培优课 不等式的综合问题(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦不等式综合问题，涵盖基本不等式的综合应用及一元高次不等式的解法。通过预备知识衔接旧知，重点解读明确数学建模与逻辑推理目标，以典例研析示范解题思路，跟踪训练搭建学习支架。 其亮点在于突出通性通法，如基本不等式“拆拼凑”技巧及穿根引线法步骤总结，结合垃圾处理成本等实际问题培养数学建模与运算能力。学生能提升解题思维，教师可借助系统案例与训练优化教学效率。

培优课　不等式的综合问题 第一章　预备知识 1 重点解读 1.掌握基本不等式的综合应用，能用基本不等式解决简单的最大值或最 小值问题（数学建模）. 2.掌握一元高次不等式的解法（逻辑推理，数学运算）. 目 录 CONTENTS 典例研析 课时作业 典例研析 >> 目录 4 题型一　基本不等式的综合应用 已知实数x，y满足x＞y＞0，且x＋y＝2，则 ＋ 的最小值为 （　　） A. 3＋2 B. C. 3－2 D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析： 　∵x＋y＝2， ＝ ＝1，∵x＞y＞0， ∴x－y＞0，∴ ＋ ＝ （ ＋ ）＝ ［3 ＋ ＋ ］≥ ［3＋2 ］＝ .当且仅当x ＋3y＝ （x－y）时，等号成立，因此， ＋ 的最小值为 . 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 　　在利用基本不等式求最大（小）值时，要特别注意“拆、拼、凑”等 技巧，使其满足基本不等式中“正”（条件要求中字母为正数）、“定” （不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能 应用，否则会出现错误. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. （2025·成都模拟）已知实数x，y满足5x＞y＞0，则 ＋ 的最小 值为（　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：因为5x＞y＞0，所以 ＞ ，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ － ＋ ≥2 ＋ ＝ ，当且仅当 ＝ － ，即 ＝ 时等号成立，所以 ＋ 的最小值为 .故选C. 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知a，b，c＞0时，有 ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋ （ ＋ ）≥6，利用分拆、重组、配对，使用基本不等式求出最值.依此 启示，求当a，b，c＞0时， ＋ ＋ 的最小值. 解：由于 ＋ ＋ ＋3 ＝（ ＋1）＋（ ＋1）＋（ ＋1） ＝ ＋ ＋ 数学·必修第一册（BSD） 目录 ＝ [（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）]（ ＋ ＋ ） ＝ ［3＋ ＋ ＋ ］ ＝ ［3＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）］≥ ， 从而 ＋ ＋ ≥ ，当且仅当a＝b＝c时，原式取得最小值 . 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　一元高次不等式的解法 角度1　不等式组法解一元高次不等式 解不等式（x＋2）（x2－x－12）＞0. 解：原不等式可化为 或 即 或 解得x＞4或－3＜x＜－2.故原不等式 的解集为{x｜x＞4或－3＜x＜－2}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 　　将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘积，然后利用 不等式的性质将高次不等式等价转化为一个或多个一元一次或一元二次不 等式组，原不等式的解集就是各不等式组解集的并集. 数学·必修第一册（BSD） 目录 角度2　穿根引线法解一元高次不等式 解不等式 ≤0. 解：原不等式可化为（x2－3x－4）（x2－1）＜0或 即 （x－1）·（x＋1）2（x－4）＜0或x＝4.令（x －1）（x＋1）2·（x－4）＝0，可得x＝1或x＝4 或x＝－1（偶次根），结合图象可得不等式（x－ 1）（x＋1）2（x－4）＜0的解集为{x｜1＜x＜4}， 故原不等式的解集为{x｜1＜x≤4}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 穿根引线法解一元高次不等式的步骤 （1）分解因式，将不等式转化为一端为0，另一端为若干个因式（一次或 二次不可约因式）的乘积的形式，并将各因式中x最高次数的项的系数化 为“＋”； （2）求出相应方程的根，并在数轴上表示出来； （3）由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点.穿线时要遵循“奇穿 偶回”的原则（即某个因式是奇数次时，就从数轴的一侧穿到数轴的另一 侧；某个因式是偶数次时，则不穿过数轴）.简称“奇过偶不过”； （4）若不等式（x最高次数的项的系数符号化为“＋”后）“＞0”，则 找“线”在数轴上方对应的x的取值范围；若不等式“＜0”，则找“线” 在数轴下方对应的x的取值范围. 数学·必修第一册（BSD） 目录 已知不等式（ax2＋bx＋c）（x＋d）＞0的解集是{x｜x＜－3或1＜x＜ 4}.则不等式ax3－（b＋ad）x2＋（c＋bd）x－cd≤0的解集为 ⁠ ⁠. {x｜ －4≤x≤－1或x≥3}　 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：由穿根引线法可知－3，1，4为方程（ax2＋bx＋c）·（x＋d）＝ 0的根，且a＜0.而ax3－（b＋ad）x2＋（c＋bd）x－cd＝ax3－bx2＋ cx－d（ax2－bx＋c）＝（ax2－bx＋c）（x－d）.∴原不等式可化为 （ax2－bx＋c）（x－d）≤0.而（ax2－bx＋c）（x－d）＝－[a（－ x）2＋b（－x）＋c][（－x）＋d].∴（ax2－bx＋c）（x－d）＝0的 根与（ax2＋bx＋c）（x＋d）＝0的根互为相反数，所以（ax2－bx＋ c）（x－d）＝0的根为3，－1，－4.由图可知，所求不等式的解集为 {x｜－4≤x≤－1或x≥3}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 18 1. 若关于x的不等式kx2＋2kx－k－1＞0的解集为∅，则实数k的取值范围 是（　　 ） A. （－ ，0） B. ［－ ，0） C. ［－ ，0］ D. （－ ，0］ 解析： 　当k＝0时，不等式化为－1＞0，此时不等式无解，满足题意； 当k≠0时，要满足题意，只需 解得－ ≤k＜0，综上，实数k的取值范围为［－ ，0］，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要 处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y（元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝ x2－300x＋80 000，为使平均 处理成本最低，则该厂每月处理量应为（　　） A. 300吨 B. 400吨 C. 500吨 D. 600吨 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析： 　由题意，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）的函数关系为 y＝ x2－300x＋80 000，所以平均处理成本为s＝ ＝ ＝ ＋ －300，其中300≤x≤600，又 ＋ －300≥2 － 300＝400－300＝100，当且仅当 ＝ 时等号成立，所以x＝400时， 平均处理成本最低.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，则函数y＝ax2－bx ＋2的图象为（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析： 　不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，则－1，2是 ax2＋bx＋2＝0的两根且a＜0，则－1＋2＝－ ，－1×2＝ ，故a＝－ 1，b＝1，所以y＝ax2－bx＋2＝－x2－x＋2，则函数y＝ax2－bx＋2的 图象为开口向下，对称轴为x＝－ 的抛物线，只有D选项中图象符合题 意，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c＜0，甲写错了常数b，得到的 解集为{x｜－6＜x＜2}；乙写错了常数c，得到的解集为{x｜－3＜x＜ 2}.那么原不等式的解集为（　　） A. {x｜2＜x＜6} B. {x｜－4＜x＜3} C. {x｜－3＜x＜4} D. {x｜－2＜x＜6} 解析： 　由根与系数的关系得 则 则原不等 式为x2＋x－12＜0，解得－4＜x＜3，即原不等式的解集为{x｜－4＜x＜ 3}，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪ （3，＋∞），则（　　） A. a＞0 B. 不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－6} C. a＋b＋c＞0 D. 不等式cx2－bx＋a＜0的解集为（－∞，－ ）∪（ ，＋∞） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：因为关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪（3，＋∞），所以a＞0，A选项正确；且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得 则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a＜0，C选项错误；不等式bx＋c＞0即为－ax－6a＞0，解得x＜－6，B选项正确；不等式cx2－bx＋a＜0即为－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0，解得x＜－ 或x＞ ，D选项正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕若m＞0，n＞0，且3m＋n＝1，下列结论正确的是（　　） A. mn的最大值为 B. ＋ 的最小值为6 C. ＋ 的最小值为 （5＋2 ） D. 9m2＋n2的最小值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：选项A，因为m＞0，n＞0，3m＋n＝1≥2 ，所以mn≤ ，当且仅当3m＝n＝ ，即m＝ ，n＝ 时等号成立，故选项A正确；选项B，因为3m＋n＝1，所以 ＋ ＝ ＋ ＝3＋ ＋ ≥3＋2 ＝5，当且仅当m＝n，即m＝ ，n＝ 时等号成立，故选项B不正确； 选项C， ＋ ＝ （ ＋ ）[（3m＋3）＋（n＋2）]＝ ［3 ＋2＋ ＋ ］≥ （5＋2 ）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 （5＋2 ），当且仅当 ＝ 且3m＋n＝1，即m＝5－ 2 ，n＝6 －14时等号成立，故选项C正确；选项D，9m2＋n2≥ （3m＋n）2＝ ，当且仅当3m＝n＝ ，即m＝ ，n＝ 时等号成立，故 选项D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 不等式 ≥1的解集为 　{x｜－2≤x＜－1或 ≤x＜3}　. 解析：原不等式可化为 ≤0，即 ≤0， 则 如 图所示，则不等式的解集为{x｜－2≤x＜－1 或 ≤x＜3}. {x｜－2≤x＜－1或 ≤x＜3}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 函数y＝ 在（1，＋∞）上的最大值为 　 　. 解析：因为y＝ ，x∈（1，＋∞），令x－1＝t，则t＞0， 则y＝ ＝ ＝ ≤ ＝ ， 当且仅当2t＝ ，t＝1，即x＝2时，等号成立.故函数在（1，＋∞）上的 最大值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 已知x＞0，y＞0，x＋2y＋xy＝30，求： （1）xy的最大值； 解：因为x＞0，y＞0， 根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2 ＋xy（当且仅当x＝2y＝6时 取等号）， 令 ＝t（t＞0），则t2＋2 t－30≤0， 解得－5 ≤t≤3 ，又t＞0， 所以0＜t≤3 ，即0＜ ≤3 ， 所以0＜xy≤18，故xy的最大值为18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）2x＋y的最小值. 解：由x＋2y＋xy＝30可知， y＝ ＞0，0＜x＜30， 2x＋y＝2x＋ ＝2（x＋2）＋ －5 ≥2 －5＝11， 当且仅当2（x＋2）＝ ，即x＝2时取等号， 所以2x＋y的最小值为11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 已知函数y＝ax2－（2a＋3）x＋6（a∈R）. （1）若y＋2＞0恒成立，求实数a的取值范围； 解：若y＋2＞0恒成立，则y＋2＞0⇒ax2－（2a＋3）x＋8＞0恒成立. 当a＝0时，ax2－（2a＋3）x＋8＝－3x＋8＞0不恒成立； 当a≠0时， 解得 ＜a＜ . 故实数a的取值范围为（ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）当a＝1时，函数y≤－（m＋5）x＋3＋m在[－2，2]有解，求m2＋ 3的取值范围. 解：当a＝1时，y≤－（m＋5）x＋3＋m在[－2，2]有解， 即x2＋mx＋3－m≤0在[－2，2]有解， 因为y＝x2＋mx＋3－m的图象开口向上，对称轴x＝－ ， ①－ ≤－2即m≥4，x＝－2时，函数取得最小值，此时4－2m＋3－ m≤0， 即m≥ ，∴m≥4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 ②－2＜－ ＜2即－4＜m＜4时，当x＝－ 取得最小值， 此时－ ＋3－m≤0，解得2≤m＜4. ③当－ ≥2即m≤－4时，当x＝2时取得最小值，此时4＋2m＋3－ m≤0， 解得m≤－7，综上，m≥2或m≤－7，所以m2＋3的范围为[7，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 $