专题 3.7 相似三角形经典几何模型（“A字模型与“8字模型”）（模型梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学讲义通过表格系统梳理相似三角形的“A字模型”“8字模型”及“反A”“反8”模型，以图形、已知、结论的对应呈现知识脉络，突出模型间的内在联系与应用重点。 讲义亮点在于分层题型设计，如“夯实基础”中“8字模型”例题结合菱形背景考查比例计算，“巩固提升”融入折叠问题培养推理能力与几何直观，同步检测覆盖选择填空解答题，助力不同层次学生掌握模型应用，教师可据此实施精准复习教学。

专题 3.7 相似三角形经典几何模型（“A字模型与“8字模型”）（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 【模型一】“A字模型”与“8字模型” 1 【模型二】“反A字模型”与“反8字模型” 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】“A”字模型 2 【题型 2】“8”字模型 3 【题型 3】“反A”字模型 4 【题型 4】“反8”字模型 6 三.题型精析（巩固提升） 6 【题型 5】“A”字模型 7 【题型 6】“8”字模型 8 【题型 7】“反A”字模型 9 【题型 8】“反8”字模型 10 四.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.模型梳理与解读 【模型一】“A字模型”与“8字模型” 模型 图形 已知 结论 “A”字模型 “8”字模型 （1） （2） 【模型二】“反A字模型”与“反8字模型” 模型 图形 已知 结论 “反A”字模型 “特殊反A”字模型 “反8”字模型 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】“A”字模型 【例题1】（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，． （1）求证：； （2）求的值． 【变式1】（2026·云南临沧·二模）如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，在中，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【题型 2】“8”字模型 【例题2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【变式2】（2026·上海虹口·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【变式3】（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求． 【题型 3】“反A”字模型 【例题3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2）且，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，分别是上的点，连接．添加下列条件，其中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当___________或___________或___________时，与相似． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在中，点是的边上的一点． ①若，则可证： ②若，则可证： ③若，则可证： （1）请判断三个说法中正确的是：______（填序号） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）在（2）的条件下，，若，求的长 【题型 4】“反8”字模型 【例题4】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，，相交于点，．求证：．                                                           【变式1】（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，相交于点O，． （1）求证：； （2）已知，的面积为6，求的面积． 【变式2】如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，相交于点O，． （1）求证：； （2）已知，的面积为6，求的面积． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】“A”字模型 【例题5】（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，在四边形中，，对角线与相交于点，线段的中点分别为． （1）求证：． （2）若直线与线段分别相交于点的面积为2，求四边形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江西·模拟预测）将一把直尺与按如图所示的方式摆放，与直尺的一边重合，，分别与直尺的另一边交于点，．若点，，，分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为，则点C到边的距离为 _____． 【变式3】（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，是角平分线，点在上，且． （1）求证：； （2）若，．求的长． 【题型 6】“8”字模型 【例题6】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在纸片中，，D是斜边上一点，将沿折叠，使点C落在点F处，线段与相交于点E，已知． （1）求证：； （2）若，，且，求． 【变式1】（2026·河北邯郸·三模）如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，与交于点O．若的面积为，则为________． 【变式3】（25-26九年级上·四川遂宁·期中）如图，在中，点、分别在边，上，、相交于点，，． （1）求证：； （2）吗？说明理由 （3）如果的面积为2，求的面积． 【题型 7】“反A”字模型 【例题7】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，垂足为点D，垂足为点E，与相交于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． （1）求证：； （2）求的值． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D、E分别在边、上，且，连接、． （1）求证：； （2）若点E为的中点，，若，求的长度． 【题型 8】“反8”字模型 【例题8】（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【变式1】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，线段交于点，，那么___________． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，，相交于点，连接，，，，． （1）求证：． （2）直接回答与是不是位似图形． （3）若，，，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知：四边形的两条对角线相交于点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，，点到的距离为4米，点到的距离为2米．若像的高度米，则物体的高度为（    ） A．2.4米 B．2米 C．1.6米 D．1.2米 2．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 8．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是嘉嘉和琪琪的做法．下列说法不正确的是（    ） 嘉嘉的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． 琪琪的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． A．嘉嘉的证明过程没有问题 B．琪琪的证明过程没有问题 C．嘉嘉添加的条件没有问题 D．琪琪添加的条件有问题 9．（24-25九年级上·河南南阳·阶段检测）已知中，，（不与A、C重合），过P点的一条直线与的边相交，所构成的三角形与原三角形相似（    ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2026·河南商丘·一模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级下·广西贵港·阶段检测）如图，点D，E分别在边，上，且，，，则的值是 ______ ． 12．（2026·重庆·模拟预测）如图，在中，是上的一点，，，，则________． 13．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可）． 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有______．（请在横线上填上符合条件的序号） 15．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 16．（2023九年级上·四川眉山·竞赛）如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 17．（2025·浙江台州·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 18．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级下·江苏常州·开学考试）如图，在中，点D在边上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在和中，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． （1）求的长； （2）若交于点，求的长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·江苏扬州·开学考试）完成以下问题 （1）如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； （2）如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.7 相似三角形经典几何模型（“A字模型与“8字模型”）（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 【模型一】“A字模型”与“8字模型” 1 【模型二】“反A字模型”与“反8字模型” 2 二.题型精析（夯实基础） 1 【题型 1】“A”字模型 2 【题型 2】“8”字模型 5 【题型 3】“反A”字模型 8 【题型 4】“反8”字模型 11 三.题型精析（巩固提升） 14 【题型 5】“A”字模型 14 【题型 6】“8”字模型 18 【题型 7】“反A”字模型 21 【题型 8】“反8”字模型 25 四.同步检测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 36 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 42 一.模型梳理与解读 【模型一】“A字模型”与“8字模型” 模型 图形 已知 结论 “A”字模型 “8”字模型 （1） （2） 【模型二】“反A字模型”与“反8字模型” 模型 图形 已知 结论 “反A”字模型 “特殊反A”字模型 “反8”字模型 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】“A”字模型 【例题1】（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴； （2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行直接证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴． 【变式1】（2026·云南临沧·二模）如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 解：， ， ， ，即， ． 【变式2】（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，在中，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质： （1）由平行得到，再结合公共角即可证明； （2）根据相似三角形的对应边成比例求解． 解：（1）略 （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得：． 【题型 2】“8”字模型 【例题2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）18 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定： （1）利用平行四边形的性质可得，即可解答； （2）利用相似三角形的性质解答即可． 解：（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式2】（2026·上海虹口·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ∴； （2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，等边对等角，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由角平分线的定义和等边对等角可证明，再由， 可证明； （2）根据相似三角形的性质推出，证明四边形是菱形，推出得到，据此可得答案． 解：（1）略 （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ， ， ， ． 【题型 3】“反A”字模型 【例题3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2）且，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用两组对角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． （2）根据，得，再把数值代入计算，即可作答． 解：（1）略 （2）解：由（1）得， 则， ∵且， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，分别是上的点，连接．添加下列条件，其中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是相似三角形判定定理的应用． 根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 解：∵， A．若添加，能证明，不符合题意； B．若添加，能证明，不符合题意； C．若添加，能证明，不符合题意； D．若添加，不能证明，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当___________或___________或___________时，与相似． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”，“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出答案. 解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴. 故答案为：，，. 【变式3】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在中，点是的边上的一点． ①若，则可证： ②若，则可证： ③若，则可证： （1）请判断三个说法中正确的是：______（填序号） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）在（2）的条件下，，若，求的长 【答案】（1）①②；（2）证明：选择①：∵，， ∴， 选择②∵，， ∴； （3）2 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）利用相似三角形的性质求解即可． （1）解：①②正确；③错误； 故答案为：①② （2）略； （3）解：， ， ， 解得：（负值舍去）． 【题型 4】“反8”字模型 【例题4】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，，相交于点，．求证：．                                                           【答案】证明：∵，相交于点， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键； 通过对顶角相等得到，进而可得到三角形相似． 解：略． 【变式1】（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，相交于点O，． （1）求证：； （2）已知，的面积为6，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键． （1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 【变式2】如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，∠BDE=∠ADC可证明△BDE∽△ACD，根据相似三角形对应找到成比例找出对应边即可求出DC的长. 解：∵，∠BDE=∠ADC， ∴△BDE∽△ACD， ∴DC：BD=AD：DE， ∵，，AB=AD+BD， ∴AD=4，BD=6， ∴DC== = ， 故选A. 【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形找出对应边是解题关键. 【变式3】（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，相交于点O，． （1）求证：； （2）已知，的面积为6，求的面积． 【答案】（1）证明：∵，又， ∴；（2） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键． 解：（1）略 （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】“A”字模型 【例题5】（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，在四边形中，，对角线与相交于点，线段的中点分别为． （1）求证：． （2）若直线与线段分别相交于点的面积为2，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：分别为的中点， 是的中位线，， ． ， ， ， （ASA）． （2） 【分析】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的证明. 解：（1）略 （2）解：． ． ， ， 故四边形的面积为54. 【变式1】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 【变式2】（2024·江西·模拟预测）将一把直尺与按如图所示的方式摆放，与直尺的一边重合，，分别与直尺的另一边交于点，．若点，，，分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为，则点C到边的距离为 _____． 【答案】2 【分析】本题考查了点到直线的距离，相似三角形的判定和性质，证，可得，已知点，，，分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，可得、的长，即得的值，设，则，可得的长，即得点到边的距离，关键是掌握相似三角形对应边成比例． 解：过作，交于点，交于点， ， 由题意得，，， ，， ，， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， ． 故答案为：2． 【变式3】（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，是角平分线，点在上，且． （1）求证：； （2）若，．求的长． 【答案】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2） 【分析】（1）由三角形角平分线的定义得到，再由，可得，即可得，从而得； （2）由等角对等边得到，设，所以，由得到，据此列出方程，求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵， ， 设， ， ， ， 即， 解得：， 的长是． 【题型 6】“8”字模型 【例题6】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在纸片中，，D是斜边上一点，将沿折叠，使点C落在点F处，线段与相交于点E，已知． （1）求证：； （2）若，，且，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用所学是解题的关键． （1）利用同角的余角相等可证明，由折叠的性质结合等量代换得到，结合对顶角相等即可得证； （2）先证明四边形是菱形，推出，由（1）知，得到，即可求解． 解：（1）证明：， ． ． ． 又由折叠可知， ． 又， ． （2）解：由（1）知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由折叠的性质得， ∴四边形是菱形， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（2026·河北邯郸·三模）如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵， ∴，， ∴，故A正确， ∴， ∴，，故B、C正确， ∴，故D错误． 【变式2】（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，与交于点O．若的面积为，则为________． 【答案】9 【分析】先利用平行四边形的性质，得到对边平行且相等，进一步证明，再结合线段比例关系得到相似比，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出答案． 解：四边形为平行四边形， ，， ，， ． ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26九年级上·四川遂宁·期中）如图，在中，点、分别在边，上，、相交于点，，． （1）求证：； （2）吗？说明理由 （3）如果的面积为2，求的面积． 【答案】（1）证明：，， ． 又， ． （2）解：，理由如下： ， ． ． ． （3）24 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，得，即可得证； （2）由得，即可得证； （3）根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求解． 解：（1）略 （2）略 （3）解：， ． ， ， ． 设， ， ， ． ，， ． ， 解得． ． 【题型 7】“反A”字模型 【例题7】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，垂足为点D，垂足为点E，与相交于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）证明： 于点D，于点， ， ， ． （2） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似证明，则，即可求出的长． 解：（1）略； （2）证明：， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 【变式1】（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．由，，得，则，由，得，因为，所以，则，所以，则，进而可求出的度数． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 解：（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D、E分别在边、上，且，连接、． （1）求证：； （2）若点E为的中点，，若，求的长度． 【答案】（1）证明：∵，， ∴； （2） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题关键． （1）根据两组对应边成比例及夹角相等即可得证； （2）由，得出，再利用相似三角形的对应边成比例得出，求出，即可解答． 解：（1）略 （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型 8】“反8”字模型 【例题8】（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 解：略 【变式1】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，线段交于点，，那么___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，先证明，由相似三角形的性质得出，由勾股定理得出，然后代入比例计算即可得出答案． 解：∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， 则， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，，相交于点，连接，，，，． （1）求证：． （2）直接回答与是不是位似图形． （3）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴； （2）不是； （3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、位似图形的定义．关键是利用已知角相等和对顶角相等证明三角形相似，再结合相似三角形的性质求解线段长度，同时掌握位似图形的判定条件． （1）要证明，已知一组角相等（），结合对顶角相等的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明； （2）根据位似图形的定义：位似图形是对应顶点的连线交于一点，且对应边互相平行或在同一直线上的相似图形，结合图形特征判断即可； （3）先由得到对应边成比例，进而推出，再利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解的长度． 解：（1）略 （2）解：根据位似图形的定义，位似图形需满足对应边互相平行或在同一直线上，而与的对应边与、与、与均不平行，不满足位似图形的条件， ∴与不是位似图形； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知：四边形的两条对角线相交于点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形的两条对角线相交于点， ， ， ， ； （2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． 由四边形的两条对角线相交于点，得，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； 由相似三角形的性质得，变形为，因为，所以，而，，，所以，求得． 解：（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ，，， ， ， 的长是． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，，点到的距离为4米，点到的距离为2米．若像的高度米，则物体的高度为（    ） A．2.4米 B．2米 C．1.6米 D．1.2米 【答案】C 【分析】过点O分别作于点E，延长交于点F，推导出，继而得出，得到，即可解答． 解：过点O分别作于点E，延长交于点F，如图 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴物体的高度为． 2．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 3．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 4．（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得出相似比，进而求出与的面积比，利用面积差求出四边形的面积，最后计算比值即可； 解：，且， ， ， ， ， ， ． 5．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，同理可证，解答即可． 解：点 、 分别是、  的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， 由， ∴． 6．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 解：∵， ∴当时，， ， ， ． 7．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 8．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是嘉嘉和琪琪的做法．下列说法不正确的是（    ） 嘉嘉的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． 琪琪的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． A．嘉嘉的证明过程没有问题 B．琪琪的证明过程没有问题 C．嘉嘉添加的条件没有问题 D．琪琪添加的条件有问题 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故嘉嘉的做法以及过程没有问题， 琪琪的做法添加的条件有问题，应为， 故B选项符合题意． 9．（24-25九年级上·河南南阳·阶段检测）已知中，，（不与A、C重合），过P点的一条直线与的边相交，所构成的三角形与原三角形相似（    ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法，过点P作直线与另一边平行或垂直，或即可． 解：如图，过点P作直线与另一边平行（两条）或垂直（一条），或（一条），共4条直线． 10．（2026·河南商丘·一模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的面积为，根据三角形中位线定理得到，相似比为，的面积为，的面积为，总结规律，根据规律解答即可． 解：如图，过C点作， ∵是等边三角形，且， ∴，， ∴， ∴， ∵点、、分别为等边的边、、的中点， ∴，，， ∴，相似比为， ∵的面积为， ∴的面积为， 同理，的面积为， 则的面积为． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级下·广西贵港·阶段检测）如图，点D，E分别在边，上，且，，，则的值是 ______ ． 【答案】 【分析】证明，由相似三角形的性质即可得出结论． 解：∵,, ∴, ∵， ∴,, ∴， ∴, ． 12．（2026·重庆·模拟预测）如图，在中，是上的一点，，，，则________． 【答案】2 【分析】证出，利用相似三角形的性质求解即可． 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 13．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可． 解：∵∠A=∠A， ∴添加或或（答案不唯一）． 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有______．（请在横线上填上符合条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故答案为：①②④． 15．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 16．（2023九年级上·四川眉山·竞赛）如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 【答案】4/四 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 17．（2025·浙江台州·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理可得且，进而证得，利用相似比求解即可． 解：点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 【答案】4 【分析】分两种情况：①当时；②当时，进一步结合相似三角形求解即可． 解：∵点E是边的中点， ∴． 分类讨论：①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴， 此时与没有交点， 综上可知，线段的长为4． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】利用题目条件推出，从而，代入值可得的长． 解：，， ， ， ，，， ， ． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级下·江苏常州·开学考试）如图，在中，点D在边上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵在和中 ，， ∴； （2） 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）利用（1）的结论，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 解：（1）略 （2）解：∵， ， ， ， （舍去负值）， 的长为． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在和中，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：在和中， ∵． ∴， ∴． ∵， ∴； （2） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质： （1）根据题意得，根据两角相等即可判定相似； （2）根据面积比等于相似比的平方即可得，即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． （1）求的长； （2）若交于点，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平分得，由等腰三角形的性质得，可得，即可证明，得到，求解即可； （2）由平行线的性质得到，有代入求得，结合即可． （1）解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； （2）， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）9 【分析】（1）证出即可； （2）先得出，再证出，求出的长，由此即可得． 解：（1）证明：略． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·江苏扬州·开学考试）完成以下问题 （1）如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； （2）如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用三角形相似的判断推导即可； （2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可． （1）解：， ， ， ； （2）解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，解得， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $