26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦用待定系数法求二次函数解析式，涵盖一般式、顶点式、交点式三种形式。通过复习二次函数一般形式及待定系数法步骤导入，以探究新知题目为支架，衔接已知三点求解析式与未知顶点、交点条件下的方法选择，构建知识脉络。 其亮点是通过一题多解、典例分析与分层练习，培养学生逻辑推理与模型意识。如探究新知中同一题目用三种方法求解，归纳总结明确不同条件下的解析式选择策略，体现数学思维的严谨性。学生能提升解题策略优化能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 1 素养学习目标 1. 理解并掌握二次函数的顶点式y=a(x-h)²+k与交点式y=a(x-x1)(x-x2)的结构特征。 2. 能够根据题目给定的条件，灵活选择解析式形式，熟练运用待定系数法求解二次函数表达式。1. 经历观察、猜想、验证、归纳的数学探究过程，逐步培养逻辑推理与抽象概括能力。 3. 感悟数形结合的直观性、分类讨论的全面性以及转化思想在解题中的灵活运用。 1.7.2013 本节课我们的学习目标主要有三个方面。在知识与技能上，我们要掌握顶点式和交点式，并能灵活运用待定系数法；在过程与方法上，要培养逻辑推理能力和数学思想；在情感态度上，要激发学习兴趣，培养优化解题策略的意识。 ‹#› 4. 在解决实际问题的过程中，感受数学的严谨性与简洁美，激发对数学探索的好奇心。 5. 通过一题多解的训练，培养优化解题策略的意识，增强克服困难的信心与毅力。 复习回顾 1.二次函数一般形式为y = ax² + bx + c（a ≠ 0）。 2.待定系数法步骤为：设解析式 → 代坐标列方程 → 解方程组 → 回代确定解析式。当已知图像上任意三点坐标时，通常设为一般式进行求解。 1.7.2013 在开始新知识的学习之前，我们先来快速回顾一下上节课的内容。我们学习了二次函数的一般式和待定系数法。比如这个问题，已知三个点的坐标，我们可以设一般式，代入求解。 ‹#› 已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0),B(3,0),C(1,-4),求这个二次函数的解析式. 方法选择： 解法 一般式 顶点式 交点式 题目条件 点的性质 解析式 (-1,0),(3,0),(1,-4) 看作一般点 (1,-4) 由对称性知，点(1，-4)是抛物线的顶点 (-1,0),(3,0) 与x轴的交点 探究新知 一般式法求二次函数表达式的方法 若已知抛物线过三个点( 任意两点的连线不与y轴平行)，可设一般式求二次函数的表达式.这种方法叫作一般式法.其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a，b，c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 探究新知 典例分析 例1：已知二次函数的图像经过点 A(0, -3)、B(1, 0)、C(-1, -4)，请求出该二次函数的解析式。 解：设二次函数为y = ax² + bx + c（a ≠ 0）。 解代入三点坐标，解方程组得a=1，b=2，c=-3。 ∴函数解析式为y = x² + 2x - 3。 对应练习 一个二次函数的图象经过(-1, 9)，(1, 5)，(2, 6)三点，求这个二次函数的解析式. 解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 把点(-1, 9)、(1, 5) 、(2, 6)代入可得 a-b+c=9 a+b+c=5 4a+2b+c=6 解得 a=1 b=-2 c=6 ∴这个二次函数解析式是y=x2-2x+6. 顶点式法求二次函数表达式的方法 若已知抛物线的顶点坐标（对称轴、最值）及另一点，可设顶点式求表达式.这样的方法叫作顶点式法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标； ③将另一点的坐标代入解出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 探究新知 典例分析 例2：已知二次函数图像的顶点为 (-1, -4)，且经过点 (1, 0)，如何快速求出该函数的解析式？这就需要用到我们今天要学习的“顶点式”，一种更高效的解题工具。 解：设y = a(x+1)² - 4 将点 (1,0) 代入，解得 a = 1 ∴解析式为y = (x+1)² - 4。 1.7.2013 现在，我们来进行探究活动。如果已知顶点坐标，我们可以设顶点式y=a(x-h)²+k。比如这个问题，顶点是(-1,-4)，我们就可以设解析式为y=a(x+1)²-4，然后将另一个点(1,0)代入，解出a=1。这样就得到了解析式。这种方法比用一般式要简便得多。 ‹#› 已知一条抛物线的顶点为(2, -5)，且过点(1, 0)，求这条抛物线的解析式. 解：∵抛物线顶点为(2, -5)，∴设这条抛物线的解析式y=a(x-2)2-5.把点(1, 0)代入得 0=a(1-2)2-5， 解得a=5. ∴这条抛物线为y=5(x-2)2-5，即y=5x2-20x+15. 对应练习 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫作交点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式中； ③将另一个点代入解出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 探究新知 典例分析 例3：已知抛物线与x轴交于 A(-3, 0)、B(1, 0)，且经过点 C(0, -3)， 解：设 y = a(x + 3)(x - 1) 将 C(0, -3) 代入，解得 a = 1 y = (x+3)(x-1)，即 y = x² + 2x - 3 1.7.2013 我们再来看另一种情况。