第七单元 倍数与因数【导图知识卡片+知识梳理+19个考点讲练+12个奥数拓展+真题难度分层演练 共82题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义以思维导图统领“倍数与因数”单元知识体系，知识梳理通过7个核心知识点（因数与倍数、2/5/3的倍数特征等），以定义阐释、方法归纳、特征总结的逻辑呈现，配合框架图清晰展现奇数与偶数、质数与合数等概念的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于分层递进的练习设计，19个高频考点讲练结合典例与变式（如“用边长12厘米正方形铺长方形桌面”的最大公因数实际应用），12个奥数拓展（如“完全数”探究）及真题分层演练，培养运算能力与模型意识。基础学生可掌握方法，优生能深化思维，为教师提供精准教学支持，助力学生自主复习与能力提升。

2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第七单元 倍数与因数『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+19个考点讲练+12个奥数拓展+真题难度分层演练 共82题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 因数与倍数 3 知识点二 2、5、3的倍数特征 4 知识点三：奇数与偶数 4 知识点四：质数与合数 4 知识点五：分解质因数 5 知识点六：最大公因数 5 知识点七：最小公倍数 6 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 因数和倍数的认识 6 高频考点二 找一个数的倍数及倍数的特征 6 高频考点三 根据倍数的特征解决问题 7 高频考点四 找一个数的因数及因数的特征 7 高频考点五 根据因数的特征解决问题 7 高频考点六 倍数和因数的综合应用 7 高频考点七 2、5的倍数特征 8 高频考点八 奇数与偶数的认识 8 高频考点九 运算性质（奇数和偶数) 9 高频考点十 3的倍数特征 9 高频考点十一 2、3、5的倍数特征综合 9 高频考点十二 9的倍数特征 10 高频考点十三 公因数与最大公因数 10 高频考点十四 用最大公因数解决实际问题 10 高频考点十五 公倍数与最小公倍数 11 高频考点十六 用最小公倍数解决实际问题 11 高频考点十七 质数与合数的认识 11 高频考点十八 质数与合数的综合应用 12 高频考点十九 分解质因数 12 难点突破 奥数拓展 13 奥数拓展一 倍数和因数的综合应用 13 奥数拓展二 2、5的倍数特征 13 奥数拓展三 奇数与偶数的认识 14 奥数拓展四 运算性质（奇数和偶数) 14 奥数拓展五 2、3、5的倍数特征综合 14 奥数拓展六 公因数与最大公因数 15 奥数拓展七 用最大公因数解决实际问题 16 奥数拓展八 公倍数与最小公倍数 16 奥数拓展九 用最小公倍数解决实际问题 17 奥数拓展十 质数与合数的认识 17 奥数拓展十一 质数与合数的综合应用 18 奥数拓展十二 分解质因数 18 优选真题 实战演练 18 【基础通关】 18 【能力提升】 20 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 高频考点一 因数和倍数的认识 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）三位同学关于因数和倍数的相关知识有以下不同的想法，想法正确的是（    ）。 A．小明和小天 B．小明和小星 C．小天和小星 D．小明、小天和小星 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一个数既是4的倍数，又是36的因数，这个数可能是( )。（写出所有可能） 高频考点二 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一个数既是6的倍数，又是6的因数，这个数是（    ）。 A．2 B．3 C．6 D．12 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）根据A÷B＝7（A，B为非零自然数）可知，A是B的( )，B是A的( )。若a是大于1的自然数，则a的最小因数是( )，最小倍数是( )。 高频考点三 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）有A、B、C三个数（A＞B＞C），如果数A除以7，余数是3；数B除以7，余数也是3；数C除以7，余数是4。 甲认为：A与B的差一定是7的倍数； 乙认为：A与C的和一定是7的倍数。 甲、乙两人的说法对吗？请作出判断，并说明你的理由。 【变式训练】（24-25五年级下·河南南阳·期末）一串珠子有7种颜色，每种颜色颗数相等，珠子总数在90～110之间，这串珠子的颗数不可能是（    ）。 A．91 B．105 C．98 D．103 高频考点四 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是我国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下列水墨画的编码中，（    ）组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 D．2、12、16 【变式训练】（24-25五年级下·江苏泰州·期末）如果a的最大因数是13，b的最小倍数是1，a＋b＝( )，a＋b的因数有( )，a－b的因数有( )，a×b＝( )，a×b的因数有( )。 高频考点五 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏泰州·期末）把48个玻璃球装进同样的瓶子里，每个瓶中玻璃球的数量相等（每瓶中的玻璃球不少于3个，不超过12个），并且正好装完，有( )种不同的方法。 【变式训练】（24-25五年级下·福建漳州·期末）古希腊数学家认为，如果一个数恰好等于它所有的因数（本身除外）的和，那么这个数就是“完全数”。如：6的因数有1、2、3、6，因为1＋2＋3＝6，所以6就是一个“完全数”。下面（    ）是“完全数”。 A．15 B．28 C．36 D．51 高频考点六 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·山西晋中·期末）为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 【变式训练】（25-26五年级下·山东淄博·期末）村委响应“双碳”战略，计划在村委会大楼屋顶铺设太阳能光伏板，屋顶是一块长12米、宽7.5米的长方形区域。现有以下规格的光伏板可供选择（单位：厘米）。要求光伏板正好铺满屋顶而不裁剪，应选择规格（    ）。 A．60×80 B．100×150 C．120×160 D．100×90 高频考点七 2、5的倍数特征 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）把下列数填入合适的位置，并分析特点。 30    45    32    23    168    625   3200   84   507 偶数有( )； 5的倍数有( )； 既是2的倍数，又是5的倍数的数有( )，这些数的特点是( )。 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）体育器材室有4袋羽毛球，每袋羽毛球的个数分别是76，□14，2□2，1□3。这些羽毛球( )平均分给2个班，( )平均分给5个班。（填“能”或“不能”） 高频考点八 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）用0，1，2这三个数字组成的三位数中（各数位数字不能重复），偶数有（    ）个。 A．4 B．2 C．3 D．1 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）观察下面各数，填一填。 (1)左边的数都是( )数，右边的数都是( )数。 (2)从左边任取两个数相加，和是( )数；从右边任取两个数相加，和是( )数；从左、右两边各取一个数相加，和是( )数。 (3)我发现：偶数＋偶数＝( )数，奇数＋偶数＝( )数，奇数＋奇数＝( )数。 高频考点九 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·山东临沂·期末）奶奶买了一些面包和三明治，付给营业员60元，找回了11元，找回的钱数对吗？写出你的理由。 甜甜圈：2元/个 面包：4元/个 三明治：10元/个 【变式训练】（24-25五年级下·河南平顶山·期末）如果a＋1是偶数，那么6a是( )数，9a是( )数。（填“奇”或“偶”） 高频考点十 3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）要使8□5□能同时被2、3、5整除，个位上只能填( )，百位上最小可以填( )。 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）为了促使学生加强体育锻炼，学校举办了趣味运动会。其中“篮球接力”，哪个年级的报名人数按“3人一组”或“5人分组后均没有剩余？写出你的思考过程。 年级 五年级 六年级 报名人数 78人 60人 高频考点十一 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）李华5年前的年龄是3的倍数，现在的年龄既是2的倍数，又是5的倍数。李华现在还不到30岁，他现在( )岁。 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下面几位同学中，（    ）的看法不合理。 A．晨晨：个位上是3，6，9的数都是3的倍数 B．笑笑：由7，3，2组成的三位数（没有重复数字）都是3的倍数 C．奇奇：一个数同时是2，3，5的倍数，则这个数最小是30 D．欢欢：要使1810是3的倍数，可以加上230 高频考点十二 9的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·广东佛山·期中）123各位上的数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？ 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 (1)先判断下面各数是否为9的倍数（对的在后面画“√”，错的在后面画“×”）。 693( )   239( )   990( ) (2)写出9的倍数特征：( )。 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）一个自然数既是9的倍数，又是54的因数，这个数最大是（    ）。 A．9 B．18 C．27 D．54 高频考点十三 公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州黔南·期末）18和24的最大公因数是( )；6和48的最小公倍数是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·江西赣州·期末）今年龙舟赛有交通协管志愿者64人，医护志愿者72人，如果把他们分别分成若干小组，每组人数一样，且没有剩余。那么每组最多( )人，交通协管志愿者分成了( )组，医护志愿者分成了( )组。 高频考点十四 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·广东肇庆·期末）AI编程社团要用长36厘米、宽24厘米的长方形木板制作正方形编程模块，要求裁出的正方形大小相同且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形？ 【变式训练】（24-25五年级下·山东临沂·期末）用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且画纸不用裁剪的是（    ）。（单位：厘米。其中“108×80”表示长108厘米、宽80厘米） A． B． C． D． 高频考点十五 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（24-25五年级下·山东枣庄·期末）小松鼠采集了一些松果，每3个分成一堆少2个，每4个分成一堆少3个，每5个分成一堆少4个。这些松果至少有多少个？ 【变式训练】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）某公园的圆形喷泉由内圈和外圈构成，外圈每12分钟喷一次，内圈每8分钟喷一次。该喷泉内、外圈在中午11：30同时喷过一次水后，下次同时喷水是什么时候？ 高频考点十六 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·吉林·期末）1路公交车每10分钟发一次车，2路公交车每15分钟发一次车，这两路车每天早上6时同时发车，下一次同时发车是_____时_____分。 【变式训练】（24-25五年级下·山东济南·期末）一个班的同学去春游，去时12个人坐一个车刚好，回来时16人坐一个车也刚好。问这个班至少有多少人？ 高频考点十七 质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州黔南·期末）最小的合数是4，最小的质数是1。( )（判断对错） 【变式训练】（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）2023年5月28日，C919国产大型客机圆满完成首次商业飞行。C919的标准航程为( )km。（根据下面的提示填空） （1）标准航程是一个四位数；（2）千位上是最小的合数； （3）百位上是最小的偶数；（4）十位上是小于10的最大质数； （5）个位上的数既是5的倍数，又是5的因数。 高频考点十八 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河南洛阳·期末）桌子上摆放了几盘饺子，每盘饺子的数量都相同。茜茜、轩轩和乐乐各自数出的饺子总数分别是，数对饺子数量的小朋友是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·四川南充·期末）哥德巴赫猜想是数学中一个著名的难题，其内容是所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。例如：，。请把下面的偶数表示为两个质数的和。 18＝______＋______                30＝______＋______ 高频考点十九 分解质因数 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）用“/”划去不是公倍数的数，用“”框出每组数的最小公倍数。 8和6（12，24，36，48，60，72）； 3和9（3，6，9，12，15，18）； 5和10（5，10，15，20，25，30）； 5和8（16，20，24，40，50，80）。 【变式训练】（24-25五年级下·吉林·期末）已知a＝2×3×5，b＝3×3×5，那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．180 B．90 C．60 D．15 奥数拓展一 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级上·广东湛江·期中）为庆祝妇女节，五（1）班准备表演一个献给妈妈的舞蹈节目，共选出参演学生36名。现在要给舞蹈排队列（每行最少不低于2人，最多不超过15人），你认为有多少种排队方法？ 【变式训练】（24-25五年级上·陕西西安·期中）已知n是一个大于零的自然数，把它所有的因数从小到大排列，最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是140，那么n是多少？ 奥数拓展二 2、5的倍数特征 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数。把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：。 (1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数。（填“是”或者“不是”） (2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。 【变式训练】（2024五年级·全国·竞赛）包含0至9这10个数字的十位数称为“十全数”，有一个十全数：它的千位是7，从左往右数，它的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除……前十位组成的十位数能被10整除。这个十全数的百位是( )。 奥数拓展三 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（2026·重庆巴南·小升初真题）中国象棋的马走“日”字，车走横线或竖线，下图是半张中国象棋盘，试回答下列问题： (1)一只马从某点出发，是否一定得跳偶数步才能返回该点？ (2)一只马能否跳遍这半张棋盘，每一点都不重复，最后的一步跳回起点？ (3)证明：一只马不可能从位置B出发，跳遍半张象棋盘而每个点都只经过一次（不要求最后一步跳回起点）。 (4)一只马能否从位置B出发，用6步跳到位置A？为什么？ (5)一只车从位置A出发，在这半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置B。证明：至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。 【变式训练】（2025·湖北武汉·小升初真题）用0、1、2、3、4、5这6个数中选择4个组成没有重复数字的四位偶数，将这些偶数从小到大排列起来，第66个是______。 奥数拓展四 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码），那么，这本书原来有( )页。 【变式训练】把137个苹果放入礼盒中，每个礼盒都装满。恰好装完而没有剩余。大盒每盒13个，小盒每盒6个。需要大盒( )个，小盒( )个。 奥数拓展五 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（2026·重庆·小升初真题）阅读理解：一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个位数相同的整数，其中a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的中间数，c代表这个整数分出来的右边数，其中a，b，c位数相同，若b－a＝c－b，我们称这个多位数为等差数。 例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5－3＝7－5； 413223分成三个数41，32，23，并且满足：32－41＝23－32； 所以：357和413223都是等差数。 (1)判断：148_______等差数，514335_________等差数；（用“是”或“不是”填空） (2)若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除； (3)若一个三位数T是等差数，且T是24的倍数，求该等差数T。 【变式训练】（24-25六年级下·江苏无锡·期末）【样例1】 42＝4×10＋2 ＝4×（9＋1）＋2 ＝4×9＋4＋2 ＝4×3×3＋4＋2 【样例2】 276＝2×100＋7×10＋6 ＝2×（99＋1）＋7×（9＋1）＋6 ＝2×99＋7×9＋2＋7＋6 ＝2×33×3＋7×3×3＋2＋7＋6 说明：42、276是3的倍数，划线部分是3的倍数，后面部分是各个数位上数的和，分别是6和15，都是3的倍数，所以一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 (1)请你仿照上面的样例判断581是否是3的倍数，并进行说理。 (2)以3627为例，说明为什么判断一个数是不是9的倍数，也要看各个数位上数的和。 奥数拓展六 公因数与最大公因数 【典例精讲】（2026五年级上·辽宁·专题练习）两个连续偶数的和是10，这两个数是( )和( )，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）甲数＝2×3×A，乙数＝2×5×A。已知甲、乙两数的最大公因数是14，则A＝( )，甲、乙两数的最小公倍数是( )。 奥数拓展七 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江西上饶·期末）李奶奶买苹果花了12元，王奶奶买苹果花了16元。如果她们买的苹果单价是一样的，那么这种苹果的单价最高是多少元？写出思考过程。（她们购买苹果的单价和数量都是整数） 【变式训练】（25-26五年级下·湖北黄冈·阶段检测）有三根铁丝，长度分别是12米、18米和24米，现在要把它们截成同样长的小段，每段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 奥数拓展八 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江台州·期末）学校买来了一批跳绳，数量在90到100之间。如果将这些跳绳平均分给8个班，正好分完；如果平均分给6个班，也正好分完。学校一共买了多少根跳绳？ 【变式训练】（2026五年级上·辽宁·专题练习）花园小学开展趣味运动会，请算一算五（2）班和五（3）班各有多少名学生。 信息①：五（2）班班主任王老师把本班学生按照“小螃蟹背西瓜”（4人一组）或“幸福摩天轮”（6人一组）的游戏要求分组，都恰好能分完。 信息②：五（3）班的人数同时是2，3和5的倍数。 信息③：五（2）班和五（3）班的人数都不少于30，不超过40。 奥数拓展九 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）为响应爱心图书角阅读助学行动，乐之书社捐了一批书。这批书无论是平均分给2个人，还是5个人，都正好剩1本；如果平均分给3个人，那么正好分完。这批书至少有多少本？ 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）暑假期间，小红、小芳和小伟都去画室学习国画，小红每2天去一次，小芳每3天去一次，小伟每4天去一次。8月3日三人一起学习完国画后，下一次三人一起去画室学习是几月几日？ 奥数拓展十 质数与合数的认识 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）一个正方形边长的数值是质数，关于这个正方形的说法正确的有（    ）个。 ①面积的数值一定是质数。    ②面积的数值一定是合数。 ③周长的数值一定是偶数。    ④周长的数值一定是4的倍数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图这首诗是宋代诗人邵雍所作的《山村咏怀》，诗中出现的数，既是质数又是偶数的有( )；既是奇数又是合数的有( )；既是质数又是奇数的有( )；既是偶数又是合数的有( )；既不是质数又不是合数的有( )。 奥数拓展十一 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·河南新乡·期末）在括号里填上合适的质数。 26＝( )＋( )＝( )＋( ) 20＝( )＋( )＝( )＋( ) 【变式训练】（25-26五年级下·广东江门·阶段检测）在50以内的自然数中，最小的合数与最大的质数的和是（    ）。 A．49 B．51 C．53 D．54 奥数拓展十二 分解质因数 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）写出下面各组数的最大公因数。 6和12( )  28和36( )  25和40( )  42和54( ) 【变式训练】（24-25五年级下·河南平顶山·期末）一个数的最小倍数是32，把这个数分解质因数是( )。 【基础通关】 1．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）我国著名数学家陈景润证明了“充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和”，例如22＝3×5＋7，国际上将这个结论称作“陈氏定理”。下面式子中符合这个定理的是（    ）。 A．5＝2×1＋3 B．8＝2×2＋4 C．26＝3×7＋5 D．42＝5×8＋2 2．（24-25五年级下·浙江台州·期末）按下图程序计算，输入一个任何非0自然数，输出的数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 3．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）“六一”儿童节期间，实验小学开展了“十岁扬帆梦起航，童心立志向未来”主题活动，参加此次活动的学生数在500～600人之间。若这些学生20人一排则多出10人25人一排也多出10人。参加此次活动的学生有（    ）人。 A．500 B．610 C．560 D．510 4．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）一个三位数28，当它是2和3的公倍数时，最大可以填( )；当它不仅有因数3，还是5的倍数时，可以填( )。 5．（24-25五年级下·浙江台州·期末）母亲节活动，商店买来27枝白百合，45枝康乃馨和18枝玫瑰，准备扎成花束送给进店的母亲，这些花最多可以扎成( )束同样的花束（全部花都用完）。 6．（25-26五年级下·广东江门·阶段检测）自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。( )（判断对错） 7．（24-25五年级下·甘肃武威·期末）一个合数至少有2个因数。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）西双湖农场有一块长105米、宽75米的长方形菜地，计划分成若干个同样大小的正方形种植区域（边长为整米数），且区域之间无空隙。正方形种植区域的边长最大是多少米？至少能划分成多少个这样的种植区域？ 9．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）道须沟旅游景区位于宁城县黑里河国家自然保护区内，景区内拥有郁郁葱葱的丛林、清澈的湖水和瀑布。当然，最吸引同学们的就是好玩的研学基地了，研学项目有厨艺、工艺、科技制作等。某学校五年级共有123人，大多数同学都要去参加研学活动。大队长把参加研学活动的同学分组，若按9人一组，则剩下4人，若按10人一组，则差6人。五年级一共有多少名同学要去参加此次研学活动？ 10．（24-25五年级下·江西赣州·期末）端午缝制香囊，李阿姨每10分钟缝制一个香囊，王阿姨每8分钟缝制一个香囊，上午8：00她们同时开始缝制第一个香囊，下次同时缝制一个香囊的时间是几时几分？ 【能力提升】 1．（24-25五年级下·江西赣州·期末）端午包粽子比赛，一共包了abcde个棕子，其中a比最小的质数与最小的合数的积少2，比最小的奇数多2，c是一位数中最大的偶数，既是4的倍数，又是4的因数，是最小奇数与最小偶数的积，则包了（    ）个粽子。 A．83842 B．83840 C．63842 D．63840 2．（24-25五年级下·江苏南京·期末）小区道路一边每隔10米安装了一盏路灯，从头到尾共安装了31盏。为了节约用电，现要改成每隔12米安装一盏。要求两端都不移动，中间还有（    ）盏不必移动。 A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）若a÷b＝3（a、b均为非0自然数），则a和b的最大公因数是( )；若a＋1＝b，则a和b的最小公倍数是( )。 4．（24-25五年级下·广东肇庆·期末）李阿姨的取件码可以用下面的信息描述，想一想，李阿姨的取件码是( )。 取件码由ABCD四个数字组成，其中A比最小的质数大2；B是一位数中最大的偶数；C同时是2和3的倍数；D既是5的因数，又是5的倍数。 5．（24-25五年级下·安徽亳州·期末）两个数的和是100，一个是7的倍数，另一个是11的倍数。这两个数分别是( )和( )。 6．（24-25五年级下·甘肃张掖·期末）如果A和B的最大公因数只有1，那么它们的积一定是合数。( )（判断对错） 7．（25-26五年级上·广东惠州·期中）在12×3＝36中，12是因数，36是倍数。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·贵州黔西南·期末）找出下面每组数的最大公因数。 8和12    18和9    7和11 9．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 10．（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第七单元 倍数与因数『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+19个考点讲练+12个奥数拓展+真题难度分层演练 共82题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 因数与倍数 3 知识点二 2、5、3的倍数特征 4 知识点三：奇数与偶数 4 知识点四：质数与合数 4 知识点五：分解质因数 5 知识点六：最大公因数 5 知识点七：最小公倍数 6 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 因数和倍数的认识 6 高频考点二 找一个数的倍数及倍数的特征 7 高频考点三 根据倍数的特征解决问题 8 高频考点四 找一个数的因数及因数的特征 9 高频考点五 根据因数的特征解决问题 10 高频考点六 倍数和因数的综合应用 11 高频考点七 2、5的倍数特征 12 高频考点八 奇数与偶数的认识 13 高频考点九 运算性质（奇数和偶数) 14 高频考点十 3的倍数特征 15 高频考点十一 2、3、5的倍数特征综合 16 高频考点十二 9的倍数特征 17 高频考点十三 公因数与最大公因数 18 高频考点十四 用最大公因数解决实际问题 19 高频考点十五 公倍数与最小公倍数 20 高频考点十六 用最小公倍数解决实际问题 21 高频考点十七 质数与合数的认识 21 高频考点十八 质数与合数的综合应用 23 高频考点十九 分解质因数 23 难点突破 奥数拓展 25 奥数拓展一 倍数和因数的综合应用 25 奥数拓展二 2、5的倍数特征 26 奥数拓展三 奇数与偶数的认识 29 奥数拓展四 运算性质（奇数和偶数) 31 奥数拓展五 2、3、5的倍数特征综合 32 奥数拓展六 公因数与最大公因数 35 奥数拓展七 用最大公因数解决实际问题 36 奥数拓展八 公倍数与最小公倍数 37 奥数拓展九 用最小公倍数解决实际问题 38 奥数拓展十 质数与合数的认识 38 奥数拓展十一 质数与合数的综合应用 40 奥数拓展十二 分解质因数 40 优选真题 实战演练 41 【基础通关】 41 【能力提升】 46 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 高频考点一 因数和倍数的认识 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）三位同学关于因数和倍数的相关知识有以下不同的想法，想法正确的是（    ）。 A．小明和小天 B．小明和小星 C．小天和小星 D．小明、小天和小星 【答案】C 【思路引导】因数：如果整数a除以整数b（不等于0）的商正好是整数且没有余数，我们就说b 是a的因数；倍数：如果整数a除以整数b（不等于0）的商正好是整数且没有余数，我们就说a 是b的倍数。需要注意的是，因数和倍数的研究范围是非零自然数；若a÷b＝c（a、b、c均为非零自然数，且无余数），则a是b和c的倍数，b和c是a的因数。 【规范解答】小明认为12.5×8＝100，所以12.5和8是100的因数，100是8和12.5的倍数，因数和倍数的研究范围是非零自然数，而12.5是小数，不符合定义。因此，不能说12.5是100的因数，也不能说100是12.5的倍数；结论：小明的想法错误。 小天认为45÷5＝9，所以45是5和9的倍数，5和9是45的因数，45、5、9均为非零自然数，且45÷5＝9（无余数），符合因数和倍数的定义：45能被5和9整除，因此45是5的倍数，也是9的倍数；因数：5和9能整除45，因此5和9是45的因数；结论：小天的想法正确。 小星认为29÷4＝7……1，所以29不是7的倍数，也不是4的倍数，29÷7＝4……1（有余数），因此29不是7的倍数；29÷4＝7……1（有余数），因此29不是4的倍数；小星的想法正确。 综上，小天和小星的想法正确。 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一个数既是4的倍数，又是36的因数，这个数可能是( )。（写出所有可能） 【答案】4，12，36 【思路引导】因数的定义：若整数a除以整数b（不等于0）的商是整数且无余数，则b是a的因数， 通过列举法找36的因数；倍数的定义：若整数a能被整数b（b不等于0）整除，无余数，则a是b的倍数。逐一验证36的因数是否为4的倍数即除以4无余数。 【规范解答】找出36的所有因数 36÷1＝36，因此1和36是36的因数；36÷2＝18，因此2和18是36的因数；36÷3＝12，因此3和12是36的因数；36÷4＝9，因此4和9是36的因数；36÷6＝6，因此6是36的因数；综上，36的因数为：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 从36的因数中筛选4的倍数 4÷4＝1，无余数，是4的倍数；12÷4＝3，无余数，是4的倍数；36÷4＝9，无余数，是4的倍数。 既是4的倍数，又是36的因数的数为：4、12、36。 高频考点二 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一个数既是6的倍数，又是6的因数，这个数是（    ）。 A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【思路引导】一个数的最大因数是它本身，最小的倍数也是它本身。 【规范解答】既是一个数的因数又是这个数的倍数的数就是它本身，这个数是6。 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）根据A÷B＝7（A，B为非零自然数）可知，A是B的( )，B是A的( )。若a是大于1的自然数，则a的最小因数是( )，最小倍数是( )。 【答案】 倍数 因数 1 a 【思路引导】已知A÷B＝7且A、B为非零自然数，根据因数和倍数的定义：如果非零自然数A÷B＝C，C是整数，没有余数，A就是B的倍数，B就是A的因数，即可判断。 任何大于1的自然数，都有因数1和它自己，对于大于1的自然数a，最小的因数是1，一个数的倍数是它乘1、2、3……得到，最小的倍数就是乘1的结果，也就是它本身。 【规范解答】根据A÷B＝7（A，B为非零自然数），可知7是整数，再根据因数和倍数的定义，可判断A是B的倍数，B是A的因数。 能整除a的数叫a的因数，任何大于1的自然数，都有因数1和它自己，1是最小的正整数，因此a的最小因数是1，由分析可知，最小的倍数是。 因此根据A÷B＝7（A，B为非零自然数）可知，A是B的倍数，B是A的因数。若a是大于1的自然数，则a的最小因数是1，最小倍数是a。 高频考点三 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）有A、B、C三个数（A＞B＞C），如果数A除以7，余数是3；数B除以7，余数也是3；数C除以7，余数是4。 甲认为：A与B的差一定是7的倍数； 乙认为：A与C的和一定是7的倍数。 甲、乙两人的说法对吗？请作出判断，并说明你的理由。 【答案】甲、乙两人的说法都对。理由：令A、B、C分别为38、24、18，A－B＝14，14是7的倍数，所以A与B的差一定是7的倍数；A＋C＝56，56是7的倍数，所以A与C的和一定是7的倍数。 【思路引导】根据有余数除法中“被除数＝商×除数＋余数”的关系，令A、B、C为具体的数值，利用特殊值法分别计算差与和，判断是否为7的倍数。 【规范解答】令数A除以7的商为5，数B除以7的商为3；数C除以7的商为2。 A＝5×7＋3＝35＋3＝38 B＝3×7＋3＝21＋3＝24 C＝2×7＋4＝14＋4＝18 A－B＝38－24＝14 14÷7＝2，14是7的倍数，即A与B的差一定是7的倍数，甲说法正确； A＋C＝38＋18＝56 56÷7＝8，56是7的倍数，即A与C的和一定是7的倍数，乙说法正确。 【变式训练】（24-25五年级下·河南南阳·期末）一串珠子有7种颜色，每种颜色颗数相等，珠子总数在90～110之间，这串珠子的颗数不可能是（    ）。 A．91 B．105 C．98 D．103 【答案】D 【思路引导】每种颜色珠子颗数相等，说明珠子总数是7的倍数，用各选项的数分别除以7，所得的商是整数而没有余数，则是7的倍数，如果有余数，则不是7的倍数。据此解答。 【规范解答】A．，91是7的倍数，这串珠子的颗数可能是91颗； B．，105是7的倍数，这串珠子的颗数可能是105颗； C．，98是7的倍数，这串珠子的颗数可能是98颗； D．，103不是7的倍数，这串珠子的颗数不可能是103颗。 高频考点四 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是我国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下列水墨画的编码中，（    ）组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 D．2、12、16 【答案】B 【思路引导】根据因数的定义，成对相乘乘积等于36的数就是36的因数，先按一对一对的方式找出36全部的因数，再逐一检查每个选项的三个数，判断是否全部都是36的因数。 【规范解答】1×36＝36 2×18＝36 3×12＝36 4×9＝36 6×6＝36 所以36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 A．13不是36的因数，不符合。 B．2、6、12都是36的因数，符合条件。 C．16不是36的因数，不符合。 D．16不是36的因数，不符合。 【变式训练】（24-25五年级下·江苏泰州·期末）如果a的最大因数是13，b的最小倍数是1，a＋b＝( )，a＋b的因数有( )，a－b的因数有( )，a×b＝( )，a×b的因数有( )。 【答案】 14 1，2，7，14 1，2，3，4，6，12 13 1，13 【思路引导】一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身。由此可得，的值，进而可求得、、的值，求出它们的因数即可。 【规范解答】因为的最大因数是，的最小倍数是， 所以，， ， ， 所以的因数有，，，； ， ， 所以的因数有，，，，，； ， 的因数有，。 所以的最大因数是，的最小倍数是， ，的因数有，，，，的因数有，，，，，；，的因数有，。 高频考点五 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏泰州·期末）把48个玻璃球装进同样的瓶子里，每个瓶中玻璃球的数量相等（每瓶中的玻璃球不少于3个，不超过12个），并且正好装完，有( )种不同的方法。 【答案】5 【思路引导】根据找一个数因数的方法，列举出48的因数，进而根据题意，找出不超过12个，不少于3的数，即每个瓶中玻璃球的数量，据此解答即可。 【规范解答】48的所有因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 每个瓶中玻璃球的数量不少于3个，不超过12个，所以每个瓶中玻璃球的数量可以是3个、4个、6个、8个、12个，五种。 即共有5种不同的方法。 【变式训练】（24-25五年级下·福建漳州·期末）古希腊数学家认为，如果一个数恰好等于它所有的因数（本身除外）的和，那么这个数就是“完全数”。如：6的因数有1、2、3、6，因为1＋2＋3＝6，所以6就是一个“完全数”。下面（    ）是“完全数”。 A．15 B．28 C．36 D．51 【答案】B 【思路引导】先找出每个选项中数除本身外的所有因数，再将这些因数求和，判断和是否等于该数即可。 【规范解答】A．15除本身外的因数有1、3、5，，，不是完全数，所以该选项不是正确选项； B．28除本身外的因数有1、2、4、7、14，，和等于原数，是完全数，所以该选项是正确选项； C．36除本身外的因数有1、2、3、4、6、9、12、18，，，不是完全数，所以该选项不是正确选项； D．51除本身外的因数有1、3、17，，，不是完全数，所以该选项不是正确选项。 高频考点六 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·山西晋中·期末）为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 【答案】 6种；找出乘积为48，且两个乘数都不小于3的整数组合即可 【思路引导】排长方形队形时，总人数等于每行人数乘行数，需要找出所有乘积为48、且两个数都不小于3的正整数组合，组合的数量就是排法的种数。 【规范解答】先列出乘积为48的所有正整数乘法算式： 要求每行和每列人数都至少是3人，即两个乘数都大于等于3，符合条件的算式共有6个。 答：共有6种不同的排法。 【变式训练】（25-26五年级下·山东淄博·期末）村委响应“双碳”战略，计划在村委会大楼屋顶铺设太阳能光伏板，屋顶是一块长12米、宽7.5米的长方形区域。现有以下规格的光伏板可供选择（单位：厘米）。要求光伏板正好铺满屋顶而不裁剪，应选择规格（    ）。 A．60×80 B．100×150 C．120×160 D．100×90 【答案】B 【思路引导】本题主要考查单位换算以及因数与倍数的实际应用。要想光伏板不裁剪正好铺满屋顶，光伏板的长和宽必须分别是屋顶长、宽的因数；还需注意单位要统一。 【规范解答】将屋顶的长和宽换算为厘米：（厘米），（厘米） A．规格。，，屋顶宽不能被光伏板的边长整除，无法正好铺满。此选项错误。 B．规格。如果将光伏板厘米的边沿屋顶长铺设，厘米的边沿屋顶宽铺设：，，屋顶的长和宽均能被光伏板对应的边长整除，可以正好铺满。此选项正确。 C．规格。，，屋顶宽不能被光伏板的边长整除，无法正好铺满。此选项错误。 D．规格。，，屋顶宽不能被光伏板的边长整除，无法正好铺满。此选项错误。 高频考点七 2、5的倍数特征 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）把下列数填入合适的位置，并分析特点。 30    45    32    23    168    625   3200   84   507 偶数有( )； 5的倍数有( )； 既是2的倍数，又是5的倍数的数有( )，这些数的特点是( )。 【答案】 30，32，168，3200，84； 30；45；625；3200； 30；3200 个位上都是0 【思路引导】是2的倍数的数就是偶数，判断时只需要看数的个位，个位是0、2、4、6、8的数就是2的倍数也就是偶数。 5的倍数的特征是个位上是0或者5。 要同时满足2的倍数和5的倍数的要求，结合两者的特征，只有个位是0的数才能同时符合。 【规范解答】偶数（个位上是0、2、4、6、8的数）：30，32，168，3200，84。 5的倍数（个位上是0或者5的数）：30；45；625；3200。 既是2的倍数，又是5的倍数的数有：30；3200，这些数的特点是个位上的数字都是0。 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）体育器材室有4袋羽毛球，每袋羽毛球的个数分别是76，□14，2□2，1□3。这些羽毛球( )平均分给2个班，( )平均分给5个班。（填“能”或“不能”） 【答案】 不能 能 【思路引导】能被2整除的数，个位必须是0、2、4、6、8。 能被5整除的数，个位必须是0或者5。 这4袋羽毛球，不管被遮挡的数字是多少，只需要计算末尾相加后即可判断。 【规范解答】每袋的个位分别是6、4、2、3 相加后总和：6＋4＋2＋3＝15，个位是5，是奇数 不符合2的倍数要求，所以不能平均分给2个班。 符合5的倍数要求，所以能平均分给5个班。 高频考点八 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）用0，1，2这三个数字组成的三位数中（各数位数字不能重复），偶数有（    ）个。 A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【思路引导】先明确三位数百位不能为0，偶数的个位只能是0或2，分两种情况枚举符合要求的数即可。 【规范解答】个位为0时，可组成的偶数：120、210，共2个； 个位为2时，百位只能是1，可组成的偶数：102，共1个； 总个数：（个） 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）观察下面各数，填一填。 (1)左边的数都是( )数，右边的数都是( )数。 (2)从左边任取两个数相加，和是( )数；从右边任取两个数相加，和是( )数；从左、右两边各取一个数相加，和是( )数。 (3)我发现：偶数＋偶数＝( )数，奇数＋偶数＝( )数，奇数＋奇数＝( )数。 【答案】(1) 奇 偶 (2) 偶 偶 奇 (3) 偶 奇 偶 【思路引导】（1） 不能被2整除的整数是奇数，可以被2整除的整数是偶数。先分别观察左右两边的数，根据奇数、偶数的定义，判断两组数能否被2整除。 （2）分别举例计算三种情况的和，再判断和是奇数还是偶数。 （3）利用第（2）小题算出的结果，归纳奇偶相加的固定规律。 【规范解答】（1）左边的数：1、13、29，都不能被2整除，是奇数； 右边的数：28、4、50，都能被2整除，是偶数。 （2）左边两数相加：1＋13＝14（偶数）； 右边两数相加：28＋4＝32（偶数）； 左右各取一个相加：1＋28＝29（奇数）。 （3）偶数＋偶数＝偶数， 奇数＋偶数＝奇数， 奇数＋奇数＝偶数。 高频考点九 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·山东临沂·期末）奶奶买了一些面包和三明治，付给营业员60元，找回了11元，找回的钱数对吗？写出你的理由。 甜甜圈：2元/个 面包：4元/个 三明治：10元/个 【答案】不对；因为面包和三明治的单价都是偶数，无论买多少个，总价都是偶数，则找回的钱数也应是偶数，不可能是奇数。（理由不唯一） 【思路引导】根据是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数，偶数－奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数；奶奶付给营业员的60元是偶数，找回的11元是奇数，说明买面包和三明治的总价应是奇数；但根据面包和三明治的单价都是偶数，则不论买多少个面包和三明治，总价都应是偶数，不可能是奇数。据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 偶数＋偶数＝偶数；则买面包和三明治的总价一定是偶数，找回的钱也应是偶数； 60－11＝49（元），11和49都是奇数； 所以，找回的钱数不对；理由略。 【变式训练】（24-25五年级下·河南平顶山·期末）如果a＋1是偶数，那么6a是( )数，9a是( )数。（填“奇”或“偶”） 【答案】 偶 奇 【思路引导】根据奇数＋奇数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数；据此解答即可。 【规范解答】因为a＋1是偶数，1是奇数，所以a是奇数； 因为a是奇数，6是偶数，所以6a是偶数； a是奇数，9是奇数，所以9a是奇数。 高频考点十 3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）要使8□5□能同时被2、3、5整除，个位上只能填( )，百位上最小可以填( )。 【答案】 【思路引导】能同时被2、3、5整除的数的特征：个位上是0；各个数位上的数字的和是3的倍数。据此解答。 【规范解答】首先个位只能是0； 已知千位是8、个位是0、十位是5，三个数加起来是8＋5＋0＝13，比13大又能被3整除的最小数是15，15－13＝2，所以百位上最小填2。 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）为了促使学生加强体育锻炼，学校举办了趣味运动会。其中“篮球接力”，哪个年级的报名人数按“3人一组”或“5人分组后均没有剩余？写出你的思考过程。 年级 五年级 六年级 报名人数 78人 60人 【答案】78是3的倍数，不是5的倍数，如果按“5人一组”分组会有剩余；60既是3的倍数，又是5的倍数，所以六年级的报名人数按这两种方式分组后均没有剩余。 【思路引导】要找出按两种分组方式都无剩余的年级，需分别判断两个年级的人数是否同时是3和5的倍数，可根据3、5的倍数特征判断。 【规范解答】答：五年级报名人数78人：，15是3的倍数，所以78是3的倍数；78的个位是8，不是0或5，所以78不是5的倍数；因此五年级按5人一组分组有剩余。 六年级报名人数60人：，6是3的倍数，所以60是3的倍数；60的个位是0，所以60是5的倍数；因此六年级按3人一组、5人一组分组均没有剩余。 高频考点十一 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）李华5年前的年龄是3的倍数，现在的年龄既是2的倍数，又是5的倍数。李华现在还不到30岁，他现在( )岁。 【答案】20 【思路引导】既是2的倍数又是5的倍数的数，个位一定是0，判断现在还不到30岁的年龄；3的倍数是一个数各位数字之和是3的倍数， 【规范解答】结合不到30岁，可能的年龄为10岁、20岁；5年前的年龄是3的倍数，若现在10岁：5年前的年龄为10－5＝5（岁），5不是3的倍数，不符合条件。 若现在20岁：5年前的年龄为20－5＝15（岁），1＋5＝6，15是3的倍数，符合条件。 因此，李华现在20岁。 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下面几位同学中，（    ）的看法不合理。 A．晨晨：个位上是3，6，9的数都是3的倍数 B．笑笑：由7，3，2组成的三位数（没有重复数字）都是3的倍数 C．奇奇：一个数同时是2，3，5的倍数，则这个数最小是30 D．欢欢：要使1810是3的倍数，可以加上230 【答案】A 【思路引导】一个数各数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数是3的倍数；2、3、5的倍数的判断方法：个位是0，且每个数位上的数之和是3的倍数，依此逐一判断各个选项，选出正确的选项。 【规范解答】A．判断的倍数的依据是各个数位上的数之和是否是的倍数，而非个位数字，所以可通过举反例验证该说法是否正确：的个位是，各位数字和为，不是的倍数，不是的倍数，晨晨的看法错误，不合理，该选项是正确选项； B．、、三个数字的和为，是的倍数，因此用这三个数字组成的无重复数字的三位数，各位数字和始终是，都是的倍数，笑笑的看法是合理的，该选项不是正确选项； C．同时是、、的倍数的数，个位需为，且各位数字和是的倍数，满足条件的最小数是，奇奇的看法合理，该选项不是正确选项； D．，各位数字和为，是的倍数，因此是的倍数，欢欢的看法合理，该选项不是正确选项。 高频考点十二 9的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·广东佛山·期中）123各位上的数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？ 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 (1)先判断下面各数是否为9的倍数（对的在后面画“√”，错的在后面画“×”）。 693( )   239( )   990( ) (2)写出9的倍数特征：( )。 【答案】(1) √ × √ (2)一个数各个位上的数字和能被9整除，这个数就是9的倍数。 【思路引导】（1）分别用各数除以9，能整除的，就是9的倍数。 （2）根据数的意义，把9的倍数的数改写成几个百，几个十，几个一组成，再根据乘法分配律改写成与9的倍数相关的式子，据此解答。 【规范解答】（1）693÷9＝77，693能被9整除，是9的倍数； 239÷9＝26……5，239不能被9整除，不是9的倍数； 990÷9＝110，990能被9整除，是9的倍数。 693（√）   239（×）    990（√） （2）693＝6×100＋9×10＋3 ＝6×（99＋1）＋9×（9＋1）＋3 ＝6×99＋6＋9×9＋9＋3 其中6×99和9×9一定是9的倍数，剩下只需要看“6＋9＋3”，也就是693“各个数位上的数字和”是否为9的倍数；6＋9＋3＝18，18是9的倍数，所以693一定是9的倍数。 一个数各个数位上的数字和能被9整除，这个数就是9的倍数。 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）一个自然数既是9的倍数，又是54的因数，这个数最大是（    ）。 A．9 B．18 C．27 D．54 【答案】D 【思路引导】一个数的倍数是指可以被这个数整除的数。一个数的因数是指可以整除这个数的数。要找出既是9的倍数，又是54的因数的最大自然数，分别列出9的倍数和54的因数，再找出两者公共的数中最大的数即可。 【规范解答】9的倍数：9、18、27、36、45、54、63、72…… 54的因数：1、2、3、6、9、18、27、54。 既是9的倍数，又是54的因数有：9、18、27、54； 所以，既是9的倍数，又是54的因数，最大的数是54。 故答案为：D 高频考点十三 公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州黔南·期末）18和24的最大公因数是( )；6和48的最小公倍数是( )。 【答案】 【思路引导】两个数的公有质因数连乘积就是它们的最大公约数，两个数的公有质因数和它们独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，由此解决问题即可。 【规范解答】18和24的最大公因数： 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 最大公因数是：2×3＝6 6和48的最小公倍数： 6＝2×3 48＝2×2×2×2×3 最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48。 【变式训练】（24-25五年级下·江西赣州·期末）今年龙舟赛有交通协管志愿者64人，医护志愿者72人，如果把他们分别分成若干小组，每组人数一样，且没有剩余。那么每组最多( )人，交通协管志愿者分成了( )组，医护志愿者分成了( )组。 【答案】 8 8 9 【思路引导】因为每组人数相同且无剩余，要每组人数最多，所以该人数是64和72的最大公因数，求最大公因数用短除法。 求出最大公因数后，因为交通协管总人数除以每组人数就是交通协管的分组数，所以用64除以所得最大公因数得到对应组数。 因为医护总人数除以每组人数就是医护的分组数，所以用72除以所得最大公因数得到对应组数。 【规范解答】 64和72的最大公因数是： （组） （组） 那么每组最多8人，交通协管志愿者分成了8组，医护志愿者分成了9组。 高频考点十四 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·广东肇庆·期末）AI编程社团要用长36厘米、宽24厘米的长方形木板制作正方形编程模块，要求裁出的正方形大小相同且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形？ 【答案】12厘米；6个 【思路引导】要裁出无剩余的最大正方形，正方形边长是长方形长和宽的最大公因数；分别用长和宽除以正方形边长，得到长和宽方向分别能裁的个数，两个数相乘就是总个数。 【规范解答】36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数是2×2×3＝12 （36÷12）×（24÷12） ＝3×2 ＝6（个） 答：正方形的边长最大是12厘米，可以裁出6个这样的正方形。 【变式训练】（24-25五年级下·山东临沂·期末）用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且画纸不用裁剪的是（    ）。（单位：厘米。其中“108×80”表示长108厘米、宽80厘米） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面，正好能铺满且没有浪费，也就是这个桌面的长和宽是12的倍数，12是长和宽的最大公因数，据此解答。 【规范解答】A．，，80不能被12整除，不符合要求； B．