章末检测（一） 预备知识(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦预备知识章末检测，涵盖集合运算、逻辑用语、不等式性质及应用等核心知识点，通过检测题串联各模块内容，搭建知识支架帮助学生梳理前后脉络，巩固基础。 其亮点在于结合酒精浓度计算、商场利润分析等实际情境培养数学眼光，通过命题否定推理、不等式分类求解发展数学思维，用集合符号、函数模型表达问题提升数学语言能力。采用问题驱动教学，学生能深化知识理解，教师可借检测反馈优化教学。

章末检测（一）　预备知识 （时间：120分钟　满分：150分） 第一章　预备知识 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p的否定为（　C　） A. ∀n∈N，n2＞2n B. ∃n∈N，n2≤2n C. ∀n∈N，n2≤2n D. ∃n∈N，n2＝2n C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，下列结论成立的是（　　） A. N⊆M B. M∪N＝M C. M∩N＝N D. M∩N＝{2} 解析：　∵－2∈N，但－2∉M，∴A、B、C三个选项均错误. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 3. 如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（　　） A. －2a＞－2b B. c－a＞c－b C. a＋c＞b＋c D. a2＞b2 解析：∵a＞b，∴－2a＜－2b，故A不正确；c－a＜c－b，B不正确；a＋c＞b＋c，C正确；a2＞b2不一定正确，当a，b为负数时，不等式不成立，D不正确.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 4. 设a∈R，则“a＞ ”是“a2＞2”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：由a2＞2，解得a＞ 或a＜－ ，则当a＞ 时，有a2＞2成立.当a2＞2时，a＞ 不一定成立，例如a＝－3时，满足a2＞2，但a＞ 不成立.所以“a＞ ”是“a2＞2”的充分不必要条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 5. 已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0，若命题p是假命题，则实数a的 取值范围是（　　） A. {a｜a≥1} B. {a｜a＜1} C. {a｜a＞1} D. {a｜a≤1} 解析： 　∵p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0，∴p的否定：∀x∈R，ax2＋ 2x＋1≠0.∵命题p为假命题，∴p的否定为真命题，∴当x∈R时，方程 ax2＋2x＋1＝0没有实数根，∴Δ＝4－4a＜0，即a＞1.∴实数a的取值范 围是{a｜a＞1}. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 6. 如图所示，若A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{x｜x＞0}，则阴影部分表示的 集合为（　　） A. {x｜0＜x＜2} B. {x｜1＜x≤2} C. {x｜0≤x≤1或x≥2} D. {x｜x＝0或x＞2} 解析：图中阴影部分表示的集合是∁A∪B（A∩B）.由题可得A∩B＝{x｜0＜x≤2}，A∪B＝{x｜x≥0}，则∁A∪B（A∩B）＝{x｜x＝0或x ＞2}. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 7. 一个容积为1 000 mL的容器里盛满浓度为80％的酒精.第一次倒出若干 毫升后，用水加满；第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满.要使 这时容器内的酒精的浓度不大于20％.则每次至少倒出溶液（　　） A. 200 mL B. 500 mL C. 1 000 mL D. 1 500 mL 解析： 　设每次倒出溶液x mL. 根据题意，得1 000×80％－1 000×20％ ≤80％x＋ x，整理得x2－2 000x＋750 000≤0，解得 500≤x≤1 500.又因为x≤1 000，所以500≤x≤1 000.故每次至少倒出500 mL溶液. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 8. 若实数x，y满足xy＋6x＝4 ，则 ＋ 的最小值为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 解析：　因为xy＋6x＝4，所以 ＋ ＝ ＋ ＝y＋6＋ .因为0＜x ＜ ，所以y＝ ＝ －6＞0，故y＋6＋ ≥6＋2 ＝8，当且仅当 y＝1，x＝ 时等号成立，故 ＋ 的最小值为8，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分） 9. 设a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式成立的是（　　） A. c－a＜c－b B. ac2≥bc2 C. ＜ D. ＜1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 解析：　由a＞b，得－a＜－b，那么c－a＜c－b，所以A正确；由 a＞b，且c2≥0，所以ac2≥bc2，所以B正确；取a＝1，b＝－2，可知 ＝1＞ ＝－ ，此时不等式 ＜ 不成立，所以C错误；取a＝－1，b＝－ 2，此时 ＝2＞1，即不等式 ＜1不成立，所以D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 10. 若函数y＝x2－4x－4在区间[0，a）上既有最大值又有最小值，则正 整数a的值可能是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：令y＝x2－4x－4＝（x－2）2－8，作函数y＝（x－2）2－8的部分图象，如图，当x＝0和x＝4时，y＝－4，且ymin＝－8.因为函数在区间[0，a）上既有最大值又有最小值，所以区间[0，a）必须包含2，且y≤－4，所以2＜a≤4.结合选项可知选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 11. 已知1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，则5a＋b的取值范围为（　　） A. [15，31] B. [14，35] C. [12，30] D. [11，27] 解析：　设5a＋b＝m（a－b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n－ m）b，所以 ⇒ 则5a＋b＝2（a－b）＋3（a＋ b），又1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，所以2≤2（a－b）≤6，9≤3（a ＋b）≤21，由不等式的性质得：11≤2（a－b）＋3（a＋b）≤27，则 5a＋b的取值范围为[11，27].故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 已知集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x＜m＋1}，若x∈A 是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，得A⫋B，即 即m＞1. {m｜m＞ 1}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 13. 若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的取 值范围是 ⁠. 解析：作出一元二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋ 1]，都有x2＋mx－1＜0， 则 解得－ ＜m＜0. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 14. 某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q （q∈N＋）的函数关系式为C＝100＋4q，销售单价p与产量q的函数关系 式为p＝25－ q.