如果已知抛物线与x轴的两个交点，我们可以设交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)。比如这个问题，交点是(-3,0)和(1,0)，我们就可以设解析式为y=a(x+3)(x-1)，然后将另一个点(0,-3)代入，解出a=1。这种方法同样非常简便。 ‹#› 已知抛物线顶点(2, 14)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为10，求其解析式. 解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(7, 0)，(-3, 0)， 设解析式为y=a(x-7)(x+3)， ∵抛物线过点(2, 14)， 把点 (2, 14) 代入可得14=a(2-7)(2+3)，解得a=-. ∴抛物线的解析式为y=- (x-7)(x+3)， 即y=-x2+x+. 对应练习 求二次函数解析式时 图象过一般三点： 常设一般式 y=ax2+bx+c 已知顶点坐标： 常设顶点式 y=a(x-h)2+k 已知抛物线与x轴两交点： 常设交点式 y= a(x-x1)(x-x2) 归纳在总结 课堂练习 1.已知二次函数图像的顶点为 (-2, 5)，且经过点 (0, 9)，请写出该函数的解析式。 解：设y = a(x+2)² +5 将点 (0,9) 代入，解得 a = 1 ∴解析式为y = (x+2)² + 5. 1.7.2013 理论和例题都讲完了，现在是大家大显身手的时候了。我们来做几道练习题。请看屏幕上的题目，大家可以独立思考。给大家几分钟时间。 ‹#› 2.如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4)，求这个抛物线的解析式. 解：由抛物线过A(8, 0)及对称轴为x=3， 知抛物线一定过点(-2, 0). 设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8)， ∵抛物线过点(0, 4)， 把点 (0, 4) 代入可得4=a(0+2)(0-8)，解得a=- . ∴这个抛物线的解析式为y=- (x+2)(x-8)， 即y=- x2+ x+4. 3.一个二次函数的图像经过(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)三点，求这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c. 把点(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)代入可得 解得a=4，b=5，c=0. ∴抛物线的解析式为y=4x2+5x. c=0 a-b+c=-1 a+b+c=9 当堂检测 1.已知二次函数图像的顶点坐标为 (1, -3)，则该函数的解析式可以表示为（ ） A. y = 2x² - 3 B. y = 2(x - 1)² - 3 C. y = 2(x + 1)² - 3 D. y = 2(x - 1)² + 3 2.已知二次函数图像与x轴交于 (-2, 0) 和 (4, 0) 两点，则该函数的解析式为（ ） A. y = a(x - 2)(x + 4) B. y = a(x + 2)(x - 4) C. y = a(x - 2)² + 4 D. y = a(x + 2)² - 4 B B 1.7.2013 为了检验大家本节课的学习成果，我们来进行一个快速的当堂检测。请大家独立完成屏幕上的三道题目。时间有限，大家要抓紧哦。 ‹#› 3.已知二次函数图像经过点 (0, 2)、(1, 3)、(-1, -1)，请写出该函数的解析式为：_____________ y = -x² + 2x + 2 4.已知二次函数 y=ax2+bx的图象经过点(-2，8)，(-1，5)，求这个二次函数的解析式. 解：把点(-2, 8)，(-1, 5)，代入y=ax2+bx可得 解得a=-1，b=-6. ∴抛物线的解析式为y=-x2+6x. 5.已知二次函数图象的顶点坐标为(-1，4)，且经过点M(2，-5)，求该二次函数的解析式； 解：∵抛物线顶点为(-1, 4)， ∴设这条抛物线的解析式y=a(x+1)2+4.把点(2, -5)代入得 -5=a(2+1)2+4， 解得a=-1. ∴这条抛物线为y=-(x+1)2+4，即y=-x2-2x+3. 6.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与 时，y=0，求这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c. 把点 (0, -1)，(-2, 0)，( , 0)代入可得 解得a=1，b= ，c=-1. ∴抛物线的解析式为y=x2+ x-1.(a) 4a-2b+c=0 a+ b+c=0 c=-1 课堂小结 ①已知三点坐标用一般式法y = ax² + bx + c ②已知顶点坐标或对称轴或最值 用顶点式法y = a(x-h)² + k ③已知抛物线与x轴的两个交点交点式法y = a(x-x₁)(x-x₂)（其中x1，x2为交点的横坐标） 1.7.2013 一节课很快就要结束了，我们来一起回顾一下本节课的重点知识。我们学习了用待定系数法求二次函数解析式的三种形式：一般式、顶点式和交点式。每种形式都有其适用的条件，我们要根据题目给出的条件灵活选择。 ‹#› 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.拓展：思考“知一点+对称轴能否求解析式？” $