第三单元 整数乘法（二）【导图知识卡片+知识梳理+16个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共64题】-2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建整数乘法知识体系，将两三位数乘一位数口算、两位数笔算、积的变化规律等8个知识点按“基础运算-规律探究-实际应用”递进梳理，用拆分法、分步操作规则等呈现逻辑，搭配框架图明晰重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，16个高频考点讲练含实际问题（如3辆客车座位够吗），6个奥数拓展聚焦规律探究（如全1数回文乘积），真题分基础与能力层。通过估算三步法等培养运算能力与应用意识，助力不同学生提升，教师可据此实施精准教学。

2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 第三单元 整数乘法（二）『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+16个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共64题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 两、三位数乘一位数的口算 3 知识点二 两、三位数乘整十数的口算 3 知识点三 两、三位数乘两位数（不进位）的笔算 4 知识点四 两、三位数乘两位数（进位）的笔算 4 知识点五 乘数中间有0或末尾有0的笔算乘法 4 知识点六 积的变化规律 5 知识点七 用计算器探索规律 5 知识点八 用估算解决实际问题 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 两位数乘整十数的口算乘法 6 高频考点二 积的变化规律（整数乘法) 7 高频考点三 三位数与整十数的口算乘法 8 高频考点四 两位数与两位数的口算乘法（点子图） 9 高频考点五 两位数乘两位数的不进位乘法 11 高频考点六 两位数乘两位数的估算 12 高频考点七 两位数乘两位数的进位乘法 13 高频考点八 三位数乘两位数的估算 13 高频考点九 三位数与两位数的乘法 14 高频考点十 三位数乘两位数，三位数中间有0 15 高频考点十一 三位数乘两位数，乘数末尾有0 16 高频考点十二 三位数乘两位数的实际问题 17 高频考点十三 计算器的初步认识与使用 18 高频考点十四 计算器的复杂运算 19 高频考点十五 用计算器探究规律 20 高频考点十六 用估算解决实际问题（乘法） 21 难点突破 奥数拓展 22 奥数拓展一 两位数与两位数的口算乘法（点子图） 22 奥数拓展二 两位数乘两位数的乘法与应用 24 奥数拓展三 三位数乘两位数的估算 25 奥数拓展四 三位数与两位数的乘法 26 奥数拓展五 三位数乘两位数的实际问题 28 奥数拓展六 用计算器探究规律 29 优选真题 实战演练 30 【基础通关】 30 【能力提升】 34 知识点一 两、三位数乘一位数的口算 1.拆分口算思路 采用拆分法计算，将两、三位数按数位拆分，两位数拆成整十数和一位数，三位数拆成整百数、整十数和一位数，分别与一位数相乘，再把所有的积相加。 2.几百几十数乘一位数简便算法 先去掉末尾的0，按两位数乘一位数计算，最后在积的末尾添回1个0，计算时需留意末尾的0，避免遗漏造成结果缩小。 知识点二 两、三位数乘整十数的口算 1.去0添0通用方法 先忽略整十、整百数末尾的0，用两位数乘0前面的数，再在积的末尾添上对应个数的0，适用于两位数乘整十数、整十数乘整十数、几百几十数乘整十数等多种场景。 2.积末尾0的判定 积末尾0的个数大于或等于两个乘数末尾0的个数之和，计算时需结合0前面数字的乘积，判断最终积的末尾0的总数量。 知识点三 两、三位数乘两位数（不进位）的笔算 1.拆分算理依据 将第二个两位数拆成“整十数+一位数”，分别与第一个乘数相乘后求和，逻辑与口算拆分法一致。 2.笔算分步操作规则 （1）数位对齐：乘数之间相同数位对齐，个位对齐个位、十位对齐十位。 （2）从个位起算：以第二个乘数的个位、十位数字，依次分别乘第一个乘数每一位（个位、十位，三位数需乘至百位）。 （3）对位写积：第二个乘数个位相乘的积，末位对齐个位；十位相乘的积，末位对齐十位。 （4）合并求和：将两次分步相乘得到的积相加，得出最终计算结果。 知识点四 两、三位数乘两位数（进位）的笔算 1.进位处理核心要点 计算步骤与不进位笔算完全一致，每一位相乘满几十，就要向前一位进几，计算下一位时需先加上进位的数，叠加进位时需仔细核对，避免遗漏。 2. 三位数乘两位数进位法则 三位数乘两位数的进位规则与两位数通用，逐位相乘时同步处理进位，保证每一步计算准确。 3.验算方法 计算完成后，可交换两个乘数的位置再计算一遍，验证结果是否一致。 知识点五 乘数中间有0或末尾有0的笔算乘法 1.末尾有0简便笔算 乘数末尾有0时，可采用简便写法：把0前面的数字末位对齐相乘，末尾的0不参与竖式计算，最后统计两个乘数末尾0的总个数，添在积的末尾，添0时需数清总个数，避免少添。 2.中间有0的运算规则 乘数中间有0时，0必须参与相乘，不能跳过；没有进位时该位直接写0占位，有进位时需加上进位的数。 3.数位对齐提醒 计算时需注意数位对齐，十位相乘的积末位要与十位对齐，避免对错数位造成结果偏差。 知识点六 积的变化规律 1.基础变化规律 一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以相同的数；其中除以的数不能为0，因为0不能做除数。 2.积不变规律 一个乘数乘几，另一个乘数除以相同的数（0除外），积不变。 3.双乘数同变规则 两个乘数同时乘同一个数，积就连续乘两次这个数；两个乘数同时除以同一个数（0除外），积就连续除以两次这个数。 知识点七 用计算器探索规律 1.规律探索通用步骤 先借助计算器计算少量简单算式，观察乘数的特征和积的数字变化，归纳总结出通用规律；再运用规律直接推导同类型复杂算式的结果，最后可通过计算器验证规律的正确性。 2.全1数回文乘积规律 两个乘数位数相同，且全部由数字1组成时，乘积是左右对称的回文数；积的中间数字等于乘数的位数，数字从1开始依次递增到中间数，再依次递减到1。例如：11111×11111=123454321 3.全9数自乘特征 全9数相乘的积的规律：乘法算式中两个乘数完全相同，且每个数位上的数字均为9；积的前面部分数值，等于其中一个乘数减去1；积的中间部分是数字0，0的总个数比乘数的位数少1；积的末尾固定为数字1，位于结果的个位。例如：9999×9999=99980001。 注意：仅在乘数位数≤9时成立。 4. 6系列数乘法结论 第一个乘数由n个6组成，第二个乘数位数与第一个相同、前n-1位是6、末位是7时，积由n个4和n个2组成，前半部分全是4、后半部分全是2。 知识点八 用估算解决实际问题 1.估算核心原则 根据实际场景选择估大或估小的策略，保证结论符合现实逻辑。 2.估大估小适用场景 估大策略适用于购物带钱、准备物资等场景，估大后数量仍足够，则实际一定足够；估小策略适用于判断座位、载重是否足够等场景，估小后仍不够，则实际一定不够。 3.估算解题三步法 先将乘数看成接近的整十、整百数，再口算得出估算结果，最后结合场景判断结论；估算无唯一标准答案，但必须符合问题逻辑，不能随意估算。 4.常用数量关系式 计算依托基础数量关系：单价×数量=总价，单量×份数=总量。 高频考点一 两位数乘整十数的口算乘法 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）周末，文华小学的3位老师带领四年级2个班的学生去公园里进行了一场垃圾清理志愿者活动，每班45人。 (1)有3辆客车，每辆客车有36个座位，座位够吗？ (2)经过统计，师生们平均每人清理20千克垃圾，他们一共清理了多少千克垃圾？ 【答案】(1)够 (2)1860千克 【思路引导】第（1）问先分别算出师生总人数和客车总座位数，比较两者大小即可判断座位是否足够；第（2）问用总人数乘平均每人清理的垃圾质量，就能得到总清理质量。 【规范解答】（1）45×2＋3 ＝90＋3 ＝93（人） （个） 因为，所以座位够。 （2）（千克） 答：他们一共清理了1860千克垃圾。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）在括号里填上合适的数。 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 【答案】 60 80 160 30 240 20 48 100 400 12 【思路引导】4800可以看成48个百，6×8＝48，12×4＝48，16×3＝48，1×48＝48，2×24＝48，可以是6个十乘8个十得48个百，也可以是6个百乘8得48个百，还可以是6乘8个百得48个百。只要最终计算结果是48个百即可。据此解答。 【规范解答】60×80＝4800 160×30＝4800 240×20＝4800 48×100＝4800 400×2＝4800 高频考点二 积的变化规律（整数乘法) 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·单元测试）根据14×8＝112，直接写出得数。 140×8＝( )    14×800＝( )    140×80＝( ) 【答案】 1120 11200 11200 【思路引导】积的变化规律：两个数相乘，一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也跟着乘几；两个乘数同时扩大，积扩大的倍数是两个乘数扩大倍数的乘积。 【规范解答】对比：乘数14变成140，乘10；乘数8不变，所以积也要乘10，则； 对比：乘数14不变；乘数8变成800，乘100，所以积也要乘100，则； 对比：乘10，乘10。积一共乘：，则。 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）自然数12345679中没有8，所以被称为“缺8数”。用“缺8数”乘能被3整除但不能被9整除的数（12起），可以得到“三位一体”，例如： 12345679×12＝148148148    679×12＝8148 12345679×15＝185185185    679×15＝10185 12345679×21＝259259259    679×21＝14259 已知679×78＝52962，根据你发现的规律直接写出12345679×78＝( )。 【答案】962962962 【思路引导】先验证78是否满足“能被3整除但不能被9整除”的条件，确认12345679×78的结果符合三位一体规律； 根据找到的规律，结合已知的679×78的结果，推导12345679×78的结果。 【规范解答】78÷3＝26，78÷9＝8……6，可见78满足“能被3整除但不能被9整除”的条件。 12345679乘符合条件的数的结果为三位数字循环的“三位一体”数，循环节为679乘该数结果的最后三位；已知679×78＝52962，最后三位是962，因此12345679×78的结果为962重复三次，即962962962。 高频考点三 三位数与整十数的口算乘法 【典例精讲】（25-26四年级下·河北张家口·期末）一箱复印纸有8包，每包有500张纸。某公司一次购买15箱，一共买了多少张纸？（用两种方法列式计算） 【答案】 60000张 【思路引导】有两种解题思路：一是先求出1箱复印纸的张数，再乘购买的箱数得到总张数；二是先求出15箱复印纸的总包数，再乘每包的张数得到总张数。 【规范解答】方法一： （张） 方法二： （张） 答：一共买了张纸。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）实验小学举行阳光课间操表演，全校共有1600名学生参加，要求排出的横队、纵队的人数是整十数或几百几十。你能设计出哪几种队形？ 【答案】我能设计出5种队形。 队形一：横队10人，纵队160人； 队形二：横队160人，纵队10人； 队形三：横队20人，纵队80人； 队形四：横队80人，纵队20人； 队形五：横队40人，纵队40人。 【思路引导】总人数等于横队人数乘纵队人数，且横队、纵队人数都是整十数或几百几十数，也就是都是10的倍数。因此先将1600拆为100乘16，又因为：16＝16×1＝8×2＝4×4＝2×8＝1×16，可以成对找出积是16的两个数，再将每个因数乘10，就能得到符合要求的横队和纵队人数。 【规范解答】由分析可知， 16＝16×1＝8×2＝4×4＝2×8＝1×16 因为横队人数×纵队人数＝1600，且两个数都是10的倍数， （16×10）×（1×10） ＝160×10 （8×10）×（2×10） ＝80×20 （4×10）×（4×10） ＝40×40 （2×10）×（8×10） ＝20×80 （1×10）×（16×10） ＝10×160 答：我能设计出5种队形。 队形一：横队10人，纵队160人； 队形二：横队160人，纵队10人； 队形三：横队20人，纵队80人； 队形四：横队80人，纵队20人； 队形五：横队40人，纵队40人。 高频考点四 两位数与两位数的口算乘法（点子图） 【典例精讲】（25-26三年级下·山东枣庄·期末）在计算14×13时，李涛的计算过程如图，老师说他的得数一定少了。如图的点子图，表示李涛少算的部分是（    ）。 A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【思路引导】计算14×13时，将14看成10＋4，13看成10＋3，分别求出10与10、3的积以及4与10、3的积，再结合李涛的计算方法，看他少算哪部分。 【规范解答】对应图①，李涛有计算； 对应图②，李涛没有计算； 对应图③，李涛没有计算； 对应图④，李涛有计算； ，即 李涛没有计算的部分是②③。 【变式训练】（25-26三年级下·北京房山·期末）小慧正在探索16×14的计算方法（如图），能正确表达小慧思路的算式是（    ）。 A．10×10＝100        6×4＝24        100＋24＝124 B．16×7＝112        16×7＝112        112＋112＝224 C．16×4＝64        16×10＝160        64＋160＝224 D．14×6＝84        14×10＝140        140＋84＝224 【答案】C 【思路引导】通过观察点子图，分析其计算思路。图中将14行点子分成了两部分：上面是4行，下面是10行，每行都有16个点。这表示将14拆分为10和4，分别与16相乘，最后将两个积相加。最后再将两次乘得的结果相加，依此选择。 【规范解答】小慧的计算思路是： 16×4＝64 16×10＝160 64＋160＝224 因此16×14＝224 高频考点五 两位数乘两位数的不进位乘法 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）民俗工艺坊生产了24箱香囊和11箱古典扇子。 (1)香囊和古典扇子各生产了多少？ (2)一个香囊卖5元，一把古典扇子卖8元。请你提出一个数学问题并解答。 【答案】(1)香囊： 288个 古典扇子： 165把 (2)生产的香囊一共可卖多少元？（答案不唯一） 1440元 【思路引导】用“每箱个数×箱数＝总个数”分别算出香囊和古典扇子各生产的数量，可以根据一个香囊卖的价钱与生产总个数提一共卖多少钱的问题。 【规范解答】（1）香囊：（个） 古典扇子：（把） 答：香囊生产了288个，古典扇子生产了165把。 （2）一个香囊卖5元，共生产了288个香囊，生产的香囊一共可卖多少元？（答案不唯一） （元） 答：生产的香囊一共可卖1440元。