26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第1课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数一般式转化为顶点式的方法及性质，通过复习顶点式、方程配方等旧知，以问题链引导探究新知，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于通过对比表格呈现一般式与顶点式属性，分步示例配方过程培养数学思维，结合典例与检测落实数形结合。帮助学生提升运算与推理能力，教师可借助结构化小结高效开展教学。

26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第1课时 1 素养学习目标 1. 掌握将一般式y=ax²+bx+c配方转化为顶点式的代数变形方法。 2. 熟练记忆并推导顶点坐标公式与对称轴方程，能快速代入计算。 3. 能够运用公式分析二次函数的开口方向、顶点位置及增减性等图象特征。4. 在配方过程中体会“化归”与“转化”的数学思想，学会将复杂问题简单化。 5. 通过解析式与图象的对照分析，培养数形结合的思维习惯，建立直观感知。 6. 经历观察、归纳、总结的过程，提升逻辑推理与自主探究的能力。 7. 感受数学公式的简洁美与逻辑的严谨性，激发对数学探索的好奇心。 8. 在解决实际问题的过程中获得成功体验，增强学习数学的自信心。 9. 体会数学在描述客观世界变化规律中的作用，培养理性思考的习惯。 1.7.2013 本节课我们的学习目标主要有三个方面。在知识与技能上，我们要掌握配方法和两个重要的公式；在过程与方法上，要体会化归和数形结合的思想；在情感态度上，要激发学习兴趣，增强自信心。 ‹#› 一、复习回顾： 顶点式：y = a(x - h)² + k 顶点坐标：(h, k)，对称轴：直线 x = h 问题2：如何探究一般形式y = ax² + bx + c (a≠0)？ 问题1：我们已经学过？ 问题3：方程配方 1.7.2013 在开始新知识的学习之前，我们先来快速回顾一下已经学过的知识。我们学习了二次函数的最简单形式y=ax²和顶点式y=a(x-h)²+k。那么，对于更一般的形式y=ax²+bx+c，我们应该如何研究它呢？这就是我们这节课要解决的问题。 ‹#› 1.抛物线 y=−2（x−2）2+3的开口方向是 ( ) A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 2.二次函数 y=2(x−1)2+1的图象的顶点坐标是 ( ) A.(1,1) B.(1,-1) C.(0,1) D.(1,0) B A 复习巩固 3.关于二次函数 y=−（x−2）2+1,下列说法错误的是 ( ) A.其图象开口向下 B.其图象的对称轴为直线x=2 C. y有最小值1 D.当x<1时，y随x的增大而增大 4.二次函数 y=−(x−2)2+1的图象大致为 ( ) C C 5.抛物线 y=−3(x−2)2−3可以由抛物线 y=−3x2平移得到，则下列平移方法正确的是 ( ) A.先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B.先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C.先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 D.先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 C 6.把抛物线 y=−2x2+1先向上平移3个单位长度， 再向左平移2个单位长度，则所得抛物线对应的 函数解析式是 ____________ . y=−2(x+2)2+4 问题：我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，如何研究二次函数y= x2-4x+15的图象和性质呢? 探索新知 思考：怎样将y= x2-4x+15化成y=a(x-h)2+k的形式? y= x2-4x+15 思考：配方的方法及步骤？ 提：提出二次项系数； 配：括号内配成完全平方； 化：化成顶点式. 顶点式. = (x2-12x)+15 = (x2-12x+62)+15- ×62 = (x-6)2+3 对称轴是直线x=6，顶点坐标为(6，3). 当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大； 当x=6时，y取最小值，最小值是3. 探究新知： 将一般形式 y = ax² + bx + c（a≠0）配方 解：y = ax² + bx + c = a(x² + x) + c = a[(x + )² - ] + c = a(x + )² - + c = a(x + )² + 顶点坐标公式(-, ) 对称轴方程直线 x = - 1.7.2013 通过刚才的例子，我们可以对一般形式y=ax²+bx+c进行配方。经过一系列的代数运算，我们可以得到它的顶点式形式。通过对比，我们就可以得到两个非常重要的公式：顶点坐标公式(-b/(2a), (4ac-b²)/(4a))和对称轴公式x=-b/(2a)。 ‹#› 典例分析 例1：将函数一般式y = 2x² - 8x + 5转化为顶点式 解： 提二次项系数，得 y = 2x² - 8x + 5 = 2(x² - 4x) + 5 配方，得 y = 2[(x² - 4x + 4) - 4] + 5 化简，得 y = 2(x - 2)² - 3 1.7.2013 要研究一般式，我们首先需要把它转化为我们熟悉的顶点式。这个转化的方法就是配方法。我们来看一个例子，将y=2x²-8x+5转化为顶点式。第一步，提取二次项系数2；第二步，在括号内进行配方；第三步，重组并化简。最终我们得到y=2(x-2)²-3。 ‹#› 例2求二次函数y = -x² + 6x - 5的图象开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大。 解：∵y = -x² + 6x - 5= -(x² - 6x) - 5 = -[(x - 3)² - 9] - 5= -(x - 3)² + 4 a = -1 < 0 ∴抛物线开口向下，顶点坐标(3, 4) 对称轴直线 x = 3， 当x < 3时， y 随 x 的增大而增大 1.7.2013 理论学习完了，我们来看一个例题。求二次函数y=-x²+6x-5的性质。我们可以用配方法，将其转化为顶点式y=-(x-3)²+4。由此我们可以直接读出，开口向下，顶点坐标(3,4)，对称轴x=3，当x<3时，y随x增大而增大。 ‹#› 1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： （1）y= － 3x2+12x－3； 教材P43练习第1题 y= -3(x-2)2+9 课堂练习 开口向下，对称轴为直线x=2， 顶点为(2, 9). 1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： （2）y=4x2－24x+26； 开口向上，对称轴为直线x=3， 顶点为(3, -10). 教材P43练习第1题 y= 4(x-3)2-10 课堂练习 （3）y=2x2+8x－6； 开口向上,对称轴为直线x=-2, 顶点为(-2, -14). y= 2(x+2)2-14 （4）y=x2－2x －1. 开口向上,对称轴为直线x=3， 顶点为(2, -3). y= (x-2)2-3 2.求下列函数的最大值或最小值： (1) y=3x² + 2x; (2) y=－2x2 + 8x － 8. 教材P44练习第2题 =3(x² + x) =3(x + )² － y最小值= － = － 2(x² － x) － 8 = － 2(x － 2)² y最大值= 0 3.二次函数 y=x2+2x−3的图象的开口方向、顶点坐标是 ( ) A.开口向上,顶点坐标为(-1,-4) B.开口向下，顶点坐标为(1，4) C.开口向上，顶点坐标为(1，4) D.开口向下,顶点坐标为(-1,-4) D 当堂检测 1.抛物线 y = x² - 2x - 3 的顶点坐标是（ ） A. (1, -4) B. (-1, -4) C. (1, 4) D. (-1, 4) 2.对于二次函数 y = -x² + 2x，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. x>1时，y随x增大而增大 C. 对称轴为x=-1 D. 顶点(1,1) A D 1.7.2013 为了检验大家本节课的学习成果，我们来进行一个快速的当堂检测。请大家独立完成屏幕上的三道题目。时间有限，大家要抓紧哦。 ‹#› 3.已知二次函数图象对称轴为直线 x=1，与x轴的一个交点为(3, 0)，则另一个交点坐标为 ________。 (-1, 0) 4.已知二次函数y=-x2+2bx+c，当x>1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是( ). A. b≥-1 B. b≤-1 C. b≥1 D.b≤1 D 5.已知抛物线y=2x2-12x+13. （1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少? （2）当x为何值时，y随x的增大而减小? （3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式. 解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-2x+9)-5=2(x-3)2-5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3, -5)，对称轴为直线x=3. （1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5； （2）当x<3时，y随x的增大而减小； （3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3. y=ax2+bx+c(a≠0) (一般式) (顶点式) 对称轴是 ，顶点坐标为 . 六、 课堂小结： 配方 七、课后作业 基础巩固练习：从教材习题中选取 生活应用 思考：如何利用二次函数的“顶点坐标”性质，解决生活中常见的“最大利润”或“最大面积”优化问题？ 1.7.2013 除了知识本身，我们在学习过程中还运用了化归和数形结合的重要数学思想。课后请大家完成教材上的练习题，并思考一个问题：如何利用二次函数的性质解决实际生活中的最大利润或最大面积问题？我们下节课将继续探讨。 ‹#› $