，90不能被12整除，不符合要求； C．，，长和宽都能被12整除，符合要求； D．，不能得到整数商，10不能被12整除，不符合要求。 高频考点十五 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（24-25五年级下·山东枣庄·期末）小松鼠采集了一些松果，每3个分成一堆少2个，每4个分成一堆少3个，每5个分成一堆少4个。这些松果至少有多少个？ 【答案】 61个 【思路引导】先将“每堆少几个”的条件转化为都多1个，可知松果总数比3、4、5的最小公倍数多1，求最少数量需用最小公倍数加1。 【规范解答】3、4、5的最小公倍数： （个） 答：这些松果至少有61个。 【变式训练】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）某公园的圆形喷泉由内圈和外圈构成，外圈每12分钟喷一次，内圈每8分钟喷一次。该喷泉内、外圈在中午11：30同时喷过一次水后，下次同时喷水是什么时候？ 【答案】 11时54分 【思路引导】下次同时喷水的经过时间是12和8的最小公倍数，求出该时间后加上开始时刻，即可得到下次同时喷水的时间。 【规范解答】 8＝2×2×2 12和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 11时30分＋24分＝11时54分 答：下次同时喷水是11时54分。 高频考点十六 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·吉林·期末）1路公交车每10分钟发一次车，2路公交车每15分钟发一次车，这两路车每天早上6时同时发车，下一次同时发车是_____时_____分。 【答案】 6 30 【思路引导】这两路公交车同时发车的时间间隔，应该是10和15的公倍数，要求下一次同时发车时间，即求间隔时间是10和15的最小公倍数。求出间隔时间后，再加上起始时刻，即是下一次发车的时刻。 【规范解答】10＝2×5； 15＝3×5； 10和15的最小公倍数是5×2×3＝30； 6时＋30分＝6时30分 【变式训练】（24-25五年级下·山东济南·期末）一个班的同学去春游，去时12个人坐一个车刚好，回来时16人坐一个车也刚好。问这个班至少有多少人？ 【答案】48人 【思路引导】根据题意，这个班的人数同时是12和16的倍数，求至少有多少人，就是求12和16的最小公倍数。 【规范解答】 12和16的最小公倍数是； （人） 答：这个班至少有48人。 高频考点十七 质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州黔南·期末）最小的合数是4，最小的质数是1。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据质数、合数的定义，1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，最小的合数是4，可直接判断对错。 【规范解答】合数是除了1和自身外还有其他因数的自然数，最小的合数是4；质数是只有1和自身两个因数的大于1的自然数，最小的质数是2，1既不是质数也不是合数，题目说法错误。 故答案为：× 【变式训练】（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）2023年5月28日，C919国产大型客机圆满完成首次商业飞行。C919的标准航程为( )km。（根据下面的提示填空） （1）标准航程是一个四位数；（2）千位上是最小的合数； （3）百位上是最小的偶数；（4）十位上是小于10的最大质数； （5）个位上的数既是5的倍数，又是5的因数。 【答案】 【思路引导】首先确定四位数的数位顺序，从高到低依次为千位、百位、十位、个位，逐一根据对应条件确定每个数位上的数字。 （）因为最小的合数是固定值，所以可直接得出千位数字。 （）因为最小的偶数是固定值，所以可直接得出百位数字。 （）因为小于的最大质数是固定值，所以可直接得出十位数字。 （）因为一个数既是的倍数又是的因数，这个数只能是本身，所以可得出个位数字。 （）将四个数位的数字按顺序组合，得到最终的四位数。 【规范解答】①千位上是最小的合数。合数是指除了和它本身以外还有其他因数的自然数。最小的合数是，因为既不是质数也不是合数，和是质数，的因数有、、，所以最小的合数为，千位数字为。 ②百位上是最小的偶数。偶数是能够被所整除的整数，能被2整除（），且比小，所以最小的偶数是，百位数字为。 ③十位上是小于的最大质数。质数是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数。小于的质数有、、、，其中最大的是，十位数字为。 ④个位上的数既是的倍数，又是的因数。一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，的因数有和，的倍数有、、 ，所以既是的倍数又是的因数的数是，个位数字为。 ⑤根据分析可知：标准航程是： 高频考点十八 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河南洛阳·期末）桌子上摆放了几盘饺子，每盘饺子的数量都相同。茜茜、轩轩和乐乐各自数出的饺子总数分别是，数对饺子数量的小朋友是( )。 【答案】轩轩 【思路引导】每盘饺子的数量相同，求饺子总数应能平均分成几盘，这个数应该是合数。29和41都是质数，不能平均分成几盘；32可以平均分成若干盘。 【规范解答】29只有1和29两个因数，不能平均分成几盘。 32可以平均分成4盘，每盘8个：4×8＝32。 41只有1和41两个因数，不能平均分成几盘。 所以数对饺子数量的是轩轩。 【变式训练】（24-25五年级下·四川南充·期末）哥德巴赫猜想是数学中一个著名的难题，其内容是所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。例如：，。请把下面的偶数表示为两个质数的和。 18＝______＋______                30＝______＋______ 【答案】 7 11 13 17 【思路引导】自然数中，是2的倍数的数叫做偶数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。30以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，在括号里试填进行计算即可（答案不唯一）。 【规范解答】； ；； 高频考点十九 分解质因数 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）用“/”划去不是公倍数的数，用“”框出每组数的最小公倍数。 8和6（12，24，36，48，60，72）； 3和9（3，6，9，12，15，18）； 5和10（5，10，15，20，25，30）； 5和8（16，20，24，40，50，80）。 【答案】，，，48，，72； ，，，，，18； ，，，20，，30； ，，，，，80 【思路引导】先求出各组数的最小公倍数，再求出最小公倍数的倍数，据此解答。 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。把公有的质因数与每个数独有的质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数是较大数；当两个数是互质数时，它们的最小公倍数是两数的乘积。 【规范解答】（1）8＝2×2×2，6＝2×3 8和6的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 24的倍数有：24，48，72，96…； 8和6（，，，48，，72）。 （2）3和9是倍数关系，所以3和9的最小公倍数是9； 9的倍数有：9，18，27…； 3和9（，，，，，18）。 （3）5和10是倍数关系，所以5和10的最小公倍数是10； 10的倍数有：10，20，30，40…； 5和10（，，，20，'，30）。 （4）5和8是互质数，所以5和8的最小公倍数是5×8＝40； 40的倍数有：40，80，120…； 5和8（，，，，，80）。 【变式训练】（24-25五年级下·吉林·期末）已知a＝2×3×5，b＝3×3×5，那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．180 B．90 C．60 D．15 【答案】B 【思路引导】求两个数的最小公倍数，需要取两个数公有的质因数，再乘各自独有的质因数，得到的乘积就是最小公倍数。 【规范解答】a和b公有的质因数是3、5，a独有的质因数是2，b独有的质因数是3，最小公倍数为。 奥数拓展一 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级上·广东湛江·期中）为庆祝妇女节，五（1）班准备表演一个献给妈妈的舞蹈节目，共选出参演学生36名。现在要给舞蹈排队列（每行最少不低于2人，最多不超过15人），你认为有多少种排队方法？ 【答案】6种 【思路引导】每行的人数是36的因数，且这些因数最小是2，最大不超过15。 【规范解答】36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。 每行人数 2 3 4 6 9 12 行数 18 12 9 6 4 3 答：有6种排队方法。 【考点剖析】本题考查了找一个数的因数。 【变式训练】（24-25五年级上·陕西西安·期中）已知n是一个大于零的自然数，把它所有的因数从小到大排列，最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是140，那么n是多少？ 【答案】105 【思路引导】n是一个大于零的自然数，它的因数最小是1，最大是它本身，最小的两个因数的和是4，即第二小的因数为4－1＝3，最大的两个因数的和是140，即它本身除以3即为第二大的因数，第二大的因数加上它本身后的和为140。 【规范解答】4－1＝3 n÷3＋n＝140 解： 答：n是105。 【考点剖析】n的因数最小是1，最大是它本身，第二小的因数为4－1＝3，它本身除以3即为第二大的因数，根据第二大的因数加上它本身后的和为140列方程解答。 奥数拓展二 2、5的倍数特征 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数。把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：。 (1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数。（填“是”或者“不是”） (2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。 【答案】(1) 不是 是 (2)设任意一个千丝数的个位数字是a，千位数字是b（b不能为0，且a＋b为偶数）。M=1050b+61a+10；千丝数与它的个位数字的6倍之差为：；因为1050b是5的倍数，55a是5的倍数，10也是5的倍数，所以1050b＋55a＋10能被5整除。 【思路引导】根据千丝数的定义，分别验证所给数的十位数字是否比个位数字大 1，以及百位数字是否等于千位数字与个位数字的平均数。 利用用字母表示数的方法，设个位数字和千位数字分别为未知数，根据定义表示出十位和百位数字，进而表示出这个四位数的值。通过代数运算计算该数与个位数字6倍的差，最后根据能被5整除的数的特征进行判断。 【规范解答】（1）对于 4376： 个位数字是6，十位数字是7，7＝6＋1，符合第一个条件； 千位数字是4，个位数字是6，它们的平均数是（4＋6）÷2＝5； 百位数字是 3，3≠5，不符合第二个条件。 所以4376不是千丝数。 对于 7787： 个位数字是7，十位数字是8，8＝7＋1，符合第一个条件； 千位数字是7，个位数字是7，它们的平均数是（7＋7）÷2＝7； 百位数字是7，7＝7，符合第二个条件。 所以7787是千丝数。 （2）证明： 设任意一个千丝数的个位数字是a，千位数字是b（b不能为0，且a＋b为偶数）。 根据千丝数的定义： 十位数字是a＋1； 百位数字是（a＋b）÷2。 这个千丝数M可以表示为： 千丝数与它的个位数字的6倍之差为： 因为1050b是5的倍数，55a是5的倍数，10也是5的倍数， 所以1050b＋55a＋10能被5整除。 即任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。 【考点剖析】解题时注意明确千丝数的两个判定条件需要同时满足；设数字时，要注意各数位数字的取值范围：千位数字是1到9的整数，个位、十位、百位数字是0到9的整数，且百位数字需为整数。证明整除时，需将代数式整理为5与某个整数的乘积形式，确保变形过程的严谨性。 【变式训练】（2024五年级·全国·竞赛）包含0至9这10个数字的十位数称为“十全数”，有一个十全数：它的千位是7，从左往右数，它的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除……前十位组成的十位数能被10整除。这个十全数的百位是( )。 【答案】2 【思路引导】根据题目中十全数的整除特性，从已知的能被10整除、能被5整除等条件入手，逐步确定各个数位上的数字。通过分析能被2、4、6、8整除的数的特征确定数位的奇偶性，利用能被3整除的数的特征确定数位和的关系，最后经过试算得出结果。 【规范解答】解：设所求十全数为。 因为前十位组成的十位数能被10整除，根据能被10整除的数的特征，其个位数字j一定是0，所以j＝0； 又因为前五位组成的五位数能被5整除，根据能被5整除的数的特征，其个位数字是0或5， 已知j＝0，所以e＝5； 由j＝0，可知前9位是1至9，这9个数字之和为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，而45÷9＝5， 所以前九位组成的九位数一定能被9整除， 由于前2，4，6，8位组成的数能够分别被2，4，6，8整除，根据能被2整除的数的特征，个位数字是偶数， 所以第2，4，6，8位的数都是偶数，因为0至9中只有5个偶数，偶数位上已确定是偶数， 所以其它数位也就是奇数位上的数都是奇数， 此时该数形式为，且b，d，f，h是非0偶数， 因为前3位组成的数能够被3整除，根据能被3整除的数的特征，其各数位数字之和是3的倍数， 所以a＋b＋c是3的倍数， 同理，前6位的数字之和是3的倍数，那么去掉前三位后，第4，5，6位的数字之和d＋5＋f是3的倍数， 又因为前9位数字之和是3的倍数，去掉前六位后，第7，8，9位的数字之和7＋h＋i也是3的倍数， 因为是8的倍数，且＝100f＋，由于100f一定是8的倍数 所以必须是8的倍数，在1至9中，h是偶数，满足是8的倍数的只有h＝2； 因为是4的倍数，＝10c＋d，c是奇数，奇数乘10后除以4余2 在非0偶数中，d只能是2或6，2已经被h占用， 所以d＝6 因为d＝6，e＝5，且d＋f＋5是3的倍数，所以f只能是4，即f＝4； 此时还剩下一个偶数8， 所以b＝8； 原数变为 现在a，c，i分别是1，3，9 又因为7＋2＋i是3的倍数，即9＋i是3的倍数。所以i＝3或9； 考虑到还需要是7的倍数，通过试算： 只有当a＝3，c＝1时，3816547÷7＝545221，是7的倍数； 所以a＝3，c＝1，i＝9 即这个十全数是3816547290 所以百位数字是2。 【考点剖析】本题考查了数的整除特征的应用，解题关键就是根据题意：第几位数能被几整除依次推断符合题意的数。 奥数拓展三 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（2026·重庆巴南·小升初真题）中国象棋的马走“日”字，车走横线或竖线，下图是半张中国象棋盘，试回答下列问题： (1)一只马从某点出发，是否一定得跳偶数步才能返回该点？ (2)一只马能否跳遍这半张棋盘，每一点都不重复，最后的一步跳回起点？ (3)证明：一只马不可能从位置B出发，跳遍半张象棋盘而每个点都只经过一次（不要求最后一步跳回起点）。 (4)一只马能否从位置B出发，用6步跳到位置A？为什么？ (5)一只车从位置A出发，在这半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置B。证明：至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。 【答案】(1)一定得跳偶数步才能返回该点。 (2)不能跳遍这半张棋盘，每一点都不重复，最后的一步跳回起点。 (3)证明：与B同色的点有22个，异色的点有23个，跳了42步时，已经跳遍了所有的白点，还剩下两个黑点，马不可能连续跳过两个黑点。所以一只马不可能从位置B出发，跳遍半张象棋盘而每个点都只经过一次。 (4)不能，A和B两点异色，从B到A一定跳奇数步。 (5)证明：假设从A到B走了半张棋盘且没有一个格点没被走过或被走了不止一次，A和B两点异色，从A点到B点需要走奇数步，而半张棋盘共45格，不重复的走半张棋盘需要44步，不是奇数，与假设矛盾。所以至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。 【思路引导】把半张象棋盘中的45个格点进行黑白相间染色后分析分别走奇数步与偶数步情况，根据45个格点，与黑白点情况判断能不能回到起点，根据跳到最后一步时，剩下点的染色情况来判断，A和B两点异色，必须是奇数步才能跳到，偶数步不能，假设从A到B走了半张棋盘且没有一个格点没被走过或被走了不止一次，根据A和B两点异色，从A点到B点需要走奇数步，而半张棋盘共45格，不重复的走半张棋盘需要44步，不是奇数，证明假设不成立，所以至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。 【规范解答】（1） 半张象棋盘中的45个格点进行黑白相间染色，如图： 因为马走奇数步只能从黑点到白点，或从白点到黑点，所以返回该点必定走偶数步。 （2）因为半张棋盘上共有45个格点，马从起点出发走遍半张棋盘，起点必与最后一点同色，所以不可能最后一步走回起点。 （3）与B同色的点有22个，异色的点有23个，跳了42步时，已经跳遍了所有的白点，还剩下两个黑点，马不可能连续跳过两个黑点。所以一只马不可能从位置B出发，跳遍半张象棋盘而每个点都只经过一次。 （4）不能，因为A和B两点异色，从B到A一定跳奇数步。6步是偶数步，所以不能。 （5）假设从A到B走了半张棋盘且没有一个格点没被走过或被走了不止一次，A和B两点异色，从A点到B点需要走奇数步，而半张棋盘共45格，不重复的走半张棋盘需要44步，不是奇数，与假设矛盾。所以至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。 【变式训练】（2025·湖北武汉·小升初真题）用0、1、2、3、4、5这6个数中选择4个组成没有重复数字的四位偶数，将这些偶数从小到大排列起来，第66个是______。 【答案】3054 【思路引导】组成的数是四位偶数，且数字不重复。偶数的个位必须是0、2或4；四位数的千位不能是0。按照从小到大的顺序，先确定千位数字。依次计算千位是1、千位是2的符合条件的数各有多少个，通过累加个数，判断第66个数的千位数字是多少。在确定千位数字后，再判断百位数字从小到大的顺序组成的四位偶数个数，确定第66个数字的百位数是多少，具体推断解答。 