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）脱式计算。 36×11＋237    1000－24×12    168＋14×12 【答案】633；712；336 【思路引导】根据四则混合运算顺序计算，先算乘除后算加减，有小括号的先算小括号里的。 【规范解答】36×11＋237 ＝396＋237 ＝633 1000－24×12 ＝1000－288 ＝712 168＋14×12 ＝168＋168 ＝336 高频考点六 两位数乘两位数的估算 【典例精讲】（25-26三年级下·山东聊城·期末）消防员叔叔为全校1100名师生做防火灾安全教育报告。报告厅共有29排座位，每排可坐42人。报告厅的座位够吗？下列估算方法最合理的是（    ）。 A．把42看成40，40×29＝1160，1160＞1100，够坐 B．把29看成30，30×42＝1260，1260＞1100，够坐 C．把29看成30、42看成40，30×40＝1200，1200＞1100，够坐 【答案】A 【思路引导】根据两位数乘两位数的“”估算，解决“座位够不够”的问题时，为了确保结论可靠，应将座位数往小估算，如果估算出的较小座位数仍然大于师生总人数，则实际座位数一定够坐。若往大估算，即使结果大于人数，也无法保证实际座位数足够。 【规范解答】A．把42看成40，29不变。因为40＜42，所以29×40的积小于实际座位数29×42的积。计算40×29＝1160。因为1160＞1100，且实际座位数大于1160，所以实际座位数一定大于1100，够坐，此选项正确； B．把29看成30，42不变。因为30＞29，所以30×42的积大于实际座位数29×42的积。计算30×42＝1260。虽然1260＞1100，但实际座位数小于1260，无法确定实际座位数是否大于1100，此选项错误； C．把29看成30，42看成40。一个因数变大，一个因数变小，估算值30×40＝1200与实际值29×42的大小关系不确定，不能严格保证实际座位数大于1100，此选项错误。 【变式训练】（25-26三年级下·山东聊城·期末）25×40积的末尾有( )个0；估算89×92时，可以估成( )×( )，约等于( )。 【答案】 3 90 90 8100 【思路引导】根据两位数乘两位数的计算，计算出25×40的结果后判断积的末尾有几个0；根据两位数乘两位数的估算，将两个因数估成接近的整十数后相乘，即可求出估算的结果。 【规范解答】25×40＝1000 89×92≈90×90＝8100 25×40积的末尾有3个0；估算89×92时，可以估成90×90，约等于8100。 高频考点七 两位数乘两位数的进位乘法 【典例精讲】（25-26四年级下·河南漯河·期末）鲜果超市运进80箱苹果，每箱18千克。第一天卖出45箱，剩下的如果5天卖完，剩下的平均每天卖多少千克？ 【答案】 126千克 【思路引导】根据题意，用鲜果的总箱数减去第一天卖出的箱数，再乘每箱的质量，求出剩下的总质量，最后用剩下的总质量除以售卖天数，即可求出平均每天卖的质量。 【规范解答】（80－45）×18÷5 ＝35×18÷5 ＝630÷5 ＝126（千克） 答：剩下的平均每天卖126千克。 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）王老师购买了33盒书签，每盒12个，一共有多少个书签？下图竖式中上面的“36”和下面的“36”分别表示（    ）。 ①3盒书签的数量   ②30盒书签的数量   ③33盒书签的数量   ④36盒书签的数量 A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【思路引导】计算12×33，用33的个位和十位上的数分别与12相乘，再将两次的积相加。所以，上方36是12×3，个位3代表3盒书签；下方36实际为360，是12×30，十位3代表30盒书签。 【规范解答】12×3＝36表示①3盒书签的数量； 12×30＝360表示②30盒书签的数量。 高频考点八 三位数乘两位数的估算 【典例精讲】2026四年级上·辽宁·专题练习）某饭店正在开展“使用公筷，文明用餐”活动。这个饭店一共有103桌，每桌配备18双筷子，大约需配备( )双筷子。 【答案】2000 【思路引导】三位数乘两位数的估算，可以把三位数和两位数估算成与其接近的整十数或整百数再进行计算即可。 【规范解答】（双） 大约需配备双筷子。 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）下面是百姓饭店某一周每天用掉一次性筷子的数量情况。 星期 一 二 三 四 五 六 日 数量/双 208 199 188 190 212 202 210 估一估，百姓饭店每个月（按30天计算）大约要用掉多少双一次性筷子。 【答案】6000双 【思路引导】观察一周每天的用筷数量，均接近200双，因此将每天用筷量估算为200双，再乘一个月的30天，即可得到总估算用量。 【规范解答】（双） 答：百姓饭店每个月大约要用掉6000双一次性筷子。 高频考点九 三位数与两位数的乘法 【典例精讲】（25-26四年级下·安徽芜湖·期末）用竖式计算。 91×202＝         347×45＝        50×380＝ 11.4＋5.6＝        12－9.8＝ 【答案】18382；15615；19000； 17；2.2 【思路引导】整数乘法竖式计算：先明确三位数乘两位数的竖式书写规则，将位数多的因数写在上方，对齐数位；如果因数末尾有0，可先计算0前面的数的乘积，再根据因数末尾0的总个数在积的末尾补对应数量的0。 小数加减法竖式计算：先将两个数的小数点对齐，保证相同数位对齐，再按照整数加减法的规则计算，最终结果的小数点和横线上的小数点对齐。 【规范解答】91×202＝18382 347×45＝15615       50×380＝19000              11.4＋5.6＝17     12－9.8＝2.2          【变式训练】（25-26四年级下·河南新乡·期末）根据145×28＝4060填一填。 145×14＝( )    29×( )＝4060 【答案】 2030 140 【思路引导】根据积的变化规律，如果一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变；如果一个因数不变，另一个因数乘一个数或除以一个不为0的数，积也乘或除以相同的数；据此解题即可。 【规范解答】145×28＝4060 145×14 ＝145×（28÷2） ＝145×28÷2 ＝4060÷2 ＝2030 （145÷5）×（28×5） ＝29×140 ＝4060 所以，145×14＝2030；29×140＝4060。 高频考点十 三位数乘两位数，三位数中间有0 【典例精讲】（25-26四年级下·河南驻马店·期末）五一期间，“农家乐”游园迎来了许多游客。到采摘园的有25个团，每个团120人；参加编织和捕鱼的共有28个团，每个团108人。请你帮忙算一算，五一期间到“农家乐”游园的一共有多少人？ 【答案】6024人 【思路引导】游园总人数由采摘园游客人数和参加编织、捕鱼的游客人数两部分组成，分别用团数乘每个团的人数算出两部分人数，再相加即可得到总人数。 【规范解答】 （人） 答：五一期间到“农家乐”游园的一共有6024人。 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·单元测试）用竖式计算。 43×12＝    14×26＝    86×33＝ 305×84＝    190×60＝    75×540＝ 【答案】516；364；2838； 25620；11400；40500 【思路引导】两位数乘两位数：先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数末尾对齐个位；再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数末尾对齐十位；最后把两次乘积相加。 三位数乘两位数：先用两位数个位上的数乘三位数，得数末尾对齐个位；再用两位数十位上的数乘三位数，得数末尾对齐十位；最后相加。乘数末尾有0时，可以先把0前面的数相乘，最后看乘数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。 【规范解答】43×12＝516      14×26＝364       86×33＝2838                    305×84＝25620    190×60＝11400   75×540＝40500          高频考点十一 三位数乘两位数，乘数末尾有0 【典例精讲】（25-26四年级下·河南新乡·期末）计算340×60，可以先算34×6，再在得数的末尾添上2个0。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】计算因数末尾有0的乘法时，可先计算0前面的数的乘积，再看两个因数末尾一共有几个0，就在所得乘积的末尾添上相同个数的0。据此判断。 【规范解答】先计算，340末尾有1个0，60末尾有1个0，两个因数末尾共有2个0，因此在204的末尾添上2个0即可得到的结果，原说法正确。 故答案为：√ 【变式训练】（2026四年级上·辽宁·专题练习）非遗艺术馆要编织一些大型中国结。要解决“艺术馆准备的编绳够编织艺术馆所需数量的中国结吗？”这一问题，需要用到的条件是（    ）。如果够，还剩多少米的编绳？如果不够，还差多少米？ ①编织1个大型中国结需要15米长的编绳 ②需要编织190个大型中国结。 ③1个中国结售价18元. ④艺术馆准备了3000米的编绳。 【答案】①②④；够；150米 【思路引导】要判断编绳是否够用，需要知道单个中国结的用绳长度、要编织的总数量和准备的总绳长，中国结的售价和绳量问题无关；先算出编织所有中国结需要的总绳长，用编织中国结的数量乘编织一个中国结需要编绳的长度；再和准备的绳长比较，大于所需要编绳的长度则够，反之则不够。需要编绳的长度和准备的绳长差即为剩下或相差的长度。 【规范解答】①②④ 15×190＝2850（米） 2850＜3000，编绳够用。 3000－2850＝150（米） 答：编绳够用，还剩150米的编绳。 高频考点十二 三位数乘两位数的实际问题 【典例精讲】（25-26四年级下·山西临汾·期末）2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功。为了弘扬中国航天精神，学校举办航天精神演讲比赛，要求每人演讲时间为15分钟。笑笑演讲的平均语速为每分钟215个字，准备了3000个字的稿子，她能演讲完吗？ 【答案】能 【思路引导】先计算笑笑15分钟能讲的总字数，再和稿子的3000字比较，若总字数大于或等于3000，就能在规定时间内讲完稿子。 【规范解答】（个） 答：她能演讲完。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）我国三北防护林体系建设工程被誉为世界“生态工程之最”。已知1公顷森林一天能释放720千克氧气，50公顷森林一天能释放( )吨氧气。 【答案】36 【思路引导】由题意可知，已知1公顷森林一天能释放720千克氧气，用720×50求的是50公顷森林一天能释放多少千克氧气。1吨＝1000千克，据此解答。 【规范解答】（千克） 36000千克＝36吨 所以50公顷森林一天能释放36吨氧气。 高频考点十三 计算器的初步认识与使用 【典例精讲】（25-26四年级下·山东潍坊·期末）用计算器计算一个数乘24，按键输入“24”时，不小心误操作，只按了“4”，如果想得到原题的结果，接下来应该输入（    ）。 A．×20 B．＋20 C．×6 【答案】C 【思路引导】把24拆成4与6的乘积，一个数乘两个数的积等于这个数连续乘这两个数，据此推导后续操作。 【规范解答】原式为：一个数×24，拆分24得：24＝4×6，因此一个数×24＝一个数×4×6，已经输入乘4，接下来应输入×6。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）已知12345×9＝111105，那么12345×36＝( )（用计算器计算）；如果用简便方法计算，那么12345×36＝12345×( )×( )＝( )。 【答案】 444420 9 4 444420 【思路引导】已知12345×9＝111105，观察36，36＝9×4。利用积的变化规律，一个乘数不变，另一个乘数乘4，积也要乘4，把36拆成9×4进行简便计算。 【规范解答】用计算器计算：12345×36＝444420 简便计算： 12345×36＝12345×9×4 ＝111105×4 ＝444420 高频考点十四 计算器的复杂运算 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）据统计，一个可供100人就餐的学校食堂一天要倒掉剩菜剩饭约30千克。 (1)照这样计算，这个食堂一年（按365天计算）要浪费( )千克粮食。 (2)一个四口之家，一天消耗粮食约5千克。该食堂一年浪费的粮食够( )个四口之家食用一天。 【答案】(1)10950 (2)2190 【思路引导】（1）浪费的总量＝每天浪费的量×天数。 （2）用该食堂一年浪费的总量除以这个四口之家一天消耗的量即可。 【规范解答】（1）30×365＝10950（千克） （2）10950÷5＝2190（个） 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）括号里可以填几？估一估，再用计算器检验，找到合适的答案。 算式 98×（    ） 71×（    ） 407×（    ） 积的范围 3500~4000 1900~2000 20000~21000 【答案】36；27；50（答案不唯一） 【思路引导】（1）乘积在3500~4000之间，先把98看作100，进行估值，一个乘数往大了估，另一个乘数实际数值要比估出来的数值大，据此求出另一个数的范围，再用计算器检验； （2）乘积在1900~2000之间，先把71看作70，进行估值，一个乘数往小了估，另一个乘数实际数值要比估出来的数值小，据此求出另一个数的范围，再用计算器检验； （3）乘积在20000~21000之间，先把407看作400，进行估值，一个乘数往小了估，另一个乘数实际数值要比估出来的数值小，据此求出另一个数的范围，再用计算器检验； 【规范解答】100×35＝3500，100×40＝4000，因为98比100小，另一个乘数最小的数要比35大一点，最大的数为40，不可超过40，估算可以取的值为：36，37，38，39，40。用计算器进行验算： 98×35＝3430，98×36＝3528，98×40＝3920，98×41＝4018，所以可以填36，37，38，39，40。 70×27＝1890，70×28＝1960，因为70比71小，可填最小数为27，最大的数要比28小一点，估算可以取的值为：27，28。用计算器进行验算： 71×26＝1846，71×27＝1917，71×28＝1988，71×29＝2059，所以可以填27，28。 400×50＝20000，400×52＝20800，因为400比407小，可填最小数为50，最大的数要比52小一点，估算可以取的值为：50，51。用计算器进行验算： 407×49＝19943，407×50＝20350，407×51＝20757，407×52＝21164，所以可以填50，51。 高频考点十五 用计算器探究规律 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·单元测试）先用计算器计算前三个算式，再根据规律直接写出下面算式的结果。 