13.3.1 第2课时 直角三角形的两个锐角互余-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第2课时 直角三角形的两个锐角互余 课前·预习笔记 预 习1.掌握直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 目 ·2.掌握直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 标 第步明确考情 1.考频：5年2考 2.分值：3分 !3.题型：选择题、填空题 第步梳理知识 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余· 2.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以 写成Rt△ABC· !3.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 第步预习检测 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（) 预 习 任 A.34° B.44° C.124 D.134° 2.如图，已知AB⊥BD,AC⊥CD,∠A=40°，则∠D的度数为() B A.40° B.50° C.60° D.70° 3.如图，把一块三角尺ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C=30°，AC∥EF,则 ∠1的度数为() A.30° B.45° C.60° D.75° B 26 随堂笔记8年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1>直角三角形的性质 举一反三●》参考答案见答案册P3 1.直角三角形的性质 文字语言 几何语言 图示 直角三角形的 锐角 1-1如图，AB,CD相交于点 两个锐角互余 在直角三角形ABC中. O,AC⊥CD于点C,若∠BOD= 斜边 .∠C=90°，.∠A+∠B= 直角边 锐角 38°，则∠A= 理论依据是 90° 三角形内角 C 和定理 直角边 0义38 2.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“t△”表示， 直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. B 注意事项：“R肚△”后女须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写 1-2如图，在△ABC中， 宇母，不能单独使用，如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”， ∠ACB=90°，∠ABC=25°， 例1[教材P14例题]如图，∠C= C CD⊥AB于点D,则∠ACD= ∠D=90°，AD,BC相交于点E.比较 ∠CAE与∠DBE的大小， 【答案】解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90°-∠AEC. 在Rt△BDE中， ∠DBE=90°-∠BED.直角三角形的性质 .∠AEC=∠BED, ∴.∠CAE=∠DBE. 知识点2>》 直角三角形的判定 举一反三》>参考答案见答案册P3 文字语言 几何语言 图示 2-1下列条件：①∠A+∠B= 有两个角互余的三角 在△ABC中..∠A+ B ∠C;②∠A:∠B:∠C=1: 形是直角三角形 ∠B=90°，∴.∠C= 90°-a 2:3;③∠A=90°-∠B; 理论依据是三角形的 90°，即△ABC是直角 1 内角和定理 三角形 ④LA=∠B=2∠C,⑤LA= 例2如图，在△ABC中，CD⊥AB于 2∠B=3∠C.其中能确定 点D,AF是△ABC的角平分线，交CD 12 △ABC是直角三角形的条件 于点E,∠1=∠2.求证：△ACB为直 有() A.2个 B.3个 角三角形 D B C.4个 D.5个 第十三章三角形 27 【答案】证明：，AF是△ABC的角平分线， ∴.∠CAF=∠BAF :∠1=∠2，∠1=∠AED, ∴.∠2=∠AED. ,CD⊥AB, :∠BAF+LAED=90°，直角三角形的性质 :.∠CAF+∠2=90°，，直角三角形的判定 ∴.∠ACB=90°，即△ACB为直角三角形 ★方法点拨大 直角三角形的判定方法：（1)证明三角形中有一个内角为 90°或证明三角形中有两条边互相垂直；(2)证明三角形中 有两个内角互余 课本练习[教材P14练习] 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. 答案 ∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ 1.∠ACD=∠B.理由略. 2.△ADE是直角三角形.理 由略 D E D B (第1题) (第2题) 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D,E分别在边AB,AC上， 且∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ 课后· 提升笔记 题型训练 题型1●》直角三角形性质的应用 变式训练》参考答案见答案册P3 例1如图，在△ABC中，∠ACB= 1-1如图，在△ABC中，AD 90°，AE平分∠CAB,CD⊥AB, 是BC边上的高，AE是∠BAC AE,CD相交于点F. 的平分线，BF是∠ABC的平分 (1)若∠DCB=50°，求∠CEF的 线，两条角平分线相交于点0， ∠BAC=44°，∠C=60°，求 度数； D ∠DAC和∠BOA的度数. (2)求证：∠CEF=∠CFE. 【答案】(1)解：，CD⊥AB, ∴.∠DCB+∠B=90. ∠ACB=90°， 28随堂笔记8年级数学RJ上册 .∠CAB+∠B=90°， .∴.∠CAB=∠DCB=50°. :AE平分∠CAB, :LCME三)CAB=250 .