第二单元 线与角【导图知识卡片+知识梳理+13个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共57题】-2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图和知识梳理表系统构建“线与角”单元知识体系，涵盖线段、射线、直线的特征比较，相交、垂直、平行的关系梳理，以及角的分类、度量等核心内容，用综合对比表和易错点提醒强化知识内在联系。 讲义亮点在于“考点讲练+奥数拓展+分层演练”的三阶设计，高频考点如“两点间线段最短”结合生活情境题，奥数拓展包含线段计数、角度计算等推理训练，分层真题帮助学生从基础到拔尖提升，助力教师实施精准教学，培养几何直观与空间观念。

2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 第二单元线与角『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+13个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练共57题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版四上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络....· 知识梳理温故知新· 3 知识点一线的认识..... 3 知识点二相交与垂直… 知识点三平移与平行…… 知识点四旋转与角.…… 知识点五角的度量（一)一认识度数.… 知识点六角的度量（二）一用量角器量角和画角，. ..5 知识点七单元知识梳理（综合对比表) .。。。。。。。...。,,. 知识点八易错点提醒…6 第1页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 考点讲练真题汇总.… 高频考点一线段、直线、射线的认识及特征.· 6 高频考点二两点间线段最短与两点间的距离.… 6 高频考点三垂直的特征 高频考点四画垂线. 高频考点五点到直线的距离.8 高频考点六平行的特征及性质. …9 高频考点七画平行线.. 高频考点八平角、周角的认识及特征 .9 高频考点九角的大小比较.… 10 高频考点十用量角器画角.· 10 高频考点十二用三角尺画角…… …………11 高频考点十三角度的计算 11 难点突破奥数拓展. 12 奥数拓展一线段、直线、射线的认识及特征 12 奥数拓展二画垂线… 12 奥数拓展三平行的特征及性质... ...13 奥数拓展四角的度量… 13 奥数拓展六角度的计算· 13 优选真题实战演练..·· …..14 【基础通关】....… 【能力提升】。 ...16 第2页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 导图指引 梳理脉络 认识线段、射线和直线 相交与垂直 平移与平行 线段：有两个端点，长度有限】 它们的区别： A ●线段可以量出长度。 。射线和直线不能量出长座。 X+ 平移 ●射线：有个爆点，向一个方向无限廷伸。 ●读法： ●两条直线相交成4个角。 A、 线酸AB(或BA) 。当两条直线相交成直角时 这两条直线互都垂直. 射线AB ●直线：没有课点，向两个方向无限延伸 →B 直用直角符号表示 平行：在同一平面内不相交的两条直线互相平行 直线AB(或BA) 旋转与角 。在方格纸上找出两组互相平行的线段，并用不同颜色指出来。 ◆扇子在我国有着然久的历史，图显帛子馒慢打开的过程 第二单元 角的度量（一） 线与角 ○用量角器量角的步塞： 角的度量（仁） ●活动角：用活动角来演示扇子打开的过程。 ①把量角器的中心点与角的顶点重合， 。度量角的大小通常用量角器。 2形量角器的0刘度与角一条边重台 角的另一条边所对的量角避上的刻度，就是这个角的度敬 。内图的刻度从0°到180。 认识角 ·外图的刻度从0°到180，但方向相反。 ●读数时看角的边与哪一圈刻度线重合。 角由一条边绕着端点旋转而成， 人边 估一估，下面春角大约是多少度？ 角的组成：一个角由一个班点和再边地成 。角的大小与两边张开的 内圈射度 一边 -边 大小有关，与边的长烟无 顶点 一外刺度 特殊角 一边 p心点 角的大小： 与边的长小有美 线与角的应用 直角90° 平角180 周角360 ,在地图上找两组互相平行、互相垂直的道路。 整理与复习】 角的度量的综合应用 1.认识线的种类 3.认识两条直线的位置关系 1弃香提出出来0的角， 线段A—B 射线 垂直 先估一估，再量一量 直 2先估一估生话中的角的度故。再量一量 2。认识角的类型 4.图形的平移与平行 ,量出图中各角的大小 晚角(c90)直角(=90) 纯角>90)平角(=1801 。用三角板画出60°和120°的角。 知识梳理温故知新 知识点一线的认识 1.线段线段是直的，有两个端点，有一定的长度，不能向两端延伸。读作：线段AB(或BA)。 2.射线射线是直的，只有一个端点，可以向一个方向无限延伸。读作：射线AB（注意：端点字母必 须写在前面)。 3.直线直线是直的，没有端点，可以向两个方向无限延伸。读作：直线AB(或BA)。 4.线段、射线、直线的比较 名称图形特征端点个数 延伸情况 长度 线段直的 2个 不能延伸 有限长，可测量 射线直的 1个 向一个方向无限延伸无限长，不可测量 直线直的 0个 向两个方向无限延伸无限长，不可测量 5.两点之间线段最短在连接两点的所有连线中，线段的长度最短。线段AB的长度就是A、B两点之 第3页共18页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 间的距离。 知识点二相交与垂直 1.相交当两条直线有一个公共点时，这两条直线相交。有时候看到的只是一部分，需要延长后才能 判断是否相交。 2.垂直当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线是另一条直线的垂线，它们 的交点叫作垂足。 3.画垂线的方法可以借助三角板或折纸的方法来画垂线。用三角板画垂线时，要让三角板的一条直 角边与已知直线重合，沿着另一条直角边画线即可。 4.垂线段最短从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 知识点三平移与平行 1.平移在方格纸上平移图形时，移动前后，两条线之间的方格数一样多，方向保持一致。 2.平行在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。其中一条直线是另一条直线的平行线。 3.画平行线的方法可以借助方格纸画平行线、用纸折平行线，或者用三角板平移画平行线。用三角 板画平行线时，通常借助直尺固定三角板，然后平移三角板来画线。 4.生活中的平行线生活中有很多平行的例子，如黑板的上下边缘、斑马线、铁轨等。 知识点四旋转与角 1.角的形成角是由一个顶点和两条边组成的。扇子慢慢打开的过程，就是角通过一条边绕着顶点旋 转形成的。 2.角的分类根据角的大小，角可以分为五类： 锐角：大于0°且小于90°的角。-直角：等于90°的角。-钝角：大于90°且小于180°的角。- 平角：角的两条边在一条直线上，等于180°。 周角：一条边绕着顶点旋转一周所形成的角，等于360°。 3.各类角的关系1个周角=2个平角=4个直角。 4.生活中的角钟表上时针和分针在不同时刻会形成不同的角；门框、画框等也包含了各种角。 知识点五角的度量（一）一认识度数 1.1度的定义将圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作1度，记作1°。通常用“度” 作为角的度量单位。 2.周角、平角、直角与度的关系 第4页共18页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 1周角=360°-1平角=180°-1直角=90° 3.估测角的大小可以利用1°角作为参照，或者结合直角(90°)、平角(180°)去估一估、量一 量角的大小。 知识点六角的度量（二）一用量角器量角和画角 1.认识量角器量角器是把半圆平均分成180份，每份对应的角是1°。量角器上有中心点、零刻度线， 以及内圈刻度和外圈刻度。 2.量角的方法 重合：先将角的顶点和量角器的中心点重合，再把零刻度线与角的一条边重合。 读数：看角的另一条边所对的刻度。如果与内圈零刻度线重合，就读内圈刻度；如果与外圈零刻度线 重合，就读外圈刻度。 3.画角的方法用量角器可以画出任意度数的角。步骤与量角类似：先画一条射线，让量角器中心点 和零刻度线与射线重合，在对应度数处点一个点，最后连接顶点和这个点。 4.三角板上的角一副三角板包含两个特殊的直角三角形： 一个三角板的角分别是：30°、60°、90°。 另一个三角板的角分别是：45°、45°、90°。 5.用三角板拼角利用三角板上的角，可以通过相加或相减拼出其他度数的角。例如：60°+45°=105°， 45°-30°=15°。 知识点七单元知识梳理（综合对比表） 1.线段、射线、直线的异同 比较项目线段 射线 直线 相同点 都是直的 都是直的 都是直的 端点个数2个 1个 0个 能否延长不能 向一端无限延长 向两端无限延长 能否测量 能 不能 不能 2.各类角的特征汇总 角的名称度数范围 特征描述 锐角 0°<锐角<90° 比直角小 直角 909 刚好是90度 钝角 90°<钝角<180° 比直角大，比平角小 第5页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 角的名称度数范围 特征描述 平角 1809 两边在一条直线上 周角 360° 旋转一整圈 知识点八易错点提醒 线的读法：射线的读法有方向性，必须把端点字母写在前面（如射线AB)，而线段和直线没有方向限 制。 垂直的前提：只有当两条直线相交成直角时，才叫互相垂直。普通的交叉不能称为垂直。 量角器的读数：量角时极易看错内外圈。一定要看清是与哪一圈的零刻度线重合，就读哪一圈的刻度。 角的分类界限：直角是90°，平角是180°。钝角必须严格大于90°且小于180°，不能等于90°或 180°。 距离的概念：点到直线的距离必须是垂直线段的长度，斜线段的长度不是距离。 考点讲练真题汇总 高频考点一线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】(25-26四年级下·湖南长沙·期末)在直线1上有A、B、C三个点，以点A为一个端点的 线段有( )条。 B A.1 B.2 C.3 【变式训练】（25-26三年级下·山东德州·期末)如图中，一共有( )条线段，一共有( 个角，其中( )个锐角，( )个钝角，( )个直角。 高频考点二两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】(25-26三年级下·山东德州·期末)小英从家到电影院有3条道路可走，( )道路最 近，理由是( )。 (1) 小英家 (2 电影院 (3) 第6页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(25-26三年级上·河南郑州·期末)海海从家到学校共有三条路可以选择。 海海从家到学校走路线( )最近。（填序号） 我们可以用线段的知识解释：（ )。 海海家 ① ③ 学校 高频考点三垂直的特征 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业)如图，直线m和直线n互相平行，直线m与直线n的 距离是6分米，则下面的结论错误的是( )。 -n B A.AB=CD=6分米 B.CD⊥n C.AC=BD=6分米 D.AB II CD 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业) B (1)如图所示，测量线段AB、AD、AE、AF、AC的长度。 AB=( AD=( ) AE=( AF=( ) AC=( (2)线段AB、AD、AE、AF、AC中最短的一条线段是( )。 (3)过直线外一点向已知直线画线段，能画( )条，只有和已知直线( )的线段最短，这条线段的 长度叫作这点到直线的( )。 