9×9＋19＝ 99×99＋199＝ 999×999＋1999＝ 9999×9999＋19999＝ 【答案】100； 10000； 1000000； 100000000； 【思路引导】先借助计算器算出前三个算式：9×9＋19＝100，99×99＋199＝10000，999×999＋1999＝1000000，观察算式与计算结果可以发现规律：n个9组成的数相乘，再加上1后面带有n个9的数，得数是1后面带有2n个0。 【规范解答】9×9＋19＝100 99×99＋199＝10000 999×999＋1999＝1000000 9999×9999＋19999＝100000000 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）用计算器计算下面各题，并找一找其中的规律。 99×3＝        999×3＝ 9999×3＝        99999×3＝ 999999×3＝        9999999×3＝ 请你根据上面找到的规律，猜想下面各题的结果，并用计算器验证你的猜想。 99×4＝        999×4＝ 9999×4＝        99999×4＝ 999999×4＝        9999999×4＝ 【答案】297；2997； 29997；299997； 2999997；29999997 396；3996； 39996；399996； 3999996；39999996 【思路引导】先通过计算器计算出前面一组、等算式的结果，观察这些结果的特征，总结出规律，再依据这个规律去猜想后面一组、等算式的结果，最后用计算器进行验证。 【规范解答】计算及相关算式并找规律‌： ；； ；； ；； 观察这些结果可以发现规律：一个数由个9组成，乘3后，结果是一个位数，这个数的首位是，末尾是，中间有个9。 根据规律猜想及相关算式的结果‌： ，，按照规律，结果应该是一个位数，首位是，末尾是，中间有个9，即396，以此类推。 ；；；；。 用计算器分别计算，猜想正确。 高频考点十六 用估算解决实际问题（乘法） 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）育才小学准备用8000元为四（1）班的48名同学换上新的课桌椅，选哪一种最合适？请通过计算说明。 A．每套155元 B．每套218元 C．每套127元 【答案】A种 【思路引导】把每套桌椅的价格看成与它接近的整百整十数，班级人数看成与它接近的整十数，用每套桌椅的价格乘班级人数，先分别估算出购买48套三种课桌椅的总费用，总费用不能超过8000元，且越接近预算越合适。 【规范解答】A．155×48≈160×50＝8000（元），符合预算。 B．218×48≈220×50＝11000（元），11000＞8000，超出预算，不符合题意。 C．127×48≈130×50＝6500（元），符合预算。 因为6500＜8000，且A种总费用更接近8000元的预算。 答：选A种最合适。 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）小明家做一次面条大约需要495克面粉，他家每月大约做9次面条。照这样计算，小明家一年做面条大约需要多少克面粉？估算时，用（    ）更合理。 A．500×9 B．500×20 C．500×10×10 D．400×10×10 【答案】C 【思路引导】估算时要把数估成接近的整十、整百数，计算一年的面粉总量，需要用单次用量乘每月次数，再乘一年的月数。 【规范解答】单次面粉用量：；每月做面条次数：；一年有12个月，估算为10个月：。 一年总用量估算为：，所以C选项更合理。 奥数拓展一 两位数与两位数的口算乘法（点子图） 【典例精讲】（25-26三年级下·河南周口·阶段检测）下面计算的方法中，正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路引导】两位数乘两位数的计算法则：先用第二个两位数的个位分别与第一个两位数的每一位数相乘，乘得的积的末尾和个位对齐。再用第二个两位数的十位分别与第一个两位数的每一位数相乘，乘得的积的末尾和十位对齐。最后，将两次乘得的积相加。可以用竖式计算24×15，也可以利用点子图计算24×15，逐一分析三种计算方法，即可解题。 先用15个位上的“5”去乘24，24×5＝120。再用15十位上的“1”去乘24，24×10＝240。最后再把乘得的积加起来，即120＋240＝360。 【规范解答】方法一：观察点子图可知，先把15分成3×5，利用24乘3再乘5计算出积， 24×15＝24×3×5＝72×5＝360，计算正确； 方法二：观察点子图可知，先把15分成10和5，先算24×10＝240，再算24×5＝120，最后算240＋120＝360。该计算正确。 方法三：24×15＝360 所以，竖式计算错误。 即：上面计算的方法中，正确的有2个。 【变式训练】（25-26三年级下·江苏苏州·期中）欢欢在计算17×16时，先算7×6＝42，再算10×10＝100，最后算42＋100＝142，她发现结果142与正确结果不一致，结合下图想一想，她出错是因为没有计算图中的（    ）。 A．②和④ B．①和③ C．②和③ D．①和④ 【答案】C 【思路引导】计算17×16时，把17分成10＋7，把16分成10＋6，用长方形面积模型计算时，要把分成的4个小长方形的面积都算出来，再相加得到总面积，结合图示分析即可解答。 【规范解答】①表示10×10的积；②表示10×6的积 ③表示7×10的积；④表示7×6的积 17×16的正确算法，要把4个部分的面积全部相加： 欢欢的方法是“”，只算了①和④，少加了10×6和7×10，也就是没有计算图中的②和③。 奥数拓展二 两位数乘两位数的乘法与应用 【典例精讲】比较每组算式得数的大小，你发现了什么？ （1）20×20＝       21×19＝       22×18＝       23×17＝ （2）30×30＝       31×29＝       32×28＝       33×27＝ 我发现：两个因数的和（    ），（    ），积越大。 【答案】不变；两个因数的差越小 【思路引导】先分别计算出每个算式两个因数的和、每个算式的积，然后再进行观察并填空即可。 【规范解答】（1）20＋20＝21＋19＝22＋18＝23＋17 20－20＝0；21－19＝2；22－18＝4；23－17＝6 20×20＝400；21×19＝399；22×18＝396；23×17＝391； （2）30＋30＝31＋29＝32＋18＝33＋27 30－30＝0；31－29＝2；32－28＝4；33－27＝6 30×30＝900；31×29＝899；32×28＝896；33×27＝891； 因此两个因数的和不变，两个因数的差越小，积越大。 【考点剖析】熟练掌握两位数乘两位数的计算，并且善于发现算式之间的规律是解答此题的关键。 【变式训练】（2025四年级·全国·专题练习）用4，7，3，1，9这五个数字组成三位数乘两位数的算式，请写出乘积最大和乘积最小的算式。（每个数字在每个算式中只能用一次） 乘积最大的算式：( )×( )＝( ) 乘积最小的算式：( )×( )＝( ) 【答案】 741 93 68913 379 14 5306 【思路引导】要使乘法算式的积最大，两个乘数都要尽可能大，两个数的最高位就要选最大的两个数，可以写出最大的三位数乘两位数的乘法算式，反之，使两个乘数都要尽可能小，两个数的最高位就要选最小的两个数，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知，乘积最大的算式： 乘积最小的算式： 【考点剖析】本题主要考查了最大与最小问题，解题的关键是先确定两个因数最高位上的数。 奥数拓展三 三位数乘两位数的估算 【典例精讲】（25-26四年级下·江苏徐州·阶段检测）用2、8、0、5、7这五个数字组成一个三位数乘两位数的算式。 乘积最大的算式是( )×( )，乘积最小的算式是( )×( )。 【答案】 750 82 578 20 【思路引导】乘积最大：要使乘积最大，应将较大的数字放在较高的数位上。首先确定最高位（三位数的百位和两位数的十位）为最大的两个数字8和7；其次确定次高位（三位数的十位和两位数的个位）为次大的两个数字5和2；最小的数字0放在三位数的个位。通过计算比较不同组合的乘积，确定最大值。 乘积最小：要使乘积最小，应将较小的数字放在较高的数位上，但最高位不能为0。首先确定最高位为最小的非零数字2和5；为了使积最小，应尽可能让其中一个因数较小，考虑将0放在两位数的个位组成整十数，或者放在三位数的十位。通过计算比较不同组合的乘积，确定最小值。 【规范解答】乘积最大：将最大的数字分配在三位数和两位数的最高位，使两个数尽可能接近且较大。 乘积最大尝试：850×72＝61200，820×75＝61500，825×70＝57750 61500＞61200＞57750 乘积最大的算式是820×75＝61500或750×82＝61500； 乘积最小：两个乘数最高位上的数字应该尽可能小，分别是2和5。 乘积最小尝试：208×57＝11856，207×58＝12006；578×20＝11560 11560＜11856＜12006 乘积最小的算式是578×20＝11560。 【变式训练】（25-26四年级上·山东聊城·期末）下面四个数中，可能是“3□6×□8”的得数的是（    ）。 A．2948 B．11046 C．17088 D．41058 【答案】C 【思路引导】，两个因数的个位上是6和8，所以积的个位上肯定是8，，，所以，找出符合条件的数即可。 【规范解答】A．，不符合条件。 B．11046的个位上不是8，不符合条件。 C．，并且个位上是8，符合条件。 D．，不符合条件。 四个数中可能是它的得数的是17088。 奥数拓展四 三位数与两位数的乘法 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·单元复习）延安是中国革命的摇篮。延安某纪念馆工作人员为满足游客的需求，定制了一批革命纪念品。 定制优惠方案 ①不满30件，不予优惠； ②满30件，但不超过80件，超过30件的部分，每满300减30元； ③超过80件，80件按第2条方案优惠，超过80件的部分每件减3元。 （1）定制这些纪念品一共花了3150元，该纪念馆一共定制了多少件革命纪念品？ （2）由于进购数量多，该纪念馆直接以15元/件的价格进购了300件纪念品。按标价卖出的定制纪念品件数比剩下的多42件，此时降价出售，卖完后共获利3939元，剩下的降价了多少元售卖？ 【答案】（1）200件 （2）9元 【思路引导】（1）先求出定制30件纪念品需要的钱数；用30乘18即可。再求出定制30件至80件的部分需要的钱数，用件数（80－30）乘18，然后满足每满300元的要减去30元。超过80件的部分花的钱数＝花的总钱数－定制30件纪念品需要的钱数－定制30件至80件的部分需要的钱数。定制的件数＝超过80件的部分花的钱数÷超过80件的部分每件的钱数。定制的总件数＝80件＋超过80件的件数。 （2）用总数加上多的42件，算出结果在除以2，就是按标价卖出的件数。用总件数300减去按标价卖出的件数就是降价卖出的件数。按标价卖出的纪念品获利的钱数＝卖出的件数×（标价－定制价格）。降价卖出的纪念品共获利的钱数＝卖完后共获利的钱数－按标价卖出的纪念品获利的钱数，降价后每件获利的钱数＝按标价卖出的纪念品获利的钱数÷降价的件数，降价的钱数＝标价－（定制价格＋降价后获利）。 【规范解答】（1）30×18＝540（元） （80－30）×18 ＝50×18 ＝900（元） 30×3＝90（元） 900－90＝810（元） 3150－540－810 ＝2610－810 ＝1800（元） 1800÷（18－3） ＝1800÷15 ＝120（件） 80＋120＝200（件） 答：该纪念馆一共定制了200件革命纪念品。 （2）（300＋42）÷2 ＝342÷2 ＝171（件） 171×（32－15） ＝171×17 ＝2907（元） 3939－2907＝1032（元） 1032÷（300－171） ＝1032÷129 ＝8（元） 32－（15＋8） ＝32－23 ＝9（元） 答：剩下的降价了9元售卖。 【考点剖析】解决此类问题的关键是按照分段的要求算出满足前两段的最多的价钱。计算时注意每一段的满减条件。然后再根据单价、数量、总价之间的关系求解。 【变式训练】超市购进一批书包，共200个，进价为24元/个。以40元/个的价格卖出了80个后，正逢到了儿童节，于是以每个30元的价格促销，很快就把剩下的都卖完了。超市购进的这批书包一共盈利多少元？ 【答案】2000元 【思路引导】先根据单价×数量＝总价，用40乘80，计算出这个80个书包一共卖得多少钱，然后再用200减去80，计算出还剩多少个书包，然后再根据单价×数量＝总价，计算出剩下的书包一共卖得多少钱，再把两部分钱加起来，即可算出这批书包一共卖得多少钱。最后用进价乘200，计算出这批书包的成本是多少，再用一共卖得的钱减去进价，即可算出这批书本一共盈利多少元。据此解答。 【规范解答】40×80＝3200（元） 200－80＝120（个） 30×120＝3600（元） 3200＋3600＝6800（元） 24×200＝4800（元） 6800－4800＝2000（元） 答：这批书本一共盈利2000元。 【考点剖析】本题主要考查单价、数量与总价之间的关系，解决此题的时候，要注意找准每个量之间的对应关系。 奥数拓展五 三位数乘两位数的实际问题 【典例精讲】（25-26四年级上·福建漳州·期中）2□7×□4是一个三位数乘两位数的算式，下面四个数中，（    ）有可能是它的得数。 A．18274 B．29628 C．27918 D．2758 【答案】C 【思路引导】三位数2□7的个位是7，两位数□4的个位是4，积的个位应为7×4＝28的个位8，排除A。三位数范围为207－297，两位数范围为14－94，估算时积最小约200×14＝2800，最大约300×94＝28200。D选项2758小于最小值，排除；B选项29628超过最大值，排除。C选项27918处于最小值和最大值之间的范围，且个位为8，符合条件。 【规范解答】个位分析：2□7×□4，个位上7×4＝28，积个位必为8。 范围估算：三位数最小为207，可看作200，两位数最小为14，积最小约为200×14＝2800； 三位数最大为297，可看作300，两位数最大为94，积最大约为300×94＝28200。 A．18274个位上是4，错误，排除； B．29628大于积的估算出的最大值28200，排除； C．2800＜27918＜28200，且个位为8，符合条件； D．2758小于积的估算出的最小值2800，排除。 故答案为：C 【变式训练】（23-24四年级上·山东德州·期中）从甲地到乙地的火车票是295元，一个旅行团49人，准备15000元够吗？选项（    ）的估算方法比较合适。 A．295≈290，49≈50，290×50＝14500 B．295≈300，49≈50，300×50＝15000 C．295≈300，49≈40，300×40＝12000 【答案】B 【思路引导】总价＝单价×数量，则他们火车票总价为295×49＝14455元，他们准备15000元够，所以估算的数要大于等于14455并且小于等于15000。再根据整数乘法的估算方法，估算时把两个因数都看作整百数或整十数且比原数大进行计算，进而判断即可。 【规范解答】由分析可知： A．295≈290，49≈50，290×50＝14500，大于14455并且小于15000，但是估算时一个因数比原数小，不合适； B．295≈300，49≈50，300×50＝15000，大于14455并且小于15000，估算时两个因数都比原数大，比较合适； C．295≈300，49≈40，300×40＝12000，小于14455，这样钱就不够给所有人买票了，不合适； 故答案选：B 【考点剖析】熟练掌握公式总价＝单价×数量，解决本题时应明确他们大约需要准备的钱数应大于实际需要准备的钱数，也就是应将295和49估大。 奥数拓展六 用计算器探究规律 【典例精讲】（25-26四年级上·福建莆田·期中）计算器上的数字键“6”失灵了，用这个计算器计算206＋497时，下列方法不合理的是（    ）。 A．210＋497－4 B．200＋490＋13 C．210＋500＋3 D．200＋500＋3 【答案】C 【思路引导】由于计算器上的数字键“6”失灵了，所以不能直接输入206，需要将206进行合理的拆分，然后通过其他数字的组合来计算206＋497，逐一分析选项看是否能正确计算出结果。 【规范解答】选项A：因为210－4＝206，所以210＋497－4＝206＋497，故该方法合理。 选项B：200＋490＋13＝703，而206＋497＝703，故该方法合理。 选项C：210＋500＋3＝713，而206＋497＝703，两者结果不相等，故该方法不合理。 选项D：200＋500＋3＝703，而206＋497＝703，故该方法合理。 故答案选C。 【变式训练】用计算器计算，再试着找出规律。 12×101＝________13×101＝________14×101＝________ 15×101＝________16×101＝________17×101＝________ 18×101＝ ________19×101＝________ 你找到的规律是什么？ 【答案】1212；1313；1414；1515；1616；1717；1818；1919 规律：第一个因数是两位数，第二个因数是101，积是四位数，把这个两位数重复写两遍就是积。 【思路引导】（1）用计算器计算时先键入第一个数字，再键入运算符号，然后键入第二个数字和等号即可得到得数； （2）用计算器计算后总结出规律即可。 【规范解答】（1）12×101＝1212；13×101＝1313；14×101＝1414；15×101＝1515；16×101＝1616；17×101＝1717；18×101＝1818；19×101＝1919； 答：计算结果为：1212；1313；1414；1515；1616；1717；1818；1919； （2）答：规律是：第一个因数是两位数，第二个因数是101，积是四位数，把这个两位数重复写两遍就是积。 【考点剖析】本题考查了计算器的认识及使用。 【基础通关】 1．（25-26四年级下·河南信阳·期末）如果a×b＝50，那么（a×3）×（b×3）＝（    ）。 A．50 B．150 C．300 D．450 【答案】D 【思路引导】根据积的变化规律，两个因数分别扩大到原来的3倍，积就扩大到原来的倍，用原来的积乘这个倍数就能算出结果。 【规范解答】a×b＝50 3×3＝9 50×9＝450 如果a×b＝50，那么（a×3）×（b×3）＝450。 2．（26-27四年级上·辽宁·单元测试）估算589×51时，误差最小的是（    ）。 A．600×50 B．600×60 C．500×50 D．590×50 【答案】A 【思路引导】估算就是把因数看出接近的整十、整百数，越接近原数，误差越小。 【规范解答】589在500和600之间，更接近600；51在50和60之间，更接近50，越接近原数，误差越小。 A．589看成600，此时多了11个50，即550；把51看成50，此时少了1个589，589－550＝39，即600×50的积比589×51的积少39。 B．把589看作600，此时多了11个60，即660；把51看作60，此时多了9个589，偏差太大，直接排除。 C．把589看作500，此时少了89个50，把51看成50，此时少了1个589，偏差太大，直接排除。 D．把589看作590，此时多了1个50；把51看作50，此时少了1个589，估算的积少了589－50＝539，即590×50的积比589×51的积少539。 39＜539，所以A的误差最小。 3．（26-27四年级上·辽宁·单元测试）图中点表示的数可能是下面算式（    ）的积。 A．498×39 B．498×49 C．498×59 D．498×69 【答案】C 【思路引导】根据题意，把三位数看作整百数、把两位数看作整十数，进行估算，把计算结果与P点表示的数进行比较，可知，P点表示的数比30000小且比较接近30000，据此作出判断选择即可。 【规范解答】A．498×39≈500×40＝20000； B．498×49≈500×50＝25000； C．498×59≈500×60＝30000； D．498×69≈500×70＝35000。 因此，点P表示的数可能是算式498×59的积。 4．（25-26四年级下·安徽滁州·期末）125×0，要使积的末尾有2个零，里最小填( )；250×0，要使积是五位数，里最小填( )。 【答案】 2 4 【思路引导】125×0＝125××10，积的末尾一定有1个0，要使积的末尾有2个0，就要使125×的积末尾有1个0，末尾是5的数乘上偶数，所得积的末尾是0； 250×0＝25×10××10，积的末尾一定有2个0，要使积是五位数，那么25×的积为三位数，找出最小的值即可。 【规范解答】根据分析，最小的非0偶数是2，125×2＝250，125×20＝2500，积的末尾有2个0，符合题意； 25×4＝100，250×40＝10000，积为最小的五位数，符合题意； 因此，125×0，要使积的末尾有2个零，里最小填2；250×0，要使积是五位数，里最小填4。 5．（25-26四年级下·安徽池州·期末）120×50的积是( )位数，末尾一共有( )个0。 【答案】 四 3 【思路引导】先根据因数末尾有0的乘法计算方法求出积，再数出积的位数和末尾0的个数。特别注意因数末尾0 的个数与积末尾0的个数不一定相等，因为非零部分相乘可能产生新的0。 【规范解答】120×50＝6000 120×50的积是四位数，末尾一共有3个0。 6．（25-26四年级下·河北张家口·期末）两个因数的积是56，如果一个因数乘2，另一个因数除以2，所得的积还是56。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】积的变化规律，两个数相乘，一个因数乘不为0的数，另一个因数除以相同的数，积不变。 【规范解答】两个因数的积是56，如果一个因数乘2，另一个因数除以2，所得的积还是56。题目说法正确。 故答案为：√ 7．（26-27四年级上·辽宁·单元测试）一瓶食用油119元，超市准备购进36瓶，一共要花多少元？下边竖式中箭头所指的部分表示（    ）。 A．购进3瓶要花357元 B．购进30瓶要花357元 C．购进3瓶要花3570元 D．购进30瓶要花3570元 【答案】D 【思路引导】三位数乘两位数的笔算方法：把三位数放竖式上面，两位数放下面，相同数位对齐，然后先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数个位对齐；再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数的十位对齐；然后把两次乘得的积加起来。竖式中的357是30×119得到的，7在十位上，表示10，完整的算式为30×119＝3570，据此解答即可。 【规范解答】据分析可知：竖式中箭头所指的这一步表示购进30瓶食用油要花3570元。 8．（26-27四年级上·辽宁·单元测试）亮亮在计算21×21时，错写成了27×21，这样计算出来的结果比正确结果（    ）。 A．多6 B．少6 C．多126 D．少126 【答案】C 【思路引导】两个乘法算式有相同乘数21，另一个乘数从21变为27，数值变大，因此错误结果比正确结果大，差值为两个不同乘数的差乘相同的乘数21。 【规范解答】27－21＝6 6×21＝126 因此，这样计算出来的结果比正确结果多126。 9．（25-26四年级下·江苏苏州·期中）有一种特别的计算器，它只有两个按键[＋1]和[×2]。当你按下其中一个键，计算器马上会显示运算结果。若计算器原有数据为9，当你按下[＋1]时就会显示为10，再按下[×2]时就会显示20。如果此计算器的初始值为1，要用它得到200，至少要按键（    ）次。 A．8 B．9 C．10 【答案】B 【思路引导】用乘法凑200显然要更快一些，按下其中一个键计算器马上会显示运算结果，其中一个因数可以看成是若干个2连乘得到，解答时使用逆运算，[＋1]和[×2]的逆运算是[－1]和[÷2]，200连续除以2，除不尽的再减1，继续除以2，直到结果是1为止，据此解答。 【规范解答】200÷2÷2÷2＝25（3步运算） （25－1）÷2÷2÷2＝3（4步运算） （3－1）÷2＝1或（3－1）－1＝1（2步运算） 可列算式：［（1＋1＋1）×2×2×2＋1］×2×2×2或［（1×2＋1）×2×2×2＋1］×2×2×2，共9步。 10．（25-26四年级下·河南新乡·期末）用○和△表示两个数，已知○×△＝148，则○×（△÷4）的结果是( )，（○×3）×（△×3）的结果是( )。 【答案】 37 1332 【思路引导】积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几；两个因数同时乘相同的数（0除外），积乘两次这个数。 【规范解答】根据积的变化规律可知，一个因数除以4，积应除以4，即； 根据积的变化规律可知，两个因数同时乘3，积应乘，即。 【能力提升】 1．（25-26四年级下·河南新乡·期末）新学期开始前，某文具店购进32箱铅笔，已知每箱铅笔有149支，求购进多少支铅笔。亮亮通过下面的竖式进行计算，则2箱中有( )支铅笔，竖式中箭头所指的这一步表示的是( )箱中有( )支铅笔。 【答案】 298 30 4470 【思路引导】计算149×32时，可以把32拆成2＋30。先用个位上的2乘149：149×2＝298，代表2箱铅笔的总数；再用十位上的3乘149：十位上的3表示30，149×30＝4470。 竖式书写时，末尾的0省略不写，把447的末位和十位对齐，箭头指向的447实际代表4470，表示30箱铅笔的总数。 【规范解答】149×2＝298，所以2箱中有298支铅笔；竖式箭头所指一步表示的是30箱中有4470支铅笔。 2．（26-27四年级上·全国·单元测试）用2，4，0，1，6组成的三位数乘两位数的乘法算式，其中乘积最大的算式是( )。 【答案】610×42＝25620或420×61＝25620 【思路引导】要使乘积最大，应把较大的数字放在高位。两位数和三位数的最高位应是这五个数字中较大的两个，即6和4。先考虑两位数的十位为6，三位数的百位为4的情况。此时剩下的数字为2、1、0，组成的两位数可能是62、61、60，三位数可能是410、420、401、402、412、421等； 计算可得：62×410＝25420，61×420＝25620，60×421＝25260等。 再考虑两位数的十位为4，三位数的百位为6的情况。剩下的数字同样是2、1、0，组成的两位数可能是42、41、40，三位数可能是610、620、601、602、612、621等。计算可得：42×610＝25620，41×620＝25420，40×621＝24840等。 【规范解答】根据分析，610×42＝25620和420×61＝25620的乘积最大； 因此，用2，4，0，1，6组成的三位数乘两位数的乘法算式，其中乘积最大的算式是610×42＝25620或420×61＝25620。 3．（2026四年级上·辽宁·专题练习）用竖式计算。 539×28＝    24×308＝    69×370＝ 【答案】15092；7392；25530 【思路引导】两位数乘三位数，先用两位数个位去乘三位数，再用两位数十位去乘三位数，最后把两次积相加。 计算三位数中间有0乘两位数时，先用两位数个位数字依次乘三位数个位、十位、百位，中间的0也要参与计算，0乘得0后有进位要加上进位；再用两位数十位数字乘三位数，得数末尾对齐十位，最后将两次乘积相加。 计算三位数末尾有0乘两位数时，先把0前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。 【规范解答】                             4．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）计算并观察方框中算式的积的特点，直接写出后面两道算式的积。 21×1001＝            55×99＝ 22×1001＝            555×999＝ 23×1001＝            5555×9999＝ 24×1001＝            55555×99999＝ 25×1001＝            555555×999999＝ 【答案】21021；5445； 22022；554445； 23023；55544445； 24024；5555444445； 25025；555554444445 【思路引导】第一组：1001可拆为1000＋1，根据乘法分配律推导积与乘数的规律，验证规律后后续算式直接按规律写结果；第二组，55×99＝55×（100－1），555×999＝555×（1000－1），根据乘法分配律推导积的位数、数字组成规律，验证规律后后续算式直接按规律写结果。 【规范解答】21×1001 ＝21×（1000＋1） ＝21×1000＋21×1 ＝21000＋21 ＝21021 22×1001 ＝22×（1000＋1） ＝22×1000＋22×1 ＝22000＋22 ＝22022 观察上面算式及结果，易发现：两位数乘1001，相当于把这个两位数重复写两遍，中间补1个0，直接得到五位数的积，比如21重复两次就是21，中间插0就得到21021。 验证规律：23×1001 ＝23×（1000＋1） ＝23×1000＋23×1 ＝23000＋23 ＝23023 符合规律特征，所以 24×1001＝24024 25×1001＝25025 55×99 ＝55×（100－1） ＝55×100－55 ＝5500－55 ＝5400＋100－55 ＝5400＋45 ＝5445 555×999 ＝555×（1000－1） ＝555×1000－555×1 ＝555000－555 ＝554000＋1000－555 ＝554000＋445 ＝554445 观察上面算式及结果，易发现：n个5组成的数乘n个9组成的数，积的规律是：先写（n－1）个5，接着写n个4，最后末尾加1个5。比如55乘99，就先写1个5，接着写2个4，末尾加5，得到5445。 验证规律： 5555×9999 ＝5555×（10000－1） ＝5555×10000－5555×1 ＝55550000－5555 ＝55540000＋10000－5555 ＝55540000＋4445 ＝55544445 符合规律特征，所以 55555×99999＝5555444445 555555×999999＝555554444445 5．（25-26四年级下·山西大同·期末）“九三阅兵”是为了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，在阅兵活动中共设置13个徒步方队。按照标准编制，每个徒步方队排布14排，每排25名队员，另配有2名领队。 (1)单个徒步方队一共有多少人？ (2)全部徒步方队一共有多少人？ 【答案】(1) 352人 (2)4576人 【思路引导】（1）计算单个方队人数，用每排人数乘排数得到队员总数，再加领队人数。 （2）计算全部方队人数，用单个方队人数乘方队总数量即可。 【规范解答】（1）25×14＋2 ＝350＋2 ＝352（人） 答：单个徒步方队一共有352人。 （2）352×13＝4576（人） 答：全部徒步方队一共有4576人。 6．（25-26四年级下·河南郑州·期末）接学校通知，考察团周四下午到达，需要同学们帮忙预订10晚的酒店住宿（周四晚上到下周六晚上，共住宿10晚）。