【规范解答】千位为1时，个位上有0，2，4三种选择，百位上有4种选择，十位上有3种选择，组成的四位偶数有： 4×3×3＝36（个），36＜66； 千位上为2时，个位上有0，4两种选择，百位上有4种选择，十位上有3种选择，组成的四位偶数有： 4×3×2＝24（个） 36＋24＝60（个） 60＜66 千位上是3时，个位上有0，2，4三种选择，百位上有4种选择，十位上有3种选择，组成的四位偶数有： 4×3×3＝36（个） 36＋60＝96（个） 60＜66＜96，第66个数字的千位上是3，并且是千位上是3的第6个偶数，百位是0时，个位有2，4两种选择，十位有3种选择，所以偶数个数有3×2＝6（个），所以是百位上是0的最大偶数，即3054，即第66个是3054。 奥数拓展四 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码），那么，这本书原来有( )页。 【答案】100 【思路引导】和差积的奇偶性，奇数加奇数等于偶数。一本书中间的某一张被撕掉了，这两页的页码数字是相邻的两个自然数（一个奇数一个偶数），两数的和应为奇数。余下的各页码数之和是4979，所以这本书的页码总和为偶数。设这本书n页，则n（n＋1）÷2＞4979，据此解答。 【规范解答】设这本书原来n页。 1＋2＋3＋4＋＋n＝n（n＋1） 当n＝100时， 小明算出的页数之和为4979，那么5050－4979＝71，71＝35＋36，所以这本书缺失的两页是35页和36页。 当n＝101时，，那么5151－4979＝172，此时缺失的是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数的和一定是一个奇数，而172是一个偶数，所以不可能是101页。因此这本书原来有100页。 【考点剖析】连续自然数的和，从数字1加到n（n是非0自然数），可以用n（n＋1）表示。得到关于n的式子，再利用设数的方法，结合和差的奇偶性，即可求出。 【变式训练】把137个苹果放入礼盒中，每个礼盒都装满。恰好装完而没有剩余。大盒每盒13个，小盒每盒6个。需要大盒( )个，小盒( )个。 【答案】 5 12 【思路引导】设大盒需要x个，小盒需要y个，可列方程为13x＋6y＝137，6y一定是偶数，137是奇数，那么13x一定是奇数。又因为13是奇数，那么x也是奇数；接下来进行代入：假如x＝1，代入失败；假如x＝3，代入失败；假如x＝5，137－13×5＝72＝6×12，代入成功。那么x＝5，y＝12，据此解答即可。 【规范解答】解：设大盒需要x个，小盒需要y个； 13x＋6y＝137 x＝5时，y＝12，方程成立； 需要大盒5个，小盒12个。 【考点剖析】此题利用了奇偶数的运算性质解决问题。 奥数拓展五 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（2026·重庆·小升初真题）阅读理解：一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个位数相同的整数，其中a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的中间数，c代表这个整数分出来的右边数，其中a，b，c位数相同，若b－a＝c－b，我们称这个多位数为等差数。 例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5－3＝7－5； 413223分成三个数41，32，23，并且满足：32－41＝23－32； 所以：357和413223都是等差数。 (1)判断：148_______等差数，514335_________等差数；（用“是”或“不是”填空） (2)若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除； (3)若一个三位数T是等差数，且T是24的倍数，求该等差数T。 【答案】(1) 不是 是 (2)设这个三位数为，百位数字为，十位数字为，个位数字为。则。因为是等差数，所以，即。的各位数字之和为。将代入，得。因为是3的倍数，根据能被 3 整除的数的特征，这个三位数一定能被3整除。 (3)432或456或840或864或888 【思路引导】根据等差数的定义，将数字分成左、中、右三部分，验证是否满足中间数减左边数等于右边数减中间数，或等价地验证左边数加右边数是否等于中间数的2倍。 设三位数为，利用等差数定义得出，结合能被3整除的数的特征（各位数字之和能被 3 整除）进行说明。 三位数是24的倍数，说明既是3的倍数也是8的倍数。由第（2） 问可知等差数一定是3的倍数，因此只需筛选出能被8整除的三位等差数。根据确定、的奇偶性，枚举符合条件的数字进行验证。 【规范解答】（1）对于148，分成三个数 1，4，8。因为，，，所以148不是等差数。 对于514335，分成三个数51，43，35。因为，，满足左边数加右边数等于中间数的2倍（即），所以514335是等差数。 （2）设这个三位数为，百位数字为，十位数字为，个位数字为。则。因为是等差数，所以，即。的各位数字之和为。将代入，得。因为是3的倍数，根据能被3整除的数的特征，这个三位数一定能被3整除。 （3）因为是24的倍数，，所以既是3的倍数，也是8的倍数。由第 [2] 问可知，三位等差数一定是3的倍数，所以只需寻找能被8整除的三位等差数。设的百位数字为，十位数字为，个位数字为。因为是8的倍数，所以是偶数，则为偶数。因为是等差数，满足，所以是偶数。因为是偶数，所以也是偶数。是百位数字，且为偶数，所以可以取 2，4，6，8。是个位数字，且为偶数，所以可以取 0，2，4，6，8。根据，且为0到9的整数， 逐一讨论： 当时：若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合。 当时：若，，，，，不符合； 若，，，，，符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，符合； 若，，，，，不符合。 当时：若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合。 当时：若，，，，，符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，符合； 若，，，，， 不符合；若，，，，，符合。 综上所述，该等差数为432或456或840或864或888。 【变式训练】（24-25六年级下·江苏无锡·期末）【样例1】 42＝4×10＋2 ＝4×（9＋1）＋2 ＝4×9＋4＋2 ＝4×3×3＋4＋2 【样例2】 276＝2×100＋7×10＋6 ＝2×（99＋1）＋7×（9＋1）＋6 ＝2×99＋7×9＋2＋7＋6 ＝2×33×3＋7×3×3＋2＋7＋6 说明：42、276是3的倍数，划线部分是3的倍数，后面部分是各个数位上数的和，分别是6和15，都是3的倍数，所以一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 (1)请你仿照上面的样例判断581是否是3的倍数，并进行说理。 (2)以3627为例，说明为什么判断一个数是不是9的倍数，也要看各个数位上数的和。 【答案】(1)581不是3的倍数。因为581的各个数位上数的和为5＋8＋1＝14，14不是3的倍数，因此581不是3的倍数。 (2)3627是9的倍数。因为3627的各个数位上数的和为3＋6＋2＋7＝18，18是9的倍数，因此3627是9的倍数。所以判断一个数是不是9的倍数，也要看各个数位上数的和是不是9的倍数。 【思路引导】（1）仿照42、276的样例判断581是否是3的倍数，581表示5个百，8个十和3个一，据此把581拆成5×100＋8×10＋1，再把100、10拆成99＋1和9＋1，然后根据乘法分配律整理算式，找出是3的倍数的部分，看剩下的部分的和是否是3的倍数，即可判断。 （2）3627表示3个千，6个百，2个十和7个一，据此把3627拆成3×1000＋6×100＋2×10＋7，再把1000、100、10拆成999＋1、99＋1和9＋1，然后根据乘法分配律整理算式，找出是9的倍数的部分，看剩下的部分的和是否是9的倍数，即可判断。 【规范解答】（1）（1）581 ＝5×100＋8×10＋1 ＝5×（99＋1）＋8×（9＋1）＋1 ＝5×99＋8×9＋5＋8＋1 ＝5×33×3＋8×3×3＋5＋8＋1 划线部分是3的倍数，后面部分5＋8＋1＝14，14不是3的倍数，所以581不是3的倍数。 说理：581的各个数位上数的和为5＋8＋1＝14，14不是3的倍数，因此581不是3的倍数。 （2）（2）3627 ＝3×1000＋6×100＋2×10＋7 ＝3×（999＋1）＋6×（99＋1）＋2×（9＋1）＋7 ＝3×999＋6×99＋2×9＋3＋6＋2＋7 ＝3×111×9＋6×11×9＋2×9＋3＋6＋2＋7 划线部分是9的倍数，后面部分3＋6＋2＋7＝18，18是9的倍数，所以3627是9的倍数。 说理：3627的各个数位上数的和为3＋6＋2＋7＝18，18是9的倍数，因此3627是9的倍数。所以判断一个数是不是9的倍数，也要看各个数位上数的和是不是9的倍数。 奥数拓展六 公因数与最大公因数 【典例精讲】（2026五年级上·辽宁·专题练习）两个连续偶数的和是10，这两个数是( )和( )，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 4 6 2 12 【思路引导】先根据连续偶数相差2，结合两数之和是10，利用和差问题求出这两个偶数；再用列举法找出两个数的因数、倍数，确定最大公因数与最小公倍数。 【规范解答】连续偶数相差2 两数中的小数：（10－2）÷2 ＝8÷2 ＝4 两数中的大数：4＋2＝6 4的因数：1、2、4 6的因数：1、2、3、6 最大公因数是2 4的倍数：4、8、12、16…… 6的倍数：6、12、18…… 最小公倍数是12 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）甲数＝2×3×A，乙数＝2×5×A。已知甲、乙两数的最大公因数是14，则A＝( )，甲、乙两数的最小公倍数是( )。 【答案】 7 210 【思路引导】先观察甲数、乙数的质因数式子：甲数＝2×3×A，乙数＝2×5×A。两个数的最大公因数是全部公有质因数的乘积，这里共有的质因数是2和A，所以最大公因数＝2×A；最小公倍数是公有质因数乘各自独有的质因数，也就是2×A×3×5。 【规范解答】2×A＝14 A＝14÷2＝7 最小公倍数：2×7×3×5＝210 奥数拓展七 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江西上饶·期末）李奶奶买苹果花了12元，王奶奶买苹果花了16元。如果她们买的苹果单价是一样的，那么这种苹果的单价最高是多少元？写出思考过程。（她们购买苹果的单价和数量都是整数） 【答案】最高是4元；思考过程：单价相同，且单价、数量都是整数，说明单价是12和16的公因数。把12和16分解质因数，取出公有的质因数相乘得到最大公因数4，因此苹果单价最高为4元。 【思路引导】单价是12和16的公因数，求最高单价，就是求12和16的最大公因数，用分解质因数的方法计算。 【规范解答】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最大公因数是2×2＝4 答：这种苹果的单价最高是4元。 【变式训练】（25-26五年级下·湖北黄冈·阶段检测）有三根铁丝，长度分别是12米、18米和24米，现在要把它们截成同样长的小段，每段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 【答案】6米；9段 【思路引导】要把三根不同长度的铁丝截成同样长的小段，并且每段要最长，就是求12、18、24的最大公因数。求出每段长度后，再分别算出每根铁丝截成几段，相加得到总段数。 【规范解答】12＝2×2×3 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 12、18、24的最大公因数是2×3＝6 12÷6＝2（段） 18÷6＝3（段） 24÷6＝4（段） 总段数：2＋3＋4＝9（段） 答：每段最长是6米，一共可以截成9段。 奥数拓展八 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江台州·期末）学校买来了一批跳绳，数量在90到100之间。如果将这些跳绳平均分给8个班，正好分完；如果平均分给6个班，也正好分完。学校一共买了多少根跳绳？ 【答案】 96根 【思路引导】跳绳数量平均分给8个班或6个班都正好分完，说明跳绳数量是8和6的公倍数，找出90到100之间的8和6的公倍数，就是跳绳的总数量。 【规范解答】，； 6和8的最小公倍数是：； 24的倍数：、、、、、 因为 ，所以符合条件的数是96。 答：学校一共买了96根跳绳。 【变式训练】（2026五年级上·辽宁·专题练习）花园小学开展趣味运动会，请算一算五（2）班和五（3）班各有多少名学生。 信息①：五（2）班班主任王老师把本班学生按照“小螃蟹背西瓜”（4人一组）或“幸福摩天轮”（6人一组）的游戏要求分组，都恰好能分完。 信息②：五（3）班的人数同时是2，3和5的倍数。 信息③：五（2）班和五（3）班的人数都不少于30，不超过40。 【答案】五（2）班36名学生；五（3）班30名学生 【思路引导】根据分组恰好分完的条件，可知班级人数是对应分组人数的公倍数，再结合30到40的人数范围，筛选出符合要求的人数。 【规范解答】计算五（2）班人数：五（2）班人数是4和6的公倍数； 分解质因数：4＝2×2，6＝2×3，4和6的最小公倍数是2×2×3＝12，在30到40之间，12的倍数为：12×3＝36（人），36在30到40之间，符合要求； 计算五（3）班人数：五（3）班人数是2、3、5的公倍数； 2、3、5的最小公倍数是：2×3×5＝30（人）； 30在30到40之间，下一个倍数30×2＝60（人）超过40，不符合要求。 答：五（2）班36名学生；五（3）班30名学生。 奥数拓展九 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）为响应爱心图书角阅读助学行动，乐之书社捐了一批书。这批书无论是平均分给2个人，还是5个人，都正好剩1本；如果平均分给3个人，那么正好分完。这批书至少有多少本？ 【答案】21本 【思路引导】分给2个人剩1本、分给5个人也剩1本，说明书本总数减去1之后，既是2的倍数，也是5的倍数，也就是2和5的公倍数。同时书本总数又能被3整除，是3的倍数，找最小的符合条件的数。 【规范解答】2和5的最小公倍数：2×5＝10 书的本数可以写成：10＋1＝11、20＋1＝21、30＋1＝31…… 11÷3＝3……2，不能正好分完； 21÷3＝7，可以正好分完。 答：这批书至少有21本。 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）暑假期间，小红、小芳和小伟都去画室学习国画，小红每2天去一次，小芳每3天去一次，小伟每4天去一次。8月3日三人一起学习完国画后，下一次三人一起去画室学习是几月几日？ 【答案】8月15日 【思路引导】要找到三人下次同时去的时间，需先求出2、3、4的最小公倍数，即两次同时去的间隔天数，再用8月3日加上间隔天数得到对应日期。 【规范解答】2的倍数有：2，4，6，8，10，12…… 3的倍数有：3，6，9，12…… 4的倍数有：4，8，12…… 2、3、4的最小公倍数是12 （日） 答：下一次三人一起去画室学习是8月15日。 奥数拓展十 质数与合数的认识 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）一个正方形边长的数值是质数，关于这个正方形的说法正确的有（    ）个。 ①面积的数值一定是质数。    ②面积的数值一定是合数。 ③周长的数值一定是偶数。    ④周长的数值一定是4的倍数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】质数：大于1的自然数，除了1和它本身外，没有其他因数。合数：大于1的自然数，除了1和它本身外，还有其他因数。偶数：能被2整除的整数。倍数：若a÷b＝c（a，b，c为整数，b不等于0），则a是b的倍数。据此结合正方形周长C＝边长×4、面积公式S＝边长×边长判断各说法正误。 【规范解答】设正方形边长为质数。 ①：面积为，的因数有1、、，属于合数，故①错误。 ②：由①知，面积的数值一定是合数，故②正确。 ③：周长为，能被2整除，是偶数，故③正确。 ④：除以4的商是整数，是4的倍数，故④正确。 正确的说法为②③④，共3个。 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图这首诗是宋代诗人邵雍所作的《山村咏怀》，诗中出现的数，既是质数又是偶数的有( )；既是奇数又是合数的有( )；既是质数又是奇数的有( )；既是偶数又是合数的有( )；既不是质数又不是合数的有( )。 【答案】 2 9 3，5，7 4，6，8，10 1 【思路引导】先提取诗中的数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10；质数：大于1，只有1和它本身两个因数；合数：大于1，除1和本身还有别的因数；奇数：不能被2整除；偶数：能被2整除；1既不是质数，也不是合数。 【规范解答】既是质数又是偶数的：2（唯一的偶质数）； 既是奇数又是合数的：9； 既是质数又是奇数的：3、5、7； 既是偶数又是合数的：4、6、8、10； 既不是质数又不是合数的：1。 奥数拓展十一 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·河南新乡·期末）在括号里填上合适的质数。 26＝( )＋( )＝( )＋( ) 20＝( )＋( )＝( )＋( ) 【答案】 3 23 7 19 3 17 7 13 【思路引导】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数；1既不属于质数也不属于合数。根据题意，找出30以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，据此解答。 【规范解答】26＝3＋23＝7＋19 20＝3＋17＝7＋13 【变式训练】（25-26五年级下·广东江门·阶段检测）在50以内的自然数中，最小的合数与最大的质数的和是（    ）。 A．49 B．51 C．53 D．54 【答案】B 【思路引导】合数是除1和本身外还有其他因数的数，质数是只有1和本身两个因数的数，据此找到符合条件的质数和合数，最后再将两者相加即可。 找最小合数：从1开始往后找最小的合数，在自然数中，1既不是质数也不是合数，2和3是质数，4的因数有1、2、4，所以，最小的合数是4。 找最大质数：从50开始向下寻找质数，50是偶数，除了1和本身还有其他因数，50是合数；49的因数有1、7、49，是合数；48是偶数，是合数；47的因数只有1和47，是质数。所以，50以内最大的质数是47。 【规范解答】4＋47＝51 在50以内的自然数中，最小的合数与最大的质数的和是51。 奥数拓展十二 分解质因数 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）写出下面各组数的最大公因数。 