13.3.1 第1课时 三角形的内角和-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 课前·预习笔记 预！1.会运用平行线的性质与平角的定义证明三角形三个内角的和等于180°. 习2.掌握三角形的内角和定理，并会运用三角形的内角和定理进行相关计算和证明 目3.通过三角形内角和的探究过程，体会从动手实践中发现猜想，进而用所学知识证明 标 猜想的过程， 第)明确考情 11。考频：5年2考 2分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第三步梳理知识 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°. 第三西预习检测 1.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于() C 预 习 人60°40 B 任 另 A.100° B.80 C.60° D.40° 2.若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是（) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D,∠B=40°，∠BAD=30°， 则∠C的度数是() 30 140° D C A.70° B.80° C.100° D.110° 20 随堂笔记8年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1>三角形的内角和定理 举一反三●》参考答案见答案册P2 适用于任意 1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于80？，一个三角衫 1-1在△ABC中，已知∠A= 20°，∠B=4∠C,则∠C等于 章思考：与三角形的角有关的结论 () 任意一个三角形最多只有一个纯角或直角，或者说至少有两个 A.32° B.36° 锐角.一个三角形中最少有一个角不小于60°， C.40° D.128° 1-2如图，在△ABC中，若 2.三角形的内角和定理的应用：(1)在三角形中，已知任意两个 DE∥BC,FG∥AC,∠BDE= 角的度数，可求出第三个角的度数；（2)已知三角形中三个 120°，∠DFG=115°，则∠C 内角的关系，可列方程求出各内角的度数： 的度数为 例1[教材P12例题]如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B= A 75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数. D 120° F115 D B G A 【答案】解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD=LBAC=20° 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°. 八三角形的内角和定理 2-1如图，考古学家发现在地 女方法点拨 下A处有一座古墓.古墓上方 是煤气管道，为了不影响管 在以三角形为背景的题目中，三角形的内角和定理是隐含条 道，准备在B和C处开工挖出 件，切勿忘记. “V”字形通道，若∠DBA= 例2[教材P12例题]如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在 120°，∠ECA=125°，则 A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在 ∠BAC的度数是（ D B B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多 管道 少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢？ 北 北 E 古墓 y A.65° B.80° C.85o D.90° 第十三章三角形 21 【答案】解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. 由ADBE,得 ∠BAD+∠ABE=180° 所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°， ∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60° 在△ABC中， ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°. 、三角形的内角和定理 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A,B 两岛的视角∠ACB是90°. 知识点2。