第4章 对数运算与对数函数 章末整合提升〔含真题体验〕(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数运算与对数函数，通过体系构建中的链式法则推导连接复合函数求导等前后知识，以公式推导和知识框架为学习支架，帮助学生系统整合对数运算、函数单调性及值域等核心内容。 其亮点在于以数学运算、直观想象、逻辑推理三大核心素养为主线，设计对数化简、图象识别、比较大小等例题，结合2024-2025年高考真题解析，强化知识应用与实战能力。学生能在例题探究中提升数学思维，教师可借助体系化内容提高教学效率。

第四章　对数运算与对数函数 章末整合提升〔含真题体验〕 ——体系构建·素养培优 1 目 录 CONTENTS 体系构建 素养培优 真题体验 体系构建 >> 目录 3 数学·必修第一册（BSD） 目录 素养培优 >> 目录 5 一、数学运算 　　数学运算核心素养在本章中主要体现在对数运算及对数函数的单调 性、值域中. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优一　对数运算 （1）化简（2log43＋log83）（log32＋log92）的值为（　B　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 解析：（2log43＋log83）（log32＋log92）＝（log23＋ log23）·（log32＋ log32）＝ log23× log32＝2.故选B. B 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）计算log20.25＋ln ＋ ＋lg 4＋2lg 5－ ＝ ⁠. 解析：log20.25＋ln ＋ ＋lg 4＋2lg 5－ ＝log2 ＋ln ＋ ＋lg 4＋lg 52－ ＝－2＋ ＋81＋lg 100－2＝ . 　 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优二　对数函数的单调性、值域 （1）函数f（x）＝loga（ax－3）在[1，3]上单调递增，则a的取值 范围是（　D　） A. （1，＋∞） B. （0，1） C. （0， ） D. （3，＋∞） 解析：由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f（x）在区 间[1，3]上单调递增，则f（x）＝logau必为增函数，因此a＞1.又u＝ax －3在[1，3]上恒为正，∴a－3＞0，即a＞3. D 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）函数y＝lo （1－x2）的单调递减区间是 ；其值域 是 ⁠. 解析：函数y＝lo （1－x2）的定义域是（－1，1）.函数t＝1－x2在 （－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且值域是（0，1），而 y＝lo t在（0，＋∞）上是减函数，因此函数y＝lo （1－x2）的单调 递减区间是（－1，0），其值域是（0，＋∞）. （－1，0）　 （0，＋∞）　 数学·必修第一册（BSD） 目录 二、直观想象 　　直观想象核心素养在本章中主要体现在对数函数图象的识别及应用问 题中. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优三　对数函数图象的识别 函数f（x）＝x2log4 的大致图象是（　　） √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析： 　因为 ＞0，即（x＋2）（x－2）＜0，所以－2＜x＜2，所 以函数f（x）＝x2log4 的定义域为（－2，2），关于原点对称，又f （－x）＝（－x）2log4 ＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数，其 图象关于原点对称，故排除B、C；当x∈（0，2）时， ＞1，即log4 ＞0，因此f（x）＞0，故排除A. 故选D. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优四　对数函数图象的应用 已知f（x）＝｜log3x｜，若f（a）＞f（2），求a的取值范围. 解：作出函数f（x）的图象，如图所示，由于f（2）＝f（ ），故结合图象可知0＜a＜ 或a＞2. 数学·必修第一册（BSD） 目录 三、逻辑推理 　　逻辑推理核心素养在本章中主要体现在对数函数性质的应用中. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优五　比较大小 已知函数f（x）＝2｜x｜，记a＝f（（ ），b＝f（log3 ），c ＝f（lo 5），则a，b，c的大小关系为（　　） A. c＞b＞a B. b＞a＞c C. a＞b＞c D. c＞a＞b √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：　f（x）＝2｜x｜是偶函数，且当x＞0时，f（x）＝2x单调递增，c＝f（lo 5）＝f（log35），因为0＜（ ＜1，1＜log3 ＜log35，即0＜（ ＜log3 ＜log35，所以a＜b＜c. 数学·必修第一册（BSD） 目录 〔一题多解〕若a＞b＞1，0＜c＜1，则（　　） A. ac＜bc B. abc＜bac C. alogbc＜blogac D. logac＜logbc √ 解析：　法一　A、B、C、D分别等价于cln a＜cln b，（c－1）ln b＜ （c－1）ln a， ＜ ， ＜ .由于a＞b＞1，0＜c＜1，则由对数 函数性质可得ln a＞ln b＞0，ln c＜0，所以cln a＞cln b，（c－1）ln b＞ （c－1）ln a， ＜ ， ＞ .故选C. 数学·必修第一册（BSD） 目录 法二　由于0＜c＜1，故由幂函数的性质得，当a＞b＞1时，ac＞bc，排 除A. abc＜bac等价于bc－1＜ac－1，由于c－1＜0，故由幂函数的性质得， 当a＞b＞1时，bc－1＞ac－1，排除B. 由于a＞b＞1，0＜c＜1，所以ln c ＜0，ln a＞ln b＞0.故logbc－logac＝ （ln a－ln b）＜0；alogbc－ blogac＝ ·（aln a－bln b）＜0，即logac＞logbc，排除D. alogbc ＜blogac，故选C. 法三（特殊值法）　取a＝4，b＝2，c＝ ，则ac＝2，bc＝ ，ac＞ bc，排除A. abc＝4 ，bac＝4，abc＞bac，排除B. logac＝－ ，logbc＝ －1，logac＞logbc，排除D. 故选C. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优六　利用对数函数的单调性解不等式 设0＜a＜1，函数f（x）＝loga（a2x－2ax－2），求使f（x）＜0的 x的取值范围. 解：由题意，令t＝ax，有t＞0， 则y＝loga（t2－2t－2），若使f（x）＜0， 即loga（t2－2t－2）＜0.因为0＜a＜1， 所以y＝logax是减函数，故有t2－2t－2＞1，解得t＞3或t＜－1. 又因为t＞0，故t＞3，即ax＞3.又因为0＜a＜1，所以x的取值范围是 （－∞，loga3）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优七　对数型函数性质的综合应用 已知函数f（x）＝logm （0＜m＜1）. （1）判断f（x）的奇偶性并证明； 解： f（x）是奇函数，证明如下： 由 ＞0解得x＜－3或x＞3，所以f（x）的定义域为（－∞，－3）∪ （3，＋∞），关于原点对称.又f（－x）＝logm ＝logm ＝ logm ＝－f（x），故f（x）为奇函数. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）令g（x）＝f（x－3），①判断g（x）在（6，＋∞）上的单调性 （不必说明理由）； ②是否存在6＜α＜β，使得g（x）在区间[α，β]的值域为[logmmβ， logmmα]？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解： g（x）＝logm ， ①g（x）在（6，＋∞）上单调递减. ②假设存在β＞α＞6，使g（x）在区间[α，β]的值域为[logmmβ， logmmα]. 由①知，g（x）在（6，＋∞）上单调递减. 数学·必修第一册（BSD） 目录 则有 所以 所以α，β是方程 ＝mx在（6，＋∞）上的两根， 整理得mx2＝x－6，即m＝ － 在（6，＋∞）有2个不相等的实根α和β. 令t＝ ，则0＜t＜ ，y＝－6t2＋t， 即直线y＝m与函数y＝－6t2＋t的图象（如图）在 上有两个交 点，所以m∈ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 真题体验 >> 目录 24 1. （2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝ 在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A. （－∞，0] B. [－1，0] C. [－1，1] D. [0，＋∞） 解析：　因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x ＋1）单调递增，则需满足 解得－1≤a≤0，即a的取 值范围是[－1，0].故选B. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 〔一题多解〕（2024·新高考Ⅱ卷8题）设函数f（x）＝（x＋a）·ln （x＋b）.若f（x）≥0，则a2＋b2的最小值为（　　） A. B. √ C. D. 1 解析： 　法一　由题意可知：f（x）的定义域为（－b，＋∞），令x ＋a＝0解得x＝－a；令ln（x＋b）＝0解得x＝1－b，则当x∈（－b，1 －b）时，ln（x＋b）＜0，故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0；当x∈（1－ b，＋∞）时，ln（x＋b）＞0，故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0，故1－b ＋a＝0，则a2＋b2＝a2＋（a＋1）2＝2（a＋ ）2＋ ≥ ，当且仅当a＝ － ，b＝ 时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为 .故选C. 数学·必修第一册（BSD） 目录 法二　令f（x）＝0，解得x＝－a或x＝1－b.易知y1＝x＋a，y2＝ln （x＋b）均为增函数.若f（x）≥0恒成立，则－a＝1－b，即b＝1＋a. 所以a2＋b2＝a2＋（1＋a）2＝2（a＋ ）2＋ ≥ ，当a＝－ ，b＝ 时，等号成立，所以（a2＋b2）min＝ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷8题）已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋ log5z，则x，y，z的大小关系不可能为（　　） A. x＞y＞z B. x＞z＞y C. y＞x＞z D. y＞z＞x √ 解析：　法一　令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝ ，y＝ ，z＝ ，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝ 8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8， 得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x.故选B. 数学·必修第一册（BSD） 目录 法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f（t），y＝3t －3＝g（t），z＝5t－5＝h（t），在同一平面直角坐标系中画出函数f （t），g（t），h（t）的图象，由图可知x，y，z的关系不可能为x＞ z＞y，故选B. 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. （2024·全国甲卷15题）已知a＞1且 － ＝－ ，则a ＝ ⁠. 解析：根据题意有 － ＝－ ，即3loga2－ ＝－ ，设t＝ loga2（a＞1），则t＞0，故3t－ ＝－ ，得t＝ （t＝－1舍去），所 以loga2＝ ，所以 ＝2，所以a＝64. 64　 数学·必修第一册（BSD） 目录 $