同学们了解到距离学校最近的酒店标准间有以下两个收费标准： 标准一：周五、周六每晚每标准间300元，其余每晚每标准间220元。 标准二：连续住宿7天及以上，每晚每标准间240元。 同学们选哪个标准最划算？请你算一算。 【答案】标准二划算。 300×4＋220×6＝2520（元） 240×10＝2400（元） 【思路引导】要判断哪个标准更划算，需分别计算两种收费标准下10晚住宿的总费用，再比较费用高低。计算标准一的费用时，先确定10晚中周五、周六的晚数，分别计算周末和其余时间的费用后求和；标准二满足连续住宿7天及以上的优惠条件，直接用每晚价格乘总晚数计算即可。 【规范解答】标准一的总费用： 10晚中周五、周六共4晚，其余时间晚数：10－4＝6 300×4＋220×6 ＝1200＋1320 ＝2520（元） 标准二的总费用： 10＞7，符合连续住宿7天及以上的优惠要求 240×10＝2400（元） 2400＜2520 答：选标准二最划算。 7．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）用5，6，7，8，9这五个数字组成一个三位数和一个两位数，并计算出它们的积。积最大是多少？ 【答案】84000 【思路引导】要使三位数乘两位数乘积最大，遵循规律： 1.大数尽可能放在高位； 2.两个数的差越小，乘积越大。 数字：5，6，7，8，9 先把最大两个数字9、8分别放在两个数的首位； 接着安排7、6，最小数字5放在末尾，组合尝试对比： 965×87、975×86、865×97、875×96 【规范解答】965×87＝83955 975×86＝83850 865×97＝83905 875×96＝84000 对比可得最大乘积为84000。 答：积最大是84000。 8．（26-27四年级上·全国·课后作业）有些国家采用“画线法”计算三位数乘两位数。如图①，用两组分开的线代表不同数位上的数，形成的交叉点从右往左依次对应“个、十、百、千”等计数单位。 (1)图②中D圈中2个点表示2个一，那么A圈中2个点表示( )个( )。 (2)请你用“画线法”在图③上先圈一圈，再计算214×31＝( )。 【答案】(1) 2 千 (2) 【思路引导】（1）根据画线法“从右往左依次对应个、十、百、千”的规则，结合D圈的位置和意义，推导A圈对应的计数单位。 （2）利用画线法计算三位数乘两位数，分别计算各数位对应的交叉点数量，满十向前一位进一，最终得到乘积。 【规范解答】（1）由题意可知，交叉点从右往左依次对应个、十、百、千等计数单位。D圈在最右侧，2个点表示2个一，对应个位。A圈在最左侧，是从右往左数第4个数位，对应千位，因此2个点表示2个千。 （2）作图：在图③中从右往左依次圈出四个交叉区域，最右侧区域为个位（4个交叉点），右数第二个区域为十位（13个交叉点），满十需向右数第三个区域即百位进一，右数第三个区域为百位（5个交叉点），加上进位的一，即，最左侧区域为千位（6个交叉点），作图略；。 9．（26-27四年级上·全国·课后作业）某刺绣工坊正在筹备一幅大型苏绣作品。该作品需要融合38种传统纹样，每种纹样平均消耗278厘米丝线。如果工坊领用120米特供桑蚕丝线，那么绣制完成后剩余多少厘米？ 【答案】1436厘米 【思路引导】统一长度单位，将米换算为厘米； 把领用丝线的米换算成厘米：1米＝100厘米。 再算出38种纹样一共消耗多少厘米丝线：每种消耗长度×纹样种数。 用总的丝线长度减去用掉的丝线长度，得到剩余的长度。 【规范解答】120米＝12000厘米 38×278＝10564（厘米） 12000－10564＝1436（厘米） 答：绣制完成后剩余1436厘米。 10．（25-26四年级下·浙江嘉兴·期末）某饮品店计划购进60箱柠檬茶和40箱橙汁。 (1)这些饮料一共有多少瓶？ (2)如果店家准备4500元进货，够吗？ 【答案】(1) 1200瓶 (2) 够 【思路引导】（1）两种饮料每箱瓶数相同，先算出总箱数，再乘每箱的瓶数，就能得到总瓶数。 （2）分别计算购进柠檬茶和橙汁的总费用，求和得到进货总花费，再和4500元比较大小，判断钱是否足够。 【规范解答】（1）（箱） （瓶） 答：这些饮料一共有1200瓶。 （2）（元） （元） （元） 答：如果店家准备4500元进货，够。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 第三单元 整数乘法（二）『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+16个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共64题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 两、三位数乘一位数的口算 3 知识点二 两、三位数乘整十数的口算 3 知识点三 两、三位数乘两位数（不进位）的笔算 4 知识点四 两、三位数乘两位数（进位）的笔算 4 知识点五 乘数中间有0或末尾有0的笔算乘法 4 知识点六 积的变化规律 5 知识点七 用计算器探索规律 5 知识点八 用估算解决实际问题 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 两位数乘整十数的口算乘法 6 高频考点二 积的变化规律（整数乘法) 6 高频考点三 三位数与整十数的口算乘法 7 高频考点四 两位数与两位数的口算乘法（点子图） 7 高频考点五 两位数乘两位数的不进位乘法 8 高频考点六 两位数乘两位数的估算 8 高频考点七 两位数乘两位数的进位乘法 9 高频考点八 三位数乘两位数的估算 9 高频考点九 三位数与两位数的乘法 10 高频考点十 三位数乘两位数，三位数中间有0 10 高频考点十一 三位数乘两位数，乘数末尾有0 10 高频考点十二 三位数乘两位数的实际问题 11 高频考点十三 计算器的初步认识与使用 11 高频考点十四 计算器的复杂运算 11 高频考点十五 用计算器探究规律 12 高频考点十六 用估算解决实际问题（乘法） 13 难点突破 奥数拓展 13 奥数拓展一 两位数与两位数的口算乘法（点子图） 13 奥数拓展二 两位数乘两位数的乘法与应用 14 奥数拓展三 三位数乘两位数的估算 14 奥数拓展四 三位数与两位数的乘法 14 奥数拓展五 三位数乘两位数的实际问题 15 奥数拓展六 用计算器探究规律 15 优选真题 实战演练 15 【基础通关】 15 【能力提升】 17 知识点一 两、三位数乘一位数的口算 1.拆分口算思路 采用拆分法计算，将两、三位数按数位拆分，两位数拆成整十数和一位数，三位数拆成整百数、整十数和一位数，分别与一位数相乘，再把所有的积相加。 2.几百几十数乘一位数简便算法 先去掉末尾的0，按两位数乘一位数计算，最后在积的末尾添回1个0，计算时需留意末尾的0，避免遗漏造成结果缩小。 知识点二 两、三位数乘整十数的口算 1.去0添0通用方法 先忽略整十、整百数末尾的0，用两位数乘0前面的数，再在积的末尾添上对应个数的0，适用于两位数乘整十数、整十数乘整十数、几百几十数乘整十数等多种场景。 2.积末尾0的判定 积末尾0的个数大于或等于两个乘数末尾0的个数之和，计算时需结合0前面数字的乘积，判断最终积的末尾0的总数量。 知识点三 两、三位数乘两位数（不进位）的笔算 1.拆分算理依据 将第二个两位数拆成“整十数+一位数”，分别与第一个乘数相乘后求和，逻辑与口算拆分法一致。 2.笔算分步操作规则 （1）数位对齐：乘数之间相同数位对齐，个位对齐个位、十位对齐十位。 （2）从个位起算：以第二个乘数的个位、十位数字，依次分别乘第一个乘数每一位（个位、十位，三位数需乘至百位）。 （3）对位写积：第二个乘数个位相乘的积，末位对齐个位；十位相乘的积，末位对齐十位。 （4）合并求和：将两次分步相乘得到的积相加，得出最终计算结果。 知识点四 两、三位数乘两位数（进位）的笔算 1.进位处理核心要点 计算步骤与不进位笔算完全一致，每一位相乘满几十，就要向前一位进几，计算下一位时需先加上进位的数，叠加进位时需仔细核对，避免遗漏。 2. 三位数乘两位数进位法则 三位数乘两位数的进位规则与两位数通用，逐位相乘时同步处理进位，保证每一步计算准确。 3.验算方法 计算完成后，可交换两个乘数的位置再计算一遍，验证结果是否一致。 知识点五 乘数中间有0或末尾有0的笔算乘法 1.末尾有0简便笔算 乘数末尾有0时，可采用简便写法：把0前面的数字末位对齐相乘，末尾的0不参与竖式计算，最后统计两个乘数末尾0的总个数，添在积的末尾，添0时需数清总个数，避免少添。 2.中间有0的运算规则 乘数中间有0时，0必须参与相乘，不能跳过；没有进位时该位直接写0占位，有进位时需加上进位的数。 3.数位对齐提醒 计算时需注意数位对齐，十位相乘的积末位要与十位对齐，避免对错数位造成结果偏差。 知识点六 积的变化规律 1.基础变化规律 一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以相同的数；其中除以的数不能为0，因为0不能做除数。 2.积不变规律 一个乘数乘几，另一个乘数除以相同的数（0除外），积不变。 3.双乘数同变规则 两个乘数同时乘同一个数，积就连续乘两次这个数；两个乘数同时除以同一个数（0除外），积就连续除以两次这个数。 知识点七 用计算器探索规律 1.规律探索通用步骤 先借助计算器计算少量简单算式，观察乘数的特征和积的数字变化，归纳总结出通用规律；再运用规律直接推导同类型复杂算式的结果，最后可通过计算器验证规律的正确性。 2.全1数回文乘积规律 两个乘数位数相同，且全部由数字1组成时，乘积是左右对称的回文数；积的中间数字等于乘数的位数，数字从1开始依次递增到中间数，再依次递减到1。例如：11111×11111=123454321 3.全9数自乘特征 全9数相乘的积的规律：乘法算式中两个乘数完全相同，且每个数位上的数字均为9；积的前面部分数值，等于其中一个乘数减去1；积的中间部分是数字0，0的总个数比乘数的位数少1；积的末尾固定为数字1，位于结果的个位。例如：9999×9999=99980001。 注意：仅在乘数位数≤9时成立。 4. 6系列数乘法结论 第一个乘数由n个6组成，第二个乘数位数与第一个相同、前n-1位是6、末位是7时，积由n个4和n个2组成，前半部分全是4、后半部分全是2。 知识点八 用估算解决实际问题 1.估算核心原则 根据实际场景选择估大或估小的策略，保证结论符合现实逻辑。 2.估大估小适用场景 估大策略适用于购物带钱、准备物资等场景，估大后数量仍足够，则实际一定足够；估小策略适用于判断座位、载重是否足够等场景，估小后仍不够，则实际一定不够。 3.估算解题三步法 先将乘数看成接近的整十、整百数，再口算得出估算结果，最后结合场景判断结论；估算无唯一标准答案，但必须符合问题逻辑，不能随意估算。 4.常用数量关系式 计算依托基础数量关系：单价×数量=总价，单量×份数=总量。 高频考点一 两位数乘整十数的口算乘法 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）周末，文华小学的3位老师带领四年级2个班的学生去公园里进行了一场垃圾清理志愿者活动，每班45人。 (1)有3辆客车，每辆客车有36个座位，座位够吗？ (2)经过统计，师生们平均每人清理20千克垃圾，他们一共清理了多少千克垃圾？ 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）在括号里填上合适的数。 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 高频考点二 积的变化规律（整数乘法) 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·单元测试）根据14×8＝112，直接写出得数。 140×8＝( )    14×800＝( )    140×80＝( ) 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）自然数12345679中没有8，所以被称为“缺8数”。用“缺8数”乘能被3整除但不能被9整除的数（12起），可以得到“三位一体”，例如： 12345679×12＝148148148    679×12＝8148 12345679×15＝185185185    679×15＝10185 12345679×21＝259259259    679×21＝14259 已知679×78＝52962，根据你发现的规律直接写出12345679×78＝( )。 高频考点三 三位数与整十数的口算乘法 【典例精讲】（25-26四年级下·河北张家口·期末）一箱复印纸有8包，每包有500张纸。某公司一次购买15箱，一共买了多少张纸？（用两种方法列式计算） 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）实验小学举行阳光课间操表演，全校共有1600名学生参加，要求排出的横队、纵队的人数是整十数或几百几十。你能设计出哪几种队形？ 高频考点四 两位数与两位数的口算乘法（点子图） 【典例精讲】（25-26三年级下·山东枣庄·期末）在计算14×13时，李涛的计算过程如图，老师说他的得数一定少了。如图的点子图，表示李涛少算的部分是（    ）。 A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【变式训练】（25-26三年级下·北京房山·期末）小慧正在探索16×14的计算方法（如图），能正确表达小慧思路的算式是（    ）。 A．10×10＝100        6×4＝24        100＋24＝124 B．16×7＝112        16×7＝112        112＋112＝224 C．16×4＝64        16×10＝160        64＋160＝224 D．14×6＝84        14×10＝140        140＋84＝224 高频考点五 两位数乘两位数的不进位乘法 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）民俗工艺坊生产了24箱香囊和11箱古典扇子。 (1)香囊和古典扇子各生产了多少？ (2)一个香囊卖5元，一把古典扇子卖8元。请你提出一个数学问题并解答。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）脱式计算。 36×11＋237    1000－24×12    168＋14×12 高频考点六 两位数乘两位数的估算 【典例精讲】（25-26三年级下·山东聊城·期末）消防员叔叔为全校1100名师生做防火灾安全教育报告。报告厅共有29排座位，每排可坐42人。报告厅的座位够吗？下列估算方法最合理的是（    ）。 A．把42看成40，40×29＝1160，1160＞1100，够坐 B．把29看成30，30×42＝1260，1260＞1100，够坐 C．把29看成30、42看成40，30×40＝1200，1200＞1100，够坐 【变式训练】（25-26三年级下·山东聊城·期末）25×40积的末尾有( )个0；估算89×92时，可以估成( )×( )，约等于( )。 高频考点七 两位数乘两位数的进位乘法 【典例精讲】（25-26四年级下·河南漯河·期末）鲜果超市运进80箱苹果，每箱18千克。第一天卖出45箱，剩下的如果5天卖完，剩下的平均每天卖多少千克？ 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）王老师购买了33盒书签，每盒12个，一共有多少个书签？下图竖式中上面的“36”和下面的“36”分别表示（    ）。 ①3盒书签的数量   ②30盒书签的数量   ③33盒书签的数量   ④36盒书签的数量 A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 高频考点八 三位数乘两位数的估算 【典例精讲】2026四年级上·辽宁·专题练习）某饭店正在开展“使用公筷，文明用餐”活动。这个饭店一共有103桌，每桌配备18双筷子，大约需配备( )双筷子。 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）下面是百姓饭店某一周每天用掉一次性筷子的数量情况。 星期 一 二 三 四 五 六 日 数量/双 208 199 188 190 212 202 210 估一估，百姓饭店每个月（按30天计算）大约要用掉多少双一次性筷子。 高频考点九 三位数与两位数的乘法 【典例精讲】（25-26四年级下·安徽芜湖·期末）用竖式计算。 91×202＝         347×45＝        50×380＝ 11.4＋5.6＝        12－9.8＝ 【变式训练】（25-26四年级下·河南新乡·期末）根据145×28＝4060填一填。 145×14＝( )    29×( )＝4060 高频考点十 三位数乘两位数，三位数中间有0 【典例精讲】（25-26四年级下·河南驻马店·期末）五一期间，“农家乐”游园迎来了许多游客。到采摘园的有25个团，每个团120人；参加编织和捕鱼的共有28个团，每个团108人。请你帮忙算一算，五一期间到“农家乐”游园的一共有多少人？ 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·单元测试）用竖式计算。 43×12＝    14×26＝    86×33＝ 305×84＝    190×60＝    75×540＝ 高频考点十一 三位数乘两位数，乘数末尾有0 【典例精讲】（25-26四年级下·河南新乡·期末）计算340×60，可以先算34×6，再在得数的末尾添上2个0。( )（判断对错） 【变式训练】（2026四年级上·辽宁·专题练习）非遗艺术馆要编织一些大型中国结。要解决“艺术馆准备的编绳够编织艺术馆所需数量的中国结吗？”这一问题，需要用到的条件是（    ）。如果够，还剩多少米的编绳？如果不够，还差多少米？ ①编织1个大型中国结需要15米长的编绳 ②需要编织190个大型中国结。 ③1个中国结售价18元. ④艺术馆准备了3000米的编绳。 高频考点十二 三位数乘两位数的实际问题 【典例精讲】（25-26四年级下·山西临汾·期末）2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功。为了弘扬中国航天精神，学校举办航天精神演讲比赛，要求每人演讲时间为15分钟。笑笑演讲的平均语速为每分钟215个字，准备了3000个字的稿子，她能演讲完吗？ 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）我国三北防护林体系建设工程被誉为世界“生态工程之最”。已知1公顷森林一天能释放720千克氧气，50公顷森林一天能释放( )吨氧气。 高频考点十三 计算器的初步认识与使用 【典例精讲】（25-26四年级下·山东潍坊·期末）用计算器计算一个数乘24，按键输入“24”时，不小心误操作，只按了“4”，如果想得到原题的结果，接下来应该输入（    ）。 A．×20 B．＋20 C．×6 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）已知12345×9＝111105，那么12345×36＝( )（用计算器计算）；如果用简便方法计算，那么12345×36＝12345×( )×( )＝( )。 高频考点十四 计算器的复杂运算 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）据统计，一个可供100人就餐的学校食堂一天要倒掉剩菜剩饭约30千克。 (1)照这样计算，这个食堂一年（按365天计算）要浪费( )千克粮食。 (2)一个四口之家，一天消耗粮食约5千克。该食堂一年浪费的粮食够( )个四口之家食用一天。 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）括号里可以填几？估一估，再用计算器检验，找到合适的答案。 算式 98×（    ） 71×（    ） 407×（    ） 积的范围 3500~4000 1900~2000 20000~21000 高频考点十五 用计算器探究规律 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·单元测试）先用计算器计算前三个算式，再根据规律直接写出下面算式的结果。 9×9＋19＝ 99×99＋199＝ 999×999＋1999＝ 9999×9999＋19999＝ 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）用计算器计算下面各题，并找一找其中的规律。 99×3＝        999×3＝ 9999×3＝        99999×3＝ 999999×3＝        9999999×3＝ 请你根据上面找到的规律，猜想下面各题的结果，并用计算器验证你的猜想。 99×4＝        999×4＝ 9999×4＝        99999×4＝ 999999×4＝        9999999×4＝ 高频考点十六 用估算解决实际问题（乘法） 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）育才小学准备用8000元为四（1）班的48名同学换上新的课桌椅，选哪一种最合适？请通过计算说明。 A．每套155元 B．每套218元 C．每套127元 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）小明家做一次面条大约需要495克面粉，他家每月大约做9次面条。照这样计算，小明家一年做面条大约需要多少克面粉？估算时，用（    ）更合理。 A．500×9 B．500×20 C．500×10×10 D．400×10×10 奥数拓展一 两位数与两位数的口算乘法（点子图） 【典例精讲】（25-26三年级下·河南周口·阶段检测）下面计算的方法中，正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 【变式训练】（25-26三年级下·江苏苏州·期中）欢欢在计算17×16时，先算7×6＝42，再算10×10＝100，最后算42＋100＝142，她发现结果142与正确结果不一致，结合下图想一想，她出错是因为没有计算图中的（    ）。 A．②和④ B．①和③ C．②和③ D．①和④ 奥数拓展二 两位数乘两位数的乘法与应用 【典例精讲】比较每组算式得数的大小，你发现了什么？ （1）20×20＝       21×19＝       22×18＝       23×17＝ （2）30×30＝       31×29＝       32×28＝       33×27＝ 我发现：两个因数的和（    ），（    ），积越大。 【变式训练】（2025四年级·全国·专题练习）用4，7，3，1，9这五个数字组成三位数乘两位数的算式，请写出乘积最大和乘积最小的算式。（每个数字在每个算式中只能用一次） 乘积最大的算式：( )×( )＝( ) 乘积最小的算式：( )×( )＝( ) 奥数拓展三 三位数乘两位数的估算 【典例精讲】（25-26四年级下·江苏徐州·阶段检测）用2、8、0、5、7这五个数字组成一个三位数乘两位数的算式。 乘积最大的算式是( )×( )，乘积最小的算式是( )×( )。 【变式训练】（25-26四年级上·山东聊城·期末）下面四个数中，可能是“3□6×□8”的得数的是（    ）。 A．2948 B．11046 C．17088 D．41058 奥数拓展四 三位数与两位数的乘法 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·单元复习）延安是中国革命的摇篮。延安某纪念馆工作人员为满足游客的需求，定制了一批革命纪念品。 定制优惠方案 ①不满30件，不予优惠； ②满30件，但不超过80件，超过30件的部分，每满300减30元； ③超过80件，80件按第2条方案优惠，超过80件的部分每件减3元。 （1）定制这些纪念品一共花了3150元，该纪念馆一共定制了多少件革命纪念品？ （2）由于进购数量多，该纪念馆直接以15元/件的价格进购了300件纪念品。按标价卖出的定制纪念品件数比剩下的多42件，此时降价出售，卖完后共获利3939元，剩下的降价了多少元售卖？ 【变式训练】超市购进一批书包，共200个，进价为24元/个。以40元/个的价格卖出了80个后，正逢到了儿童节，于是以每个30元的价格促销，很快就把剩下的都卖完了。超市购进的这批书包一共盈利多少元？ 奥数拓展五 三位数乘两位数的实际问题 【典例精讲】（25-26四年级上·福建漳州·期中）2□7×□4是一个三位数乘两位数的算式，下面四个数中，（    ）有可能是它的得数。 A．18274 B．29628 C．27918 D．2758 【变式训练】（23-24四年级上·山东德州·期中）从甲地到乙地的火车票是295元，一个旅行团49人，准备15000元够吗？选项（    ）的估算方法比较合适。 A．295≈290，49≈50，290×50＝14500 B．295≈300，49≈50，300×50＝15000 C．295≈300，49≈40，300×40＝12000 奥数拓展六 用计算器探究规律 【典例精讲】（25-26四年级上·福建莆田·期中）计算器上的数字键“6”失灵了，用这个计算器计算206＋497时，下列方法不合理的是（    ）。 A．210＋497－4 B．200＋490＋13 C．210＋500＋3 D．200＋500＋3 【变式训练】用计算器计算，再试着找出规律。 12×101＝________13×101＝________14×101＝________ 15×101＝________16×101＝________17×101＝________ 18×101＝ ________19×101＝________ 你找到的规律是什么？ 【基础通关】 1．（25-26四年级下·河南信阳·期末）如果a×b＝50，那么（a×3）×（b×3）＝（    ）。 A．50 B．150 C．300 D．450 2．（26-27四年级上·辽宁·单元测试）估算589×51时，误差最小的是（    ）。 A．600×50 B．600×60 C．500×50 D．590×50 3．（26-27四年级上·辽宁·单元测试）图中点表示的数可能是下面算式（    ）的积。 A．498×39 B．498×49 C．498×59 D．498×69 4．（25-26四年级下·安徽滁州·期末）125×0，要使积的末尾有2个零，里最小填( )；250×0，要使积是五位数，里最小填( )。 5．（25-26四年级下·安徽池州·期末）120×50的积是( )位数，末尾一共有( )个0。 6．（25-26四年级下·河北张家口·期末）两个因数的积是56，如果一个因数乘2，另一个因数除以2，所得的积还是56。( )（判断对错） 7．（26-27四年级上·辽宁·单元测试）一瓶食用油119元，超市准备购进36瓶，一共要花多少元？下边竖式中箭头所指的部分表示（    ）。 A．购进3瓶要花357元 B．购进30瓶要花357元 C．购进3瓶要花3570元 D．购进30瓶要花3570元 8．（26-27四年级上·辽宁·单元测试）亮亮在计算21×21时，错写成了27×21，这样计算出来的结果比正确结果（    ）。 A．多6 B．少6 C．多126 D．少126 9．（25-26四年级下·江苏苏州·期中）有一种特别的计算器，它只有两个按键[＋1]和[×2]。当你按下其中一个键，计算器马上会显示运算结果。若计算器原有数据为9，当你按下[＋1]时就会显示为10，再按下[×2]时就会显示20。如果此计算器的初始值为1，要用它得到200，至少要按键（    ）次。 A．8 B．9 C．10 10．（25-26四年级下·河南新乡·期末）用○和△表示两个数，已知○×△＝148，则○×（△÷4）的结果是( )，（○×3）×（△×3）的结果是( )。 【能力提升】 1．（25-26四年级下·河南新乡·期末）新学期开始前，某文具店购进32箱铅笔，已知每箱铅笔有149支，求购进多少支铅笔。亮亮通过下面的竖式进行计算，则2箱中有( )支铅笔，竖式中箭头所指的这一步表示的是( )箱中有( )支铅笔。 2．（26-27四年级上·全国·单元测试）用2，4，0，1，6组成的三位数乘两位数的乘法算式，其中乘积最大的算式是( )。 3．（2026四年级上·辽宁·专题练习）用竖式计算。 539×28＝    24×308＝    69×370＝ 4．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）计算并观察方框中算式的积的特点，直接写出后面两道算式的积。 21×1001＝            55×99＝ 22×1001＝            555×999＝ 23×1001＝            5555×9999＝ 24×1001＝            55555×99999＝ 25×1001＝            555555×999999＝ 5．（25-26四年级下·山西大同·期末）“九三阅兵”是为了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，在阅兵活动中共设置13个徒步方队。按照标准编制，每个徒步方队排布14排，每排25名队员，另配有2名领队。 (1)单个徒步方队一共有多少人？ (2)全部徒步方队一共有多少人？ 6．（25-26四年级下·河南郑州·期末）接学校通知，考察团周四下午到达，需要同学们帮忙预订10晚的酒店住宿（周四晚上到下周六晚上，共住宿10晚）。同学们了解到距离学校最近的酒店标准间有以下两个收费标准： 标准一：周五、周六每晚每标准间300元，其余每晚每标准间220元。 标准二：连续住宿7天及以上，每晚每标准间240元。 同学们选哪个标准最划算？请你算一算。 7．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）用5，6，7，8，9这五个数字组成一个三位数和一个两位数，并计算出它们的积。积最大是多少？ 8．（26-27四年级上·全国·课后作业）有些国家采用“画线法”计算三位数乘两位数。如图①，用两组分开的线代表不同数位上的数，形成的交叉点从右往左依次对应“个、十、百、千”等计数单位。 (1)图②中D圈中2个点表示2个一，那么A圈中2个点表示( )个( )。 (2)请你用“画线法”在图③上先圈一圈，再计算214×31＝( )。 9．（26-27四年级上·全国·课后作业）某刺绣工坊正在筹备一幅大型苏绣作品。该作品需要融合38种传统纹样，每种纹样平均消耗278厘米丝线。如果工坊领用120米特供桑蚕丝线，那么绣制完成后剩余多少厘米？ 10．（25-26四年级下·浙江嘉兴·期末）某饮品店计划购进60箱柠檬茶和40箱橙汁。 (1)这些饮料一共有多少瓶？ (2)如果店家准备4500元进货，够吗？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 第三单元整数乘法（二） 『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+16个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练共64题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版四上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络… 2 知识梳理温故知新· 3 知识点一两、三位数乘一位数的口算.... 