要使每件产品的平均利润最大，则产量q为 ⁠. 解析：设该商品销售收入为R，利润为L，则R＝p×q＝25q－ q2，L ＝R－C＝－ q2＋21q－100（0＜q＜400，q∈N＋）.易知每件产品的平 均利润为 ＝21－（ ＋ ）.因为 ＋ ≥5，当且仅当q＝40时等号 成立，所以每件产品的平均利润最大时，产量q为40. 40　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知全集U＝R，A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝ {x｜0＜x＋1≤4}，P＝{x｜x≤0或x≥5}.求： （1）A∩B，∁UB； 解：因为A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝{x｜0＜ x＋1≤4}＝{x｜－1＜x≤3}，P＝{x｜x≤0或 x≥5}，将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示. 所以A∩B＝{x｜－1＜x＜2}，∁UB＝{x｜x≤－1或x＞3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） （2）（A∩B）∪（∁UP）. 解：（A∩B）∪（∁UP）＝{x｜－1＜x＜2}∪{x｜0＜x＜5}＝{x｜－1＜x＜5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 16. （本小题满分15分）设命题p：方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个 不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒 成立. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； 解：若命题p为真命题，即方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根， 则有Δ＝（2m－4）2－4m＝4m2－20m＋16＞0， 解得m＜1或m＞4. ∴实数m的取值范围为{m｜m＜1或m＞4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） （2）若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围. 解：若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立. 设y＝x2－4x＋13，则只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可. ∵y＝x2－4x＋13＝（x－2）2＋9，2≤x≤3， ∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3. ∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤3}. ∵命题p，q一真一假， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） ∴若命题p为真命题，命题q为假命题，则有 解得m ＜－3或m＞4； 若命题p为假命题，命题q为真命题，则有 解得1≤m≤3. 综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m｜m＜－3 或1≤m≤3或m＞4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 17. （本小题满分15分）（1）求函数y＝ －x（0＜x＜4）的最小值； 解：因为0＜x＜4，所以4－x＞0， 则y＝ －x＝ ＋4－x－4≥2 －4＝－2， 当且仅当 ＝4－x，即x＝3时等号成立，所以函数y的最小值为－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） （2）已知a＞0，b＞0，2a＋b＝2，求 ＋ 的最小值. 解：法一　 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ≥2＋ ＝ ， 当且仅当 ＝ ，即a＝b＝ 时等号成立，所以 ＋ 的最小值为 . 法二　 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ －2 ＝ （ ＋ ）（2a＋b）－2 ＝ （5＋ ＋ ）－2≥ －2＝ ， 当且仅当 ＝ ，即a＝b＝ 时等号成立，所以 ＋ 的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 18. （本小题满分17分）已知关于x的不等式（ax－1）（x－1）＜0. （1）当a＝2时，解上述不等式； 解：当a＝2时，代入可得（2x－1）（x－1）＜0，解得 ＜x＜1， 所以不等式的解集为{x｜ ＜x＜1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） （2）当a＜1时，解上述关于x的不等式. 解：当a＝0时，代入不等式可得－x＋1＜0，解得x＞1； 当0＜a＜1时，化简不等式可得a（x－ ）（x－1）＜0，由 ＞1，解不 等式可得1＜x＜ ；当a＜0时，化简不等式可得a（x－ ）（x－1）＜0，解不等式可得x＞1或x＜ . 综上可知，当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞1}；　 当0＜a＜1时，不等式的解集为{x｜1＜x＜ }； 当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＜ 或x＞1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 19. （本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地， 已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年 付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾 养殖基地每年收入90万元. （1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯 利润； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 解：由已知得，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝12，即 解得 所以y＝3x2. 又投资243万元，x年共收入90x万元， 设x年共获得的纯利润为P万元，则P＝90x－3x2－243（x∈N＋）. 令P＞0，即90x－3x2－243＞0，即x2－30x＋81＜0，解得3＜x＜27 （x∈N＋）， 所以从第4年开始获取纯利润. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） （2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两 种处理方案： ①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地； ②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地. 问该水产养殖户应该选择哪种方案？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） 解：方案①：年平均利润t＝ ＝90－3 ≤90－3×2 ＝36，当且仅当x＝9时，取等号，所以当x＝9时，t取最大值36，此时以138万元出售该基地共获得利润36×9＋138＝462（万元）. 方案②：纯利润总和P＝90x－3x2－243＝－3（x－15）2＋432（x∈N＋）， 当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元， 此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462（万元）. 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以应选择方案①. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（BSD） $