25-26四年级下·河南信阳·期末)小丽用简便方法计算25×39时，误算成25×40一1，她算的结果 比正确结果多24。(）（判断对错） 8.(25-26四年级下·山西长治·期末)计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 [196+(84-12)]×5 101×87 99×38+38 48×125 第13页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 9.(25-26四年级下·河南安阳·期末)合唱社团准备为队员们购买演出服装，上衣每件128元，裤子每 条72元，合唱社团要买36套，需要花多少钱？ 10.(25-26四年级下·河南安阳·期末)体育器材室借毽子。 为保障课间与体育课活动需求，学校体育器材室储备了充足的毽子。原有毽子600个，二年级借走219个， )。现在器材室还剩多少个毽子？ (1)根据欢欢的解法：600一219-181，把题中信息补充完整。 (2)用与欢欢不同的方法解答这道题。 【能力提升】 1.五个人同时吃5个苹果，用了5分钟，那么10个人同时吃10个苹果，需要( )分钟。 A.5 B.10 C.20 D.50 2.(25-26四年级下·安徽芜湖·期末)下面各图中体现了乘法分配律的有( ①简便计算 ②求小正方形的个数 ③竖式计算 ④求28套服装的总价 125×9×8 107×28 107 =125×8×9 ×28 =1000×9 46元 54元 856 =9000 方法1：(46+54)×28 214 2996 方法2：46×28+54×28 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26四年级下·安徽滁州·期末)红、黄两条彩带一共长60厘米，其中红彩带比黄彩带长8厘米。 求黄彩带的长度，下面的算式中，( )是错误的。 A.(60-8)÷2 B.(60+8)÷2 C.60-(60+8)÷2 4.(25-26四年级下·山西临汾·期末)如果O+△=100，且O×☆+△×☆=2000，那么☆=( 如果口×★=70，那么（口×3）×（★×3）=( )。 5.鸡兔同笼，鸡比兔多10只，但鸡脚比兔脚少60条，则鸡有( )只，兔有( )只。 第14页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 6.(25-26四年级下·河北秦皇岛·期末)计算(280一60)×(15+12)要先求差与和，再求积。（ (判断对错) 7.(25-26四年级下河北衡水·期末)25×7×4=25×4×7=700，前面的计算运用了乘法交换律。() (判断对错) 8.(25-26四年级下·山西长治·期末)计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 (1)45+32+55 (2)88×125 (3)810÷9+18×24 (4)940×[128-(154-31)] 9.(25-26四年级下·安徽滁州·期末)“五一”期间某超市开展优惠活动，其中一款袋装饼干的优惠活 动如下： 袋数 1-50 51-100 100以上 价格 15元/袋 12元/袋 10元/袋 乐乐幼儿园大(1)班有32人，大(2)班有35人，大(3)班有36人。 (1)如果三个班分别购买，一共需要多少元？ (2)经过协商，三个班决定合起来购买，可以节省多少元？ 10.(25-26四年级下·山东临沂·期末)王老师将一筐苹果分给学生，若分给一组每人5个，则余下10 个苹果；若分给二组每人8个，则缺2个苹果，已知二组比一组少3名学生。这筐苹果有多少个？ 第15页共15页