>三角形的内角和定理的证明 〉举一反三》参考答案见答案册P2 三角形的内角和定理的证明思路 3-1如图，在证明三角形的内 (1)利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的 角和定理时，小明的想法是把 三个内角转化为一个平角，如图1，图2 三个角凑到点C处，过点C作 (2)利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角 射线CD∥AB,利用平行线的 转化为两平行线间的一组同旁内角，如图3，图4. 性质和平角的定义来证明，请 E 你按照他的想法将下面的证明 5 过程补充完整 6 D 图1 图2 图3 图4 D 女方法点拨 B C 借助平行线转移内角，形成平角(180)或同旁内角（和 证明：CD∥AB, 为180) ∴.∠1= 例31[教材P12]已知：△ABC(如图).求证：∠A+∠B+∠C= ∠2= 180°. ( ) :∠1+∠2+∠ACB=180°（平 角的定义)， . (等量代 30 换).则三角形三个内角的和等 于180°. 【答案】证明：如图，过点A作直线L,使BC.作辅助线 U//BC, ∴.∠2=∠4（两直线平行，内错角相等) 同理∠3=∠5. ,∠1，∠4，∠5组成平角， .∠1+∠4+∠5=180°（平角定义）， ∴.∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）. 22 随堂笔记8年级数学RJ上册 课本练习[教材P13练习] 1.如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C (答案 处的仰角∠CBD=45°.从C处观测A,B两处的视角∠ACB 1.∠ACB=15° 是多少度？ 2.280°. D (第1题) (第2题) 2.如图，在△ABC中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的 度数 课后·提升笔记 题型训练， 题型】●》利用平行线的性质及三角形的内角和定理求角度变式训练》参考答案见答案册P2 例1如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB/∥CF,AD∥ CE,连接BC,CD,则∠A的度数是() 1-1如图，在△ABC中，∠A= 70°，∠C=30°，BD平分 A ∠ABC交AC于点D,DE∥ AB交BC于点E,则∠BDE 的度数是() D A.45° B.50° C.55° D.80° 【解析】如图，连接AC并延长交EF于点M. 7B A D A.30° B.40° C.50° D.60° AB∥CF，.∠3=∠1. .AD∥CE,∴.∠2=∠4， .∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE. .∵∠FCE=180°-∠E-∠F=180°-80°-50°=50°， ∴.∠BAD=∠FCE=50°. 【答案】B 第十三章三角形 23 题型2●》利用角平分线的性质及三角形的内角和定理求角度>变式训练参考答案见答案册P2 例2如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=42°，BM平分 ∠ABC,E为射线BM上一点.若线段CE垂直于△ABC的一边， 求∠BEC的度数. 2-1如图，在△ABC中，BD 是∠ABC的平分线，ED∥BC, 且∠C=76°，∠A=60°，则 ∠BDE的度数为() B A 【答案】解：∠A=60°，∠ACB=42°， ∴.∠ABC=78° D .BM平分∠ABC, ∠0E=ABc=30 B A.20° B.22° ①如图1，当CE LBC时. C.44° D.82° ∠BEC=90°-39°=51°. ②如图2，当CE⊥AB于点F时 :LABE=2∠ABC=39°， ∴.∠BEC=90°+39°=129°. ③如图3，当CE⊥AC时. .∠CBE=39°，∠ACB=42°， ∴.∠BEC=180°-39°-42°-90°=9°. 综上所述，∠BEC的度数为51°，129°或9°. 2-2如图，在△ABC中， M B0,C0分别平分∠ABC, M ∠ACB.若∠B0C=110°，则 ∠A= E 图1 图2 图3 24随堂笔记8年级数学RJ上册 题型3●》利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度问题变式训川练>参考答案见答案册P3 例3如图，将△ABC沿MN折叠，使 MN∥BC,点A的对应点为点A',若 3-1如图，在折纸活动中， ∠A'=32°，∠B=112°，则∠A'NC的度 小明制作了一张△ABC的纸 数是() 片，点D,E分别在边AB, A.114° B.112° AC上，将△ABC沿着DE折 C.110° D.108° 叠压平，A与A'重合，若∠A= 【解析】MNBC,∴.∠MNA=∠C. 75°，求∠1+∠2的度数. 又∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠A'=32°，∠B=112°， ∴.∠C=36°，∠MNA=36°. 由折叠的性质可知∠A'NM=∠MNA, .∠A'NM=36°， .∠A'NC=180°-∠MNA-∠A'NM=180°-36°-36°=108°. 【答案】D 链接中考 考点◆三角形的内角和定理 题型 难度 分值 选择题、解答题 ★☆☆ 3分 典例1[聊城中考]如图，分别过△ABC的顶点 A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°，∠EBC=80°， B F 则∠ACB的度数为（() 【解析】如图，标记字母G.由题意得∠BAC= 60°，∠C=30°，∠D=45°. .∠EAB=35°， .∠CAD=180°-∠EAB-∠BAC=85°， ∴.∠AGD=180°-∠D-∠CAD=50°， B ∴.∠CGF=∠AGD=50°， A.65°B.75°C.85° D.95 ·.∠DFC=180°-∠C-∠CGF=100°， 【解析】AD/BE,∴.∠ADC=∠EBC=80°. ,∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°，∠CAD=25°， .∴.∠ACB=180°-25°-80°=75° 【答案】B C 典例2[十堰中考]一副三角尺按如图位置放 置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB= 35°，则∠DFC= 【答案】100° 第十三章三角形 254-1A【解析】根据题意，得a-3=0,b-6= 0,解得a=3,b=6.①当3是腰长时，三角形的 三边长分别为3,3,6.因为3+3=6，所以不能组 成三角形.②当3是底边时，三角形的三边长分 别为3,6,6，能组成三角形，周长=3+6+6= 15,所以，这个等腰三角形的周长为15. 5-1证明：如图，将DE向两边延长分别交 AB,AC于点M,N. 在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE,① 在△BDM中，MB+MD>BD,② 在△CEN中，CN+NE>CE,③ ①+②+③，得AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+ DE+NE+BD+CE, .AB+AC>BD+DE+CE. 13.2.2三角形的中线、 角平分线、高 预习检测 1.B2.D 举一反三 1-1A【解析】因为点D,E分别是边BC,AD 的中点，△ABC的面积为8，所以S△ABc= Sao,Saam=2SAc,所以SA= 1 1 1 4x8=2. 2-1C【解析】由题图可知BE是△ABD的中 线，故A选项正确.由题图可知BD是△BCE的 角平分线，故B选项正确.因为BD是△BCE的 角平分线，所以∠3=∠2.因为BE是中线，所以 无法得到∠1=∠2，故C选项不正确.因为 ∠C=90°，所以BC是△BDE的边DE上的 高，故D选项正确. 3-1B【解析】因为CE⊥BA,交BA的延长线 于点E,所以在△ABC中，AB边上的高为线 段CE. 3-2A 变式训练 1-1解：设腰长为xcm.①当腰长与腰长的一 半的和是9m时，+分=9，解得x=6,所 以，底边长=15-7×6=12(cm).因为6+6= 12,所以6cm,6cm,12cm不能组成三角形. ②当腰长与腰长的一半的和是15cm时，x+ 2x=15,解得x=10,所以，底边长=9-}×10= 4(cm),所以，三边为10cm,10cm,4cm,能组 成三角形.综上所述，等腰三角形的腰长为 10cm,底边长为4cm. 2-1B【解析】因为△ABC的中线AD,BE,CF 交于点0，所以SABOD=S△coD,S△c0E=S△40E; S△A0F=S△BOF:因为SAB0D+SACOE+SA40F=7,所以 S△coD+S△MOB+S△BOP=7,所以△ABC的面积是7× 2=14. 3-1C【解析】因为AD⊥BC,BF⊥AC,所以 9ac=2AC·BF=BC·AD,所以4MC=8X 1 2 2,所以AC=4. 4-1解：AE∥DF.理由如下： 因为AB∥CD,所以∠BAD=∠ADC. 因为AE,DF分别是△ABD和△ACD的角平分 线，所以2∠DAE=∠BAD,2∠FDA=∠ADC 所以∠DAE=∠FDA,所以AE∥DF. 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 预习检测， 1.B2.B3.B 举一反写 1-1A【解析】.∠A=20°，∠B=4∠C, ∠A+∠B+∠C=180°，..20°+4∠C+∠C= 180°，解得∠C=32°. 1-255°【解析】.·DE∥BC,∠BDE=120°， ∴.∠B=180°-120°=60°..FG∥AC,∠DFG= 115°，∴.∠A=180°-115°=65°，∴.∠C= 180°-∠B-∠A=55°. 2-1A【解析】.∠DBA=120°，∠ECA=125°， .∴.∠ABC=180°-∠DBA=60°，∠ACB= 180°-∠ECA=55°，∴.∠BAC=180°-∠ABC- ∠ACB=180°-60°-55°=65°，即∠BAC=65°. 3-1∠A两直线平行，内错角相等 ∠B两直线平行，同位角相等 ∠A+∠B+∠ACB=180° 变式训练 1-1B【解析】在△ABC中，∠A=70°，∠C= 30°，∴，∠ABC=180°-∠A-∠C=80°..BD平 分LABC,-LABD=)∠ABC=40°.：DE∥ AB,.∴.∠BDE=∠ABD=40° 2-1B【解析】在△ABC中.，∠A=60° ∠C=76°，∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=44° BD是LABC的平分线，.LCBD=2∠ABC= 22°..DEBC,∴.∠EDB=∠DBC=22° 2-240°【解析】：B0,C0分别平分 LABC,LACB,.LOBC=ZABC,LOCB 5∠ACB.又：∠B0C+L0BC+∠0CB 180°，.∠B0C=180°-（∠OBC+∠0CB)= 180-2(∠ABC+LAC8).∠A+∠ABC+ ∠ACB=180°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∠80c=180-子180°-∠4)=90+号∠A LB0C=I0°，心90°+2∠A=110°，∠AE 40° 3-1解：（解法一）.△A'DE是△ADE翻折变 换而成， .∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE,∠A= ∠A'=75° ∴.∠AED+∠ADE=∠A'ED+∠A'DE=180°- 75°=105° ∴.∠1+∠2=360°-2×105°=150°. (解法二)如图，连接AA' C A D :∠1=∠EAA'+∠EA'A,∠2=∠DAA'+ ∠DA'A,∠EAD=∠EA'D, ∴.∠1+∠2=2∠CAB=150° 第2课时直角三角形的两个锐角互余 预习检测 1.A2.A3.C 举三反三 1-152°【解析】.∠B0D=38°，∴.∠A0C=38°. .AC⊥CD,.∠A=90°-∠AOC=90°-38°= 52°. 1-225°【解析】，∠ACB=90°，∠ABC= 25°，CD⊥AB,∴.∠ABC+∠A=90°，∠A+ ∠ACD=90°，.∠ACD=∠ABC=25. 2-1C【解析】①因为∠A+∠B=∠C,所以 2∠C=180°，解得∠C=90°，所以△ABC是直角 三角形；②设∠A=x,则x+2x+3x=180°，解得 x=30°，所以∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直 角三角形；③因为∠A=90°-∠B,所以∠A+∠B= 90°，则∠C=180°-90°=90°，所以△ABC是直 角三角形，④因为∠A=∠B=?∠C,所以 ∠A+∠B+∠C=。∠C+1LC+LC=180°， 2 则LC=90°，所以△ABC是直角三角形；⑤因为 3∠C=2∠B=∠A,所以∠A+∠B+∠C=∠A+ 日∠A+∠A=180°，∠A=10809 3 11,所以△ABC 为钝角三角形.所以能确定△ABC是直角三角 形的条件有4个. 变式训练 1-1解：'AD是BC边上的高， ∴.∠ADC=90°，∴.∠DAC+∠C=90. …∠C=60°， ∴.∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°. .AE是∠BAC的平分线，∠BAC=44°， ∠BM0=7LBMC=×4=2 2 .·∠C=60°，∠BAC=44°， .∴.∠ABC=180°-（∠C+∠BAC)=180°-(60°+ 44°)=76°. ·BF是∠ABC的平分线， 1 1 ·LABF=2∠ABC=2×76=38°， ∴.∠BOA=180°-（∠BA0+∠ABF)=180°- (22°+38°)=120°. 2-1证明：：ED⊥BD ∴.∠EDC=90°，∴.∠CED+∠DCE=90°. ·∠ACB=∠CED,∴.∠ACB+∠DCE=90°， ∴.∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE)=180°- 90°=90°， ·.△ACE是直角三角形 13.3.2三角形的外角 预习检测 1.D2.C3.B4.B 举三反写 1-1C【解析】如图，根据对顶角相等得 ∠1=∠α=50°.1⊥l3,∴.∠2=90°.∠B是 三角形的外角，∴.∠B=∠1+∠2=50°+90°= 140°. 1-256【解析】.FE∥0N,∠FE0=28°，