1.1.1 第1课时 集合的概念(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学集合的概念这一核心知识点，从开学教育通知的实例引入，系统讲解集合与元素的定义、元素的确定性互异性无序性，以及元素与集合的属于关系和常见数集符号，构建从具体到抽象的认知支架。 资料以问题驱动和实例分析为特色，通过“高个子男生能否构成集合”等辨析培养数学抽象，母题探究变式训练提升逻辑推理。课中助力教师引导学生理解概念，课后分层练习与通性通法总结帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.1　集合的概念与表示 课标 要求 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合（数学抽象）. 第一课时　集合的概念 　　9月1日上午，学校通知：全体高一学生下午6点钟开始在班级进行开学教育，之后偶数班去一楼大厅领取数学教辅书《三维设计》. 【问题】　（1）这个通知的对象有哪些？ （2）这些对象能构成一个集合吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 知识点一　集合与元素 1.集合 提醒：（1）组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等；（2）组成集合的元素可以有有限个，也可以有无限个. 2.元素 提醒：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说集合中的元素没有重复. 3.同一个集合 只要构成两个集合的元素　相同　，无关顺序，我们就称这两个集合是同一个集合. 提醒：集合中的元素具有三个特性：①确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，不确定的对象不能构成集合；②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的；③无序性：构成集合的元素无先后顺序之分. 【想一想】 某班所有的高个子男生能否构成一个集合？ 提示：某班所有的高个子男生不能构成集合. 知识点二　元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果元素a　在　集合A中，就说元素a　属于　集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果元素a　不在　集合A中，就说元素a不属于集合A a∉A a不属于集合A 提醒：符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向. 知识点三　常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N＋或N* Z Q R R＋ 【想一想】 N与N＋（N*）有何区别？ 提示：N＋（N*）是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）我校今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合.（　×　） （2）元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一个集合.（　√　） （3）0是自然数.（　√　） （4）单词“Good”的构成字母组成的集合中有4个元素.（　×　） 2.〔多选〕下列各项中，可以组成集合的是（　　） A.所有的正数 B.等于2的数 C.接近于0的数 D.不等于0的偶数 解析：ABD　集合中的元素满足三个特征：确定性、互异性、无序性.“接近于0的数”标准不明确，故接近于0的数不能组成集合.故选A、B、D. 3.方程x2－1＝0所有实数解组成的集合中共有　2　个元素. 解析：由x2－1＝0，得x＝±1，故集合中共有2个元素1和－1. 4.用“∈”或“∉”填空： 　∉　N； －3　∈　Z； 　∉　Q； 　∈　R. 题型一　集合的基本概念 （1）〔多选〕下列所给对象能构成集合的是（　AD　） A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点 B.高中数学必修第一册课本上的所有难题 C.比较接近1的整数的全体 D.某校高一年级的16岁以下的学生 解析： A中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“到原点的距离等于1的点”；B、C中的对象不能构成集合，因为“难题”“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；D中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”，故选A、D. （2）集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P＝Q，则a＝　±2　. 解析：由题意得a2＝4，即a＝±2. 通性通法 1.判断一组对象能构成集合的条件 （1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素； （2）任何两个对象都是不同的； （3）对元素出现的顺序没有要求. 2.判断两个集合是同一个集合的注意点 若两个集合是同一个集合，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等. 1.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.中国的所有直辖市可以组成一个集合 B.高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合 C.正偶数的全体可以组成一个集合 D.大于2 010且小于2 026的所有整数不能组成集合　 解析：AC　A中我国的直辖市有北京、上海、天津、重庆，是确定的，可以组成集合，正确；B中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，所以B错误；C中正偶数的全体可以组成一个集合，正确；D中的所有整数能组成集合，所以D错误. 2.设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B是同一个集合，则a＋2b＝　1　. 解析：由题意知a＋b＝0，所以＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋2b＝1. 题型二　元素与集合的关系 （1）下列五个关系中，正确的个数为（　C　） ①∈R；②∉Q；③｜－3｜∉N；④－∈Z. A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 解析：由于∈R，－∈Z，是无理数，故①②④正确，因为｜－3｜＝3是自然数，所以③错误.故选C. （2）若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为　2，1，0　. 解析：由题意可得x为自然数，所以可以为6，3，2，因此x的值为2，1，0.因此A中元素为2，1，0. 通性通法 判断元素与集合关系的2种方法 （1）直接法：如果集合中的元素直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可； （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 1.给出下列关系式：∈R；0.3∈Q；∈N；－5∈Z.其中正确的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　由各个数集的含义可知，∈R，0.3∈Q，－5∈Z正确，故有3个关系式正确.故选C. 2.设集合D由所有满足方程y＝x2的有序数对（x，y）构成，则－1　∉　D，（－1，1）　∈　D（填“∈”或“∉”）. 解析：因为集合D中的元素是所有满足方程y＝x2的有序数对（x，y），所以－1∉D，（－1，1）∈D. 题型三　集合中元素特性的应用 已知集合A含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值. 解：因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－. 当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不满足集合元素的互异性，所以舍去. 当a＝－时，经检验，符合题意.故a＝－. 【母题探究】 1.（变设问）本例集合A中含有三个元素，实数a的取值是否有限制？ 解：有限制. 由元素的互异性可得 解得 所以实数a不能取四个值：14，，－4，－1. 2.（变设问）本例集合A中能否只有一个元素？ 解：若该集合中只有一个元素，则有a－2＝2a2＋5a＝12. 由a－2＝12，解得a＝14，此时2a2＋5a＝2×142＋5×14＝462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素. 通性通法 根据集合中元素的特性求参数取值的3个步骤 1.已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：D　因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等，故选D. 2.已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为　－1　. 解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，①当a＝1时，a2＝1，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；②当a2＝1时，即a＝±1，由①知a≠1，∴a＝－1，即集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性.∴a＝－1. 1.下列说法正确的是（　　） A.某班中年龄较小的同学能够组成一个集合 B.由1，2，3和 ，1，组成的集合不是同一个集合 C.不超过20的非负数组成一个集合 D.方程（x－1）（x＋1）2＝0的所有实数解组成的集合中有3个元素 解析：C　A项中元素不确定.B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合是同一个集合.D项中方程的实数解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素. 2.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（　　） A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 解析：D　由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D. 3.〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.N与N＋是同一个集合 B.N中的元素都是Z中的元素 C.Q中的元素都是Z中的元素 D.Q中的元素都是R中的元素 解析：BD　因为N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确，故选B、D. 4.用∈，∉填空： 已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17　∈　A，－5　∉　A. 解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17，得k＝5∈Z.所以17∈A.令3k＋2＝－5，得k＝－∉Z.所以－5∉A. 5.已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为　0或－1　. 解析：若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意.综上所述，实数a的值为0或－1. 1.若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是（　　） A.0∈A B.a∉A C.a∈A D.a＝A 解析：C　由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C. 2.集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列正确的是（　　） A.∈M B.0∉M C.1∈M D.－∈M 解析：D　＞1，故A错；－2＜0＜1，故B错；1不小于1，故C错；－2＜－＜1，故D正确. 3.由实数－a，a，｜a｜，所组成的集合最多含有的元素个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝｜a｜＝所以一定与a或－a中的一个一致.故组成的集合中最多含有两个元素，故选B. 4.设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A＝B，则x＋y＝（　　） A.0　　　 　B.1 C.2　　　 　D.3 解析：B　由题意得x≠0，即得故x＋y＝1. 5.〔多选〕（2026·天津南开区月考）下列给出的对象能构成集合的有（　　） A.某校2026年入学的全体高一年级新生 B.的所有近似值 C.某个班级中学习成绩较好的所有学生 D.不等式3x－10＜0的所有正整数解 解析：AD　某校2026年入学的全体高一年级新生确定，元素确定，能构成集合，A正确；精确度不一样得到的近似值不一样，元素不确定，不能构成集合，B错误；学习成绩较好是相对的，故这些学生不确定，不能构成集合，C错误；不等式3x－10＜0的所有正整数解为1，2，3，元素确定，能构成集合，D正确. 6.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.N＋中最小的数是1 B.若－a∉N＋，则a∈N＋ C.若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b最小值是2 D.x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素 解析：AC　N＋是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝时，－a∉N＋，且a∉N＋，故B错误；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的.故选A、C. 7.设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p　∈　M，q　∉　M.（用“∈”或“∉”填空） 解析：矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M. 8.以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有　3　个元素. 解析：方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－x－2＝0的根是－1，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素. 9.已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为　－4＜a≤－2　. 解析：因为1∉A，2∈A，所以即－4＜a≤－2. 10.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. （1）求元素x应满足的条件； （2）若－2∈A，求实数x的值. 解：（1）由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3. （2）若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.经检验，知x＝－2时集合中的元素满足互异性.故x＝－2. 11.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素（x，y）满足y＝x2＋1（A，B中x∈R，y∈R）.则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（　　） A.2∈A，且2∈B B.（1，2）∈A，且（1，2）∈B C.2∈A，且（3，10）∈B D.（3，10）∈A，且2∈B 解析：C　集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点（x，y），且满足y＝x2＋1，经验证，（3，10）∈B，故选C. 12.〔多选〕已知x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合为M，则下列判断正确的是（　　） A.0∉M B.1∈M C.－2∈M D.2∈M 解析：CD　当x，y都大于零时，＋＝1＋1＝2；当x，y中一个大于零，另一个小于零时，＋＝0；当x，y都小于零时，＋＝－1－1＝－2.根据元素与集合的关系，可知0∈M，1∉M，－2∈M，2∈M.故选C、D. 13.若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则a2 027＋b2 027＝　－1　. 解析：∵由已知a≠0，∴＝0，∴b＝0，则集合A中的三个元素为a，0，1，集合B中的三个元素为a2，a，0，∴a2＝1，即a＝1或－1.当a＝1时，不成立.当a＝－1时，满足条件，此时，b＝0.∴a2 027＋b2 027＝－1. 14.设集合A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A（a≠1）.求证： （1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素； （2）集合A不可能是单元素集. 证明：（1）若a∈A，则∈A. ∵2∈A，∴＝－1∈A. ∵－1∈A，∴＝∈A. ∵∈A，∴＝2∈A. ∴A中必还有另外两个元素，且为－1，. （2）若A为单元素集，则a＝， 即a2－a＋1＝0，方程无解. ∴a≠，∴集合A不可能是单元素集. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $