14.3.2 角的平分线的判定&章末总结-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第2课时 角的平分线的判定 课前·预习笔记 预 11. 掌握角的平分线的判定，会应用角的平分线的判定解决问题.重点© 习 目 ·2.通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实 标 第步明确考情 11.考频：5年2考 12.分值：3~10分 3.题型：选择题、解答题 第已步梳理知识 、 角的平分线的判定 1.文字语言：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上· 2.符号语言：如图，，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA于点D, PE⊥OB于点E,且PD=PE,∴.点P在∠AOB的平分线上. 第步预习检测 预1.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则到∠AOB两边距离相等的点应 习 是() 任 务 A.点M B.点N C.点P D.点Q 2.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，点P是射线OC上任意一点，PD⊥OA于点D, PE⊥OB于点E.有下列条件：①∠AOC=∠BOC;②PD=PE;③OD=OE; ④∠DPO=∠EPO.其中能判定OC是∠AOB的平分线的有 个 D B 74 随堂笔记8年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读， 知识点》角的平分线的判定 举一反三》参考答案见答案册P9 1.角的平分线的判定 1-1如图是一块三角形草坪， 文字语言：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上， 现要在草坪上建一座凉亭供大 符号语言：如图，点P为∠AOB内一点， 家休息，要使凉亭到草坪三条 PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,且PD= 边的距离相等，凉亭的位置应 PE,∴.点P在∠AOB的平分线上 选在() 2.角的平分线的性质与判定定理的关系 (1)点在角的平分线上 性质 判定 :(角的内部的)点到角两边的距 离相等； C (2)角的平分线的性质及判定恰好是条件和结论的互换，性A.△ABC三条中线的交点 质是证两条线段相等的依据，判定是证两角相等的依 B.△ABC三边的垂直平分线的 据，在应用时不要混淆。 交点 ☑拓展提升(1)当题目中出现角的内部一点到角两边的距 C.△ABC三条角平分线的交点 离相等时，可以考虑应用角的平分线的判定证明两个角相 D.△ABC三条高所在直线的 等.(2)三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且 交点 该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距 1-2如图，点0在△ABC内， 离相等的点是该三角形三条角平分线的交点 且到△ABC三边的距离相等， 例[教材P51例题]如图，△ABC的角平分线BM,CN相交于 若∠A=60°，则∠B0C的度数 点P.求证： 为() (1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等； (2)△ABC的三条角平分线交于一点. B A.150° B.120° B C.110° D.100° 【分析】(1)由已知可得点P到边AB,BC的距离相等，点P 到边BC,CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等； (2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在 ∠A的平分线上 【答案】证明：（1)过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥CA,垂 足分别为D,E,F 第十四章全等三角形 75 'BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴.PD=PE 同理PE=PF. .PD=PE=PF. 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等. (2)由（1)得，点P到边AB,CA的距离相等， ∴.点P在∠A的平分线上. ∴.△ABC的三条角平分线交于一点. 课本练习[教材51练习] 1.如图，AB⊥CD,CE⊥AD,垂足分别为B,E,AB=CE,AB, (答案 CE相交于点F,连接DF.求证：FD平分∠BFE. 1.证明略.提示：由△ABD≌ △CED得BD=ED..·△EFD≌ △BFD（HL),∴.EF=BF, .FD平分∠BFE. 2.证明略. 2.如图，已知△ABC,BF是△ABC的外角∠CBD的平分线， CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF,CG相交于点P. 求证： (1)点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等； (2)点P在∠A的平分线上. 课后·提升笔记 题型训练 题型》角的平分线的判定的应用 变式训练>参考答案见答案册P9 例如图，在△ABC的外部，分别以AB,AC为边作等边三角形1-1如图，已知BD⊥AE于点 ABD和等边三角形ACE,CD,BE相交于点O.求证：点A在B,DC⊥AF于点C,点G在 ∠DOE的平分线上， AF上，且DB=DC,∠BAC= 40°，∠ADG=130°，则∠DGF 76随堂笔记8年级数学RJ上册 等于 B B A 【答案】证明：'△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴.AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=6O°， 1-2如图，∠M0N=60°，点 ∴.∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD, A,B为射线OM,ON上的动 即∠BAE=∠DAC. 点（点A,B不与点O重合)， 在△ABE和△ADC中， ! 在∠MOW的内部、△AOB的外 rAB=AD, 部有一点P,且AP=BP, ∠BAE=∠DAC, ∠APB=120°.求证：点P在 AE=AC, ∠MON的平分线上. .△ABE≌△ADC(SAS),∴.BE=CD. 如图，过点A分别作AM⊥BE,AN⊥DC,垂足分别为点M,N. :△ABE≌△ADC, E .S△ABE=S△ADC, 方成 2·DC·AN, .AM=AN, ∴.点A在∠DOE的平分线上， 链接中考 考点角的平分线的判定 ∴.∠DAB=180°-∠ADC=70°. 题型 难度 分值 .DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD, 选择题、解答题 ★★☆ 3~10分 ∴.MW=MC. .M是BC的中点， 典例[大庆中考]如图，∠B=∠C=90°，点 .MC=MB,∴.MN=MB, M是BC的中点，DM平分∠ADC,且∠ADC= 又MN⊥AD,MB⊥AB, 110°，则∠MAB的度数为( ∴.AM平分∠BAD, 1 .∠MAB=。5∠DAB=35° A.30° B.35° C.45° D.60° 【解析】如图，过点M作MN⊥AD于点N. .∠B=∠C=90°， 【答案】B .AB//CD, 第十四章全等三角形 77 章末总结·体系构建 全等形 能够完全重合的两个图形 定义一能够完全重合的两个三角形 表示符号一兰 全等 三角形 对应元素一对应顶点、对应边、对应角 全等三角形的对应边相等 性质 全等三角形的对应角相等 注意“SSA”“AAA” 不能判定两个三角形全等 全等 边角边(SAS) 三角形 角边角(ASA) 般三角形 、 角角边(AAS) 判定 边边边(SSS) SAS、ASA、AAS、SSS 直角三角形 HL(只适用于直角三角形) 角的平分线的作法 角的 平分线 性质一角的平分线上的点到角两边的距离相等·互联 判定一角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上“ 78随堂笔记8年级数学RJ上册∴.AB=A'B',∠A=∠A',∠ABC=∠A'B'C :BD,B'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平 分线， 8∠ABD=7∠ABC,LA'B'D'E7∠AB'C .∴.∠ABD=∠A'B'D' 在△ABD和△A'B'D'中， 1∠A=∠A', AB=A'B', ∠ABD=∠A'B'D', .△ABD≌△A'B'D'(ASA), ∴.BD=B'D 变式训练 1-14【解析】如图，过点P作MN⊥AD. ·'AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平 分线AP相交于点P,PE⊥AB,.PN⊥BC, ∴.PM=PE=2,PE=PN=2,∴.MW=2+2=4. D 1-2A【解析】如图，过点P作PH⊥OB于点 H.OP平分∠AOB,PD⊥OA,PH⊥OB,∴.PH= PD=3.点E是射线OB上的一个动点，∴.点 E与点H重合时，PE有最小值，最小值等于3. D A 2-1B【解析】如图，过点D作DH⊥AB交BA 延长线于点H..BD平分∠ABC,∠BCD= 90°，∴.DH=CD=4,∴.四边形ABCD的面积= Sawt5o-4B.Dm+Bc.cD=2x6x4+ 2X9x4=30, 2-2 63 【解析】如图，作OE⊥AB于点E, OF⊥AC于点F,连接OA.,B0平分∠ABC, OD⊥BC,OE⊥AB,∴.OE=OD=3.同理，OF= OD=3,-△4ABC的面积=)XABx0E+】XBCX OD+1XACXOF=X(AB+AC+BC3-63 2 D 第2课时角的平分线的判定 预习检测 1.A2.4 举一反写 1-1C【解析】.凉亭到草坪三条边的距离相 等，.凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线 的交点. 1-2B【解析】.：点O到△ABC三边的距离相 等，0是△ABC三条角平分线的交点， LCBO=LABO=2LABC,LBCO=LACO= 】∠ACB.:∠ABC+LACB=180°-60°= 120°，.∴.∠0BC+∠0CB=60°，∴.∠B0C= 180°-60°=120°. 变式训练， 1-1150°【解析】：BD⊥AE,DC⊥AF,且 DB=DC,.AD是∠BAC的平分线.∠BAC= 40°，LCMD=2 1 ∠BAC=20°，∴.∠DGF= ∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°. 1-2证明：如图，过点P分别作PS⊥OM于点 S,PT⊥ON于点T, ∴.∠OSP=∠OTP=90°. 在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP- ∠S0B-∠0TP=360°-90°-60°-90°=120°， .∠APB=∠SPT=120°， ∴.∠APS=∠BPT. 在△APS和△BPT中， I∠ASP=∠BTP, ∠APS=∠BPT, AP=BP, ∴.△APS≌△BPT(AAS),.PS=PT, ∴.点P在∠MON的平分线上. 0 W