1.5 一元二次不等式与其他常见不等式的解法 专项训练 - 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦一元二次及拓展不等式解法，以考点为纲构建从基础到综合的知识逻辑链，精选各地模拟题实现针对性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次不等式的解集与基本解法|7题|集合运算与不等式结合的选择|以一元二次不等式解法为基础，构建不等式求解体系| |一元二次不等式恒成立与参数求解|2题|恒成立求参数范围选择|延伸基本解法，强化参数问题转化能力| |分式不等式的同解变形与转化求解|7题|分式不等式求解及充要条件判断|通过同解变形实现向整式不等式的转化| |绝对值及其他常见不等式的求解与数形结合|4题|绝对值、取整函数等新情境选择填空|拓展不等式类型，渗透数形结合思想| |含参数不等式的分类讨论与综合应用|2题|含参不等式综合解答|整合各类解法，提升分类讨论与综合应用能力|

2027届高三数学一轮复习专项训练 1.5 一元二次不等式与其他常见不等式的解法 解析卷 答案速查表 1 考点一：一元二次不等式的解集与基本解法 1 考点二：一元二次不等式恒成立与参数求解 3 考点三：分式不等式的同解变形与转化求解 4 考点四：绝对值及其他常见不等式的求解与数形结合 5 考点五：含参数不等式的分类讨论与综合应用 7 1.5 一元二次不等式与其他常见不等式的解法 方法总结 8 答案速查表 1 2 3 4 5 D D A C A 6 7 8 9 10 C A C A C 11 12 13 14 15 B A D C B 16 17 18 19 20 D A A 6、8 21 22 （1）；（2） （1）详见解析；（2） 考点一：一元二次不等式的解集与基本解法 1.（2026·安徽华师联盟·检测）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】分别求解一元二次不等式与含根号的整数集合，注意集合中被开方数的非负性与整数属性，最后取交集. 【解析】由解得或，所以；由且解得且，即，所以.故选D. 2.（2026·八省八校T8·联考）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】分别解对数不等式和无理不等式化简集合，注意对数真数大于0与被开方数非负的定义域限制，再求交集. 【解析】由得，即；由得，解得，即，所以.故选D. 3.（2026·安徽临泉中学·二模）设全集，集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先解绝对值不等式并结合整数集确定集合，再根据全集求补集，最后求交集. 【解析】全集，.解绝对值不等式，得，即.又，故，所以.所以得.故选A. 4.（2026·安徽安庆·二模）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】分别解对数复合不等式与一元二次不等式，注意对数不等式的底数单调性与端点取值，再取交集. 【解析】解不等式得，即集合；解不等式得，即集合；则.故选C. 5.（2026·湖南湘潭·二模）设不等式的解集为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】移项因式分解求出一元二次不等式的解集区间，再逐一判断各选项元素与集合的从属关系. 【解析】由，得，，，.故选A. 6.（2026·湖南衡阳·一模）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】解一元二次不等式得到集合，解指数不等式得到集合，再根据交集定义运算. 【解析】由，所以；由，所以，故.故选C. 7.（2025·新疆乌鲁木齐·模拟）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先解一元二次不等式得集合并求其补集，再解绝对值不等式求集合，最后进行交集运算. 【解析】由，得，解得，所以，所以；由，可得，所以，所以.故选A. 考点二：一元二次不等式恒成立与参数求解 8.（2025·江西萍乡实验·一模）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】存在量词命题为假等价于其全称否定为真，即二次不等式恒大于0，需按二次项系数是否为0分类讨论并结合判别式求解. 【解析】因为命题“，使”是假命题，所以其否定“，”是真命题.当时，不等式化为，解集为，不恒成立；当时，需满足即即解得.所以实数的取值范围为.故选C. 9.（2026·湖南衡阳八中·检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】不等式解集为表示不等式恒成立，讨论二次项系数与的情形，开口向下且判别式小于等于0. 【解析】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意；当时，由不等式的解集为，则解得，即的取值范围为.故选A. 考点三：分式不等式的同解变形与转化求解 10.（2025·全国二卷·检测）不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】分式不等式严禁直接去分母，需移项通分化为标准分式形式，再等价转化为一元二次不等式组求解. 【解析】即为，即故，故解集为.故选C. 11.（2026·四川蓉城联盟·联考）不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】移项通分转化为分子分母乘积形式的一元二次不等式，注意分母正负和非零限制. 【解析】由，得，即，解得，故原不等式的解集为.故选B. 12.（2026·辽宁名校联盟·二模）不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】移项通分后将分母首项系数化为正数，再转化为整式不等式组求解，注意分母不能为零. 【解析】由，得，即，所以，则解得或，所以不等式的解集为.故选A. 13.（2026·安徽省十教育·模拟）已知集合，若，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用正难则反思想，先求时参数的范围，再对全集求补集得到时的取值范围. 【解析】由，得，所以或，所以若，的取值范围为.故选D. 14.（2026·湖南长沙·一模）“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【思路】解分式不等式化简条件，再依据充分条件与必要条件的概念进行双向推导判定. 【解析】由可得，即，即解得，所以“”是“”的充要条件.故选C. 15.（2026·湖南南雅中学·检测）不等式：的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】移项通分将分式不等式化为分子分母乘积形式，结合穿针引线法或分类讨论求解. 【解析】移项并通分：，因式分解得：，解得：或.故选B. 16.（2026·贵州毕节·二模）不等式的解集是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】移项通分将常数化为0，转化为整式不等式组求解，注意分母不能为零. 【解析】不等式，即，化简得，等价于解得，所以不等式的解集为. 考点四：绝对值及其他常见不等式的求解与数形结合 17.（2026·湖北随州六校·一模）对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，，若，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】根据高斯取整函数的定义，等价于，代入求解一次不等式组. 【解析】由题意得解得.故选D. 18.（2026·山东名校联盟·检测）不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】利用对数函数单调性脱去对数符号，转化为双向分式不等式组求解. 