6和12( )  28和36( )  25和40( )  42和54( ) 【答案】 6 4 5 6 【思路引导】求两个数的最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积，就是这两个数的最大公因数；如果两个数是互质数，最大公因数是1；如果两个数是倍数关系，最大公因数是较小的数；据此解答即可。 【规范解答】6和12是倍数关系，所以最大公因数是6； 28和36 28＝2×2×7 36＝2×2×3×3 28和36的最大公因数是：2×2＝4； 25和40 25＝5×5 40＝2×2×2×5 25和40的最大公因数是：5； 42和54 42＝2×3×7 54＝2×3×3×3 42和54的最大公因数是：2×3＝6。 【变式训练】（24-25五年级下·河南平顶山·期末）一个数的最小倍数是32，把这个数分解质因数是( )。 【答案】32＝2×2×2×2×2 【思路引导】一个数的最小倍数是它本身，因为一个数的最小倍数是32，所以这个数就是32。将一个合数分解成若干个质因数相乘的形式叫作分解质因数，据此分析。 【规范解答】32 ＝4×8 ＝（2×2）×（2×2×2） ＝2×2×2×2×2 一个数的最小倍数是32，把这个数分解质因数是32＝2×2×2×2×2 【基础通关】 1．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）我国著名数学家陈景润证明了“充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和”，例如22＝3×5＋7，国际上将这个结论称作“陈氏定理”。下面式子中符合这个定理的是（    ）。 A．5＝2×1＋3 B．8＝2×2＋4 C．26＝3×7＋5 D．42＝5×8＋2 【答案】C 【思路引导】判断需满足两个条件：一是等式左边是偶数；二是等式右边相乘的两个数和最后的加数都是质数。 质数指只有1和它本身两个因数的数，1既不是质数也不是合数，合数指除了1和它本身还有其他因数的数。 【规范解答】A．5＝2×1＋3，5是奇数，1既不是质数也不是合数，不符合要求； B．8＝2×2＋4，8是偶数，4是合数，不符合要求； C．26＝3×7＋5，26是偶数，3、7、5都是质数，符合要求； D．42＝5×8＋2，42是偶数，8是合数，不符合要求。 2．（24-25五年级下·浙江台州·期末）按下图程序计算，输入一个任何非0自然数，输出的数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】B 【思路引导】根据偶数×3＝偶数，奇数＋奇数＝偶数判断。 【规范解答】如果输入的是偶数A：A×3＝偶数×3＝偶数，是偶数。 如果输入的是奇数B：B＋B＝奇数＋奇数＝偶数，是偶数。 所以不管输入的非0自然数是奇数还是偶数，最终输出的数一定是偶数。 3．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）“六一”儿童节期间，实验小学开展了“十岁扬帆梦起航，童心立志向未来”主题活动，参加此次活动的学生数在500～600人之间。若这些学生20人一排则多出10人25人一排也多出10人。参加此次活动的学生有（    ）人。 A．500 B．610 C．560 D．510 【答案】D 【思路引导】学生人数不管按20人一排还是25人一排，都多出10人，说明总人数减10之后是20和25的公倍数，找出20和25的公倍数，再加10，结合人数在500~600之间找出相应数据即可。 【规范解答】 20和25的最小公倍数是： 20和25的公倍数有：、、、、、 （人） （人） 所以，参加此次活动的学生有510人。 4．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）一个三位数28，当它是2和3的公倍数时，最大可以填( )；当它不仅有因数3，还是5的倍数时，可以填( )。 【答案】 8 5 【思路引导】①2和3的公倍数需同时满足2的倍数、3的倍数的特征，因为2的倍数个位为0、2、4、6、8，所以先确定方框可填0、2、4、6、8，再结合3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数，从最大的8开始筛选出符合条件的数的最大值。 ②有因数3且是5的倍数需同时满足3的倍数、5的倍数的特征，因为5的倍数个位是0或5，所以先确定方框可填的0或5，再结合3的倍数特征筛选出符合条件的数。 【规范解答】，18是3的倍数，符合要求，所以最大可以填8； ，10不能被3整除，不符合； ，15能被3整除，符合要求，所以只能填5。 当它是2和3的公倍数时，最大可以填8；当它不仅有因数3，还是5的倍数时，可以填5。 5．（24-25五年级下·浙江台州·期末）母亲节活动，商店买来27枝白百合，45枝康乃馨和18枝玫瑰，准备扎成花束送给进店的母亲，这些花最多可以扎成( )束同样的花束（全部花都用完）。 【答案】9 【思路引导】要把三种花全部用完，扎成数量最多的相同花束，花束的总数需要同时整除27、45、18这三个数，也就是求这三个数的最大公因数。 【规范解答】 3×3＝9 三者共同的最大因数是9，所以最多可以扎成9束同样的花束。 6．（25-26五年级下·广东江门·阶段检测）自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。( ) 【答案】× 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。1既不是质数也不是合数。 【规范解答】自然数按照能否被2分类，不是奇数就是偶数；但是按照因数个数分类时，除了质数、合数，自然数1既不是质数，也不是合数。因此“自然数不是质数就是合数”这句话错误，原题干说法错误。 故答案为：× 7．（24-25五年级下·甘肃武威·期末）一个合数至少有2个因数。( ) 【答案】× 【思路引导】除了和它本身还有其他因数的数叫做合数，因此合数至少有个因数。 【规范解答】一个合数的因数包含、它本身，以及至少个其他因数，最少有个因数，题干说法错误。 故答案为：× 8．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）西双湖农场有一块长105米、宽75米的长方形菜地，计划分成若干个同样大小的正方形种植区域（边长为整米数），且区域之间无空隙。正方形种植区域的边长最大是多少米？至少能划分成多少个这样的种植区域？ 【答案】15米；35个 【思路引导】根据题意可知，正方形的边长必须既是长方形长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。要求正方形地的边长最大是多少，就是求长和宽的最大公因数。求出正方形的边长后，用长方形的长和宽分别除以正方形的边长，得到长和宽方向上各能划分出的个数，再将这两个数相乘，即可得到一共可以划分出的正方形总个数。 【规范解答】 105和75的最大公因数是： （个） 答：正方形种植区域的边长最大是15米；至少能划分成35个这样的种植区域。 9．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）道须沟旅游景区位于宁城县黑里河国家自然保护区内，景区内拥有郁郁葱葱的丛林、清澈的湖水和瀑布。当然，最吸引同学们的就是好玩的研学基地了，研学项目有厨艺、工艺、科技制作等。某学校五年级共有123人，大多数同学都要去参加研学活动。大队长把参加研学活动的同学分组，若按9人一组，则剩下4人，若按10人一组，则差6人。五年级一共有多少名同学要去参加此次研学活动？ 【答案】名 【思路引导】按人一组差人，等价于按人一组会剩余（人）。按人一组也剩余4人，说明参加研学的总人数减去之后，能同时被和整除，也就是总人数减是和的公倍数。因为和互质，所以最小公倍数是。结合总人数不超过人的限制，筛选符合条件的公倍数：和的公倍数有、……，只有在以内。计算最终人数：，再验证该结果同时满足两个分组条件即可。 【规范解答】按人一组差人，相当于按10人一组剩余（人）， 所以参加研学的人数减去后，既是的倍数，也是的倍数，即9和10的公倍数， 和的最小公倍数：，和下一个公倍数是， ，超过总人数，不符合要求， 研学人数：（名）， ，且大于123的一半，符合条件。 答：五年级一共有名同学要去参加此次研学活动。 10．（24-25五年级下·江西赣州·期末）端午缝制香囊，李阿姨每10分钟缝制一个香囊，王阿姨每8分钟缝制一个香囊，上午8：00她们同时开始缝制第一个香囊，下次同时缝制一个香囊的时间是几时几分？ 【答案】8时40分 【思路引导】求两人缝制香囊周期的公共时间点，是找到10分钟和8分钟的最小公倍数，因为两人同时开始缝制，所以下次同时开始缝制的间隔时间是两个周期的最小公倍数。 计算10和8的最小公倍数，用短除法计算。 把得到的间隔时间加到上午8:00的起始时间上，即可得到对应的时刻。 【规范解答】 10和8的最小公倍数为（分钟） 答：下次同时缝制一个香囊的时间是8时40分。 【能力提升】 1．（24-25五年级下·江西赣州·期末）端午包粽子比赛，一共包了abcde个棕子，其中a比最小的质数与最小的合数的积少2，比最小的奇数多2，c是一位数中最大的偶数，既是4的倍数，又是4的因数，是最小奇数与最小偶数的积，则包了（    ）个粽子。 A．83842 B．83840 C．63842 D．63840 【答案】D 【思路引导】最小的质数是2、最小的合数是4、最小的奇数是1、一位数中最大的偶数是8、既是4的倍数也是4的因数的数是4、最小的偶数是0，分别对应的值是求解的基础。 a是最小质数2与最小合数4的积减2，所以先算二者乘积再减2得到a。 b比最小奇数1多2，所以用最小奇数1加2得到b。 c是一位数中最大的偶数8，所以直接对应得到c。 d既是4的倍数又是4的因数，所以直接得到d是4。 e是最小奇数1与最小偶数0的积，所以计算二者乘积得到e。 将得到的五个数位按a、b、c、d、e的顺序组合成五位数，对应选项即可。 【规范解答】， ， ， 组合得到总粽子数为63840。 2．（24-25五年级下·江苏南京·期末）小区道路一边每隔10米安装了一盏路灯，从头到尾共安装了31盏。为了节约用电，现要改成每隔12米安装一盏。要求两端都不移动，中间还有（    ）盏不必移动。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】先根据原路灯的安装规则算出小区道路总长度：从头到尾装路灯，间隔数＝路灯数1，结合原间隔10米求出路长。 找出不必移动的路灯位置规律：同时是10和12的公倍数的位置，路灯不需要移动，先求两个数的最小公倍数。 用总路长除以最小公倍数，得到所有不必移动的路灯总数量，再减去末端的那1盏，就是中间不必移动的数量。 【规范解答】（个） （米） （个） （盏） 对比各选项应选B。 3．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）若a÷b＝3（a、b均为非0自然数），则a和b的最大公因数是( )；若a＋1＝b，则a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 b ab 【思路引导】已知a、b都是非0自然数，且a÷b＝3，说明a是b的3倍，是倍数关系的两个数，最大公因数是其中较小的数。 a＋1＝b说明a和b是相邻的两个非0自然数，相邻的两个自然数只有公因数1，是互质关系的两个数，最小公倍数是这两个数的乘积。 【规范解答】若a÷b＝3（a、b均为非0自然数），a是b的3倍，则a和b的最大公因数是b。 若a＋1＝b，a和b是互质数，则a和b的最小公倍数是ab。 4．（24-25五年级下·广东肇庆·期末）李阿姨的取件码可以用下面的信息描述，想一想，李阿姨的取件码是( )。 取件码由ABCD四个数字组成，其中A比最小的质数大2；B是一位数中最大的偶数；C同时是2和3的倍数；D既是5的因数，又是5的倍数。 【答案】4865 【思路引导】非零自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，最小的质数是2； 自然数中，是2的倍数的数是偶数，一位数中偶数有2、4、6、8，其中8最大； 2和3互质，互质的两个数最小公倍数是它们的乘积； 一个数既是它本身的因数，又是它本身的倍数。 【规范解答】最小的质数是2，A比它大2，所以A＝2＋2＝4； 一位数里的偶数是2、4、6、8，最大的是8，所以B＝8； 2和3互质，最小公倍数是2×3＝6，且是一位数，所以C＝6； 既是5的因数又是5的倍数的一位数是5，所以D＝5。 综上，李阿姨的取件码是4865。 5．（24-25五年级下·安徽亳州·期末）两个数的和是100，一个是7的倍数，另一个是11的倍数。这两个数分别是( )和( )。 【答案】 56 44 【思路引导】先明确核心条件：两个数相加等于，其中一个是的倍数，另一个是的倍数。 分别列出以内所有的倍数、所有的倍数。从这两组数中，逐一验证两个数相加是否等于，筛选出同时满足“和为”“分别是、的倍数”的组合，最终得到符合要求的两个数。 【规范解答】以内的倍数：，，，，，，，，，，，，，； 以内的倍数：，，，，，，，，； 只有满足题意， 所以两个数的和是，一个是的倍数，另一个是11的倍数。这两个数分别是和。 6．（24-25五年级下·甘肃张掖·期末）如果A和B的最大公因数只有1，那么它们的积一定是合数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】若两个互质数中有一个是1，二者的积可能为质数，因此原说法不成立。 【规范解答】取A＝1，B＝2，二者的最大公因数是1，满足题干条件。 ，2是质数，不是合数，因此原说法错误。 故答案为：× 7．（25-26五年级上·广东惠州·期中）在12×3＝36中，12是因数，36是倍数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据因数和倍数的定义，因数和倍数是相互依存的关系，必须说明某个数是另一个数的因数或倍数，不能单独存在。题目中未明确说明对应关系，因此错误。 【规范解答】在算式12×3＝36中，12和3都是36的因数，36是12和3的倍数。因数和倍数必须成对出现，不能单独说某个数是因数或倍数。题目中“12是因数”应表述为“12是36的因数”，“36是倍数”应表述为“36是12（或3）的倍数”。原题未指明对应关系，因此错误。 故答案为：× 【考点剖析】因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说 “某个数是因数 / 倍数”，必须明确 “谁是谁的因数 / 谁是谁的倍数”。 8．（24-25五年级下·贵州黔西南·期末）找出下面每组数的最大公因数。 8和12    18和9    7和11 【答案】4；9；1 【思路引导】求两个数的最大公因数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1；如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数；如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积；据此解答。 【规范解答】8＝2×2×2，12＝2×2×3，所以8和12的最大公因数是2×2＝4。 18÷9＝2，即18和9成倍数关系；所以18和9的最大公因数是9。 7和11是互质数，最大公因数是1。 9．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 【答案】4种；每行5人、每列12人；每行12人、每列5人；每行6人、每列10人；每行10人、每列6人。 【思路引导】长方形队伍的总人数等于每行人数乘每列人数，即：每行人数×每列人数＝60。60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。因为每行和每列人数都不能少于5人，所以需找出两个因数相乘等于60，且每个因数都大于或等于5的情况：5×12＝60（每行5人，每列12人），12×5＝60（每行12人，每列5人），6×10＝60（每行6人，每列10人），10×6＝60（每行10人，每列6人）符合条件的因数对共有4组，即有4种排法。据此解答。 【规范解答】60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。 5×12＝60，每行5人，每列12人； 12×5＝60，每行12人，每列5人； 6×10＝60，每行6人，每列10人； 10×6＝60，每行10人，每列6人； 答：共有4种排法，分别是每行5人、每列12人；每行12人、每列5人；每行6人、每列10人；每行10人、每列6人。 【考点剖析】本题的关键在于，先根据“总人数＝每行人数×每列人数”的关系，分解出60的所有因数，再结合“每行、每列人数不少于5人”的条件筛选出符合要求的因数对，最后通过考虑行数与列数的互换情况，统计出所有符合条件的排法数量并具体列出。 10．（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【答案】（1）长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【思路引导】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此确定长和宽； （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，再用20减去质数求出对应的数看是否是合数且满足合数数量是质数数量的倍数。 【规范解答】（1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 符合条件的是2×12和3×8 答：这个花坛的长和宽可能长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19 对应的数为18、17、15、13、9、7、3、1 2＋18＝20，18÷2＝9 5＋15＝20，15÷5＝3 答：这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【考点剖析】本题主要考查质数合数的概念与长方形面积的结合。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 第七单元倍数与因数『举一反三知识讲练』 (思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+19个考点讲练+12个奥数拓展+真题难度分层演练共82题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络 …3 知识梳理温故知新· 3 知识点一因数与倍数 .3 知识点二2、5、3的倍数特征… 知识点三：奇数与偶数 知识点四：质数与合数 知识点五：分解质因数…… 知识点六：最大公因数… ..5 知识点七：最小公倍数. 考点讲练真题汇总…6 第1页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点一因数和倍数的认识..·… 高频考点二找一个数的倍数及倍数的特征... 高频考点三根据倍数的特征解决问题.7 高频考点四找一个数的因数及因数的特征.· …7 高频考，点五根据因数的特征解决问题 ….7 高频考点六倍数和因数的综合应用.·..· 高频考点七2、5的倍数特征.... 高频考点八奇数与偶数的认识...， 高频考点九运算性质（奇数和偶数).... ….9 高频考点十3的倍数特征。 …9 高频考，点十一2、3、5的倍数特征综合 高频考点十二9的倍数特征. 10 高频考点十三公因数与最大公因数.. 10 高频考点十四用最大公因数解决实际问题..， 10 高频考点十五公倍数与最小公倍数... 11 高频考点十六用最小公倍数解决实际问题. 7 高频考点十七质数与合数的认识.· 11 高频考点十八质数与合数的综合应用 12 高频考点十九分解质因数… 12 难点突破奥数拓展. 13 奥数拓展一倍数和因数的综合应用....· 13 奥数拓展二2、5的倍数特征.... 13 奥数拓展三奇数与偶数的认识.... ·...14 奥数拓展四运算性质（奇数和偶数).... 14 奥数拓展五2、3、5的倍数特征综合… 14 奥数拓展六公因数与最大公因数.... 15 奥数拓展七用最大公因数解决实际问题..16 奥数拓展八公倍数与最小公倍数………16 奥数拓展九用最小公倍数解决实际问题 ..17 奥数拓展十质数与合数的认识.17 第2页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 奥数拓展十一质数与合数的综合应用..… 18 奥数拓展十二分解质因数...... 18 优选真题实战演练 18 【基础通关】 18 【能力提升】 ..20 导图指引 梳理脉络 倍数的认识 倍数与因数的关系 2、5的倍数特征 一个数有1和它本身两个因 ,在百数表中圈出3的数 你发现了什么 这个数叫作陆数 ·一个数除了1和它本身以外还有 23↓ 我发现3的倍数 用 1213 庄一条条斜线上 别的数，这个数叫作合 。1不是质数，也不是合数。 9x4-36(人) 5×7=36(人) 61235650 练一练 尖际上，个位上是0成3 6236G6的 67 6,9的数。每是3的倍数 9×4=36.36是9和4的倚量，9和4是36的因数 分一分。并与同件交流你是怎么分的 602885666769990 领摄5×7=35，你能说出 。从上表中找出2的倍数，说一说这些数有什么特征 感木数是愿个数的修数 我们只在自然数 27232911 部个数是等个数的国数吗？ 2×1=2 (车障外）范周 9 142599 个上是2,4,6,8 研完数和因数 0的数新是2的倍， 2✉4=8 倍数的特征 合 第七单元 2的倍数也叫属数， 不是2的倍数的数叫每数 。在百数表中圈出5的信数，保发现了什么？ 倍数与因数 3的倍数特征 1=3,32=6.3×3=9,3×4=2,个位上的2什么棒将 质数与合数 6 请在百数表中接着阁出3的信数，你发现了什么？ 用12个小正方形拼成一个长方形 第5莉。第10列， 发现，3的名本数 上的数车之和都是3的倍量 。在百数表中圈出2的倍数。你发现了什么？ 田 制如：12.1+2=3」 是的传数320221674 15,1+5=6 确实是3的侣数。太神奇电 名6 21.2+1=3 汽发现2的售数 在一条豪韩线上 寻找质数 。在百数表中，怎样找出1一0阳中的所有数？与同作交流 因数和倍数的意义 小正方形个数()模拼成几种长方形 。一个数既是6的倍数。艾是24的因数 719 这个数可能是多少？《6.12.18.24 最大公因数和最小公倍数 一个数是7的信数。又是24的因数 这个数可能是多少？《无) 1,2.3,6 感是12相同 安码4和6相回 圆数中最大的 陆数中最小的。 可以在看数表中先划 2,3,5的结数“ 一个数只要同时禹是倍数和国数的条件 忧能确定这个数， 1,2,5,10 1939997910m 整理与复习 数的分类 倍数与因鼓的摩义 求最大公因数和最小公倍数 2和瑞的最大公数是 和6的小公数 a是b的信数b是a的因对 (a.b是非自然数) 可以用列举法。分解循国数法等 知识梳理温故知新 84=8■ 知识点一因数与倍数 1.因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6,12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c 的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 第3页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 2.找一个数的因数的方法 (1)列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因 数。 (2)列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3.因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4.找一个数的倍数的方法 （1)列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 (2)列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5.倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二2、5、3的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3.3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三：奇数与偶数 1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2一1表示。 3.奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (④)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数一奇数=偶数 奇数一偶数=奇数 偶数一奇数=奇数 偶数一偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数 1.质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 第4页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 例如：20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2.合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3.注意。 （1)0、1既不是质数，也不是合数。 (2)100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、 71、73、79、83、89、97,共25个。 知识点五：分解质因数 1.分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5,24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1,最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几 个数的最大公因数。 2.求最大公因数的方法 (1)列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 (2)短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 (短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。) (3)分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 (4)互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 (5)倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3.注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作(12,18)=6。 第5页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 知识点七：最小公倍数 1.最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最 小公倍数。 2.求最小公倍数的方法 (1)列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 (2)短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 (短除法的口决：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。) (3)分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 (4)互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 (5)倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3.注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作[12,18]= 36。 昌考点讲练真题汇总 高频考点一因数和倍数的认识 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)三位同学关于因数和倍数的相关知识有以下不同的想 法，想法正确的是( 因为12.5×8=100，所以12.5 因为45÷5=9，所以45是5的 因为29÷4=7…1， 明 和8是100的因数。100是8的 倍数，45也是9的倍数；5是 所以29不是7的倍数， 倍数，100也是12.5的倍数。 45的因数，9也是45的因数。 也不是4的倍数， A.小明和小天 B.小明和小星 C.小天和小星 D.小明、小天和小星 【变式训练】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)一个数既是4的倍数，又是36的因数，这个数可能是 )。(写出所有可能) 高频考点二找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】(26-27五年级上辽宁课后作业)一个数既是6的倍数，又是6的因数，这个数是( )。 A.2 B.3 C.6 D.12 【变式训练】(26-27五年级上辽宁课后作业)根据A:B=7(A,B为非零自然数)可知，A是B的( B是A的( )。若a是大于1的自然数，则a的最小因数是()，最小倍数是( )。 第6页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点三根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】(24-25五年级下·浙江嘉兴·期末)有A、B、C三个数(A>B>C),如果数A除以7，余 数是3：数B除以7，余数也是3；数C除以7，余数是4。 甲认为：A与B的差一定是7的倍数： 乙认为：A与C的和一定是7的倍数。 甲、乙两人的说法对吗？请作出判断，并说明你的理由。 【变式训练】(24-25五年级下·河南南阳·期末)一串珠子有7种颜色，每种颜色颗数相等，珠子总数 在90~110之间，这串珠子的颗数不可能是( )。 A.91 B.105 C.98 D.103 高频考点四找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富， 是我国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码 均是36的因数。下列水墨画的编码中，( )组可能是获奖作品编码。 A.1、13、18B.2、6、12 C.4、9、16 D.2、12、16 【变式训练】(24-25五年级下江苏泰州期末)如果a的最大因数是13，b的最小倍数是1，a+b=( a十b的因数有( ),a一b的因数有( ),a×b=( ),a×b的因数有( ）。 高频考点五根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏泰州·期末)把48个玻璃球装进同样的瓶子里，每个瓶中玻璃球的 数量相等（每瓶中的玻璃球不少于3个，不超过12个），并且正好装完，有( )种不同的方法。 【变式训练】(24-25五年级下·福建漳州·期末)古希腊数学家认为，如果一个数恰好等于它所有的因 数（本身除外）的和，那么这个数就是“完全数”。如：6的因数有1、2、3、6，因为1十2+3=6，所以 6就是一个“完全数”。下面( )是“完全数”。 A.15 B.28 C.36 D.51 高频考点六倍数和因数的综合应用 【典例精讲】(25-26五年级下·山西晋中·期末)为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多 彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成 第7页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多 少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 【变式训练】(25-26五年级下·山东淄博·期末)村委响应“双碳”战略，计划在村委会大楼屋顶铺设 太阳能光伏板，屋顶是一块长12米、宽7.5米的长方形区域。现有以下规格的光伏板可供选择（单位：厘 米)。要求光伏板正好铺满屋顶而不裁剪，应选择规格( )。 A.60×80 B.100×150 C.120×160 D.100×90 高频考点七2、5的倍数特征 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)把下列数填入合适的位置，并分析特点。 30 45 32 23 168 625 3200 84 507 偶数有( ): 5的倍数有( )； 既是2的倍数，又是5的倍数的数有( ),这些数的特点是( )。 【变式训练】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)体育器材室有4袋羽毛球，每袋羽毛球的个数分别是 76,☐14,2☐2,1▣3。这些羽毛球( )平均分给2个班，( )平均分给5个班。（填“能” 或“不能”) 高频考点八奇数与偶数的认识 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)用0,1,2这三个数字组成的三位数中（各数位数字 不能重复)，偶数有( )个。 A.4 B.2 C.3 D.1 【变式训练】 (26-27五年级上·辽宁·课后作业)观察下面各数，填一填。 1,13,29 28,4,50 (1)左边的数都是( )数，右边的数都是( )数。 (2)从左边任取两个数相加，和是( )数：从右边任取两个数相加，和是( )数；从左、右两 第8页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 边各取一个数相加，和是( )数。 (3)我发现：偶数+偶数=( )数，奇数+偶数=( )数，奇数十奇数=( )数。 高频考点九运算性质（奇数和偶数） 【典例精讲】(24-25五年级下·山东临沂·期末)奶奶买了一些面包和三明治，付给营业员60元，找回 了11元，找回的钱数对吗？写出你的理由。 甜甜圈：2元/个 面包：4元/个 三明治：10元/个 【变式训练】(24-25五年级下·河南平顶山·期末)如果a十1是偶数，那么6a是( )数，9a是 )数。（填“奇”或“偶”） 高频考点十3的倍数特征 【典例精讲】(24-25五年级下浙江杭州期末)要使8☐5☐能同时被2、3、5整除，个位上只能填( 百位上最小可以填( )。 【变式训练】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)为了促使学生加强体育锻炼，学校举办了趣味运动会。 其中“篮球接力”，哪个年级的报名人数按“3人一组”或“5人分组后均没有剩余？写出你的思考过程。 年级 五年级 六年级 报名人数 78人 60人 高频考点十一2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)李华5年前的年龄是3的倍数，现在的年龄既是2的 倍数，又是5的倍数。李华现在还不到30岁，他现在( )岁。 【变式训练】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)下面几位同学中，( )的看法不合理。 A.晨晨：个位上是3,6,9的数都是3的倍数 B.笑笑：由7,3,2组成的三位数（没有重复数字）都是3的倍数 第9页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 C.奇奇：一个数同时是2,3,5的倍数，则这个数最小是30 D.欢欢：要使1810是3的倍数，可以加上230 高频考点十二9的倍数特征 【典例精讲】(25-26五年级下·广东佛山·期中)123各位上的数的和是6，是3的倍数，所以123是3 的倍数。为什么可以这样判断？ 123=1×100+2×10+3 =1×(99+1)+2×(9+1)+3 =1×99+1+2×9+2+3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1+2+3”，也就是“各位上的数的和”是否为3的 倍数便可以进行判断了。 (1)先判断下面各数是否为9的倍数（对的在后面画“√”，错的在后面画“×”）。 693( ) 239( 990( (2)写出9的倍数特征：( ）。 【变式训练】(25-26五年级上·全国·课后作业)一个自然数既是9的倍数，又是54的因数，这个数最 大是( )。 A.9 B.18 C.27 D.54 高频考点十三公因数与最大公因数 【典例精讲】(24-25五年级下·贵州黔南·期末)18和24的最大公因数是( );6和48的最小公 倍数是( )。 【变式训练】(24-25五年级下·江西赣州·期末)今年龙舟赛有交通协管志愿者64人，医护志愿者72 人，如果把他们分别分成若干小组，每组人数一样，且没有剩余。那么每组最多( )人，交通协管志 愿者分成了( )组，医护志愿者分成了( )组。 高频考点十四用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】(24-25五年级下·广东肇庆·期末)AI编程社团要用长36厘米、宽24厘米的长方形木板 制作正方形编程模块，要求裁出的正方形大小相同且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？可以裁出 多少个这样的正方形？ 第10页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(24-25五年级下·山东临沂·期末)用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些 规格的长方形桌面中，正好能铺满且画纸不用裁剪的是( )。(单位：厘米。其中“108×80”表 示长108厘米、宽80厘米) A.108×80B.90×60 C.120×72 D.144×10 高频考点十五公倍数与最小公倍数 【典例精讲】(24-25五年级下·山东枣庄·期末)小松鼠采集了一些松果，每3个分成一堆少2个，每4 个分成一堆少3个，每5个分成一堆少4个。这些松果至少有多少个？ 【变式训练】(24-25五年级下·浙江杭州·期末)某公园的圆形喷泉由内圈和外圈构成，外圈每12分钟 喷一次，内圈每8分钟喷一次。该喷泉内、外圈在中午11：30同时喷过一次水后，下次同时喷水是什么时 候？ 高频考点十六用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·吉林·期末)1路公交车每10分钟发一次车，2路公交车每15分钟发一 次车，这两路车每天早上6时同时发车，下一次同时发车是时_分。 【变式训练】（24-25五年级下·山东济南·期末)一个班的同学去春游，去时12个人坐一个车刚好，回 来时16人坐一个车也列好。问这个班至少有多少人？ 高频考点十七质数与合数的认识 【典例精讲】(24-25五年级下·贵州黔南·期末)最小的合数是4，最小的质数是1。( ）(判断 对错) 第11页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末)2023年5月28日，C919国产大型客机圆满完成首 次商业飞行。C919的标准航程为( )km。(根据下面的提示填空) (1)标准航程是一个四位数：(2)千位上是最小的合数： (3)百位上是最小的偶数：(4)十位上是小于10的最大质数； (5)个位上的数既是5的倍数，又是5的因数。 高频考点十八质数与合数的综合应用 【典例精讲】(24-25五年级下·河南洛阳·期末)桌子上摆放了几盘饺子，每盘饺子的数量都相同。茜 茜、轩轩和乐乐各自数出的饺子总数分别是29、32、41，数对饺子数量的小朋友是( ）。 【变式训练】(24-25五年级下·四川南充·期末)哥德巴赫猜想是数学中一个著名的难题，其内容是所 有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。例如：8=3+5,32=3+29。请把下面的偶数表示为两个 质数的和。 18= 十 30= 高频考点十九分解质因数 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)用“/”划去不是公倍数的数，用 框出每组数 的最小公倍数。 8和6(12,24,36,48,60,72)： 3和9(3,6,9,12,15,18)： 5和10(5,10,15,20,25,30)： 5和8(16,20,24,40,50,80)。 【变式训练】(24-25五年级下·吉林·期末)已知a=2×3×5,b=3×3×5,那么a和b的最小公倍数 是( ）。 A.180 B.90 C.60 D.15 第12页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 难点突破奥数拓展 奥数拓展一倍数和因数的综合应用 【典例精讲】(25-26五年级上·广东湛江·期中)为庆祝妇女节，五(1)班准备表演一个献给妈妈的舞 蹈节目，共选出参演学生36名。现在要给舞蹈排队列（每行最少不低于2人，最多不超过15人），你认 为有多少种排队方法？ 【变式训练】(24-25五年级上·陕西西安·期中)已知是一个大于零的自然数，把它所有的因数从小 到大排列，最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是140，那么n是多少？ 奥数拓展二2、5的倍数特征 【典例精讲】(2025·湖南长沙·小升初真题)若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数 字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数。把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从 左到右进行排列后得到的新数M1叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字9=8+1，百位数字5= 2+8,所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M,定义：T(M)=M-M1· 2 (1)判断：4376千丝数；7787 千丝数。（填“是”或者“不是”） (2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。 【变式训练】(2024五年级·全国·竞赛)包含0至9这10个数字的十位数称为“十全数”，有一个十 全数：它的千位是7，从左往右数，它的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成 的三位数能被3整除…前十位组成的十位数能被10整除。这个十全数的百位是()。 第13页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展三奇数与偶数的认识 【典例精讲】(2026·重庆巴南·小升初真题)中国象棋的马走“日”字，车走横线或竖线，下图是半张 中国象棋盘，试回答下列问题： A (图1) A B (备用图) (1)一只马从某点出发，是否一定得跳偶数步才能返回该点？ (2)一只马能否跳遍这半张棋盘，每一点都不重复，最后的一步跳回起点？ (3)证明：一只马不可能从位置B出发，跳遍半张象棋盘而每个点都只经过一次（不要求最后一步跳回起点）。 (4)一只马能否从位置B出发，用6步跳到位置A？为什么？ (⑤)一只车从位置A出发，在这半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置B。证明：至少有一个 格点没被走过或被走了不止一次。 【变式训练】(2025·湖北武汉·小升初真题)用0、1、2、3、4、5这6个数中选择4个组成没有重复数 字的四位偶数，将这些偶数从小到大排列起来，第66个是一一。 奥数拓展四运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】(2025·湖南长沙·小升初真题)小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到 的数是4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码），那么，这本书原来有( )页。 【变式训练】把137个苹果放入礼盒中，每个礼盒都装满。恰好装完而没有剩余。大盒每盒13个，小盒每 盒6个。需要大盒( )个，小盒( )个。 奥数拓展五2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】(2026·重庆·小升初真题)阅读理解：一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分 成左、中、右三个位数相同的整数，其中a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的中间数， c代表这个整数分出来的右边数，其中a,b,c位数相同，若b一a=c一b,我们称这个多位数为等差数。 例如：357分成了三个数3,5,7，并且满足：5-3=7-5： 413223分成三个数41,32,23，并且满足：32-41=23-32： 第14页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 所以：357和413223都是等差数。 (1)判断：148等差数，514335 等差数：（用“是”或“不是”填空） (2)若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除： (3)若一个三位数T是等差数，且T是24的倍数，求该等差数T。 【变式训练】(24-25六年级下·江苏无锡·期末)【样例1】 42=4×10+2 =4×(9+1)+2 =4×9+4+2 =4×3×3+4+2 【样例2】 276=2×100+7×10+6 =2×(99+1)+7×(9+1)+6 =2×99+7×9+2+7+6 =2×33×3+7×3×3+2+7+6 说明：42、276是3的倍数，划线部分是3的倍数，后面部分是各个数位上数的和，分别是6和15，都是3 的倍数，所以一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 (1)请你仿照上面的样例判断581是否是3的倍数，并进行说理。 (2)以3627为例，说明为什么判断一个数是不是9的倍数，也要看各个数位上数的和。 奥数拓展六公因数与最大公因数 【典例精讲】(2026五年级上·辽宁·专题练习)两个连续偶数的和是10，这两个数是( )和( 它们的最大公因数是()，最小公倍数是()。 【变式训练】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)甲数=2×3×A,乙数=2×5×A。已知甲、乙两数的 最大公因数是14，则A=( ),甲、乙两数的最小公倍数是( ）。 第15页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展七用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】(24-25五年级下·江西上饶·期末)李奶奶买苹果花了12元，王奶奶买苹果花了16元。 如果她们买的苹果单价是一样的，那么这种苹果的单价最高是多少元？写出思考过程。（她们购买苹果的 单价和数量都是整数) 【变式训练】(25-26五年级下·湖北黄冈·阶段检测)有三根铁丝，长度分别是12米、18米和24米， 现在要把它们截成同样长的小段，每段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 奥数拓展八公倍数与最小公倍数 【典例精讲】(24-25五年级下·浙江台州·期末)学校买来了一批跳绳，数量在90到100之间。如果将 这些跳绳平均分给8个班，正好分完；如果平均分给6个班，也正好分完。学校一共买了多少根跳绳？ 【变式训练】(2026五年级上·辽宁·专题练习)花园小学开展趣味运动会，请算一算五(2)班和五(3) 班各有多少名学生。 信息①：五(2)班班主任王老师把本班学生按照“小螃蟹背西瓜”(4人一组)或“幸福摩天轮”(6人 一组)的游戏要求分组，都恰好能分完。 信息②：五(3)班的人数同时是2,3和5的倍数。 信息③：五(2)班和五(3)班的人数都不少于30，不超过40。 第16页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展九用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)为响应爱心图书角阅读助学行动，乐之书社捐了一批 书。这批书无论是平均分给2个人，还是5个人，都正好剩1本：如果平均分给3个人，那么正好分完。 这批书至少有多少本？ 【变式训练】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)暑假期间，小红、小芳和小伟都去画室学习国画，小 红每2天去一次，小芳每3天去一次，小伟每4天去一次。8月3日三人一起学习完国画后，下一次三人一 起去画室学习是几月几日？ 奥数拓展十质数与合数的认识 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)一个正方形边长的数值是质数，关于这个正方形的说 法正确的有( )个。 ①面积的数值一定是质数。 ②面积的数值一定是合数。 ③周长的数值一定是偶数。 ④周长的数值一定是4的倍数。 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)如图这首诗是宋代诗人邵雍所作的《山村咏怀》，诗 中出现的数，既是质数又是偶数的有( )；既是奇数又是合数的有( ):既是质数又是奇数 的有( )；既是偶数又是合数的有( );既不是质数又不是合数的有( 去二三里， 烟村四五家。 亭台六七座， 八九十枝花。 第17页共21页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 奥数拓展十一质数与合数的综合应用 【典例精讲】(25-26五年级下·河南新乡·期末)在括号里填上合适的质数。 26=( )+( )=( )+( 20=( )+( )=( )+( 【变式训练】(25-26五年级下·广东江门·阶段检测)在50以内的自然数中，最小的合数与最大的质数 的和是( )。 A.49 B.51 C.53 D.54 奥数拓展十二分解质因数 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)写出下面各组数的最大公因数。 6和12( 28和36( )25和40(（ ) 42和54( 【变式训练】(24-25五年级下·河南平顶山·期末)一个数的最小倍数是32，把这个数分解质因数是 )。 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(24-25五年级下·江苏连云港·期末)我国著名数学家陈景润证明了“充分大的偶数都可以表示成两 个质数的乘积与一个质数之和”，例如22=3×5+7，国际上将这个结论称作“陈氏定理”。下面式子中符 合这个定理的是( )。 A.5=2×1+3 B.8=2×2+4 C.26=3×7+5 D.42=5×8+2 2.(24-25五年级下浙江台州期末)按下图程序计算，输入一个任何非0自然数，输出的数一定是( 编入 偶数A 奇数B AX3 B+B 输出 A.奇数 B.偶数 C.质数 D.合数 3.(24-25五年级下·江苏连云港·期末)“六一”儿童节期间，实验小学开展了“十岁扬帆梦起航，童 心立志向未来”主题活动，参加此次活动的学生数在500~600人之间。若这些学生20人一排则多出10人 25人一排也多出10人。参加此次活动的学生有( )人。 第18页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 A.500 B.610 C.560 D.510 4.(24-25五年级下·江苏连云港·期末)一个三位数28， 当它是2和3的公倍数时，最大可以填 ():当它不仅有因数3，还是5的倍数时，可以填( ）。 5.(24-25五年级下·浙江台州·期末)母亲节活动，商店买来27枝白百合，45枝康乃馨和18枝玫瑰， 准备扎成花束送给进店的母亲，这些花最多可以扎成( )束同样的花束（全部花都用完）。 6.(25-26五年级下·广东江门·阶段检测)自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。（）（判 断对错) 7.(24-25五年级下·甘肃武威·期末)一个合数至少有2个因数。( )(判断对错) 8.(24-25五年级下·江苏连云港·期末)西双湖农场有一块长105米、宽75米的长方形菜地，计划分成 若干个同样大小的正方形种植区域（边长为整米数），且区域之间无空隙。正方形种植区域的边长最大是 多少米？至少能划分成多少个这样的种植区域？ 9.(24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末)道须沟旅游景区位于宁城县黑里河国家自然保护区内，景区内 拥有郁郁葱葱的丛林、清澈的湖水和瀑布。当然，最吸引同学们的就是好玩的研学基地了，研学项目有厨 艺、工艺、科技制作等。某学校五年级共有123人，大多数同学都要去参加研学活动。大队长把参加研学 活动的同学分组，若按9人一组，则剩下4人，若按10人一组，则差6人。五年级一共有多少名同学要去 参加此次研学活动？ 10.(24-25五年级下·江西赣州·期末)端午缝制香囊，李阿姨每10分钟缝制一个香囊，王阿姨每8分 钟缝制一个香囊，上午8：00她们同时开始缝制第一个香囊，下次同时缝制一个香囊的时间是几时几分？ 第19页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【能力提升】 1.(24-25五年级下·江西赣州·期末)端午包粽子比赛，一共包了abcde个棕子，其中a比最小的质数 与最小的合数的积少2，b比最小的奇数多2，c是一位数中最大的偶数，d既是4的倍数，又是4的因数， e是最小奇数与最小偶数的积，则包了( )个粽子。 A.83842 B.83840 C.63842 D.63840 2.(24-25五年级下·江苏南京·期末)小区道路一边每隔10米安装了一盏路灯，从头到尾共安装了31 盏。为了节约用电，现要改成每隔12米安装一盏。要求两端都不移动，中间还有( )盏不必移动。 A.3 B.4 C.5 D.6 3.(24-25五年级下·江苏连云港·期末)若a÷b=3(a、b均为非0自然数)，则a和b的最大公因数 是( );若a十1=b,则a和b的最小公倍数是()。 4.(24-25五年级下·广东肇庆·期末)李阿姨的取件码可以用下面的信息描述，想一想，李阿姨的取件 码是( ）。 取件码由ABCD四个数字组成，其中A比最小的质数大2：B是一位数中最大的偶数：C同时是2和3的倍数： D既是5的因数，又是5的倍数。 5.(24-25五年级下·安徽毫州·期末)两个数的和是100，一个是7的倍数，另一个是11的倍数。这两 个数分别是( )和()。 6.(24-25五年级下甘肃张掖期末)如果A和B的最大公因数只有1，那么它们的积一定是合数。() (判断对错) 7.(25-26五年级上·广东惠州·期中)在12×3=36中，12是因数，36是倍数。（）（判断对错） 8.(24-25五年级下·贵州黔西南·期末)找出下面每组数的最大公因数。 8和12 18和9 7和11 9.(25-26五年级上·安徽毫州·期中)五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主 题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列 的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 第20页共21页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 10.(25-26五年级上·广东韶关·期中)(1)韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽 都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ (2)花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数 量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 第21页共21页