3 知识点二两、三位数乘整十数的口算… 知识点三两、三位数乘两位数（不进位)的笔算.… 知识点四两、三位数乘两位数（进位)的笔算.…4 知识点五乘数中间有0或末尾有0的笔算乘法.…… 知识点六积的变化规律 5 知识点七用计算器探索规律.… 知识点八用估算解决实际问题....5 第1页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 考点讲练真题汇总.… 高频考点一两位数乘整十数的口算乘法..... 6 高频考点二积的变化规律（整数乘法).. 高频考点三三位数与整十数的口算乘法.·· 7 高频考点四两位数与两位数的口算乘法（，点子图) …7 高频考点五两位数乘两位数的不进位乘法.··.· ………8 高频考点六两位数乘两位数的估算.· 高频考点七两位数乘两位数的进位乘法....· 9 高频考点八三位数乘两位数的估算...。 9 高频考点九三位数与两位数的乘法 10 高频考点十三位数乘两位数，三位数中间有0.·· 10 高频考点十一三位数乘两位数，乘数末尾有0.…… 10 高频考点十二三位数乘两位数的实际问题.·.· 11 高频考点十三计算器的初步认识与使用..... 11 高频考点十四计算器的复杂运算... ..............11 高频考点十五用计算器探究规律…。 12 高频考点十六用估算解决实际问题（乘法）· 13 难点突破奥数拓展 13 奥数拓展一两位数与两位数的口算乘法（点子图) 13 奥数拓展二两位数乘两位数的乘法与应用...·· .....14 奥数拓展三三位数乘两位数的估算.... 奥数拓展四三位数与两位数的乘法·. 14 奥数拓展五三位数乘两位数的实际问题.. .......15 奥数拓展六用计算器探究规律..… 15 优选真题实战演练.…… ……15 【基础通关】 ...15 【能力提升】.17 第2页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 导图指引 梳理脉络 ,整数乘法的意义与计算方法 2.队列表演（一）、（二） ●意义：求几个相同加数的和的简便运算。 ●结合图示理解乘法。 (一)用点子图表示队列 (二)用竖式计算 lotome 14 3个10 ●四年级进行队列表 ●你能用竖式计算14×12吗？ 一共有12行， 。计算方法： 从图中可以看出 (1)用竖式计算。 每行有14人。 10×10是1个百 14 5个十2个十是 ×1 ×12 6个面 8 36 6个100是600 888888888888 ●说一说竖式中每一步的意思， 168 391 408 ●计算：14×12=168（人） 8888 42)用因数的变化规律口算 。乘法交换律、结合律 结合下图，说一说30x20=600的道理 18×2=3618×20=360 18×200=3600 ×12 18×2×0=36018×20×0=3600 与同伴交流。 28…14×2 140…14×10 ◆3)用估算解决问题。 168 168…28+140 估算：21×23年20×20=400（人） -3.有趣的算式 第三单元☆ -5.神奇的计算工具 ◆找规律 计算并找规律。 整数乘法（二） ●我国古代和现代的计算工具。 1×1=1 两千五百年前， 七百多年前， 11×11=121 15×15=225 1671年，莱布 发现： 北师大版数学四年级上册 1111=12321 两位数的平方 等算来计算了 的计其机 (运算5000爹次 111×1111=1234321 45×452025 55×55=3025 著重注意积的位数 4.卫星运行时间 问题：计算器是生话中常用的计算工具。关于计算器你知道什么？ 转慧g 1970年4月24日。我国成 计算器的按键及输入过程（例：25×4=100） 9999×9999=99980001(一位数是8)】 ●同伴何互相出题。用计算器算第一算 功发射第一颗人透地球卫是 1970 100 输入：25 “东方红一号”。 输入：Xx 清除：细健 照6.电影院 ●估一估：绕地球21圆需要多少时阀？ 输入：4 245×789 21÷7 与同作交流你的想法 清屏：AC健 是承：100 ·485名师生看电影，电影·买票带10000元够吗？ 碗的座位够吗？ 485×19=9215(元 2400(分】 有5人，需要 的2400分 。7.整理与复习 21希虚位，每排 0000>9215 26人.1 够了。 ●列竖式计算，并交流计算过程。 。乘法运算的关系 ●需要注意的计算 ●解决问题的方法 。数学思方法 金进安操使：度×h三6×a (1)画因理解： ●问题：电影院的 114×21=2394(分)=39时54分 2)积的位。 (2)列竖式计算 座位韩吗？实际座 3)积的估 (3)合理告算 位此500个多一些 答：“东方红一号烧地球2图需要2394分钟。 法分配律a+b)c■aC十9 (4）量式计算一梦的意义 估算意识 学习小贴士☆乘法运算在生活中应用广 学会计算的方法，学会估算， 理解每 步的意义，能帮助我们解决很多实际问题！ 知识梳理温故知新 知识点一两、三位数乘一位数的口算 1.拆分口算思路 采用拆分法计算，将两、三位数按数位拆分，两位数拆成整十数和一位数，三位数拆成整百数、整十 数和一位数，分别与一位数相乘，再把所有的积相加。 2.几百几十数乘一位数简便算法 先去掉末尾的0，按两位数乘一位数计算，最后在积的末尾添回1个0，计算时需留意末尾的0，避免 遗漏造成结果缩小。 知识点二两、三位数乘整十数的口算 1.去0添0通用方法 先忽略整十、整百数末尾的0，用两位数乘0前面的数，再在积的末尾添上对应个数的0，适用于两位 数乘整十数、整十数乘整十数、几百几十数乘整十数等多种场景。 第3页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 2.积末尾0的判定 积末尾0的个数大于或等于两个乘数末尾0的个数之和，计算时需结合0前面数字的乘积，判断最终 积的末尾0的总数量。 知识点三两、三位数乘两位数（不进位）的笔算 1.拆分算理依据 将第二个两位数拆成“整十数+一位数”，分别与第一个乘数相乘后求和，逻辑与口算拆分法一致。 2.笔算分步操作规则 （1)数位对齐：乘数之间相同数位对齐，个位对齐个位、十位对齐十位。 (2)从个位起算：以第二个乘数的个位、十位数字，依次分别乘第一个乘数每一位（个位、十位，三 位数需乘至百位)。 (3)对位写积：第二个乘数个位相乘的积，末位对齐个位；十位相乘的积，末位对齐十位。 (4)合并求和：将两次分步相乘得到的积相加，得出最终计算结果。 知识点四两、三位数乘两位数（进位）的笔算 1.进位处理核心要点 计算步骤与不进位笔算完全一致，每一位相乘满几十，就要向前一位进几，计算下一位时需先加上进 位的数，叠加进位时需仔细核对，避免遗漏。 2.三位数乘两位数进位法则 三位数乘两位数的进位规则与两位数通用，逐位相乘时同步处理进位，保证每一步计算准确。 3.验算方法 计算完成后，可交换两个乘数的位置再计算一遍，验证结果是否一致。 知识点五乘数中间有0或末尾有0的笔算乘法 1.末尾有0简便笔算 乘数末尾有0时，可采用简便写法：把0前面的数字末位对齐相乘，末尾的0不参与竖式计算，最后 统计两个乘数末尾0的总个数，添在积的末尾，添0时需数清总个数，避免少添。 2.中间有0的运算规则 乘数中间有0时，0必须参与相乘，不能跳过；没有进位时该位直接写0占位，有进位时需加上进位的 数。 3.数位对齐提醒 计算时需注意数位对齐，十位相乘的积末位要与十位对齐，避免对错数位造成结果偏差。 第4页共19页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 知识点六积的变化规律 1.基础变化规律 一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几(0除外)，积也乘或除以相同的数；其中除以的数不能为0， 因为0不能做除数。 2.积不变规律 一个乘数乘几，另一个乘数除以相同的数(0除外)，积不变。 3.双乘数同变规则 两个乘数同时乘同一个数，积就连续乘两次这个数；两个乘数同时除以同一个数(0除外)，积就连续 除以两次这个数。 知识点七用计算器探索规律 1.规律探索通用步骤 先借助计算器计算少量简单算式，观察乘数的特征和积的数字变化，归纳总结出通用规律；再运用规 律直接推导同类型复杂算式的结果，最后可通过计算器验证规律的正确性。 2.全1数回文乘积规律 两个乘数位数相同，且全部由数字1组成时，乘积是左右对称的回文数；积的中间数字等于乘数的位 数，数字从1开始依次递增到中间数，再依次递减到1。例如：11111×11111=123454321 3.全9数自乘特征 全9数相乘的积的规律：乘法算式中两个乘数完全相同，且每个数位上的数字均为9；积的前面部分数 值，等于其中一个乘数减去1；积的中间部分是数字0,0的总个数比乘数的位数少1；积的未尾固定 为数字1，位于结果的个位。例如：9999×9999=99980001。 注意：仅在乘数位数≤9时成立。 4.6系列数乘法结论 第一个乘数由n个6组成，第二个乘数位数与第一个相同、前n-1位是6、末位是7时，积由n个4 和n个2组成，前半部分全是4、后半部分全是2。 知识点八用估算解决实际问题 1.估算核心原则 根据实际场景选择估大或估小的策略，保证结论符合现实逻辑。 2.估大估小适用场景 估大策略适用于购物带钱、准备物资等场景，估大后数量仍足够，则实际一定足够；估小策略适用于 第5页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 判断座位、载重是否足够等场景，估小后仍不够，则实际一定不够。 3.估算解题三步法 先将乘数看成接近的整十、整百数，再口算得出估算结果，最后结合场景判断结论；估算无唯一标准 答案，但必须符合问题逻辑，不能随意估算。 4.常用数量关系式 计算依托基础数量关系：单价×数量=总价，单量×份数=总量。 考点讲练真题汇总 高频考点一两位数乘整十数的口算乘法 【典例精讲】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)周末，文华小学的3位老师带领四年级2个班的学生 去公园里进行了一场垃圾清理志愿者活动，每班45人。 (1)有3辆客车，每辆客车有36个座位，座位够吗？ (2)经过统计，师生们平均每人清理20千克垃圾，他们一共清理了多少千克垃圾？ 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)在括号里填上合适的数。 ( )×( ）=4800 )×( )=4800 )×( )=4800 ( )×( )=4800 ( )×( ）=4800 高频考点二积的变化规律（整数乘法） 【典例精讲】(26-27四年级上·辽宁·单元测试)根据14×8=112，直接写出得数。 140×8=( 14×800=( 140×80=( 【变式训练】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)自然数12345679中没有8，所以被称为“缺8数”。 用“缺8数”乘能被3整除但不能被9整除的数(12起)，可以得到“三位一体”，例如： 仔细观察这两组算式 的关系哟！ 第6页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 12345679×12=148148148 679×12=8148 12345679×15=185185185 679×15=10185 12345679×21=259259259 679×21=14259 已知679×78=52962，根据你发现的规律直接写出12345679×78=( 。 高频考点三三位数与整十数的口算乘法 【典例精讲】(25-26四年级下·河北张家口·期末)一箱复印纸有8包，每包有500张纸。某公司一次 购买15箱，一共买了多少张纸？（用两种方法列式计算） 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)实验小学举行阳光课间操表演，全校共有1600名学生 参加，要求排出的横队、纵队的人数是整十数或几百几十。你能设计出哪几种队形？ 高频考点四两位数与两位数的口算乘法（点子图） 【典例精讲】(25-26三年级下·山东枣庄·期末)在计算14×13时，李涛的计算过程如图，老师说他的 得数一定少了。如图的点子图，表示李涛少算的部分是(）。 0000000000▣ 10×10=100 4×3=12 100+12=112 20 。。。0。c6aa A.①② B.③④ C.②③ D.①③ 【变式训练】(25-26三年级下·北京房山·期末)小慧正在探索16×14的计算方法（如图），能正确表 达小慧思路的算式是( )。 第7页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 16 A.10×10=100 6×4=24 100+24=124 B.16×7=112 16×7=112 112+112=224 C.16×4=64 16×10=160 64+160=224 D.14×6=84 14×10=140 140+84=224 高频考点五两位数乘两位数的不进位乘法 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业)民俗工艺坊生产了24箱香囊和11箱古典扇子。 每箱12个 每箱15把 (1)香囊和古典扇子各生产了多少？ (2)一个香囊卖5元，一把古典扇子卖8元。请你提出一个数学问题并解答。 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)脱式计算。 36×11+237 1000-24×12 168+14×12 高频考点六两位数乘两位数的估算 【典例精讲】(25-26三年级下·山东聊城·期末)消防员叔叔为全校1100名师生做防火灾安全教育报告。 报告厅共有29排座位，每排可坐42人。报告厅的座位够吗？下列估算方法最合理的是()。 A.把42看成40,40×29=1160,1160>1100，够坐 第8页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 B.把29看成30,30×42=1260,1260>1100，够坐 C.把29看成30、42看成40,30×40=1200,1200>1100，够坐 【变式训练】(25-26三年级下·山东聊城·期末)25×40积的末尾有( )个0；估算89×92时， 可以估成( )×( ),约等于( 高频考点七两位数乘两位数的进位乘法 【典例精讲】(25-26四年级下·河南漯河·期末)鲜果超市运进80箱苹果，每箱18千克。第一天卖出 45箱，剩下的如果5天卖完，剩下的平均每天卖多少千克？ 【变式训练】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)王老师购买了33盒书签，每盒12个，一共有多少个 书签？下图竖式中上面的“36”和下面的“36”分别表示( )。 12 ×33 36 36 396 ①3盒书签的数量 ②30盒书签的数量 ③33盒书签的数量 ④36盒书签的数量 A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 高频考点八三位数乘两位数的估算 【典例精讲】2026四年级上·辽宁·专题练习)某饭店正在开展“使用公筷，文明用餐”活动。这个饭店 一共有103桌，每桌配备18双筷子，大约需配备( )双筷子。 【变式训练】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)下面是百姓饭店某一周每天用掉一次性筷子的数量情 况。 星期 三 四 五 六 日 数量/双 208 199 188 190 212 202 210 估一估，百姓饭店每个月（按30天计算）大约要用掉多少双一次性筷子。 第9页共19页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点九三位数与两位数的乘法 【典例精讲】(25-26四年级下·安徽芜湖·期末)用竖式计算。 91×202= 347×45= 50X380= 11.4+5.6= 12-9.8= 【变式训练】(25-26四年级下·河南新乡·期末)根据145×28=4060填一填。 145×14=( 29×( )=4060 高频考点十三位数乘两位数，三位数中间有0 【典例精讲】(25-26四年级下·河南驻马店·期末)五一期间，“农家乐”游园迎来了许多游客。到采 摘园的有25个团，每个团120人；参加编织和捕鱼的共有28个团，每个团108人。请你帮忙算一算，五 一期间到“农家乐”游园的一共有多少人？ 【变式训练】(26-27四年级上·辽宁·单元测试)用竖式计算。 43×12= 14×26= 86×33= 305X84= 190×60= 75×540= 高频考点十一三位数乘两位数，乘数末尾有0 【典例精讲】（25-26四年级下·河南新乡·期末)计算340×60，可以先算34×6，再在得数的末尾添上 2个0。（ ）(判断对错) 【变式训练】(2026四年级上·辽宁·专题练习)非遗艺术馆要编织一些大型中国结。要解决“艺术馆准 备的编绳够编织艺术馆所需数量的中国结吗？”这一问题，需要用到的条件是( )。如果够，还 第10页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 剩多少米的编绳？如果不够，还差多少米？ ①编织1个大型中国结需要15米长的编绳 ②需要编织190个大型中国结。 ③1个中国结售价18元. ④艺术馆准备了3000米的编绳。 高频考点十二三位数乘两位数的实际问题 【典例精讲】(25-26四年级下·山西临汾·期末)2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞 船发射取得圆满成功。为了弘扬中国航天精神，学校举办航天精神演讲比赛，要求每人演讲时间为15分钟。 笑笑演讲的平均语速为每分钟215个字，准备了3000个字的稿子，她能演讲完吗？ 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)我国三北防护林体系建设工程被誉为世界“生态工程 之最”。已知1公顷森林一天能释放720千克氧气，50公顷森林一天能释放( )吨氧气。 高频考点十三计算器的初步认识与使用 【典例精讲】(25-26四年级下·山东潍坊·期末)用计算器计算一个数乘24，按键输入“24”时，不小 心误操作，只按了“4”，如果想得到原题的结果，接下来应该输入( )。 A.X20 B.+20 C.×6 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)己知12345×9=111105，那么12345×36=( (用计算器计算)：如果用简便方法计算，那么12345×36=12345×( )×( )=( ）。 高频考点十四计算器的复杂运算 【典例精讲】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)据统计，一个可供100人就餐的学校食堂一天要倒掉 剩菜剩饭约30千克。 (1)照这样计算，这个食堂一年（按365天计算）要浪费( )千克粮食。 第11页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 (2)一个四口之家，一天消耗粮食约5千克。该食堂一年浪费的粮食够( )个四口之家食用一天。 【变式训练】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)括号里可以填几？估一估，再用计算器检验，找到合 适的答案。 算式 98×( 71×( 407×( 积的范围 35004000 19002000 2000021000 高频考点十五用计算器探究规律 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·单元测试)先用计算器计算前三个算式，再根据规律直接写出下 面算式的结果。 9×9+19= 9999×9999+19999= 99×99+199= 99…99×99.99+199…99= 999×999+1999= 100个9100个9 100个9 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)用计算器计算下面各题，并找一找其中的规律。 99X3= 999X3= 9999×3= 99999X3= 999999×3= 9999999×3= 请你根据上面找到的规律，猜想下面各题的结果，并用计算器验证你的猜想。 99×4= 999×4= 9999×4= 99999×4= 999999×4= 9999999×4= 第12页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点十六用估算解决实际问题（乘法） 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业)育才小学准备用8000元为四(1)班的48名同学换上 新的课桌椅，选哪一种最合适？请通过计算说明。 A. 每套155元 B. 每套218元 C.每套127元 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业)小明家做一次面条大约需要495克面粉，他家每月大 约做9次面条。照这样计算，小明家一年做面条大约需要多少克面粉？估算时，用( )更合理。 A.500×9 B.500×20 C.500×10×10 D.400×10×10 难点突破奥数拓展 奥数拓展一两位数与两位数的口算乘法（点子图) 【典例精讲】(25-26三年级下·河南周口·阶段检测)下面计算24×15的方法中，正确的有( 个。 24×15 24 24×10=240 =24x3×5 ×15 24×5=120 100 =72x5 20+20=30 24 340 方法 =360 方法 方法三 A.1 B.2 C.3 【变式训练】 (25-26三年级下·江苏苏州·期中)欢欢在计算17×16时，先算7×6=42，再算10×10 =100,最后算42十100=142，她发现结果142与正确结果不一致，结合下图想一想，她出错是因为没有计 算图中的( )。 ① ② ③ 第13页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 A.②和④ B.①和③ C.②和③ D.①和④ 奥数拓展二两位数乘两位数的乘法与应用 【典例精讲】比较每组算式得数的大小，你发现了什么？ (1)20×20= 21×19= 22×18= 23×17= (2)30×30= 31×29= 32×28= 33×27= 我发现：两个因数的和( ),( ),积越大。 【变式训练】(2025四年级·全国·专题练习)用4,7,3,1,9这五个数字组成三位数乘两位数的算式， 请写出乘积最大和乘积最小的算式。（每个数字在每个算式中只能用一次） 乘积最大的算式：( )×( )=( 乘积最小的算式：( )X( )=( 奥数拓展三三位数乘两位数的估算 【典例精讲】(25-26四年级下·江苏徐州·阶段检测)用2、8、0、5、7这五个数字组成一个三位数乘 两位数的算式。 乘积最大的算式是( )×( ),乘积最小的算式是( )×( 【变式训练】(25-26四年级上山东聊城期末)下面四个数中，可能是“3☐6×口8"”的得数的是( A.2948 B.11046 C.17088 D.41058 奥数拓展四三位数与两位数的乘法 【典例精讲】(25-26四年级上·全国·单元复习)延安是中国革命的摇篮。延安某纪念馆工作人员为满 足游客的需求，定制了一批革命纪念品。 进价：18元/件 标价：32元/件 定制优惠方案 ①不满30件，不予优惠： ②满30件，但不超过80件，超过30件的部分，每满300减30元： ③超过80件，80件按第2条方案优惠，超过80件的部分每件减3元。 (1)定制这些纪念品一共花了3150元，该纪念馆一共定制了多少件革命纪念品？ (2)由于进购数量多，该纪念馆直接以15元/件的价格进购了300件纪念品。按标价卖出的定制纪念品件 数比剩下的多42件，此时降价出售，卖完后共获利3939元，剩下的降价了多少元售卖？ 第14页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】超市购进一批书包，共200个，进价为24元/个。以40元/个的价格卖出了80个后，正逢到 了儿童节，于是以每个30元的价格促销，很快就把剩下的都卖完了。超市购进的这批书包一共盈利多少元？ 奥数拓展五三位数乘两位数的实际问题 【典例精讲】(25-26四年级上·福建漳州·期中)2☐7×口4是一个三位数乘两位数的算式，下面四个数 中，( )有可能是它的得数。 A.18274 B.29628 C.27918 D.2758 【变式训练】(23-24四年级上·山东德州·期中)从甲地到乙地的火车票是295元，一个旅行团49人， 准备15000元够吗？选项( )的估算方法比较合适。 A.295≈290,49≈50,290×50=14500B.295≈300,49≈50,300×50=15000 C.295≈300,49≈40,300×40=12000 奥数拓展六用计算器探究规律 【典例精讲】(25-26四年级上·福建莆田·期中)计算器上的数字键“6”失灵了，用这个计算器计算206 +497时，下列方法不合理的是( )。 A.210+497-4B.200+490+13 C.210+500+3D.200+500+3 【变式训练】用计算器计算，再试着找出规律。 12×101= 13×101= 14×101= 15×101= 16×101= 17×101= 18×101= 19×101= 你找到的规律是什么？ 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26四年级下·河南信阳·期末)如果a×b=50,那么(a×3)×(b×3)=( A.50 B.150 C.300 D.450 第15页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 2.(26-27四年级上·辽宁·单元测试)估算589×51时，误差最小的是( )。 A.600×50 B.600×60 C.500×50 D.590×50 3.(26-27四年级上·辽宁·单元测试)图中点P表示的数可能是下面算式( )的积。 P 0 10000 200003000040000 A.498×39 B.498×49 C.498×59 D.498×69 4.(25-26四年级下·安徽滁州·期末)125× 要使积的末尾有2个零， 里最小填( 250×L 0. 要使积是五位数， 里最小填( )。 5.(25-26四年级下·安徽池州·期末)120×50的积是( )位数，末尾一共有( )个0。 6.(25-26四年级下·河北张家口·期末)两个因数的积是56，如果一个因数乘2，另一个因数除以2， 所得的积还是56。( )(判断对错) 7.(26-27四年级上·辽宁·单元测试)一瓶食用油119元，超市准备购进36瓶，一共要花多少元？下边 竖式中箭头所指的部分表示( )。 119 ×36 714 357 4284 vv A.购进3瓶要花357元 B.购进30瓶要花357元 C.购进3瓶要花3570元 D.购进30瓶要花3570元 8.(26-27四年级上·辽宁·单元测试)亮亮在计算21×21时，错写成了27×21，这样计算出来的结果 比正确结果( )。 A.多6 B.少6 C.多126 D.少126 9.(25-26四年级下·江苏苏州·期中)有一种特别的计算器，它只有两个按键[+1]和[×2]。当你按下 其中一个键，计算器马上会显示运算结果。若计算器原有数据为9，当你按下[+1]时就会显示为10，再按 下[×2]时就会显示20。如果此计算器的初始值为1，要用它得到200，至少要按键( )次。 A.8 B.9 C.10 10.(25-26四年级下·河南新乡·期末)用O和△表示两个数，已知O×△=148，则O×(△÷4)的结 果是( ),(O×3)×(△×3)的结果是( ）。 第16页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 【能力提升】 1.(25-26四年级下·河南新乡·期末)新学期开始前，某文具店购进32箱铅笔，已知每箱铅笔有149支， 求购进多少支铅笔。亮亮通过下面的竖式进行计算，则2箱中有( )支铅笔，竖式中箭头所指的这 一步表示的是( )箱中有( )支铅笔。 149 ×32 298 →447 4768 2.(26-27四年级上·全国·单元测试)用2,4,0,1,6组成的三位数乘两位数的乘法算式，其中乘积 最大的算式是( )。 3.(2026四年级上·辽宁·专题练习)用竖式计算。 539X×28= 24×308= 69×370= 4.(26-27四年级上·辽宁·课后作业)计算并观察方框中算式的积的特点，直接写出后面两道算式的积。 21×1001= 55×99= 22×1001= 555×999= 23×1001= 5555×9999= 24×1001= 55555×99999= 25×1001= 555555×999999= 5.(25-26四年级下·山西大同·期末)“九三阅兵”是为了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争 胜利80周年，在阅兵活动中共设置13个徒步方队。按照标准编制，每个徒步方队排布14排，每排25名 队员，另配有2名领队。 (1)单个徒步方队一共有多少人？ (2)全部徒步方队一共有多少人？ 第17页共19页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 6.(25-26四年级下·河南郑州·期末)接学校通知，考察团周四下午到达，需要同学们帮忙预订10晚的 酒店住宿（周四晚上到下周六晚上，共住宿10晚）。同学们了解到距离学校最近的酒店标准间有以下两个 收费标准： 标准一：周五、周六每晚每标准间300元，其余每晚每标准间220元。 标准二：连续住宿7天及以上，每晚每标准间240元。 同学们选哪个标准最划算？请你算一算。 7.(26-27四年级上·辽宁·课后作业)用5,6,7,8,9这五个数字组成一个三位数和一个两位数，并 计算出它们的积。积最大是多少？ 8.(26-27四年级上·全国·课后作业)有些国家采用“画线法”计算三位数乘两位数。如图①，用两组 分开的线代表不同数位上的数，形成的交叉点从右往左依次对应“个、十、百、千”等计数单位。 2个百 7个十 13×21=273 132×21=2772 ① ② ③ (1)图②中D圈中2个点表示2个一，那么A圈中2个点表示( )个( )。 (2)请你用“画线法”在图③上先圈一圈，再计算214×31=( )。 第18页共19页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 9.(26-27四年级上·全国·课后作业)某刺绣工坊正在筹备一幅大型苏绣作品。该作品需要融合38种传 统纹样，每种纹样平均消耗278厘米丝线。如果工坊领用120米特供桑蚕丝线，那么绣制完成后剩余多少 厘米？ 10.(25-26四年级下·浙江嘉兴·期末)某饮品店计划购进60箱柠檬茶和40箱橙汁。 柠檬茶 橙汁 12瓶/箱 12瓶/箱 36元/箱 48元/箱 (1)这些饮料一共有多少瓶？ (2)如果店家准备4500元进货，够吗？ 第19页共19页