【解析】原不等式等价于，由得或；由得.综上，不等式的解集为.故选A. 19.（2025·河北邢台名校·一模）存在使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】移项构造绝对值三角不等式求出左侧最小值，将存在性问题转化为关于参数的绝对值不等式，平方求解. 【解析】存在，不等式成立，变形即成立.由于，因此有，两边平方，解得或.故选A. 20.（2026·山东烟台·二模）设点集，若中的点，满足，，则称与互为邻点.点集中与点互为邻点的点的个数为＿＿＿＿＿＿；在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】6、8 【思路】第一空利用网格点的曼哈顿距离方程分类列举坐标；第二空将不等式条件转化为斜率单调性，寻找最长跳跃链. 【解析】根据定义，点满足，在点集中，满足条件的整数点为：当时，；当时，；当时，；共6个点.对于第二问，条件即，表示点列与原点连线的斜率单调不减，从开始构造最长链，最多可构成包含8个点的邻点列，所以的最大值为8. 考点五：含参数不等式的分类讨论与综合应用 21.（2026·河北百师联盟·一模）已知，且的解集为. （1）当，求函数的解析式； （2）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问利用解集确定方程根与系数关系设出解析式并代入求参；第（2）问转化为一元二次不等式恒成立，讨论二次项系数及判别式. 【解析】（1）由的解集为可知且. 则. （2）的解集为. 当时，满足题意； 当时，由. 综上，. 22.（2026·安徽合肥中学·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. （1）若时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问求解函数定义域与具体不等式，进行补集与交集运算；第（2）问转化为集合包含关系，对二次不等式的两根大小关系分类讨论. 【解析】（1）由， 所以集合. 由； 当时，不等式为：，即集合， 又， 所以； （2）因为是的充分条件，所以是的子集，又， 当时，，满足题意； 当时，，所以得； 当时，，所以得. 综上，实数的取值范围为. 1.5 一元二次不等式与其他常见不等式的解法 方法总结 1. 解一元二次不等式时，先将二次项系数化为正数，再计算判别式或进行因式分解，结合二次函数图象确定“大于取两边，小于取中间”的解集区间.（第1、4、5、6、7题） 2. 处理一元二次不等式在上的恒成立问题时，必须对最高次项系数是否为零进行分类讨论；当二次项系数不为零时，恒成立条件由抛物线开口方向与判别式共同决定.（第8、9、21题） 3. 解分式不等式时切忌直接去分母，标准步骤为“移项使右边为0通分化为单分式等价转化为分子分母同号或异号的整式乘积不等式”，同时必须严格保留分母不为零的定义域限制.（第10、11、12、13、15、16题） 4. 求解含绝对值或复合型（指数、对数）不等式时，优先利用函数单调性、绝对值几何意义或绝对值三角不等式进行脱壳转化；存在性问题常通过最值转化求解.（第2、3、14、17、18、19、20题） 5. 含参不等式与集合包含（充分必要条件）问题结合时，需先求出含参解集两端点的大小关系进行分类讨论，再结合数轴列出端点不等式组，特别注意端点处能否取到等号及单点集情况.（第22题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习专项训练 1.5 一元二次不等式与其他常见不等式的解法 练习卷 考点一：一元二次不等式的解集与基本解法 1 考点二：一元二次不等式恒成立与参数求解 2 考点三：分式不等式的同解变形与转化求解 2 考点四：绝对值及其他常见不等式的求解与数形结合 3 考点五：含参数不等式的分类讨论与综合应用 3 考点一：一元二次不等式的解集与基本解法 1.（2026·安徽华师联盟·检测）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2.（2026·八省八校T8·联考）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 3.（2026·安徽临泉中学·二模）设全集，集合，，则（　　） A. B. C. D. 4.（2026·安徽安庆·二模）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 5.（2026·湖南湘潭·二模）设不等式的解集为，则（　　） A. B. C. D. 6.（2026·湖南衡阳·一模）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 7.（2025·新疆乌鲁木齐·模拟）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 考点二：一元二次不等式恒成立与参数求解 8.（2025·江西萍乡实验·一模）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 9.（2026·湖南衡阳八中·检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 考点三：分式不等式的同解变形与转化求解 10.（2025·全国二卷·检测）不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 11.（2026·四川蓉城联盟·联考）不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 12.（2026·辽宁名校联盟·二模）不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 13.（2026·安徽省十教育·模拟）已知集合，若，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 14.（2026·湖南长沙·一模）“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15.（2026·湖南南雅中学·检测）不等式：的解集是（　　） A. B. C. D. 16.（2026·贵州毕节·二模）不等式的解集是＿＿＿＿＿＿. 考点四：绝对值及其他常见不等式的求解与数形结合 17.（2026·湖北随州六校·一模）对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，，若，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 18.（2026·山东名校联盟·检测）不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 19.（2025·河北邢台名校·一模）存在使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 20.（2026·山东烟台·二模）设点集，若中的点，满足，，则称与互为邻点.点集中与点互为邻点的点的个数为＿＿＿＿＿＿；在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 考点五：含参数不等式的分类讨论与综合应用 21.（2026·河北百师联盟·一模）已知，且的解集为. （1）当，求函数的解析式； （2）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 22.（2026·安徽合肥中学·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. （1）若时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $