14.3.1 角的平分线的性质-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

B M H P 图1 图2 (2)如图2，画一条射线OA,以点0为圆心，EF 长为半径画弧l,交OA于点C (3)以点C为圆心，GF长为半径画弧，交弧1于 点H;以点H为圆心，MN长为半径画弧，在OA 的同侧与弧1交于点Q. (4)过点Q画射线OB,则LAOB=∠a+∠B. 变式训练 1-1B【解析】在△ABC和△ADE中， (AB=AD AC=AE,∴.△ABC≌△ADE(SSS), BC=DE, .∠ABC=∠1，∠BAC=∠2.在△ABC中， ∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2..∠1+∠2+ ∠3=2∠3=94° ∴.∠3=47° 2-1解：他的这种做法合理.理由如下： 在△BDE和△CFG中 BE=CG, BD=CF DE=FG. ∴.△BDE≌△CFG(SSS), .∴.∠B=∠C. 第4课时三角形全等的判定（四）(HL) 预习检测 1.D2.A3.8 举一反写 证明：，AD,AF分别是△ABC和△ABE的高， ∴.∠ADC=∠AFE=90° ∫AC=AE, 在Rt△ADC和Rt△AFE中，AD=AF, ∴.Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),∴.CD=EF 在R△ABD有ABF中，品： ∴.Rt△ABD≌Rt△ABF(HL), ∴.BD=BF,∴.BD-CD=BF-EF,即BC=BE. 变式训练 (1)证明：BE=CF,BC=CB, ∴.BF=CE. 在R△ABF和Rt△DCE中，AB=DC, (BF=CE, .Rt△ABF≌Rt△DCE(HL), .∠E=∠F. (2)解：P0垂直平分BC.理由如下： 由(1)知∠E=∠F. ·PO平分∠EPF, ∴.∠EPO=∠FPO. 在△EPO和△FPO中， I∠E=∠F, ∠EPO=∠FPO, OP=OP, ∴.△EPO≌△FPO(AAS), .E0=F0,∠EOP=∠FOP=90°， ∴.PO垂直平分BC. 14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 预习检测 1.D2.A3.14 举二反三 1-1D【解析】从题图角平分线的作法得 出，△AFD与△AED的三边全部相等，则 △AFD≌△AED. 1-2B【解析】以点B为圆心作弧时，半径a 必须大于0；分别以点D,E为圆心，b为半径作 弧时，6必须大于D,否则没有交点 2-1B【解析】·OP为∠AOB的平分线， PC⊥OA,PD⊥OB,∴.PC=PD,故A选项不符合 题意； 在△0CP和△0P中，PCP5: ∴.Rt△OCP≌Rt△ODP,∴.∠CPO=∠DPO, OC=OD,故C,D选项不符合题意；不能得 出∠CPD=∠DOP,故B选项符合题意 3-1C【解析】如图，作EF⊥BC于点F. B C ,BE平分∠ABC,ED⊥AB,EF⊥BC,∴.EF= DE2.ocnGx5x25. 1 4-1已知：如图，△ABC≌△A'BC',BD,B'D' 分别是△ABC和△A'B'C的角平分线： B B 求证：BD=BD' 证明：：△ABC≌△A'B'C', ∴.AB=A'B',∠A=∠A',∠ABC=∠A'B'C :BD,B'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平 分线， 8∠ABD=7∠ABC,LA'B'D'E7∠AB'C .∴.∠ABD=∠A'B'D' 在△ABD和△A'B'D'中， 1∠A=∠A', AB=A'B', ∠ABD=∠A'B'D', .△ABD≌△A'B'D'(ASA), ∴.BD=B'D 变式训练 1-14【解析】如图，过点P作MN⊥AD. ·'AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平 分线AP相交于点P,PE⊥AB,.PN⊥BC, ∴.PM=PE=2,PE=PN=2,∴.MW=2+2=4. D 1-2A【解析】如图，过点P作PH⊥OB于点 H.OP平分∠AOB,PD⊥OA,PH⊥OB,∴.PH= PD=3.点E是射线OB上的一个动点，∴.点 E与点H重合时，PE有最小值，最小值等于3. D A 2-1B【解析】如图，过点D作DH⊥AB交BA 延长线于点H..BD平分∠ABC,∠BCD= 90°，∴.DH=CD=4,∴.四边形ABCD的面积= Sawt5o-4B.Dm+Bc.cD=2x6x4+ 2X9x4=30, 2-2 63 【解析】如图，作OE⊥AB于点E, OF⊥AC于点F,连接OA.,B0平分∠ABC, OD⊥BC,OE⊥AB,∴.OE=OD=3.同理，OF= OD=3,-△4ABC的面积=)XABx0E+】XBCX OD+1XACXOF=X(AB+AC+BC3-63 2 D 第2课时角的平分线的判定 预习检测 1.A2.4 举一反写 1-1C【解析】.凉亭到草坪三条边的距离相 等，.凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线 的交点. 1-2B【解析】.：点O到△ABC三边的距离相 等，0是△ABC三条角平分线的交点， LCBO=LABO=2LABC,LBCO=LACO= 】∠ACB.:∠ABC+LACB=180°-60°= 120°，.∴.∠0BC+∠0CB=60°，∴.∠B0C= 180°-60°=120°. 变式训练， 1-1150°【解析】：BD⊥AE,DC⊥AF,且 DB=DC,.AD是∠BAC的平分线.∠BAC= 40°，LCMD=2 1 ∠BAC=20°，∴.∠DGF= ∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°. 1-2证明：如图，过点P分别作PS⊥OM于点 S,PT⊥ON于点T, ∴.∠OSP=∠OTP=90°. 在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP- ∠S0B-∠0TP=360°-90°-60°-90°=120°， .∠APB=∠SPT=120°， ∴.∠APS=∠BPT. 在△APS和△BPT中， I∠ASP=∠BTP, ∠APS=∠BPT, AP=BP, ∴.△APS≌△BPT(AAS),.PS=PT, ∴.点P在∠MON的平分线上. 0 W14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 课前·预习笔记 预 习 1. 会用尺规作图作一个角的平分线，知道作法的理论依据： 目 2.掌握角的平分线的性质，会应用角的平分线的性质解决问题 ,重点 标 第。金明确考情 11.考频：5年2考 12.分值：3分 13.题型：选择题 第二梳理知识 1.角的平分线的性质 D (1)文字语言：角的平分线上的点到角两边的距离相等 (2)符号语言：如图，，OC是∠AOB的平分线，P是OC上 一点，PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,∴.PD=PE. 2.证明几何命题的一般步骤 预 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 刀 (1)明确命题中的已知和求证； 任 (2)根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证； 务 (3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程 第三步预习检测 1.如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥BC 于点F,DE=6,则DF的长度是( B A.2 B.3 C.4 D.6 I2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,交BC于 点D,CD=4,则点D到AB的距离是（) A.4 B.2 C.3 D.6 13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM平分∠BAC,CM=4cm, AB=7cm,则△ABM的面积是 cm2 68 随堂笔记8年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读0 知识点1》作已知角的平分线 举一反三>参考答案见答案册P8 已知：如图，∠AOB. 1-1如图，用直尺和圆规作已 求作：∠AOB的平分线， 知角的平分线的示意图，则说 作法：如图.（1)以点0为圆心，适当长为 明∠CAD=∠DAB的依据 -B 半径作弧，交OA于点M,交OB于点N 是( 以作图方便为宜，不能太长也不能太短 目的是确定OM=ON (2)分别以点M,N为圆心，大于，MN的长为半径作弧，两 E B 弧在∠AOB的内部相交于点C. A.SAS B.ASA 目的是确定MC=NC 因为以小于)MN的长为半径 C.AAS D.SSS 作出的两孤不能形成交点，等于 1-2已知∠ABC,用尺规作它 MN的长为半径作孤不易操作 2 的角平分线，如图.步骤 (3)作射线OC.射线OC即为∠AOB的平分线。 如下 第一步：以点B为圆心，a为 “作射线0C”不能叙述为 半径作弧，分别交射线BA, “连接OC”,因为角的平分 BC于点D,E; 线是一条射线，而不是线段 第二步：分别以点D,E为圆 套思考：作图依据 心，b为半径作弧， 两弧在 用尺规作图法作一个角的平分线，实质上就是运用“$SS”构 ∠ABC内部交于点P; 造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等，从而我到平分一个 第三步：作射线BP 角的射线 射线BP即为所求. 例1已知：∠AOB,如图1. B B EC 求作：∠AOB的补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹) 第一步 第二步 B EC cE B 第三步 图1 图2 下列说法中正确的是() A.a,b均无限制 【答案】解：如图2所示，射线OD就是∠AOB的补角的平分线. 第十四章全等三角形 69 ★方法京拨、 B.a>0,6>DE 一般的作图题，通常先根据题意画出草图，标注上要求的字 C.a有最小限制，b无限制 母，然后根据草图完成尺规作图，最后一定要说明是要求作 的图形，且作图痕迹要保留，不能擦去。 D.a≥0,62DE 知识点2》角的平分线的性质 举一反三参考答案见答案册P8 1.文字语言：角的平分线上的点到角两边的距离相等 2-1如图，OP为∠A0B的平 2.符号语言： 指点到角的两边的垂线段的长度 分线，PCLOA,PD⊥OB,垂 如图，.：OC是∠AOB的平分线，P是OC 足分别是点C,D,则下列结 上一点，PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E, 论错误的是() .PD=PE. A ■ 注意事项：(1)角的平分线的性质可以独立 E 作为证明两条线段相等的依据，不需要再通过证全等三角形得到线段 O D -B 相等；(2)利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是 A.PC=PD “垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角的平分线的线段”· B.∠CPD=∠DOP 例2[教材P49]如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC C.∠CPO=∠DPO 上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证PD=PE. D.OC=OD 【分析】如果能证明△OPD≌△OPE,就可以得到PD=PE.由 3-1如图，在△ABC中，CD 题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件. 是AB边上的高线，BE平分 【答案】证明：OC是∠AOB的平分线， ∠ABC,交CD于点E,BC=5, ∴.∠AOC=∠B0C. DE=2,则△BCE的面积 PD⊥OA,PE⊥OB,∴.∠PD0=∠PEO=90° 为() 「∠AOC=∠BOC, D 在△OPD和△OPE中， ∠PDO=∠PEO. OP=OP, .△OPD≌△OPE(AAS)..PD=PE. A.10 B.7 例3如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 C.5 D.4 ∠CAB,BC=8cm,BD=5cm,求点D到直线 AB的距离. B 【答案】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∠C=90°，AD平分∠CAB,~由此利用角的平分线的性质求解 .DE=CD. 又BC=8cm,BD=5cm, .DE=CD=8-5=3(cm), ∴.点D到直线AB的距离是3cm. 70随堂笔记8年级数学RJ上册 ★方法京拨 利用角的平分线的性质解决问题的关键是挖掘角的平分线上 的点到角两边的垂线段： (1)若已知条件存在这两条垂线段，则直接考虑垂线段 相等； (2)若已知条件存在一条垂线段，则考虑通过作辅助线补出 另一条垂线段； (3)若已知条件不存在垂线段，则考虑通过作辅助线补出两 条垂线段 知识点3>证明几何命题的一般步骤 举一反三》参考答案见答案册P8 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进4-1证明“全等三角形的对应 行，即 命题中的题设部分命题中的结论部分 角平分线相等”.（要求：画出 1.明确命题中的已知和求证； 图形，写出已知、求证及证明 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 过程)》 在画图时，要考虑是否存在不同情形.若存在，则要分别画出图形.再 分别进行证明 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明 过程 注意事项：证明一个命题的步聚不是固定不变的，要根据题目的 实际情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明过程的每一步推理都 要有依据，推理的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、定理和 基本事实等 例4写出命题“三角形的一边的两端点到这条边上的中线所 在直线的距离相等”的已知、求证和证明过程 【答案】解：命题的已知、求证及证明过程如下 已知：如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD,交AD于 点F, BE⊥AD,交AD的延长线于点E. 求证：BE=CF 证明：'AD为△ABC的中线， .BD=CD. .BE⊥AD,CF⊥AD, ∴.∠BED=∠CFD=90°， 在△BED和△CFD中， 第十四章全等三角形 71 '∠BED=∠CFD, ∠BDE=∠CDF, BD=CD, ∴.△BED≌△CFD(AAS), ∴.BE=CF. ★方法京拨 (1)为了便于分清命题中的已知和求证，可以将命题改写 成“如果…那么”或“若…则”的形式 (2)结合图形，根据命题的题设写出已知，根据命题的结 论写出求证. 课后·提升笔记 题型训练 题型1》利用角的平分线的性质求线段长度 变式训练参考答案见答案册P9 例1如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB, 1-1如图，AD∥BC,∠ABC的 交BC于点D,DE⊥AB于点E,AB=6,求△DEB的周长. 平分线BP与∠BAD的平分线 AP相交于点P,作PE⊥AB于点 E.若PE=2,则两平行线AD与 BC之间的距离为 【答案】解：：AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°， ∴.DC=DE, ∴.△DEB的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE. 1-2如图，OP平分∠AOB, 在Rt△ACD和Rt△AED中， PD⊥OA于点D,点E是射线 [AD=AD, OB上的一个动点，若PD=3, DC=DE, 则PE的最小值() .Rt△ACD≌Rt△AED(HL), B .AC=AE. .AC=BC, .AE=BC, D ∴.△DEB的周长=AE+BE=AB=6. A.等于3 B.大于3 C.小于3 D.无法确定 72随堂笔记8年级数学RJ上册 题型2●》利用角的平分线的性质求面积 〉》变式训练参考答案见答案册P9 例2如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB,垂足为点F,2-1如图，在四边形ABCD中， DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△DEF的∠BCD=90°，BD平分∠ABC, 面积 AB=6,BC=9,CD=4,则四 边形ABCD的面积是() B D 【答案】解：如图，过点D作DN⊥AC于点N. A.24 B.30 AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB, C.36 D.42 .DF=DN. 2-2如图，已知△ABC的周长 AD=AD, 是21，B0,C0分别平分 在Rt△ADF和Rt△ADN中， DF=DN, ∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于 .Rt△ADF≌Rt△ADN(HL), E 点D,且OD=3,则△ABC的 H ∴.S△ADP=S△ADN G 面积是 ∴.SAADE+S△DEr=SAADG-SADGN: D 在Rt△DEF和Rt△DCN中， DE=DG, DF=DN, ∴.Rt△DEF≌Rt△DGN(HL), SADEF =SADGN SAADE+SADEF=SAADG-SADEF 11 E39+SADEF=50-SADEF SADEF= 2 链接中考， 考点●角的平分线的性质的应用 A.8 B.7.5 C.15 D.无法确定 题型 难度 分值 【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E. 选择题 ★☆☆ 3分 BD平分∠ABC,DE⊥BC,DA⊥AB, .DE=DA=3, 典例■[青海中考]如图，在四边形ABCD中， △BCD的面积=，X5x3=7.5 ∠A=90°，AD=3,BC=5,对角线BD平分 ∠ABC,则△BCD的面积为（) B 【答案】B 第十四章全等三角形 73