∠CEF=90°-∠CAE=65. DE (2)证明：AE平分∠CAB, .∠BAE=∠CAE. ,∠CAE+∠CEF=90°，∠BAE+∠AFD=90° .∠CEF=∠AFD. :∠CFE=∠AFD, .∠CEF=∠CFE. 题型2●》直角三角形判定的应用 变式训练》参考答案见答案册P3 例2如图，在△ABC中，AD是BC 2-1如图，已知ED⊥BD, 边上的高，E是AB边上一点，CE 点C在BD上，且∠ACB= 交AD于点M,且∠DCM=∠MAE,求 ∠CED.求证：△ACE是直角 证：△AEM是直角三角形. 三角形 【答案】证明：AD是BC边上 B 的高， ∴.∠DMC+∠DCM=90°. '.∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME, .∠AME+∠MAE=90°， B D .△AEM是直角三角形 链接中考 考点●直角三角形的性质 图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小， 需将∠0转化为与它相等的角，则图中与∠0 题型 难度 分值 相等的角是( 选择题、解答题 ★☆☆ 3分 凸面 凹面 典例①[菏泽中考]将一副直角三角尺如图放置， 若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为( 宽 宽当Cobb角>10°时，为 脊柱侧弯 D B 宽 E Cobb角>o B A.140°B.160°C.170° D.150° 【解析】：∠AOD=20°， .∠C0A=90°-20°=70°， A.∠BEAB.∠DEBC.∠ECAD.∠ADO ∴.∠B0C=∠B0A+∠C0A=90°+70°=160°. 【解析】由示意图可知△DOA和△DBE都是直 【答案】B 角三角形，∴.∠O+∠AD0=90°，∠DEB+ 典例2[衢州中考]如图是脊柱侧弯的检测示意 ∠AD0=90°，.∠DEB=∠O. 【答案】B 第十三章三角形 292-1B【解析】在△ABC中.，∠A=60° ∠C=76°，∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=44° BD是LABC的平分线，.LCBD=2∠ABC= 22°..DEBC,∴.∠EDB=∠DBC=22° 2-240°【解析】：B0,C0分别平分 LABC,LACB,.LOBC=ZABC,LOCB 5∠ACB.又：∠B0C+L0BC+∠0CB 180°，.∠B0C=180°-（∠OBC+∠0CB)= 180-2(∠ABC+LAC8).∠A+∠ABC+ ∠ACB=180°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∠80c=180-子180°-∠4)=90+号∠A LB0C=I0°，心90°+2∠A=110°，∠AE 40° 3-1解：（解法一）.△A'DE是△ADE翻折变 换而成， .∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE,∠A= ∠A'=75° ∴.∠AED+∠ADE=∠A'ED+∠A'DE=180°- 75°=105° ∴.∠1+∠2=360°-2×105°=150°. (解法二)如图，连接AA' C A D :∠1=∠EAA'+∠EA'A,∠2=∠DAA'+ ∠DA'A,∠EAD=∠EA'D, ∴.∠1+∠2=2∠CAB=150° 第2课时直角三角形的两个锐角互余 预习检测 1.A2.A3.C 举三反三 1-152°【解析】.∠B0D=38°，∴.∠A0C=38°. .AC⊥CD,.∠A=90°-∠AOC=90°-38°= 52°. 1-225°【解析】，∠ACB=90°，∠ABC= 25°，CD⊥AB,∴.∠ABC+∠A=90°，∠A+ ∠ACD=90°，.∠ACD=∠ABC=25. 2-1C【解析】①因为∠A+∠B=∠C,所以 2∠C=180°，解得∠C=90°，所以△ABC是直角 三角形；②设∠A=x,则x+2x+3x=180°，解得 x=30°，所以∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直 角三角形；③因为∠A=90°-∠B,所以∠A+∠B= 90°，则∠C=180°-90°=90°，所以△ABC是直 角三角形，④因为∠A=∠B=?∠C,所以 ∠A+∠B+∠C=。∠C+1LC+LC=180°， 2 则LC=90°，所以△ABC是直角三角形；⑤因为 3∠C=2∠B=∠A,所以∠A+∠B+∠C=∠A+ 日∠A+∠A=180°，∠A=10809 3 11,所以△ABC 为钝角三角形.所以能确定△ABC是直角三角 形的条件有4个. 变式训练 1-1解：'AD是BC边上的高， ∴.∠ADC=90°，∴.∠DAC+∠C=90. …∠C=60°， ∴.∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°. .AE是∠BAC的平分线，∠BAC=44°， ∠BM0=7LBMC=×4=2 2 .·∠C=60°，∠BAC=44°， .∴.∠ABC=180°-（∠C+∠BAC)=180°-(60°+ 44°)=76°. ·BF是∠ABC的平分线， 1 1 ·LABF=2∠ABC=2×76=38°， ∴.∠BOA=180°-（∠BA0+∠ABF)=180°- (22°+38°)=120°. 2-1证明：：ED⊥BD ∴.∠EDC=90°，∴.∠CED+∠DCE=90°. ·∠ACB=∠CED,∴.∠ACB+∠DCE=90°， ∴.∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE)=180°- 90°=90°， ·.△ACE是直角三角形 13.3.2三角形的外角 预习检测 1.D2.C3.B4.B 举三反写 1-1C【解析】如图，根据对顶角相等得 ∠1=∠α=50°.1⊥l3,∴.∠2=90°.∠B是 三角形的外角，∴.∠B=∠1+∠2=50°+90°= 140°. 1-256【解析】.FE∥0N,∠FE0=28°，