章末检测（四） 对数运算与对数函数(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数运算与对数函数，涵盖运算性质、函数奇偶性单调性及实际模型应用，通过从基础运算到函数性质再到现实问题的脉络，搭建学习支架帮助学生系统构建知识体系。 其亮点在于以问题情境驱动（如植物覆盖面积模型选择），结合数学眼光观察现实、数学思维推理（如偶函数证明）和数学语言表达（如换底公式应用），采用多样化题型与分层设计，助力学生提升抽象能力与推理意识，教师可通过检测精准把握学情优化教学。

章末检测（四）　对数运算与对数函数 （时间：120分钟　满分：150分） 第四章　对数运算与对数函数 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合A＝{y｜y＝ }，B＝{x｜y＝ln（x－1）}，则A∩B＝ （　　） A. [1，＋∞） B. （0，1） C. （1，＋∞） D. （－∞，1） 解析：A＝{y｜y＝ }＝R，B＝{x｜y＝ln（x－1）}＝（1，＋∞），所以A∩B＝（1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第一册（BSD） 2. 计算log2 ·log3 ·log5 ＝（　　） A. 8 B. 6 C. －8 D. －6 解析：log2 ·log3 ·log5 ＝log23－2·log35－2·log52－2＝－8log23·log35·log52＝－8，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 3. 若f（x）＝（x＋a）ln 为偶函数，则a＝（　　） A. －1 B. 0 C. D. 1 解析：　法一　要使函数f（x）有意义，必须满足 ＞0，解得x＜－ 或x＞ .因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈（－∞，－ ）∪ （ ，＋∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln ＝（x ＋a）ln ，则（x－a）ln ＝（x＋a）ln 对任意x∈（－∞， － ）∪（ ，＋∞）恒成立，所以a＝0.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 法二　因为f（x）＝（x＋a）ln 为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a ＋1）ln 3，解得a＝0，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 4. 设a＝0.50.4，b＝log0.50.4，c＝log40.5，则a，b，c的大小关系是 （　　） A. a＜b＜c B. b＜c＜a C. c＜b＜a D. c＜a＜b 解析：因为0＜a＝0.50.4＜0.50＝1，b＝log0.50.4＞log0.50.5＝1，c＝log40.5＜log41＝0，所以b＞a＞c.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 5. 函数f（x）＝x2＋ln｜x｜的图象大致是（　　） 解析：易得函数f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B. 当x＞0时，f（x）＝x2＋ln x在（0，＋∞）上单调递增，排除A. 又f（1）＝1＞0，排除D. 故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 6. 设函数f（x）＝ln（2＋x）－ln（2－x），则f（x）是（　　） A. 奇函数，且在（0，2）上单调递增 B. 奇函数，且在（0，2）上单调递减 C. 偶函数，且在（0，2）上单调递增 D. 偶函数，且在（0，2）上单调递减 解析：A　依题意， 解得－2＜x＜2，即f（x）的定义域为 （－2，2），因为f（－x）＝ln（2－x）－ln（2＋x）＝－f（x），则f （x）是奇函数，又y＝ln（2＋x）在（0，2）上单调递增，y＝ln（2－ x）在（0，2）上单调递减，则y＝－ln（2－x）在（0，2）上单调递增， 所以f（x）在（0，2）上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 7. 某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快.经观察发现，一定量 的该种植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个 月，其覆盖面积为13.5平方米，该种植物的覆盖面积y（单位：平方米） 与经过的时间x（单位：月，x∈N）的关系有三种函数模型y＝pax（p＞ 0，a＞1），y＝mlogax（m＞0，a＞1）和y＝nxa（n＞0，0＜a＜1） 可供选择，则下列说法正确的是（　　） A. 应选y＝pax（p＞0，a＞1） B. 应选y＝mlogax（m＞0，a＞1） C. 应选y＝nxa（n＞0，0＜a＜1） D. 三种函数模型都可以 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 解析： 　该种植物生长蔓延的速度越来越快，而y＝pax（p＞0，a＞ 1）的增长速度越来越快，y＝mlogax（m＞0，a＞1）和y＝nxa（n＞ 0，0＜a＜1）的增长速度越来越慢，故应选择y＝pax（p＞0，a＞1）作 为函数模型.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 8. 已知函数f（x）＝ 若a，b，c互不相等，且f （a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（　　） A. （1，6） B. （4，6） C. （2，3） D. （8，12） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 解析：画出f（x）的图象如图所示，｜log4x｜＝｜－log4x｜＝ ， 所以不妨设ab＝1，所以abc＝c∈（4，6）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分） 9. 若10a＝4，10b＝25，5c＝4，下列正确的有（　　） A. a＋b＝2 B. b－a＝1 C. ab＜1 D. － ＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 解析：若10a＝4，10b＝25，5c＝4，则a＝lg 4，b＝lg 25，c＝log54，所以a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，选项A正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg ≠1，选项B错误；由ab≤ ＝1，当且仅当a＝b时取等号，又a＝lg 4，b＝lg 25，所以等号不成立，即ab＜1，选项C正确；由 － ＝ － ＝log410－log45＝log42＝ ，选项D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 10. 设函数y＝ln（x2－x＋1），则下列命题中正确的是（　　） A. 函数的定义域为R B. 函数是增函数 C. 函数的值域为R D. 函数的图象关于直线x＝ 对称 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 解析：　因为x2－x＋1＝（x－ ）2＋ ＞0恒成立，所以函数的定义域为R，A正确；又函数y＝ln（x2－x＋1）在（ ，＋∞）上单调递增，在（－∞， ）上单调递减，B错误；由x2－x＋1＝（x－ ）2＋ ≥ 可 得y＝ln（x2－x＋1）≥ln ，所以函数的值域为［ln ，＋∞），C错误； 函数的图象关于直线x＝ 对称，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 11. 已知正实数x，y满足log2x＋lo y＜（ ）x－（ ）y，则下列关系一 定正确的是（　　） A. ＜ B. x3＜y3 C. ln（y－x＋1）＞0 D. 2x－y＜ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 解析：法一（构造函数法）　由题意，得log2x－log2y＜（ ）x－（ ）y，即log2x－（ ）x＜log2y－（ ）y，设函数f（x）＝log2x－（ ）x，显然f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，故由f（x）＜f（y），得0＜x＜y，故 ＞ ，x3＜y3，A错误，B正确；由x＜y，得y－x＋1＞1，故ln（y－x＋1）＞ln 1＝0，C正确；2x－y＜20＝1，D不一定正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 法二（分类讨论法）　由题意，得log2x－log2y＜（ ）x－（ ）y，即 log2 ＜（ ）x－（ ）y，当x＞y＞0，即 ＞1时，log2 ＞0，而（ ）x ＜（ ）y，所以（ ）x－（ ）y＜0，故log2 ＜（ ）x－（ ）y不成立. 当x＝y＞0时，log2 ＝0，（ ）x－（ ）y＝0，log2 ＜（ ）x－（ ） y不成立，故0＜x＜y，所以 ＞ ，x3＜y3，A错误，B正确；y－x＞0， 则y－x＋1＞1，ln（y－x＋1）＞0，C正确；2x－y＜20＝1，D不一定 正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 设α，β是方程lg2x－lg x－3＝0的两根，则logαβ＋logβα＝ ⁠. 解析：由根与系数的关系可知lg α＋lg β＝1，lg αlg β＝－3，logαβ＋logβα ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 13. 已知函数f（x）＝lg（x2－2x－8）的单调递增区间为（a，＋∞）， 则a＝ ⁠. 解析：由题知x2－2x－8＞0，解得x＞4或x＜－2，所以函数的定义域为 {x｜x＞4或x＜－2}，因为函数u＝x2－2x－8在（4，＋∞）上单调递 增，在（－∞，－2）上单调递减，函数y＝lg u在（0，＋∞）上是增函 数，所以函数f（x）＝lg（x2－2x－8）的单调递增区间为（4，＋∞）， 故a＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 14. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递 减，f（－1）＝0，则不等式f（log3x）＞0的解集为 ⁠. 解析：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递减，f （－1）＝0，∴f（1）＝f（－1）＝0，则不等式f（log3x）＞0等价为不 等式f（｜log3x｜）＞f（1），∴｜log3x｜＜1，即－1＜log3x＜1，可得 ＜x＜3，即不等式的解集为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）计算：（1）（ ＋ lo 3·log34＋ ＋ ； 解：（ ＋ log 3·log34＋［（－ ）2 ＋ ＝（ ＋log23·log32＋ ＋ ＝ ＋1＋ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） （2）（log43＋log83）（log32＋log92）－ . 解：（log43＋log83）（log32＋log92）－ ＝（ ＋ ）log23×（1＋ ）log32－5＝ × －5＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 16. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝log2（ ＋a）. （1）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值； 解：若函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0， ∴log2（1＋a）＝0，∴a＝0. 当a＝0时，f（x）＝－x是R上的奇函数. ∴a＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） （2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实 数a的取值范围. 解：由已知得函数f（x）是减函数，故f（x）在区间[0，1]上的最 大值是f（0）＝log2（1＋a），最小值是f（1）＝log2（ ＋a）. 由题设得log2（1＋a）－log2（ ＋a）≥2， 则log2（1＋a）≥log2（4a＋2）. ∴ 解得－ ＜a≤－ . 故实数a的取值范围是（ － ，－ ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 17. （本小题满分15分）已知在函数y＝lo x的图象上有A，B，C三 点，它们的横坐标依次为t，t＋2，t＋4，其中t≥1. （1）设△ABC的面积为S，求S关于t的解析式S＝f（t）； 解：作出函数y＝lo x的图象，如图所示， A，B，C三点的坐标分别为（t，lo t），（t＋ 2，lo （t＋2）），（t＋4，lo （t＋4）），分 别过A，B，C三点向x轴作垂线，垂足分别为E， F，N，则△ABC的面积为S＝S梯形ABFE＋S梯形BCNF－S梯形ACNE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） ＝－[lo t＋lo （t＋2）]－[lo （t＋2）＋lo （t＋4）]＋2[lo t＋lo （t＋4）]＝lo t＋lo （t＋4）－2lo （t＋2）＝log2 ＝log2（1＋ ）， 即S＝f（t）＝log2（1＋ ）（t≥1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） （2）判断函数S＝f（t）的单调性； 解：S＝f（t）＝log2（1＋ ）（t≥1）是复合函数，其外层是一个增函数，当t≥1时，内层是一个减函数，故函数S＝f（t）＝log2（1＋ ）（t≥1）是一个减函数. （3）求S＝f（t）的最大值. 解：由（2）的结论，可知函数f（t）在t＝1时取到最大值f（1）＝log2（1＋ ）＝log2 ， 故S＝f（t）的最大值是log2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 18. （本小题满分17分）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意 力集中情况的调查研究中发现，注意力指数p与听课时间t之间的关系满足 如图所示的曲线.当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当 t∈（14，45]时，曲线是函数y＝loga（t－5）＋83（a＞0且a≠1）图象 的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳. （1）试求p＝f（t）的函数关系式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 解：由题意知，当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为（12，82），且曲线过点（14，81），则可得f（t）＝－ （t－12）2＋82，t∈（0，14]. 当t∈（14，45]时，曲线是函数y＝loga（t－5）＋83（a＞0且a≠1）图象的一部分，且曲线过点（14，81），则易得a＝ ， 则f（t）＝lo （t－5）＋83，t∈（14，45]. 则p＝f（t）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） （2）老师在什么时间段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明 理由. 解：由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳， 当t∈（0，14]时，令f（t）＝－ （t－12）2＋82＞80， 解得12－2 ＜t≤14. 当t∈（14，45]时，令f（t）＝lo （t－5）＋83＞80，解得14＜t＜32. 综上可得，12－2 ＜t＜32. 故老师在（12－2 ，32）这一时间段内讲解核心内容，学生听课效 果最佳. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 19. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝loga（3－ax）（a＞0，且 a≠1）. （1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围； 解：∵a＞0且a≠1，设t（x）＝3－ax，则t（x）＝3－ax为减函数，当x∈[0，2]时，t（x）的最小值为3－2a，∵当x∈[0，2]时，f（x）恒有意义，即x∈[0，2]时，3－ax＞0恒成立. ∴3－2a＞0，∴a＜ .又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1或1＜a＜ ， ∴实数a的取值范围为（0，1）∪ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） （2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上单调递 减，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明 理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 解：由（1）知函数t（x）＝3－ax为减函数. ∵f（x）在区间[1，2]上单调递减， ∴y＝logat在区间[1，2]上单调递增，∴a＞1， 当x∈[1，2]时，t（x）的最小值为3－2a，f（x）的最大值为f（1）＝ loga（3－a），∴ 即 故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且 最大值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） $