第7页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点四画垂线 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业)图图家有一块长方形玻璃，它被打碎了一角（如下图）。 爸爸想在这块玻璃上裁出一块最大的正方形玻璃，请你帮他想想办法，在图中画一画。 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)如图，为了方便友谊小区的居民乘坐公交车，公交车 公司拟在公路上设一个离友谊小区最近的公交站点，这个站点设在哪里最合适？请你画出来。 友谊小区 ● 公路 高频考点五点到直线的距离 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业)某汽车工厂坐落于经济技术开发区，是集研发、生产、 销售、体验于一体的智造园区。暖暖一家准备驾车去参观该汽车工厂，由于距离较远，中途需要到充电站 进行充电。请你帮助暖暖一家设计一条最短的路线，并画一画。 画可 暖暖家 ·充电站 汽车工厂 【变式训练】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)如图，游泳池中有一个小朋友在B点遇到了危险，位于 A点的救生员按照怎样的救援路线，才能最快将遇险的小朋友救上岸？请你画出救援的最短路线，并说明理 由。 ·A B· 第8页共18页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点六平行的特征及性质 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业)我国的汉字博大精深，汉字的笔画中也蕴含着数学知 识，有些汉字的笔画存在互相平行或互相垂直的位置关系。下面的汉字中，既有互相平行的笔画，又有互 相垂直的笔画的是( ）。 A.三 B.小 C.上 D.下 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)下图中，直线AB和直线CD互相平行，线段( 和线段( )一样长（填序号），线段①和线段④的位置关系为( ）。 B ① ② ③ ( D 高频考点七画平行线 【典例精讲】(2026四年级上·全国·专题练习)双杠由两根横梁和四根支架组成，下图是操场上的一组 双杠，双杠需要维修了，请你画出维修后的图，并说明这样维修的理由。 这样维修的理由： 【变式训川练】(26-27四年级上·全国·课后作业) 学校 北 ↑ 江 和平路 (1)学校在振兴路上，且振兴路与和平路平行。画出振兴路。 (2)友谊路在和平路的南边，且与和平路平行。画出友谊路。 高频考点八平角、周角的认识及特征 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业)观察手工折扇展开过程中形成的角，写出各角的名称。 么一②一2一 第9页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 角 ( )角( )角()角 ( )角 【变式训练】(26-27四年级上全国课后作业)一个周角等于( )个直角，一个平角等于( 个直角，一个周角等于( )个平角。 A.2,3,4 B.3,4,8 C.4,2,2 D.8,2,2 高频考点九角的大小比较 【典例精讲】(25-26三年级上·河北邢台·期末)下面三个角都是用一副三角尺拼成的，最大的角是 ),最小的角是( )。 【变式训练】(25-26三年级上·陕西宝鸡·期末)筷子小实验。 (1)如图，用筷子摆角，两根筷子慢慢合拢，所形成的角由钝角先变成 角，再变成角，角变得 越来越 0 (2)用三角尺比角，∠1和∠2相比，一一大。（填“∠1”“∠2”或“一样”) (3)通过上面的操作可以发现，角的大小和边的长短，与两边张开的大小。（填“有关”或“无 关”) 高频考点十用量角器画角 【典例精讲】(2026四年级上·辽宁·专题练习)(1)量一量：∠1=( )°。 (2)过点A作射线OA的垂线。 (3)过点B作射线OA的平行线。 B 第10页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(26-27四年级上·全国·单元测试)李叔叔是个台球爱好者，他发现当台球撞向桌边时就 会向另一个方向弹走，如下图所示。 3y4 (1)量出上面角的度数，∠1=( )°，∠2=( )°，∠3=( )°，∠4=( )°。 通过量角的度数，你发现了什么？ (2)请运用发现的特点补全下面台球的运动路线图，并标出角度。 高频考点十二用三角尺画角 【典例精讲】(25-26三年级下·山东威海·期末)用一副三角板可以画出30°、45°、75°、20°等任 意度数的角。( )(判断对错) 【变式训练】(25-26三年级下·江苏南京·期末)下面的角各是多少度？填一填。 12 3 120° 65 )9 )c ∠1=( ) 高频考点十三角度的计算 【典例精讲】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)将一个平角分成两个角，这两个角相差30°，则它们 分别是( )°和( )°。 【变式训练】(26-27四年级上·辽宁·单元测试)如图，下面线段表示角的度数0°~180°，∠1表示30°， ∠2表示( ∠1 ∠2 A.120° B.135° C.150° D.160° 第11页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 难点突破奥数拓展 奥数拓展一线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】(23-24四年级上·浙江杭州·期末)如果一条直线上有n个端点，就有( )条线 段，就有( )条射线。（借助下面的图画一画） 【变式训练】数一数下面的图形。 十十( )条线段 )个长方形 奥数拓展二画垂线 【典例精讲】(25-26六年级·全国·随堂练习)A,B是等腰三角形的两个顶点，三角形还有一个顶点C 在直线DE上，符合要求的三角形共有( )个，请找出点C,并画出对应的三角形。 A →B D E 【变式训练】(24-25六年级下·安徽准南·期末)如图1，有两条射线从一个点延伸而出。 线段1 线段2 图1 图2 (1)两条射线所夹的夹角度数为 (精确到1°，下同)； (2)如果有一条直线过这个点，并且与一条射线垂直，请你在图中画出两条这样的线。如图2，有两条直 线交于一个点，已知旋转速度是3°每秒。 (3)两条直线所夹的角度为 第12页共18页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 (4)如果将两条直线中的一条沿着交点进行旋转，使它们相互垂直，请你求旋转方案（写出两种不同的方 案)； (5)当线段2以交点为旋转中心开始顺时针旋转时，直接写出当夹角为20时的时间（只旋转一周)。 奥数拓展三平行的特征及性质 【典例精讲】(24-25四年级上·甘肃兰州·期末)按要求作图。 下图中，αb,请利用这组平行线画一个等腰梯形，并标出梯形各部分的名称，再画出它的一条高。（方 法提示：①可以先画出等腰梯形的对称轴；②也可以用其他你喜欢的方法。) 6 【变式训练】(24-25六年级下·浙江杭州·期末)如图，已知直线a∥b,直线AB与a、b相交，直线AC 分别与a、b互相垂直。你能用上“因为…所以…”，有理有据地说明∠1=∠2吗？ D人1dE B 奥数拓展四角的度量 【典例精讲】在钟面上，下列整时中，( )时整分针与时针成直角。 A.3 B.6 C.8 D.12 【变式训练】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)下面每组时间中，钟面上时针和分针所形成的角的度 数不同的是( ）。 A.9:00和3：00B.3:30和8：30C.11:30和2：30D.10:30和1：30 奥数拓展六角度的计算 【典例精讲】(25-26三年级下·江苏淮安·期末)看图列式计算。 下图中，∠1=30°，求∠2的度数。 第13页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26四年级下·湖北随州·期末)三个正方形的位置如图，∠1的度数是()°。 2h3 4530° 昌优选真题 实战演练 【基础通关】 1.(25-26三年级下·安徽芜湖·期末)如图是由一个长方形和一个正方形拼成的，则∠1( )∠2。 A.大于 B.小于 C.等于 2.(26-27四年级上·辽宁·课后作业)下列说法正确的有( )个。 ①两个锐角的和一定比平角小。 ②用图中的线段表示角的度数，则∠1是锐角。 ③把一张正方形纸连续对折两次，展开后折痕一定互相垂直。 ④在同一平面内，两条直线如果不相交就一定平行。 0°∠1 360 A.1 B.2 C.3 D.4 3.(26-27四年级上·辽宁·单元测试)下面各角中，不能用一副三角尺画出来的是( ）。 A.20° B.1209 C.105 D.15° 4.(26-27四年级上·辽宁·课后作业)下列方法中，能够测量出角的度数的是( )。(填序号) 第14页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 1 ③ ④ 5.(26-27四年级上·辽宁·课后作业)放风筝比赛。假如选手们把风筝线放得一样长。 轩轩军军 (1)量一量，轩轩的风筝线与地面的夹角是( ),军军的风筝线与地面的夹角是( (2)我发现：在一定范围内，风筝线与地面的夹角度数越( ),风筝飞得越高。 (3)如果亮亮的风筝线与地面的夹角为35°，那么他们三人相比，（ )的风筝飞得最高，( )的风 筝飞得最低。（填“轩轩”“军军”或“亮亮”） 6.(26-27四年级上·全国·单元测试)小胖在黑板上画了三条直线，其中直线a平行于直线b,直线b 垂直于直线c。小胖判断：直线a一定和直线c互相垂直。( ）(判断对错) 7.(26-27四年级上·辽宁·课后作业)如图，∠1与∠2的和是115°，求∠3的度数。 2 3 8.(26-27四年级上·全国·课后作业)在下面的图中，你能找到几个直角？几个锐角？几个钝角？ 1 (2) 9.(26-27四年级上·辽宁·课后作业)小东家的梯子少了一根梯梁，哥哥用一根木头把梯子修整了一下， 第15页共18页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 如下图。(AB为新钉上去的梯梁) 梯梁、 (1)原来的梯子中AB和CD应该是什么位置关系？( A.互相平行 B.相交 C.互相垂直 D.无法确定 (2)图中这个梯子中AB和CD所在的直线是这样的位置关系吗？请画图验证，并叙述结论。 10.(26-27四年级上·辽宁·课后作业)按要求画一画，填一填。（每个小方格的边长表示1厘米) (1)过点O,分别画出直线AB、AC的平行线。 (2)画出与直线DE互相平行且相距2厘米的直线，能画出( )条。 【能力提升】 1.一个平行四边形（长方形除外）相邻两边的长度分别是6厘米、4厘米，那么6厘米这条边上的高可能 是( )厘米。 A.6 B.5 C.4 D.3 2.把一张长方形的纸对折三次，折痕间的关系是( )。 A.互相平行 B.互相垂直 C.可能互相平行，也可能互相垂直 3.如下图，∠1=( )°，直线a与直线d互相( ),直线c与直线d互相( ）。 a 65。 4.一张长方形纸如图那样折起，已知∠1=30°，那么∠2=()°。 第16页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 5.(25-26四年级上·河北邢台·期末)浩浩、文文、奇奇和笑笑一起玩“抢板凳”游戏，他们的位置如 下图。 浩浩 奇奇 笑笑 (1)( )最有可能抢到板凳。 (2)最有可能抢到板凳的原因是什么？请说明理由。 6.(25-26四年级上·河南濮阳·期末)分水村要从村办公室修一条公路到大件路上，请你帮忙设计，怎 样设计路线最节约？ ·村办公室 大件路 7.如图，经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点 中的每两个点最多可以画6条直线，那么5个、6个点呢？ 第17页共18页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 8.数出下图中共有多少条线段？ 9.如图 B (1)过点A画直线的垂线。 (2)量出点A到已知直线的距离为( (3)以点B为顶点，引出一条射线，与己知直线相交成80°的角。 第18页共18页2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 第二单元 线与角『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+13个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共57题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 线的认识 3 知识点二 相交与垂直 4 知识点三 平移与平行 4 知识点四 旋转与角 4 知识点五 角的度量（一）—— 认识度数 4 知识点六 角的度量（二）—— 用量角器量角和画角 5 知识点七 单元知识梳理（综合对比表） 5 知识点八 易错点提醒 6 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 线段、直线、射线的认识及特征 6 高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离 7 高频考点三 垂直的特征 7 高频考点四 画垂线 9 高频考点五 点到直线的距离 10 高频考点六 平行的特征及性质 11 高频考点七 画平行线 12 高频考点八 平角、周角的认识及特征 14 高频考点九 角的大小比较 14 高频考点十 用量角器画角 16 高频考点十二 用三角尺画角 17 高频考点十三 角度的计算 19 难点突破 奥数拓展 19 奥数拓展一 线段、直线、射线的认识及特征 19 奥数拓展二 画垂线 21 奥数拓展三 平行的特征及性质 23 奥数拓展四 角的度量 24 奥数拓展六 角度的计算 25 优选真题 实战演练 26 【基础通关】 26 【能力提升】 32 知识点一 线的认识 1. 线段 线段是直的，有两个端点，有一定的长度，不能向两端延伸。读作：线段AB（或BA）。 2. 射线 射线是直的，只有一个端点，可以向一个方向无限延伸。读作：射线AB（注意：端点字母必须写在前面）。 3. 直线 直线是直的，没有端点，可以向两个方向无限延伸。读作：直线AB（或BA）。 4. 线段、射线、直线的比较 名称 图形特征 端点个数 延伸情况 长度 线段 直的 2个 不能延伸 有限长，可测量 射线 直的 1个 向一个方向无限延伸 无限长，不可测量 直线 直的 0个 向两个方向无限延伸 无限长，不可测量 5. 两点之间线段最短 在连接两点的所有连线中，线段的长度最短。线段AB的长度就是A、B两点之间的距离。 知识点二 相交与垂直 1. 相交 当两条直线有一个公共点时，这两条直线相交。有时候看到的只是一部分，需要延长后才能判断是否相交。 2. 垂直 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 3. 画垂线的方法 可以借助三角板或折纸的方法来画垂线。用三角板画垂线时，要让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着另一条直角边画线即可。 4. 垂线段最短 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 知识点三 平移与平行 1. 平移 在方格纸上平移图形时，移动前后，两条线之间的方格数一样多，方向保持一致。 2. 平行 在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。其中一条直线是另一条直线的平行线。 3. 画平行线的方法 可以借助方格纸画平行线、用纸折平行线，或者用三角板平移画平行线。用三角板画平行线时，通常借助直尺固定三角板，然后平移三角板来画线。 4. 生活中的平行线 生活中有很多平行的例子，如黑板的上下边缘、斑马线、铁轨等。 知识点四 旋转与角 1. 角的形成 角是由一个顶点和两条边组成的。扇子慢慢打开的过程，就是角通过一条边绕着顶点旋转形成的。 2. 角的分类 根据角的大小，角可以分为五类： 锐角：大于0°且小于90°的角。 - 直角：等于90°的角。 - 钝角：大于90°且小于180°的角。 - 平角：角的两条边在一条直线上，等于180°。 周角：一条边绕着顶点旋转一周所形成的角，等于360°。 3. 各类角的关系 1个周角 = 2个平角 = 4个直角。 4. 生活中的角 钟表上时针和分针在不同时刻会形成不同的角；门框、画框等也包含了各种角。 知识点五 角的度量（一）—— 认识度数 1. 1度的定义 将圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作1度，记作1°。通常用“度”作为角的度量单位。 2. 周角、平角、直角与度的关系 1周角 = 360° - 1平角 = 180° - 1直角 = 90° 3. 估测角的大小 可以利用1°角作为参照，或者结合直角（90°）、平角（180°）去估一估、量一量角的大小。 知识点六 角的度量（二）—— 用量角器量角和画角 1. 认识量角器 量角器是把半圆平均分成180份，每份对应的角是1°。量角器上有中心点、零刻度线，以及内圈刻度和外圈刻度。 2. 量角的方法 重合：先将角的顶点和量角器的中心点重合，再把零刻度线与角的一条边重合。 读数：看角的另一条边所对的刻度。如果与内圈零刻度线重合，就读内圈刻度；如果与外圈零刻度线重合，就读外圈刻度。 3. 画角的方法 用量角器可以画出任意度数的角。步骤与量角类似：先画一条射线，让量角器中心点和零刻度线与射线重合，在对应度数处点一个点，最后连接顶点和这个点。 4. 三角板上的角 一副三角板包含两个特殊的直角三角形： 一个三角板的角分别是：30°、60°、90°。 另一个三角板的角分别是：45°、45°、90°。 5. 用三角板拼角 利用三角板上的角，可以通过相加或相减拼出其他度数的角。例如：60°+45°=105°，45°-30°=15°。 知识点七 单元知识梳理（综合对比表） 1. 线段、射线、直线的异同 比较项目 线段 射线 直线 相同点 都是直的 都是直的 都是直的 端点个数 2个 1个 0个 能否延长 不能 向一端无限延长 向两端无限延长 能否测量 能 不能 不能 2. 各类角的特征汇总 角的名称 度数范围 特征描述 锐角 0° < 锐角 < 90° 比直角小 直角 90° 刚好是90度 钝角 90° < 钝角 < 180° 比直角大，比平角小 平角 180° 两边在一条直线上 周角 360° 旋转一整圈 知识点八 易错点提醒 线的读法：射线的读法有方向性，必须把端点字母写在前面（如射线AB），而线段和直线没有方向限制。 垂直的前提：只有当两条直线相交成直角时，才叫互相垂直。普通的交叉不能称为垂直。 量角器的读数：量角时极易看错内外圈。一定要看清是与哪一圈的零刻度线重合，就读哪一圈的刻度。 角的分类界限：直角是90°，平角是180°。钝角必须严格大于90°且小于180°，不能等于90°或180°。 距离的概念：点到直线的距离必须是垂直线段的长度，斜线段的长度不是距离。 高频考点一 线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】（25-26三年级下·山东德州·期末）如图中，一共有( )条线段，一共有( )个角，其中( )个锐角，( )个钝角，( )个直角。 【答案】 5 8 5 2 1 【思路引导】线段有两个端点有固定长度，据此数出线段的个数即可；由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，据此数出角的个数即可；直角等于90°，锐角小于90°，钝角大于90°且小于180°，据此找出各种角的个数即可。 【规范解答】一共有5条线段，一共有8个角，其中5个锐角，2个钝角，1个直角。 【变式训练】（25-26四年级下·湖南长沙·期末）在直线l上有A、B、C三个点，以点A为一个端点的线段有（    ）条。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路引导】线段的两端都有端点，不可延长，两个端点间的线条是直的。 【规范解答】在直线l上有A、B、C三个点，以点A为一个端点的线段有AB、AC，共2条。 高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】（25-26三年级下·山东德州·期末）小英从家到电影院有3条道路可走，( )道路最近，理由是( )。 【答案】 （2） 两点之间线段最短 【思路引导】连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间线段最短。据此解答即可。 【规范解答】小英从家到电影院有3条道路可走，（2）道路最近，理由是两点之间线段最短。 【变式训练】（25-26三年级上·河南郑州·期末）海海从家到学校共有三条路可以选择。 海海从家到学校走路线( )最近。（填序号） 我们可以用线段的知识解释：( )。 【答案】 ② 两点之间的所有连线中，线段最短 【思路引导】三条路线里，路线②是直接连接海海家与学校的线段，根据线段的性质，两点之间的所有连线中，线段最短，因此走路线②最近。 【规范解答】海海从家到学校走路线②最近。 我们可以用线段的知识解释：两点之间的所有连线中，线段最短。 高频考点三 垂直的特征 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）如图，直线m和直线n互相平行，直线m与直线n的距离是6分米，则下面的结论错误的是（    ）。 A．分米 B． C．分米 D． 【答案】C 【思路引导】平行线间距离性质：两条平行线间所有垂线段长度相等，垂线段长度就是平行线间的距离。长方形特征：对边互相平行、对边长度相等。垂直定义：一条直线与另一条直线相交成直角，两条直线互相垂直。 【规范解答】A．AB、CD是垂线段，AB＝CD＝6分米，正确； B．图中有直角标记，，正确； C．AC、BD是水平方向线段，不是垂线段，长度不等于6分米，错误； D．AB、CD同时垂直于平行线，，正确。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业） (1)如图所示，测量线段AB、AD、AE、AF、AC的长度。 AB＝( ) AD＝( ) AE＝( ) AF＝( )   AC＝( ) (2)线段AB、AD、AE、AF、AC中最短的一条线段是( )。 (3)过直线外一点向已知直线画线段，能画( )条，只有和已知直线( )的线段最短，这条线段的长度叫作这点到直线的( )。 【答案】(1) 5厘米 3厘米5毫米 3厘米 2厘米3毫米 3厘米 (2)AF (3) 无数 垂直 距离 【思路引导】（1）将直尺的零点刻度与线段的一端对齐，然后观察直尺上的刻度，找到与线段另一端对齐的刻度数值，读数即可。 （2）根据几何规律：点到直线的所有连线中，垂线段最短，图中AF垂直于直线BC，因此AF最短。 （3）过直线外一点向已知直线可以画无数条线段，只有和已知直线垂直的线段最短，这条垂线段的长度就叫做这点到直线的距离。 【规范解答】（1）测量线段AB、AD、AE、AF、AC的长度。 AB＝5厘米 AD＝3厘米5毫米 AE＝3厘米 AF＝2厘米3毫米 AC＝3厘米 （具体以实际测量为准） （2）线段AB、AD、AE、AF、AC中最短的一条线段是AF。 （3）过直线外一点向已知直线画线段，能画无数条，只有和已知直线垂直的线段最短，这条线段的长度叫作这点到直线的距离。 高频考点四 画垂线 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）图图家有一块长方形玻璃，它被打碎了一角（如下图）。爸爸想在这块玻璃上裁出一块最大的正方形玻璃，请你帮他想想办法，在图中画一画。 【答案】 【思路引导】这块原本的完整长方形玻璃，左侧、下侧的边都是完整的直边，我们以玻璃完整的左侧竖边的长度作为正方形的边长：从玻璃左下角出发，沿着完整的底边向右量出和左侧竖边长度相等的距离，在这个位置向上画一条垂直于底边的竖直线，最后从这条竖线的上端向左画一条垂直于左侧边的水平线，就是能裁出的最大正方形。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）如图，为了方便友谊小区的居民乘坐公交车，公交车公司拟在公路上设一个离友谊小区最近的公交站点，这个站点设在哪里最合适？请你画出来。 【答案】点到直线的所有连线中，垂线段最短，要找离友谊小区最近的站点，只需要找友谊小区到公路的垂线段的垂足； 【思路引导】点到直线的所有连线中，垂线段最短，要找离友谊小区最近的站点，只需要找友谊小区到公路的垂线段的垂足即可。把三角尺的一条直角边与图中公路的边线重合，平移三角尺，让三角尺的另一条直角边恰好经过图中代表友谊小区的黑点； 沿着这条直角边，从黑点向公路画垂线，垂线和公路的交点（垂足）就是最合适的公交站点。 【规范解答】点到直线的所有连线中，垂线段最短，要找离友谊小区最近的站点，只需要找友谊小区到公路的垂线段的垂足。 图略 高频考点五 点到直线的距离 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）某汽车工厂坐落于经济技术开发区，是集研发、生产、销售、体验于一体的智造园区。暖暖一家准备驾车去参观该汽车工厂，由于距离较远，中途需要到充电站进行充电。请你帮助暖暖一家设计一条最短的路线，并画一画。 【答案】 【思路引导】根据“两点之间线段最短”，直接连接暖暖家这一点和充电站这一点，这样画出的线段最短。根据“点到直线间垂线段最短”，从充电站这一点向汽车工厂靠近充电站的一边作垂线，这样设计的路线最短。 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）如图，游泳池中有一个小朋友在点遇到了危险，位于点的救生员按照怎样的救援路线，才能最快将遇险的小朋友救上岸？请你画出救援的最短路线，并说明理由。 【答案】 理由：因为两点之间所有连线中线段最短；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。 【思路引导】两点之间，线段最短，先在A点和B点之间连一条线段；从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短，再过点B作一条到岸上的垂线；据此作图。 【规范解答】作图略； 理由：因为两点之间所有连线中线段最短；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。 高频考点六 平行的特征及性质 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）我国的汉字博大精深，汉字的笔画中也蕴含着数学知识，有些汉字的笔画存在互相平行或互相垂直的位置关系。下面的汉字中，既有互相平行的笔画，又有互相垂直的笔画的是（    ）。 A．三 B．小 C．上 D．下 【答案】C 【思路引导】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。逐个分析汉字笔画的位置关系即可。 【规范解答】A．“三”的三个横互相平行，没有相交成直角的笔画，只有平行没有垂直，不符合要求。 B．“小”的笔画间既没有互相平行的，也没有互相垂直的，不符合要求。 C．“上”的两个横互相平行，竖和两个横都互相垂直，既有平行又有垂直，符合要求。 D．“下”的横和竖互相垂直，只有1个横，没有互相平行的笔画，不符合要求。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）下图中，直线AB和直线CD互相平行，线段( )和线段( )一样长（填序号），线段①和线段④的位置关系为( )。 【答案】 ① ④ 互相平行 【思路引导】因为直线AB和CD互相平行，线段①、④都是垂直于两条平行线的垂线段。两条平行线之间的所有垂线段长度都相等，所以①和④长度一样。线段①和线段④都同时垂直于互相平行的AB、CD两条直线，两条垂直于同一条直线的线段，位置关系是互相平行。 【规范解答】线段①和线段④一样长，线段①和线段④的位置关系为互相平行。 高频考点七 画平行线 【典例精讲】（2026四年级上·全国·专题练习）双杠由两根横梁和四根支架组成，下图是操场上的一组双杠，双杠需要维修了，请你画出维修后的图，并说明这样维修的理由。      这样维修的理由： 【答案】 双杠的横梁和支架应该分别互相平行。 【思路引导】生活中双杠的4根支柱应该是互相平行的，借助三角尺，通过平移发现序号②这根支柱与其他3根不是互相平行的，所以这根支柱需要维修成与其他支柱互相平行的状态，这样保障横梁水平，使用安全。 【规范解答】 维修后如图： 理由：调整后四根支架互相平行、两根横梁互相平行，符合双杠的结构标准，可保障横梁水平，使用安全。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业） (1)学校在振兴路上，且振兴路与和平路平行。画出振兴路。 (2)友谊路在和平路的南边，且与和平路平行。画出友谊路。 【答案】(1) (2) 【思路引导】方向规则：图中向上为北，因此向下为南，和平路是已知水平直线，和它平行的路线都是水平直线。 （1）画振兴路：用小学平移法画平行线：将三角板的一条直角边对齐和平路，直尺靠紧三角板另一条直角边，把三角板平移到和平路的上方经过图中学校的点位，沿直角边画出水平直线，标注“振兴路”，就是符合要求的振兴路。 （2）画友谊路： “和平路的南边”就是和平路的下方，同样用上面的平移法，在和平路下方画出一条平行于和平路的水平直线，标注“友谊路”即可。 【规范解答】（1）略 （2）略 高频考点八 平角、周角的认识及特征 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）观察手工折扇展开过程中形成的角，写出各角的名称。 ( )角  ( )角  ( )角  ( )角  ( )角 【答案】 锐 直 钝 平 周 【思路引导】大于0度小于90度的角为锐角，直角为90度，大于90度小于180度的角为钝角，平角为180度，周角为360度。 【规范解答】扇子打开的过程中，角度不断增大，旋转一周刚好为一个周角；所以图中依次为锐角、直角、钝角、平角、周角。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）一个周角等于（    ）个直角，一个平角等于（    ）个直角，一个周角等于（    ）个平角。 A．2，3，4 B．3，4，8 C．4，2，2 D．8，2，2 【答案】C 【思路引导】周角等于360°，平角等于180°，直角等于90°，用360°÷90°，即可求出一个周角等于几个直角，用180°÷90°，即可求出一个平角等于几个直角，用360°÷180°，即可求出一个周角等于几个平角，据此解答即可。 【规范解答】360°÷90°＝4（个） 180°÷90°＝2（个） 360°÷180°＝2（个） 一个周角等于4个直角，一个平角等于2个直角，一个周角等于2个平角。 高频考点九 角的大小比较 【典例精讲】（25-26三年级上·河北邢台·期末）下面三个角都是用一副三角尺拼成的，最大的角是( )，最小的角是( )。 【答案】 ∠3 ∠2 【思路引导】一副三角尺分为直角三角尺和等腰直角三角尺。直角三角尺的角的度数分别是30°、60°、90°，等腰直角三角尺的度数是45°、90°、45°，结合图示拼组，计算出拼成角的度数，最后比较角的大小，求出最大和最小的角即可。 【规范解答】图一，由等腰直角三角尺的45°角和直角三角尺的60°角拼成，度数为45°＋60°＝105°； 图二，由等腰直角三角尺的45°角和直角三角尺的30°角拼成，度数为45°＋30°＝75°； 图三，由等腰直角三角尺的45°角和直角三角尺的90°角拼成，度数为45°＋90°＝135°。 135°＞105°＞75°，所以∠3＞∠1＞∠2 三个角都是用一副三角尺拼成的，最大的角是∠3，最小的角是∠2。 【变式训练】（25-26三年级上·陕西宝鸡·期末）筷子小实验。 (1)如图，用筷子摆角，两根筷子慢慢合拢，所形成的角由钝角先变成______角，再变成______角，角变得越来越______。 (2)用三角尺比角，和相比，______大。（填“”“”或“一样”） (3)通过上面的操作可以发现，角的大小和边的长短______，与两边张开的大小______。（填“有关”或“无关”） 【答案】(1) 直 锐 小 (2)一样 (3) 无关 有关 【思路引导】（）筷子合拢的过程中，两个筷脚的张口越来越小，从钝角变成直角再变成锐角，所以说两根筷子形成的角也越来越小．筷子合拢的过程中，两条边的长短不变。 （）两个直角三角板的和，虽然三角板大小不一样，但两个角的大小一样．可以找两个大小不同的这样的三角板重合比一比。 （）由此可知，角的大小与两条边的长短无关，只与两条边张开的大小有关．张开的越大，角就越大；张开的越小，角就越小。 【规范解答】（1）用筷子摆角，两根筷子慢慢合拢，所形成的角由钝角先变成直角，再变成锐角，角变得越来越小。 （2）用三角尺比角，和相比，一样大。 （3）通过上面的操作可以发现，角的大小和边的长短无关，与两边张开的大小有关。 高频考点十 用量角器画角 【典例精讲】（2026四年级上·辽宁·专题练习）（1）量一量：∠1＝（    ）°。 （2）过点作射线的垂线。 （3）过点作射线的平行线。 【答案】（1）120     （2） （3） 【思路引导】（1）用量角器测量角的方法：测量角时，用量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐，都对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度。如果用量角器测量角的度数时，角的两条边都不与量角器的0刻度线对齐时，用角的两条边中对应的刻度数大的度数减去刻度数小的度数，就是被测量的角的度数。 （2）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知直线的垂线。 （3）过直线外一点画已知直线的平行线画法：固定三角尺，把三角尺的一条直角边与已知直线重叠；用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使三角尺的直角边过这点；再沿和已知直线重叠的直角边画出已知直线的平行线。 【规范解答】（1）用量角器量得∠1＝120°。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·单元测试）李叔叔是个台球爱好者，他发现当台球撞向桌边时就会向另一个方向弹走，如下图所示。 (1)量出上面角的度数，∠1＝（    ）°，∠2＝（    ）°，∠3＝（    ）°，∠4＝（    ）°。通过量角的度数，你发现了什么？ (2)请运用发现的特点补全下面台球的运动路线图，并标出角度。 【答案】(1)30；30；70；70； 台球撞向桌边时与桌边形成的角度和向另一个方向弹走时与桌边形成的角度一样大。（答案合理即可） (2) 【思路引导】（）根据量角的方法：量角器的中心点和你要量的那个角的顶点重合；量角器上的0刻度线和你要量的角的任意一条边重合，要是不能重合，可以通过旋转量角器，达到一条边和0刻度线重合；读准数（读数之前要看看角的另外一条边对应的是外圈的数还是对应的内圈的数）；然后发现台球撞向桌边时与桌边形成的角度和向另一个方向弹走时与桌边形成的角度一样大。（答案合理即可） （）先量出图中的角，再以桌面为要画的角的一边，画一个同等大小的角即可。 把量角器的中心和射线的顶点重合； 量角器的刻度线和这条射线重合。 找点标记 看好刻度在内圈还是外圈，在量角器对应度数的刻度线上点一个小点。 连线标度数 从顶点出发，经过刚才标记的点，画出另一条射线，并标上度数。 【规范解答】（1）量出上面角的度数，∠1＝°，∠2＝°，∠3＝°，∠4＝°。 答：台球撞向桌边时与桌边形成的角度和向另一个方向弹走时与桌边形成的角度一样大。（答案合理即可） （2）画图略 高频考点十二 用三角尺画角 【典例精讲】（25-26三年级下·山东威海·期末）用一副三角板可以画出30°、45°、75°、20°等任意度数的角。( )（判断对错） 【答案】 × 【思路引导】一副三角尺包含两个三角形，一个三角形的三个角分别是 30°、60°、90°，另一个三角形的三个角分别是 45°、45°、90°，通过角的和或差可以画出其他度数的角，分别计算验证即可。 【规范解答】根据分析可知： 可以画出 30°和45°的角，不可以画出 20°的角； 画出 75°的角：； 所以不可以画出 20°的角，且三角板不能画出任意度数的角。原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练】（25-26三年级下·江苏南京·期末）下面的角各是多少度？填一填。 ( )°     ( )°      ( )°   ( )° 【答案】 50 150 135 60 【思路引导】量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数； 钟面一共分为12大格，每大格的度数是30°，此时钟面上时针和分针相差5大格，用30°×5即可求出这个角的度数； 一副三角板分别有30°、60°、45°和90°的角，该角由45°和90°的角拼成，相加即可求出这个角的度数； ∠1和120°的角组成平角，平角等于180°，用180°－120°即可求出∠1的度数。 【规范解答】30°×5＝150° 45°＋90°＝135° ∠1＝180°－120°＝60° 高频考点十三 角度的计算 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）将一个平角分成两个角，这两个角相差30°，则它们分别是( )°和( )°。 【答案】 105 75 【思路引导】平角的度数为180°，因此分成的两个角的度数和是180°。已知两个角的度数差为30°，根据和差问题的计算规则，较大角的度数＝（两角和＋两角差）÷2。 【规范解答】（180°＋30°）÷2 ＝210°÷2 ＝105° 180°－105°＝75° 将一个平角分成两个角，这两个角相差30°，则它们分别是105°和75°。 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·单元测试）如图，下面线段表示角的度数0°~180°，∠1表示30°，∠2表示（    ）。 A．120° B．135° C．150° D．160° 【答案】D 【思路引导】图中线段表示角的度数0°~180°，线段被平均分成6份，表示其中的1份，是30°，点落在第6份中的处，相当于把30°平均分成3份，其中的1份是10°。等于5份加10°。 【规范解答】， 奥数拓展一 线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】（23-24四年级上·浙江杭州·期末）如果一条直线上有n个端点，就有（    ）条线段，就有（    ）条射线。（借助下面的图画一画） 【答案】n（n－1）÷2；2n 【思路引导】一条直线上有2个端点时，有1条线段，（2×2）条射线；一条直线上有3个端点时，有（1＋2）条线段，（2×3）条射线；一条直线上有4个端点时，有（1＋2＋3）条线段，（2×4）条射线……当有n个端点时，线段的条数就是（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋3＋2＋1，射线的条数就是用端点个数乘2。据此解答即可。 【规范解答】（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋3＋2＋1把第一个式子和最后一个数相加得到n，第二个式子和倒数第二个数相加得到n，依次类推一共有（n－1）÷2个n，即n（n－1）÷2；射线的条数用端点个数乘2，即2n。即如果一条直线上有n个端点，就有（n（n－1）÷2）条线段，就有（2n）条射线。 数线段的条数画图略。 【考点剖析】能够明白线段的个数是用端点的个数减去1后的数一直加到1的和，射线的个数是用端点个数乘2是解决本题关键。 【变式训练】数一数下面的图形。 ( )条线段 ( )个长方形 【答案】 10 36 【思路引导】数线段条数，可以先数单独的，再进行组合，相加得到总数； 数长方形，可以先数单独的长方形，再数两个组成的长方形，再依次输出三个、四个、六个、九个组成的，最后求和即可。 【规范解答】（条） 单独的长方形：9个； 两个组成的长方形：12个； 三个组成的长方形：6个； 四个组成的长方形：4个； 六个组成的长方形：4个； 九个组成的长方形：1个； 9＋12＋6＋4＋4＋1＝36（个） 共有10条线段，36个长方形。 【考点剖析】本题考查的是几何计数问题，第2问数长方形的个数，也可以先数第一、二行的个数，再进行组合。 奥数拓展二 画垂线 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）A，B是等腰三角形的两个顶点，三角形还有一个顶点C在直线DE上，符合要求的三角形共有（    ）个，请找出点C，并画出对应的三角形。 【答案】3；图见详解。 【思路引导】线段AB绕B点旋转，当A点落在直线DE上即等腰三角形第三个顶点C1， 线段AB绕A点旋转，当B点落在直线DE上即等腰三角形第三个顶点C3， 找到线段AB的中点，然后过中点作线段AB的垂线和直线DE相交，交点即等腰三角形第三个顶点C2。 【规范解答】A，B是等腰三角形的两个顶点，三角形还有一个顶点C在直线DE上，符合要求的三角形共有3个。 【考点剖析】线段AB可以作为腰画两个等腰三角形，线段AB可以作为底画一个等腰三角形。 【变式训练】（24-25六年级下·安徽淮南·期末）如图1，有两条射线从一个点延伸而出。 （1）两条射线所夹的夹角度数为___________（精确到，下同）； （2）如果有一条直线过这个点，并且与一条射线垂直，请你在图中画出两条这样的线。如图2，有两条直线交于一个点，已知旋转速度是每秒。 （3）两条直线所夹的角度为___________、___________； （4）如果将两条直线中的一条沿着交点进行旋转，使它们相互垂直，请你求旋转方案（写出两种不同的方案）； （5）当线段2以交点为旋转中心开始顺时针旋转时，直接写出当夹角为时的时间（只旋转一周）。 【答案】（1）45°；（2）；（3）80°；100°；（4）线段1顺时针旋转10°；线段2逆时针旋转10°；（5）20秒，秒 【思路引导】（1）要知道两条射线的夹角度数，需要用量角器测量。把量角器的中心与射线的端点重合，0°刻度线与其中一条射线重合，另一条射线所对的量角器刻度就是夹角的度数。 （2）垂直的定义是两条直线相交成直角（90°）。借助三角板来画，将三角板的一条直角边与已知射线重合，使三角板的直角顶点与射线端点（两条射线的公共端点）重合，沿着另一条直角边过该点画直线，就得到与这条射线垂直的直线，要画两条，分别与两条射线垂直（或不同方向与同一条射线垂直，按题意合理画）。 （3）两条直线相交会形成对顶角和邻补角，对顶角相等，邻补角的和是180°。用量角器测量图2中两条直线相交形成的角，先测一个角，再根据对顶角、邻补角的关系得到其他角的度数。 （4）两条直线相互垂直时夹角是90°。要让两条直线垂直，需要计算出其中一条直线需要旋转的角度，旋转方向可以是顺时针或逆时针，根据图2中两条直线初始夹角来确定旋转角度。 （5）线段2顺时针旋转，初始有一个与线段1的夹角，旋转过程中夹角会变化。要分两种情况：一种是夹角从初始值变小到20°；另一种是夹角从初始值变大（超过180°后看小角度）到20°，根据旋转角度和速度（3°每秒）来算时间，时间＝旋转角度÷旋转速度。 【规范解答】（1）量角器测量角度为45°。 两条射线所夹的夹角度数为45°。 （2）画图略； （3）量角器测量角度为80°和100°。 两条直线所夹的角度为80°、100°。 （4）因为线段1和线段2所夹的角度为80°、100°。 90－80＝10° 100－90＝10° 答：线段1顺时针旋转10°得到90°或线段2逆时针旋转10°到90°。 （5）线段2顺时针旋转一周内，夹角为20°时，旋转角度应为60°和100°。 60÷3＝20（秒） 100÷3＝（秒） 答：当线段2以交点为旋转中心开始顺时针旋转时，当夹角为时所需的时间是20秒，秒。 【考点剖析】这道题围绕角的度量、垂直特征、旋转计算展开，核心是用“工具操作（量角器、三角板）＋逻辑推理（角度关系）”解决问题，抓住“量角工具用准、垂直是90°、相交角的关系、旋转算角度差”，这些关键点。 奥数拓展三 平行的特征及性质 【典例精讲】（24-25四年级上·甘肃兰州·期末）按要求作图。 下图中，，请利用这组平行线画一个等腰梯形，并标出梯形各部分的名称，再画出它的一条高。（方法提示：①可以先画出等腰梯形的对称轴；②也可以用其他你喜欢的方法。） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】等腰梯形的两条腰相等，一组对边平行，等腰梯形是轴对称图形；平行和垂直的性质：同一平面内，两条直线分别垂直于第三条直线，那么两条直线一定互相平行；据此画一条直线c，使a⊥c，b⊥c，垂足分别是点A、B；在直线a上找两个点C、D，点C、D分别位于直线c的两边且CA＝DA；在直线b上找两个点E、F，点E、F分别位于直线c的两边且EB＝FB，再顺次连接点C、E和D、F，可得等腰梯形CEDF，直线c就是等腰梯形CEDF的对称轴（用虚线表示）；从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，据此画这个等腰梯形的高。 【规范解答】画一个等腰梯形CEFD，并标出梯形各部分的名称，再画出它的一条高CG，画图略。 【变式训练】（24-25六年级下·浙江杭州·期末）如图，已知直线，直线AB与a、b相交，直线AC分别与a、b互相垂直。你能用上“因为……所以……”，有理有据地说明吗？ 【答案】见解析 【规范解答】因为直线AC分别与a、b互相垂直，所以，。 在三角形ADE中， 因为，所以， 即。 在三角形ABC中，， 所以，即。 所以 奥数拓展四 角的度量 【典例精讲】在钟面上，下列整时中，（    ）时整分针与时针成直角。 A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【思路引导】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格的度数是30度，整时，分针指向12，当时针指向3或9时，夹角是90度，据此解答。 【规范解答】A．3时整，分针指向12，时针指向3，3×30°＝90°，是直角； B．6时整，分针指向12，时针指向6，6×30°＝180°，是平角； C．8时整，分针指向12，时针指向8，4×30°＝120°，是钝角； D．12时整，分针和时针均指向12，不是直角。 故答案为：A 【考点剖析】此题主要考查钟面整点时的指针特点和角的分类。 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）下面每组时间中，钟面上时针和分针所形成的角的度数不同的是（    ）。 A．9：00和3：00 B．3：30和8：30 C．11：30和2：30 D．10：30和1：30 【答案】C 【思路引导】钟面上相邻两个数字之间的夹角是30°。整点时，时针正好指向数字；半点时，时针已经从前一个数字向后移动了半格，即15°。分别求出每组两个时刻时针与分针形成的较小角，再比较角的度数。 【规范解答】钟面一周是360°，共有12个大格，每个大格是360°÷12＝30°；半个大格是30°÷2＝15°。 A．9：00时，时针和分针相隔3个大格，30°×3＝90°；3：00时也相隔3个大格，30°×3＝90°。两个角的度数相同。 B．3：30时，分针指向6，时针在3和4中间，30°×2＋15°＝60°＋15°＝75°；8：30时，分针指向6，时针在8和9中间，30°×2＋15°＝60°＋15°＝75°。两个角的度数相同。 C．11：30时，分针指向6，时针在11和12中间，30°×5＋15°＝150°＋15°＝165°；2：30时，分针指向6，时针在2和3中间，30°×3＋15°＝90°＋15°＝105°。两个角的度数不同。 D．10：30时，分针指向6，时针在10和11中间，30°×4＋15°＝120°＋15°＝135°；1：30时，分针指向6，时针在1和2中间，30°×4＋15°＝120°＋15°＝135°。两个角的度数相同。 所以时针和分针所形成的角的度数不同的是11：30和2：30。 奥数拓展六 角度的计算 【典例精讲】（25-26三年级下·江苏淮安·期末）看图列式计算。 下图中，∠1＝30°，求∠2的度数。 【答案】60° 【思路引导】1直角＝90°，1平角＝180°。根据题意可知：∠1、∠2和一个直角组成一个平角，因此∠2＝180°－∠1－90°；据此解答。 【规范解答】∠2＝180°－30°－90° ＝150°－90° ＝60° 【变式训练】（25-26四年级下·湖北随州·期末）三个正方形的位置如图，∠1的度数是( )°。 【答案】15 【思路引导】正方形的四个角都是直角，观察图中信息可知，∠1＋∠2＝90°－45°、∠1＋∠3＝90°－30°，又∠1、∠2和∠3组成一个直角，据此根据∠1、∠2和∠3之间的关系，可以计算出∠1的度数。 【规范解答】由分析可知， ∠1＋∠2＝90°－45° ＝45° ∠1＋∠3＝90°－30° ＝60° 可得：（∠1＋∠2）＋（∠1＋∠3）＝45°＋60° 即：∠1＋∠2＋∠1＋∠3＝105° 又：∠1＋∠2＋∠3＝90° （∠1＋∠2＋∠1＋∠3）－（∠1＋∠2＋∠3）＝∠1 可得：∠1＝105°－90° ＝15° ∠1的度数是15°。 【基础通关】 1．（25-26三年级下·安徽芜湖·期末）如图是由一个长方形和一个正方形拼成的，则（    ）。 A．大于 B．小于 C．等于 【答案】C 【思路引导】如图：把∠1和∠2中间重叠的那个角叫做∠3。长方形和正方形的角都是直角，也就是90°。从图里能看到：∠1 ＋ ∠3 ＝ 90°，∠2 ＋ ∠3 ＝ 90°，所以∠1和∠2都等于90°减去同一个∠3，因此∠1和∠2大小相等。 【规范解答】∠1 ＋ ∠3 ＝ 90° ∠2 ＋ ∠3 ＝ 90° ∠1＝90°－∠3 ∠2＝90°－∠3 ∠1＝∠2 2．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）下列说法正确的有（    ）个。 ①两个锐角的和一定比平角小。 ②用图中的线段表示角的度数，则∠1是锐角。 ③把一张正方形纸连续对折两次，展开后折痕一定互相垂直。 ④在同一平面内，两条直线如果不相交就一定平行。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①锐角小于90°，计算两个锐角和的最大值，再和180°比较判断正误。 ②先确定线段每一格代表的度数，计算∠1的度数，再根据锐角定义判断。 ③正方形对折两次，存在沿同一方向对折和沿不同方向对折两种情况，据此判断折痕的位置关系。 ④同一平面内两条直线只有相交和平行两种情况，据此判断该说法是否正确。 统计正确说法的数量，对应选择选项。 【规范解答】①锐角是小于90°的角，两个锐角的和一定小于90°＋90°＝180°，平角就是180°，所以两个锐角的和肯定比平角小，说法正确。 ②这条线段把0°到360°平均分成4大格，每大格是90°，∠1的位置超过了90°，是大于90°小于180°的钝角，不是锐角，说法错误。 ③把正方形连续对折两次，如果两次都朝同一个方向对折，折痕是互相平行的，不一定互相垂直，说法错误。 ④同一平面内的两条直线，不存在既不相交也不平行的情况，不相交就一定平行，说法正确。 故说法正确的有2个。 3．（26-27四年级上·辽宁·单元测试）下面各角中，不能用一副三角尺画出来的是（    ）。 A．20° B．120° C．105° D．15° 【答案】A 【思路引导】一副三角尺的角的度数分别是30°、60°、90°和45°、45°、90°，能用一副三角尺画出来的角，必须是能够通过上述角度的相加或相减得到的，据此解答。 【规范解答】A．30°、45°、60°、90°经过相加或相减都无法得到20°，不能用一副三角尺画出； B．90°＋30°＝120°，能用一副三角尺画出来； C．60°＋45°＝105°，能用一副三角尺画出来； D．45°－30°＝15°，能用一副三角尺画出来。 4．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）下列方法中，能够测量出角的度数的是( )。（填序号） 【答案】②③ 【思路引导】量角正确方法：量角器中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，另一条边对应的刻度就是角度。 【规范解答】①角的顶点没有和量角器中心重合，测量错误； ②角的顶点和量角器中心重合，一条边对齐0°刻度线，可以测量； ③角的顶点和量角器中心重合，一条边对齐0°刻度线，可以测量； ④角的顶点没有和量角器中心重合，测量错误。 能够测量出角的度数的是②③。 5．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）放风筝比赛。假如选手们把风筝线放得一样长。 (1)量一量，轩轩的风筝线与地面的夹角是( )，军军的风筝线与地面的夹角是( )。 (2)我发现：在一定范围内，风筝线与地面的夹角度数越( )，风筝飞得越高。 (3)如果亮亮的风筝线与地面的夹角为35°，那么他们三人相比，( )的风筝飞得最高，( )的风筝飞得最低。（填“轩轩”“军军”或“亮亮”） 【答案】(1) 60° 45° (2)大 (3) 轩轩 亮亮 【思路引导】（1）用量角器测量角的基础操作：把量角器的中心对准风筝线和地面的交点，0°刻度线和地面重合，就能读出风筝线对应的夹角度数，零度刻度线在右，读内圈刻度，零度刻度线在左，读外圈刻度。 （2）因为所有人的风筝线总长度一样，在合理范围内，风筝线和地面的夹角越大，风筝的竖直高度就越高。 （3）对比三人的夹角：轩轩的夹角约60°＞军军的夹角约45°＞亮亮的35°，所以轩轩的风筝最高，亮亮的风筝最低。 【规范解答】（1）量一量，轩轩的风筝线与地面的夹角是60°，军军的风筝线与地面的夹角是45°。 （2）我发现：在一定范围内，风筝线与地面的夹角度数越大，风筝飞得越高。 （3）60°＞45°＞35° 如果亮亮的风筝线与地面的夹角为35°，那么他们三人相比，轩轩的风筝飞得最高，亮亮的风筝飞得最低。 6．（26-27四年级上·全国·单元测试）小胖在黑板上画了三条直线，其中直线a平行于直线b，直线b垂直于直线c。小胖判断：直线a一定和直线c互相垂直。( ) 【答案】√ 【思路引导】同一平面内，若两条直线互相平行，其中一条直线垂直于第三条直线，另一条直线也垂直于第三条直线。 【规范解答】设三条直线分别为a、b、c，由题意得，，根据同一平面内平行和垂直的性质，可得，如图： 故答案为：√ 7．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）如图，∠1与∠2的和是115°，求∠3的度数。 【答案】 【思路引导】先求∠2的度数，图中给出了直角符号，可知，则， 再利用平角求∠3。从图中看出∠2和∠3组成平角，平角为； 【规范解答】 8．（26-27四年级上·全国·课后作业）在下面的图中，你能找到几个直角？几个锐角？几个钝角？ (1) (2) 【答案】(1) 4个；2个；3个 (2) 1个；5个；2个 【思路引导】（1）等于90°的是直角，小于90°的是锐角，大于90°且小于180°的是钝角，以此作为判断依据，第一幅图的图形结构，它由三角形和正方形拼接而成，上面的三角形中：下面两个角小于90°，是锐角，上面1个角大于90°，是钝角；下面的正方形中有4个直角；正方形上面的2个直角与三角形下面的两个锐角分别合成2个大于90°的角，所以又有2个钝角；该图形中所有的角都计数完毕，所以该图形中，有4个直角，2个锐角，（2＋1）个钝角； （2）第二幅图的图形结构，它是四边形被对角线分成两个三角形，上面三角形中：2个小于90°的角，是锐角，1个大于90°的角，是钝角；下面三角形中2个小于90°的角，是锐角，1个大于90°的角，是钝角；两个三角形上面的2个锐角合成1个90°的角，是直角，下面的2个锐角合成1个小于90°的角，是锐角；该图形中所有的角都计数完毕，所以该图形中有1个直角，（2＋2＋1）个锐角，2个钝角。 【规范解答】（1）三角形中：2个锐角，1个钝角；正方形中：4个直角；三角形和正方形合成2个钝角，钝角有： （个） 答：所以该图形中有4个直角，2个锐角，3个钝角。 （2）上面三角形中：2个锐角，1个钝角；下面三角形中：2个锐角，1个钝角；两个三角形的锐角又合成1个直角、1个锐角，锐角的个数有： （个） 答：所以该图形中有1个直角，5个锐角，2个钝角。 9．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）小东家的梯子少了一根梯梁，哥哥用一根木头把梯子修整了一下，如下图。（为新钉上去的梯梁） (1)原来的梯子中和应该是什么位置关系？（    ） A．互相平行 B．相交 C．互相垂直 D．无法确定 (2)图中这个梯子中和所在的直线是这样的位置关系吗？请画图验证，并叙述结论。 【答案】(1)A (2)不是； 将和延长后，可以相交于一点，所以这个梯子中和所在的直线是相交的，不是互相平行的。 【思路引导】结合梯子的实用功能，判断正常梯梁的位置关系，依据生活常识和平行线的定义推导即可。 针对图中AB和CD的位置关系，将两条直线延长，观察是否有交点，以此判断是否符合平行的定义。 验证时根据直线延长后是否相交，来得出对应结论。 【规范解答】（1）原来的梯子中和应该是互相平行的。 （2）答：图中这个梯子中和所在的直线不是互相平行的。 将和延长后，可以相交于一点，所以这个梯子中和所在的直线是相交的，不是互相平行的。 10．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）按要求画一画，填一填。（每个小方格的边长表示1厘米） (1)过点，分别画出直线、的平行线。 (2)画出与直线互相平行且相距2厘米的直线，能画出（    ）条。 【答案】(1) (2)；2 【思路引导】利用直尺和三角板，将三角板的一条直角边与直线 AB（或AC）重合，直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺平移三角板，使三角板原来与直线AB（或AC）重合的直角边经过点O，过点O沿三角板的这条直角边画直线，即为直线AB（或AC ）的平行线； 先在直线DE的一侧沿垂直于DE的方向量取2厘米确定点，过该点作DE的平行线，再用相同方法在DE另一侧作出另一条平行线，所以能画出2条。 【规范解答】（1）图略 （2）图略，画出与直线互相平行且相距2厘米的直线，能画出2条。 【能力提升】 1．一个平行四边形（长方形除外）相邻两边的长度分别是6厘米、4厘米，那么6厘米这条边上的高可能是（    ）厘米。 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【思路引导】6cm这条边作为底边，那么4cm那条边就是斜边，过顶点向6cm的底边画高线，根据点到直线的所有线段中垂直线段最短判断。 【规范解答】 根据点到直线的所有线段中垂直线段最短，高要小于4厘米。 故答案为：D 【考点剖析】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。 2．把一张长方形的纸对折三次，折痕间的关系是（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．可能互相平行，也可能互相垂直 【答案】C 【思路引导】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。同一平面内不相交的两条直线互相平行。据此可知，若将这张长方形纸片同一方向对折两次，形成的三条折痕互相平行。若将这张长方形纸片不同方向对折两次，形成的两条折痕互相垂直；同理可知，把一张长方形的纸对折三次，折痕间的关系是可能互相平行，可能互相垂直。 【规范解答】根据分析可知，把一张长方形的纸对折三次，折痕间的关系是可能互相平行，可能互相垂直。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查垂直和平行的性质，可以亲自折一折，即可得出结论，解答此题的关键在于从不同的折叠方向考虑。 3．如下图，∠1＝( )°，直线a与直线d互相( )，直线c与直线d互相( )。 【答案】 25 垂直 平行 【思路引导】观察图示可得：∠1、直角和65°角组成一个平角，平角＝180°，直角＝90°，∠1＝180°－90°－65°；平行和垂直的定义：同一平面内不相交的两条直线，互相平行；当两条直线相交成90度时，这两条直线就相互垂直。据此解答即可。 【规范解答】由分析可知： 180°－90°－65° ＝90°－65° ＝25° 所以，∠1＝25°，直线a与直线d互相垂直，直线c与直线d互相平行。 【考点剖析】熟练掌握直角、平角、平行和垂直的特征是解题的关键。 4．一张长方形纸如图那样折起，已知，那么( )。 【答案】120 【思路引导】观察图片可以发现，把这张长方形纸展开，以∠1、∠2的顶点为顶点的角是一个平角，平角＝180°；当把纸折起来后，∠1盖住了一个与它度数相等的角，所以展开后，就是∠1＋∠1＋∠2＝180°，已知∠1＝30°，据此可以求出∠2的度数。 【规范解答】根据分析可得，∠2的度数是： 180°－30°－30° ＝150°－30° ＝120° 【考点剖析】本题的关键是理解∠1盖住了一个和它相等的角。 5．（25-26四年级上·河北邢台·期末）浩浩、文文、奇奇和笑笑一起玩“抢板凳”游戏，他们的位置如下图。 (1)( )最有可能抢到板凳。 (2)最有可能抢到板凳的原因是什么？请说明理由。 【答案】(1)文文 (2)文文与板凳之间的距离最近，因此她最容易先抢到板凳。 【思路引导】（1）根据题意，仔细观察图可知，两点之间线段最短，文文小朋友离板凳最近，所以文文最先抢到板凳。 （2）从图中可以看出，文文与板凳之间的距离最近，因此她最容易先抢到板凳。 【规范解答】（1）文文 （2）答：最有可能抢到板凳的原因是文文与板凳之间的距离最近，因此她最容易先抢到板凳。 6．（25-26四年级上·河南濮阳·期末）分水村要从村办公室修一条公路到大件路上，请你帮忙设计，怎样设计路线最节约？ 【答案】见详解 【思路引导】根据题意从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。所以，过村办公室的点作到大件路的垂线段即可。 【规范解答】根据分析可知： 答：从“村办公室”到“大件路”画出垂直的连线并修建公路最节约。 7．如图，经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线， 经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线，那么5个、6个点呢？ 【答案】经过5个点中的每两个点最多可以画10条直线，经过6个点中的每两个点最多可以画15条直线。 【思路引导】要想画出的直线条数最多，每个图形的所有点数，只能两两在一直线上，不能三个或三个以上的点在一条直线上；2个点画1条、三个点画3条、4个点画6条、5个点画10条…… 1＝0＋1＝[2×（2－1）]÷2 3＝1＋2＝[3×（3－1）]÷2 4＝1＋2＋3＝[4×（4－1）]÷2 5＝1＋2＋3＋4＝[5×（5－1）]÷2 6＝1＋2＋3＋4＋5＝[6×（6－1）]÷2 ……经过n个点可以画[1＋2＋3＋……＋（n－1）]＝ [n×（n－1）]÷2 【规范解答】经过4个点可以画： [4×（4－1）]÷2 ＝12÷2 ＝6（条） 经过5个点可以画： [5×（5－1）]÷2 ＝20÷2 ＝10（条） 经过6个点可以画： [6×（6－1）]÷2 ＝30÷2 ＝15（条） 所以经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线， 经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线，经过5个点中的每两个点最多可以画10条直线，经过6个点中的每两个点最多可以画15条直线。 【考点剖析】解答此题的关键是根据点的个数与所画直线的条数找出规律，根据这一规律即可计算出经过n个点最多可以画直线的条数。 8．数出下图中共有多少条线段？ 【答案】15条 【思路引导】先数单独的线段，然后把2段组合起来，把3段组合起来，……，然后把每种的数量相加，得到总共的线段条数。 【规范解答】（条） 答：图中共有15条线段。 【考点剖析】一条线段被分成n小段，可以数出的线段条数为。 9．如图 （1）过点A画直线的垂线。 （2）量出点A到已知直线的距离为（    ）。 （3）以点B为顶点，引出一条射线，与已知直线相交成80°的角。 【答案】（1）（3）见详解；（2）2厘米 【思路引导】（1）①用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可； （2）利用刻度尺测量出点A与垂足之间的线段的长度，就是点A到直线的距离； （3）①量角器的中心点对准射线的端点B，0刻度线对准已知直线； ②对准量角器的刻度线80°点一个点（找点）；   ③把点和点B连接，然后标出角的度数即可。 【规范解答】作图如下： 【考点剖析】此题考查了画指定度数的角和画垂线以及测量线段的方法。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 第二单元 线与角『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+13个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共57题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 线的认识 3 知识点二 相交与垂直 4 知识点三 平移与平行 4 知识点四 旋转与角 4 知识点五 角的度量（一）—认识度数 4 知识点六 角的度量（二）—用量角器量角和画角 5 知识点七 单元知识梳理（综合对比表） 5 知识点八 易错点提醒 6 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 线段、直线、射线的认识及特征 6 高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离 6 高频考点三 垂直的特征 7 高频考点四 画垂线 8 高频考点五 点到直线的距离 8 高频考点六 平行的特征及性质 9 高频考点七 画平行线 9 高频考点八 平角、周角的认识及特征 9 高频考点九 角的大小比较 10 高频考点十 用量角器画角 10 高频考点十二 用三角尺画角 11 高频考点十三 角度的计算 11 难点突破 奥数拓展 12 奥数拓展一 线段、直线、射线的认识及特征 12 奥数拓展二 画垂线 12 奥数拓展三 平行的特征及性质 13 奥数拓展四 角的度量 13 奥数拓展六 角度的计算 13 优选真题 实战演练 14 【基础通关】 14 【能力提升】 16 知识点一 线的认识 1. 线段 线段是直的，有两个端点，有一定的长度，不能向两端延伸。读作：线段AB（或BA）。 2. 射线 射线是直的，只有一个端点，可以向一个方向无限延伸。读作：射线AB（注意：端点字母必须写在前面）。 3. 直线 直线是直的，没有端点，可以向两个方向无限延伸。读作：直线AB（或BA）。 4. 线段、射线、直线的比较 名称 图形特征 端点个数 延伸情况 长度 线段 直的 2个 不能延伸 有限长，可测量 射线 直的 1个 向一个方向无限延伸 无限长，不可测量 直线 直的 0个 向两个方向无限延伸 无限长，不可测量 5. 两点之间线段最短 在连接两点的所有连线中，线段的长度最短。线段AB的长度就是A、B两点之间的距离。 知识点二 相交与垂直 1. 相交 当两条直线有一个公共点时，这两条直线相交。有时候看到的只是一部分，需要延长后才能判断是否相交。 2. 垂直 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 3. 画垂线的方法 可以借助三角板或折纸的方法来画垂线。用三角板画垂线时，要让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着另一条直角边画线即可。 4. 垂线段最短 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 知识点三 平移与平行 1. 平移 在方格纸上平移图形时，移动前后，两条线之间的方格数一样多，方向保持一致。 2. 平行 在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。其中一条直线是另一条直线的平行线。 3. 画平行线的方法 可以借助方格纸画平行线、用纸折平行线，或者用三角板平移画平行线。用三角板画平行线时，通常借助直尺固定三角板，然后平移三角板来画线。 4. 生活中的平行线 生活中有很多平行的例子，如黑板的上下边缘、斑马线、铁轨等。 知识点四 旋转与角 1. 角的形成 角是由一个顶点和两条边组成的。扇子慢慢打开的过程，就是角通过一条边绕着顶点旋转形成的。 2. 角的分类 根据角的大小，角可以分为五类： 锐角：大于0°且小于90°的角。 - 直角：等于90°的角。 - 钝角：大于90°且小于180°的角。 - 平角：角的两条边在一条直线上，等于180°。 周角：一条边绕着顶点旋转一周所形成的角，等于360°。 3. 各类角的关系 1个周角 = 2个平角 = 4个直角。 4. 生活中的角 钟表上时针和分针在不同时刻会形成不同的角；门框、画框等也包含了各种角。 知识点五 角的度量（一）—认识度数 1. 1度的定义 将圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作1度，记作1°。通常用“度”作为角的度量单位。 2. 周角、平角、直角与度的关系 1周角 = 360° - 1平角 = 180° - 1直角 = 90° 3. 估测角的大小 可以利用1°角作为参照，或者结合直角（90°）、平角（180°）去估一估、量一量角的大小。 知识点六 角的度量（二）—用量角器量角和画角 1. 认识量角器 量角器是把半圆平均分成180份，每份对应的角是1°。量角器上有中心点、零刻度线，以及内圈刻度和外圈刻度。 2. 量角的方法 重合：先将角的顶点和量角器的中心点重合，再把零刻度线与角的一条边重合。 读数：看角的另一条边所对的刻度。如果与内圈零刻度线重合，就读内圈刻度；如果与外圈零刻度线重合，就读外圈刻度。 3. 画角的方法 用量角器可以画出任意度数的角。步骤与量角类似：先画一条射线，让量角器中心点和零刻度线与射线重合，在对应度数处点一个点，最后连接顶点和这个点。 4. 三角板上的角 一副三角板包含两个特殊的直角三角形： 一个三角板的角分别是：30°、60°、90°。 另一个三角板的角分别是：45°、45°、90°。 5. 用三角板拼角 利用三角板上的角，可以通过相加或相减拼出其他度数的角。例如：60°+45°=105°，45°-30°=15°。 知识点七 单元知识梳理（综合对比表） 1. 线段、射线、直线的异同 比较项目 线段 射线 直线 相同点 都是直的 都是直的 都是直的 端点个数 2个 1个 0个 能否延长 不能 向一端无限延长 向两端无限延长 能否测量 能 不能 不能 2. 各类角的特征汇总 角的名称 度数范围 特征描述 锐角 0° < 锐角 < 90° 比直角小 直角 90° 刚好是90度 钝角 90° < 钝角 < 180° 比直角大，比平角小 平角 180° 两边在一条直线上 周角 360° 旋转一整圈 知识点八 易错点提醒 线的读法：射线的读法有方向性，必须把端点字母写在前面（如射线AB），而线段和直线没有方向限制。 垂直的前提：只有当两条直线相交成直角时，才叫互相垂直。普通的交叉不能称为垂直。 量角器的读数：量角时极易看错内外圈。一定要看清是与哪一圈的零刻度线重合，就读哪一圈的刻度。 角的分类界限：直角是90°，平角是180°。钝角必须严格大于90°且小于180°，不能等于90°或180°。 距离的概念：点到直线的距离必须是垂直线段的长度，斜线段的长度不是距离。 高频考点一 线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】（25-26四年级下·湖南长沙·期末）在直线l上有A、B、C三个点，以点A为一个端点的线段有（    ）条。 A．1 B．2 C．3 【变式训练】（25-26三年级下·山东德州·期末）如图中，一共有( )条线段，一共有( )个角，其中( )个锐角，( )个钝角，( )个直角。 高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】（25-26三年级下·山东德州·期末）小英从家到电影院有3条道路可走，( )道路最近，理由是( )。 【变式训练】（25-26三年级上·河南郑州·期末）海海从家到学校共有三条路可以选择。 海海从家到学校走路线( )最近。（填序号） 我们可以用线段的知识解释：( )。 高频考点三 垂直的特征 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）如图，直线m和直线n互相平行，直线m与直线n的距离是6分米，则下面的结论错误的是（    ）。 A．分米 B． C．分米 D． 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业） (1)如图所示，测量线段AB、AD、AE、AF、AC的长度。 AB＝( ) AD＝( ) AE＝( ) AF＝( )   AC＝( ) (2)线段AB、AD、AE、AF、AC中最短的一条线段是( )。 (3)过直线外一点向已知直线画线段，能画( )条，只有和已知直线( )的线段最短，这条线段的长度叫作这点到直线的( )。 高频考点四 画垂线 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）图图家有一块长方形玻璃，它被打碎了一角（如下图）。爸爸想在这块玻璃上裁出一块最大的正方形玻璃，请你帮他想想办法，在图中画一画。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）如图，为了方便友谊小区的居民乘坐公交车，公交车公司拟在公路上设一个离友谊小区最近的公交站点，这个站点设在哪里最合适？请你画出来。 高频考点五 点到直线的距离 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）某汽车工厂坐落于经济技术开发区，是集研发、生产、销售、体验于一体的智造园区。暖暖一家准备驾车去参观该汽车工厂，由于距离较远，中途需要到充电站进行充电。请你帮助暖暖一家设计一条最短的路线，并画一画。 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）如图，游泳池中有一个小朋友在点遇到了危险，位于点的救生员按照怎样的救援路线，才能最快将遇险的小朋友救上岸？请你画出救援的最短路线，并说明理由。 高频考点六 平行的特征及性质 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）我国的汉字博大精深，汉字的笔画中也蕴含着数学知识，有些汉字的笔画存在互相平行或互相垂直的位置关系。下面的汉字中，既有互相平行的笔画，又有互相垂直的笔画的是（    ）。 A．三 B．小 C．上 D．下 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）下图中，直线AB和直线CD互相平行，线段( )和线段( )一样长（填序号），线段①和线段④的位置关系为( )。 高频考点七 画平行线 【典例精讲】（2026四年级上·全国·专题练习）双杠由两根横梁和四根支架组成，下图是操场上的一组双杠，双杠需要维修了，请你画出维修后的图，并说明这样维修的理由。      这样维修的理由： 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业） (1)学校在振兴路上，且振兴路与和平路平行。画出振兴路。 (2)友谊路在和平路的南边，且与和平路平行。画出友谊路。 高频考点八 平角、周角的认识及特征 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）观察手工折扇展开过程中形成的角，写出各角的名称。 ( )角  ( )角  ( )角  ( )角  ( )角 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）一个周角等于（    ）个直角，一个平角等于（    ）个直角，一个周角等于（    ）个平角。 A．2，3，4 B．3，4，8 C．4，2，2 D．8，2，2 高频考点九 角的大小比较 【典例精讲】（25-26三年级上·河北邢台·期末）下面三个角都是用一副三角尺拼成的，最大的角是( )，最小的角是( )。 【变式训练】（25-26三年级上·陕西宝鸡·期末）筷子小实验。 (1)如图，用筷子摆角，两根筷子慢慢合拢，所形成的角由钝角先变成______角，再变成______角，角变得越来越______。 (2)用三角尺比角，和相比，______大。（填“”“”或“一样”） (3)通过上面的操作可以发现，角的大小和边的长短______，与两边张开的大小______。（填“有关”或“无关”） 高频考点十 用量角器画角 【典例精讲】（2026四年级上·辽宁·专题练习）（1）量一量：∠1＝（    ）°。 （2）过点作射线的垂线。 （3）过点作射线的平行线。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·单元测试）李叔叔是个台球爱好者，他发现当台球撞向桌边时就会向另一个方向弹走，如下图所示。 (1)量出上面角的度数，∠1＝（    ）°，∠2＝（    ）°，∠3＝（    ）°，∠4＝（    ）°。通过量角的度数，你发现了什么？ (2)请运用发现的特点补全下面台球的运动路线图，并标出角度。 高频考点十二 用三角尺画角 【典例精讲】（25-26三年级下·山东威海·期末）用一副三角板可以画出30°、45°、75°、20°等任意度数的角。( )（判断对错） 【变式训练】（25-26三年级下·江苏南京·期末）下面的角各是多少度？填一填。 ( )°     ( )°      ( )°   ( )° 高频考点十三 角度的计算 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）将一个平角分成两个角，这两个角相差30°，则它们分别是( )°和( )°。 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·单元测试）如图，下面线段表示角的度数0°~180°，∠1表示30°，∠2表示（    ）。 A．120° B．135° C．150° D．160° 奥数拓展一 线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】（23-24四年级上·浙江杭州·期末）如果一条直线上有n个端点，就有（    ）条线段，就有（    ）条射线。（借助下面的图画一画） 【变式训练】数一数下面的图形。 ( )条线段 ( )个长方形 奥数拓展二 画垂线 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）A，B是等腰三角形的两个顶点，三角形还有一个顶点C在直线DE上，符合要求的三角形共有（    ）个，请找出点C，并画出对应的三角形。 【变式训练】（24-25六年级下·安徽淮南·期末）如图1，有两条射线从一个点延伸而出。 （1）两条射线所夹的夹角度数为___________（精确到，下同）； （2）如果有一条直线过这个点，并且与一条射线垂直，请你在图中画出两条这样的线。如图2，有两条直线交于一个点，已知旋转速度是每秒。 （3）两条直线所夹的角度为___________、___________； （4）如果将两条直线中的一条沿着交点进行旋转，使它们相互垂直，请你求旋转方案（写出两种不同的方案）； （5）当线段2以交点为旋转中心开始顺时针旋转时，直接写出当夹角为时的时间（只旋转一周）。 奥数拓展三 平行的特征及性质 【典例精讲】（24-25四年级上·甘肃兰州·期末）按要求作图。 下图中，，请利用这组平行线画一个等腰梯形，并标出梯形各部分的名称，再画出它的一条高。（方法提示：①可以先画出等腰梯形的对称轴；②也可以用其他你喜欢的方法。） 【变式训练】（24-25六年级下·浙江杭州·期末）如图，已知直线，直线AB与a、b相交，直线AC分别与a、b互相垂直。你能用上“因为……所以……”，有理有据地说明吗？ 奥数拓展四 角的度量 【典例精讲】在钟面上，下列整时中，（    ）时整分针与时针成直角。 A．3 B．6 C．8 D．12 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）下面每组时间中，钟面上时针和分针所形成的角的度数不同的是（    ）。 A．9：00和3：00 B．3：30和8：30 C．11：30和2：30 D．10：30和1：30 奥数拓展六 角度的计算 【典例精讲】（25-26三年级下·江苏淮安·期末）看图列式计算。 下图中，∠1＝30°，求∠2的度数。 【变式训练】（25-26四年级下·湖北随州·期末）三个正方形的位置如图，∠1的度数是( )°。 【基础通关】 1．（25-26三年级下·安徽芜湖·期末）如图是由一个长方形和一个正方形拼成的，则（    ）。 A．大于 B．小于 C．等于 2．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）下列说法正确的有（    ）个。 ①两个锐角的和一定比平角小。 ②用图中的线段表示角的度数，则∠1是锐角。 ③把一张正方形纸连续对折两次，展开后折痕一定互相垂直。 ④在同一平面内，两条直线如果不相交就一定平行。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27四年级上·辽宁·单元测试）下面各角中，不能用一副三角尺画出来的是（    ）。 A．20° B．120° C．105° D．15° 4．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）下列方法中，能够测量出角的度数的是( )。（填序号） 5．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）放风筝比赛。假如选手们把风筝线放得一样长。 (1)量一量，轩轩的风筝线与地面的夹角是( )，军军的风筝线与地面的夹角是( )。 (2)我发现：在一定范围内，风筝线与地面的夹角度数越( )，风筝飞得越高。 (3)如果亮亮的风筝线与地面的夹角为35°，那么他们三人相比，( )的风筝飞得最高，( )的风筝飞得最低。（填“轩轩”“军军”或“亮亮”） 6．（26-27四年级上·全国·单元测试）小胖在黑板上画了三条直线，其中直线a平行于直线b，直线b垂直于直线c。小胖判断：直线a一定和直线c互相垂直。( )（判断对错） 7．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）如图，∠1与∠2的和是115°，求∠3的度数。 8．（26-27四年级上·全国·课后作业）在下面的图中，你能找到几个直角？几个锐角？几个钝角？ (1) (2) 9．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）小东家的梯子少了一根梯梁，哥哥用一根木头把梯子修整了一下，如下图。（为新钉上去的梯梁） (1)原来的梯子中和应该是什么位置关系？（    ） A．互相平行 B．相交 C．互相垂直 D．无法确定 (2)图中这个梯子中和所在的直线是这样的位置关系吗？请画图验证，并叙述结论。 10．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）按要求画一画，填一填。（每个小方格的边长表示1厘米） (1)过点，分别画出直线、的平行线。 (2)画出与直线互相平行且相距2厘米的直线，能画出（    ）条。 【能力提升】 1．一个平行四边形（长方形除外）相邻两边的长度分别是6厘米、4厘米，那么6厘米这条边上的高可能是（    ）厘米。 A．6 B．5 C．4 D．3 2．把一张长方形的纸对折三次，折痕间的关系是（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．可能互相平行，也可能互相垂直 3．如下图，∠1＝( )°，直线a与直线d互相( )，直线c与直线d互相( )。 4．一张长方形纸如图那样折起，已知，那么( )。 5．（25-26四年级上·河北邢台·期末）浩浩、文文、奇奇和笑笑一起玩“抢板凳”游戏，他们的位置如下图。 (1)( )最有可能抢到板凳。 (2)最有可能抢到板凳的原因是什么？请说明理由。 6．（25-26四年级上·河南濮阳·期末）分水村要从村办公室修一条公路到大件路上，请你帮忙设计，怎样设计路线最节约？ 7．如图，经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线， 经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线，那么5个、6个点呢？ 8．数出下图中共有多少条线段？ 9．如图 （1）过点A画直线的垂线。 （2）量出点A到已知直线的距离为（    ）。 （3）以点B为顶点，引出一条射线，与已知直线相交成80°的角。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null