14.1 全等三角形及其性质-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

∴.∠NOE=∠FE0=28°..OE平分∠MON, ∴.∠NOE=∠EOF=28°.·∠MFE是△EOF的 外角，∴.∠MFE=∠FE0+∠E0F=28°+28°= 56°. 变式训练 1-1C【解析】如图，∠C=60°，∠CAB= 90°，∠DAB=45°， D 60° 4个459 .∠DAC=∠CAB-∠DAB=45°， .∴.∠1=∠DAC+∠C=105° 第十四章 14.1全等三角形及其性质 预习检测 1.C2.D3.5 举一反三 1-1C【解析】A.两个图形不能够完全重 合，故此选项不符合题意；B.两个图形不能够完 全重合，故此选项不符合题意；C.两个图形能够 完全重合，故此选项符合题意；D.两个图形不能 够完全重合，故此选项不符合题意. 2-1△ABC≌△ADE点DBC ∠DAE 【解析】.把△ABC绕点A旋转一定角度得到 △ADE,∴.△ABC≌△ADE,∴.点B的对应顶点为 点D,边DE的对应边为BC,∠BAC的对应角为 ∠DAE. 2-2△C0D CO OD DC ∠COD ∠ODC∠DCO 3-1B【解析】：△ABC≌△ADE,.AC= AE,AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= ∠CAE.故A,C,D选项错误，B选项正确. 3-2B【解析】，△ACB≌△A'CB', ∴.∠ACB=∠A'CB',即∠ACA'+∠A'CB= ∠B'CB+∠A'CB,∴.∠ACA'=∠B'CB.又 ∠B'CB=30°，∴.∠ACA'=30°. 3-3A【解析】.△ABC≌△DEF,∴.DE=AB. BE=4,AE=1,.'.DE=AB=BE+AE=4+1=5. 变式训练 1-1C【解析】：△ABC≌△AB,C, ∠A1B1C=45°，∴.∠ABC=∠A1B1C=45° .·∠A=50°，∴.∠ACB=180°-∠ABC-∠A=85° 2-1解：他的判断正确.理由如下： 如图，延长CD交AB于点E. E B :∠BDC=∠B+∠DEB, ∴.∠DEB=∠BDC-∠B=148°-32°=116°. .∠A+∠C=∠DEB=116°， ∴.∠A=∠DEB-∠C=116°-21°=95°≠90°， .这个零件不合格. 全等三角形 .∠ACB1=65°，∴.∠a=∠ACB-∠ACB1= 85°-65°=20°. 1-2解：.△ABC≌△ADE, ∠DMB=∠BMc=2(LBMB-∠MD 2× (120°-10°)=55°， .∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B= 10°+55°+25°=90°， ∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°. 综上所述，∠DFB=90°，∠DGB=65°. 2-1B【解析】AB=2,AC=4,.4-2<BC< 4+2,∴.2<BC<6.△ABC≌△DEF,∴.BC=EF. 若△DEF的周长为偶数，则BC的长也要取偶 数，故BC的长为4.∴.EF的长是4. 2-25或4【解析】.两个三角形全等， .3a-2b=5,a+2b=7或3a-2b=7,a+2b=5, .a=3,b=2或a=3,b=1,∴.a+b=5或4. 3-1解：AD∥BC.理由如下： .△ADF≌△CBE, ∴.∠1=∠2，∠F=∠E. 又点E,B,D,F在同一条直线上， .∴.∠3=∠1+∠F,∠4=∠2+∠E, ∴.∠3=∠4， .AD//BC. 4-1解：(1).△ABD≌△EBC, .BD=BC=3 cm,BE=AB=2 cm, .DE=BD-BE=3-2=1(cm). (2)AC⊥BD.理由如下： .·△ABD≌△EBC, .∠ABD=∠EBC. 又A,B,C在同一条直线上， ∴.∠EBC=90°， .AC⊥BD. (3)直线AD与直线CE垂直.理由如下： 如图，延长CE交AD于点F. .△ABD≌△EBC, ∴.∠D=∠C. 在Rt△ABD中，∠A+∠D=90°， ∴.∠A+∠C=90° ∴.∠AFC=90°，即直线AD与直线CE垂直 F以E C 5-1解：由题意知，△ADE≌△A'DE, ∴.∠ADE=∠A'DE, ∠AED=∠A'ED=2×(180°-70)=559 .∠A=55°， ∴.∠ADE=∠A'DE=180°-55°-55°=70°， .∠A'DB=180°-70°-70°=40°. 14.2三角形全等的判定 第1课时三角形全等的 判定（一）(SAS) 预习检测 1.SAS 2.证明：.AC平分∠BAD, ∴.∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中， (AB=AD, ∠BAC=∠DAC, AC=AC. .△ABC≌△ADC(SAS). 举一反三 证明：.：∠AOC=∠BOD, .∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD, 即∠COD=∠AOB. 在△AOB和△COD中， (OA=OC, ∠AOB=∠COD, OB=OD, .△AOB≌△COD(SAS). 变式训练 1-1D【解析】在△BAF和△CAE中， (AF=AE, ∠BAF=∠CAE,∴.△BAF≌△CAE(SAS), AB=AC, ∴.BF=CE.BF=5,DE=1,∴.CD=CE-DE= BF-DE=5-1=4. 1-2(1)证明：，CD平分∠ACE, ∴.∠ACD=∠ECD. CE平分∠BCD, ∴.∠BCE=∠ECD, ∴.LACD=∠ECD=∠BCE= x180°=60°. 3 C是线段AB的中点， ∴.CA=CB. 在△ACD和△BCE中， CD=CE. ∠ACD=∠BCE, CA=CB. ∴.△ACD≌△BCE(SAS). (2)解：在△ADC中， ∠D=75°，∠ACD=60°， ∴.∠A=180°-75°-60°=45°. △ACD≌△BCE, ∴.∠B=∠A=45°. 2-1D【解析】在△AOB和△D0C中， (OA=OD, ∠AOB=∠DOC,∴.△AOB≌△DOC(SAS), 0B=0C, ∴.AB=CD=a. :EF=b,该容器的壁厚是之(b-a), 3-1证明：如图，延长CE到点F,使EF= CE,连接FB. ·CE是△ABC的中线， ∴.AE=EB. 在△AEC和△BEF中， (AE=BE, ∠AEC=∠BEF, EC=EF, ∴.△AEC≌△BEF(SAS), ∴.∠A=∠EBF,AC=FB .AB=AC, .∠ABC=∠ACB, ∴.∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC= ∠CBF. .CB是△ADC的中线， ∴.AB=BD. 又AB=AC,AC=FB, ∴.FB=BD 在△CBF和△CBD中， (CB=CB, ∠CBF=∠CBD, BF=BD. ∴.△CBF≌△CBD(SAS), .∴.CD=CF=CE+EF=2CE. 3-2证明：如图，延长AD至点M,使AD= DM,连接BM. 514.1全等三角形及其性质 课前·预习笔记 预·1，理解全等形的概念，能根据全等形的概念判断两个图形是不是全等形 习2理解全等三角形的概念，并能正确地找出全等三角形中的对应边、对应角 目 3.在全等变换中探究全等三角形的性质，并能运用这些性质进行简单的推理和计算， 标 解决一些实际问题.重点@ 第金明确考情 11.考频：5年3考 2.分值：3分 !3.题型：选择题、填空题 第三步梳理知识 1,全等形：能够完全重合的两个图形叫作全等形 :2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 :3.全等三角形的表示方法：全等用符号“兰”表示，读作“全等于” :4.全等三角形的对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应 顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角， 预5.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等， 习第步预习检测 务 1.如图所示，△AOC≌△B0D,点C和点D是对应点，下列结论错误的是( A.∠A与∠B是对应角 B.∠AOC与∠BOD是对应角 C.OC与OB是对应边 D.OC与OD是对应边 D (第1题) (第3题) 2.下列说法正确的是( A.两个面积相等的图形一定是全等形 B.两个等边三角形是全等形 C.若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D.两个全等形的周长一定相等 3.如图，△ABC兰△DEF,则EF的长为 36 随堂笔记8年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读， 知识点1》全等形 举一反三》参考答案见答案册P4 全等形：能够完全重合的两个图形叫作全等形 1-1下列各选项中的两个图形 注意事项：(1)全等形的形状、大小完全相同：(2)两个图形是 是全等形的是( 不是全等形只与这两个图形的形状和大小有关，与位置无关 A 例1请观察下面的6组图形，其中是全等形的是 (填序号) B △△ ① ② ③ D ④ ⑤ ⑥ 【解析】②④⑥中的两个图形的形状、大小分别都相同，是全 △ 等形； ①中的两个图形的形状不同，③⑤中的两个图形的大小不同， 不是全等形 【答案】②④⑥ 知识点2》全等三角形 举一反三》参考答案见答案册P4 相关概念 示例 图示 2-1如图，把△ABC绕点A旋 转一定角度得到△ADE,那么 能够完全重合的 这两个三角形的关系可用符号 定义两个三角形叫作 △ABC与△DEF全等 表示为 点B的对应 全等三角形 顶点为 边DE的对 全等用符号 应边为 ∠BAC的对 “一”表示，读 △ABC≌△DEF B 应角为 作“全等于” E 用“≌”表示两个三 表示 “≌”中的“∽ 角形全等时，对应顶 方法 表示形状相同， 点的字母写在对应的 “=”表示大小 E 位置上 相等，合起来就 是全等 第十四章全等三角形 37 续表 :2-2如图，点0是平行四边形 相关概念 示例 图示 ABCD的两条对角线的交点， 对应顶点：重合 △AOB绕点0旋转180°，可以 点A与点D,点B与 的顶点叫作对应 与△COD重合，这说明△AOB≌ 点E,点C与点F 对应 顶点 这对全等三角形的 元素 对应边：重合的 AB与DE,BC与 对应边有： 边叫作对应边 EF,AC与DF A0与 对应角：重合的 ∠A与∠D,∠B与 OB与 角叫作对应角 ∠E,∠C与∠F BA与 章思考：对应边、对应角与对边、对角的区别 对应角有： 对应边、对应角是两个三角形的两条边之间、两个角之间的 ∠AOB与 关系，对边、对角是一个三角形中边和角之间的关系 ∠OBA与 ☒拓展提升 ∠BAO与 常见三角形的全等变换 平移 翻折， 翻折 B 平移 平移 折 Q旋转 旋转个平移心 例2如图，△ABC兰△DCB,指出图中所有的对应边和对 应角 B 【答案】解：AB和DC,AC和DB,BC和CB是对应边； ∠ABC和∠DCB,∠A和∠D,∠ACB和∠DBC是对应角. ★方法点拨： 两个全等三角形中对应元素的确定方法 (1)字母顺序法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应 边、对应角。 (2)图形位置法：①公共角或对顶角为对应角，公共边为 对应边；②对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边 是对应边；③对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的 角是对应角 38随堂笔记8年级数学RJ上册 ★方法京拨 (3)图形特征法：①一对最长（短）的边为对应边；② 对最大（小）的角为对应角. 知识点3>全等三角形的性质 举一反三》参考答案见答案册P4 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的3-1如图，若△ABC≌△ADE, 对应角相等。 则下列结论中一定成立的 示例：如图，△ABC≌△DEF,则AB=DE,BC=EF,AC=DF, 是（) ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F. ·对应边相等 B 对应角相等 D B A.AC=DEB.∠BAD=∠CAE C.AB=AED.∠ABC=∠AED 回拓展提升全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应 3-2如图，△ACB兰△A'CB', 角的平分线相等，面积相等，周长相等： ∠BCB'=30°，则∠ACA'的度 面积相等或周长相等的两个三角形不一定是全等三角形 数为() 例3[教材P30例题]如图，△ABC≌△BAD,点A和点B,点 C和点D是对应顶点，∠BAC=65°，∠ABC=26°，AC,BD的延 长线相交于点E.求∠CBD,∠AEB的度数 A.20° B.30° C.35o D.40° 3-3如图，△ABC≌△DEF, BE=4,AE=1,则DE的长 【答案】解：，△ABC≌△BAD, 是() .∠ABD=∠BAC=65°. .∠CBD=∠ABD-∠ABC=65°-26°=39° A 在△AEB中，∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°， .∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-65°-65°=50° B ★方法京拨 A.5 B.4 利用全等三角形的性质求角的度数的方法：先利用全等三角 C.3 D.2 形的性质确定两个三角形中角的对应关系，再由这种关系实 现已知角和未知角之间的转换，从而求出所要求的角的 度数 第十四章全等三角形 39 课本练习[教材P30练习] 1.如图，△ABC≌△BDE,∠A和LEBD,∠C和LE是对应角.答案 说出这两个三角形的对应边和另一组对应角. 1.AC和BE,BC和DE,AB 和BD是对应边；另一组对应 角是∠ABC和∠D. 2.相等的边：AC=DB,AO= B D0,C0=B0; 相等的角：∠C=∠B,∠A= 2.如图，△OCA≌△OBD,点C和点B,点A和点D是对应顶 ∠D,∠AOC=∠DOB. 点.说出这两个三角形中相等的边和角. 课后·提升笔记 题型训练 题型1●》利用全等三角形的性质进行有关角的计算 》变式训练》参考答案见答案册P4 例1如图，已知△ABC兰△DEF,CD平分∠BCA,DF与BC交1-1如图，△ABC≌△ABC, 于点G.若∠A=26°，∠CGF=83°，求∠E的度数 若∠A=50°，∠A1B1C=45°， E ∠ACB1=65°，则∠a的度数 是( ) A B 【答案】解：CD平分∠BCA, B .∠BCA=2∠ACD=2∠BCD. A.15o B.25 ,△ABC≌△DEF, C.20° D.10° ∴.∠D=∠A=26°. 1-2如图，△ABC兰△ADE, 又∠CGF=∠D+∠BCD, 且∠CAD=10°，∠B=∠D= ∴.∠BCD=∠CGF-∠D=83°-26°=57°， 25°，∠EAB=120°，求∠DFB 和∠DGB的度数. ∴.∠BCA=2x57°=114°， 40 随堂笔记8年级数学RJ上册 .∠B=180°-26°-114°=40° △ABC≌△DEF, ∴.∠E=∠B=40° F 题型2>利用全等三角形的性质进行有关边的计算 >变式训练参考答案见答案册P4 例2如图1，将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角2-1已知△ABC≌△DEF,AB= 形纸片（如图2），再将这两张三角形纸片摆放成如图3的形2，AC=4,若△DEF的周长为 式，使点B,F,C,D在同一条直线上，若此时AC=8,EF= 偶数，则EF的长为() 6,CF=4,求BD的长 A.3 B.4 C.5 D.3或4或5 A(E 2-2已知有两个三角形全等， 若一个三角形三边的长分别为 B(D 3,5,7,另一个三角形三边 图1 图2 图3 的长分别为3,3a-2b,a+2b, 【答案】解：由题意知，△ABC≌△DEF, 则a+b= .AC=DF,BC=EF. AC=8,EF=6,CF=4, .BD=BC+DF-CF=EF+AC-CF=6+8-4=10. 题型3》利用全等三角形的性质判断两直线的平行关系 >变式训练●》>参考答案见答案册P4 例3如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,3-1如图所示，△ADF≌△CBE, △ABC≌△BAD.求证： 且点E,B,D,F在同一条直 (1)OA=0B; 线上，判断AD与BC的位置关 (2)AB∥CD. 系，并加以说明。 A1 2 【答案】证明：（1)，△ABC≌△BAD, .∠CAB=∠DBA, ∴.OA=OB. (2).△ABC≌△BAD, .AC=BD. 又OA=OB, .AC-OA=BD-0B, 即OC=OD, 第十四章全等三角形 41 ∴.∠OCD=∠ODC. ∠A0B=∠con,∠C4B=180°-∠A0B.∠ACD=180P-∠c0n 2 ∴.∠CAB=∠ACD, .AB∥CD. 题型4》利用全等三角形的性质判断两直线的垂直关系 变式训练》参考答案见答案册P4 例4如图，E为线段AB上一点，AC⊥AB,DB LAB,△ACE≌4-1如图，点A,B,C在同一 △BED. 条直线上，点E在BD上，且 (1)试猜想线段CE与DE的位置关系，并证明你的结论； △ABD≌△EBC,AB=2cm, (2)试说明：AB=AC+BD, BC=3 cm. (1)求DE的长； (2)判断AC与BD的位置关 系，并说明理由； (3)判断直线AD与直线CE E B 【答案】解：(1)CE⊥DE.证明如下： 的位置关系，并说明理由. .·△ACE≌△BED, .∠ACE=∠BED. AC⊥AB, .∠A=90°， ∴.∠ACE+∠AEC=90°， .∴.∠BED+∠AEC=90°， .∴.∠CED=90°， ∴.CE⊥DE (2).△ACE≌△BED, .AC=BE,AE=BD, ∴.AB=AE+BE=BD+AC. 题型5●>利用全等三角形的性质解决翻折问题 变式训川练参考答案见答案册P5 例5如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的5-1如图，在△ABC中，∠A= 点F处，已知∠BAF=60°，求∠DAE的度数. 55°，将△ABC沿DE翻折后， D 点A落在BC边上的点A'处 如果∠A'EC=70°，求∠A'DB 的度数 B 42 随堂笔记8年级数学RJ上册 【答案】解：由题意知，△ADE≌△AFE, ∴.∠DAE=∠FAE, ∠DME=7(∠DME+LFME)=3∠DME :四边形ABCD是长方形， ∴.∠BAD=∠BAF+∠DAF=90°， .∠DAF=90°-∠BAF=90°-60°=30°， LDMB=2∠DMP=) ×30°=15° 链接中考 考点● 全等三角形性质的应用 【解析】△ABC兰△DEF,∴.BC=EF, 题型 难度 分值 BC=8,.EF=8..EC=5,.CF=EF- 选择题、解答题 ★☆☆ 3分 EC=8-5=3. 【答案】3 典例①[海南中考]已知下列图中的两个三角 典例3[济南中考]如图，已知△ABC≌ 形全等，则∠ax的度数是（) △DEC,∠A=60°，∠B=40°，则∠DCE的度 数为（) 509 人58°72 b A.72 B.60° C.58° D.50° A.40° B.60° 【解析】图中的两个三角形全等，∴.a与a, C.80° D.100° c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对 【解析】在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°， 应角，∴.∠=50° ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=80°. 【答案】D .△ABC≌△DEC, 典例2[成都中考]如图，已知△ABC≌ ∴.∠DCE=∠ACB=80°. △DEF,点B,E,C,F依次在同一条直线 【答案】C 上.若BC=8,CE=5,则CF的长为 第十四章全等三角形 43