1.4.3 一元二次不等式的应用(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的应用，以汽车刹车距离的实际情境导入，引导学生从具体问题中抽象不等关系，链接一元二次函数与方程知识，构建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于通过刹车距离分析、光伏企业盈利等实例培养数学建模与运算素养，分题型总结分式不等式解法、恒成立问题策略等通性通法，结合自我诊断与跟踪训练。学生能提升问题解决能力，教师可利用其系统开展分层教学。

4.3　一元二次不等式的应用 第一章　预备知识 1 课标要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.了解一元二次不等式的现实意义（数学抽象）. 2.能够构建一元二次函数模型解决实际问题（数学建模、数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离 才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个 重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发 现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距 离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车 距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋ 0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2. 【问题】　如何判断甲、乙两车是否超速？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点　利用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1. 选取合适的字母表示题中的未知数. 2. 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）. 3. 求解所列出的不等式（组）. 4. 结合题目的实际意义确定答案. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）不等式 ＞1的解集是{x｜x＜1}. （　×　） （2）若a＞0，则关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0有解集的充要条件是Δ＝ b2－4ac≥0. （　√　） （3）若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0在R上恒成立，则 （　×　） × √ × 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少 木材消耗，决定按销售收入的t％征收木材税，这样每年的木材销售量减 少 t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元， 则t的取值范围是（　　） A. {t｜1≤t≤3} B. {t｜3≤t≤5} C. {t｜2≤t≤4} D. {t｜4≤t≤6} 解析：设按销售收入的t％征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400 ×t％＝60（8t－t2）.令y≥900，即60（8t－t2）≥900，解 得3≤t≤5. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 不等式 ≥0的解集为 ⁠. 解析：原不等式⇔ ∴－1≤x＜1. {x｜－1≤x＜1}　 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 10 题型一　简单的分式不等式 解下列不等式： （1） ≥0；（2） ＞1. 解：（1）原不等式等价于 即 ∴－2≤x＜3. ∴原不等式的解集为{x｜－2≤x＜3}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）原不等式可化为 －1＞0，即 ＜0. ∴（3x－2）（4x－3）＜0，∴ ＜x＜ . ∴原不等式的解集为 . 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 解分式不等式的策略 （1）对于形如 ＞0（＜0）的不等式可等价转化为mn＞0（＜0）来解 决；对于形如 ≥0（≤0）的不等式可等价转化为 来 解决； （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不 要去分母），使不等号右边为零，然后再用上述方法求解. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 不等式 ＜0的解集为 　 　. 解析：原不等式可化为（x＋1）（2x－1）＜0，∴－1＜x＜ ，故原不等 式的解集为 . 2. 不等式 ≥0的解集是{x｜－1≤x＜5}，则a的值为 ⁠. 解析：由于原不等式等价于 因此结合不等式解集 知a＝5. 　 5　 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　不等式恒成立问题 角度1　在R上恒成立问题 若不等式2kx2＋kx－ ＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 （　　） A. （－3，0] B. [－3，0） C. [－3，0] D. （－3，0） 解析：①k＝0时，－ ＜0，不等式恒成立.②k≠0时，不等式恒成立应满足 即－3＜k＜0.由（1）（2）知－3＜k≤0. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 （变条件）若把本例条件变为“不等式2kx2＋kx＋ ＞0对一切实数x都成 立”，试求k的取值范围. 解：当k＝0时，不等式为 ＞0，显然成立； 当k≠0时，则有 解得0＜k＜3.所以k的取值范 围为[0，3）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 　　转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立⇔ 提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要 讨论二次项系数是否为0. 数学·必修第一册（BSD） 目录 角度2　在给定范围上恒成立问题 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则实数m的取值范围 为 ⁠. 解析：令y＝x2＋mx＋4，∵y＜0在1≤x≤2上恒成立， ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得 解得m＜－5，∴实数m的取值范围是 （－∞，－5）. （－∞，－5）　 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 在给定范围上的恒成立问题 （1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2 ＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0； （2）当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2 ＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 命题“∀x∈{x｜1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条 件是（　　） A. a≥4 B. a≥5 C. a≤4 D. a≤5 解析：因为命题“∀x∈{x｜1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题，所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 若对∀x∈R不等式x2＋mx＞4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围. 解：原不等式可化为x2＋（m－4）x＋4－m＞0， ∴Δ＝（m－4）2－4（4－m）＝m2－4m＜0， ∴0＜m＜4，∴m的取值范围为{m｜0＜m＜4}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　一元二次不等式的实际应用 某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，n（n∈N＋）年内的 总维修保养费用为（4n2＋20n）万元，该项目每年可给公司带来100万元 的收入.假设到第n年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－总维修 保养费用－投资成本）为y万元. （1）写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利； 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？并说明理由. 解：由题意可知y＝100n－（4n2＋20n）－144＝－4n2＋80n－144 （n∈N＋）. 令y＞0，得－4n2＋80n－144＞0，解得2＜n＜18， 所以从第3年起开始盈利. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两 种处理方案： ①年平均利润最大时，以72万元转让该项目； ②纯利润最大时，以8万元转让该项目. 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：若选择方案①，设年平均利润为y1， 则y1＝ ＝80－4（n＋ ）≤80－4×2 ＝32，当且仅当n＝ ， 即n＝6时等号成立，所以当n＝6时，y1取得最大值32，此时该项目共获利 32×6＋72＝264（万元）. 若选择方案②，纯利润y＝－4n2＋80n－144＝－4（n－10）2＋256， 所以当n＝10时，纯利润取得最大值256，此时该项目共获利256＋8＝264 （万元）. 以上两种方案获利均为264万元，但方案①只需6年，而方案②需要10 年，所以仅考虑该项目的获利情况，选择方案①更有利于该公司发展. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 解不等式应用题的步骤 数学·必修第一册（BSD） 目录 某单位在对一个长800 m、宽600 m的矩形区域进行绿化时，是这样想 的：中间为矩形草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证草坪的面 积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围. 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：设花坛的宽度为x（0＜x＜300）m，则草坪的长为（800－2x）m， 宽为（600－2x）m， 根据题意得（800－2x）·（600－2x）≥ ×800×600， 整理得x2－700x＋60 000≥0， 解不等式得x≥600（舍去）或x≤100， 所以0＜x≤100. 当x在0＜x≤100之间取值时，草坪的面积不小于总面积的二分之一. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 不等式 ≥0的解集为（　　） A. {x｜0≤x≤2} B. {x｜0＜x≤2} C. {x｜x＜0或x≥2} D. {x｜x＜0或x＞2} 解析：　由原式得x（x－2）≤0且x≠0，解得0＜x≤2，故选B. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 不等式 ≥1的解集是（　　） A. {x｜x＜－1或－1＜x≤2} B. {x｜－1≤x≤2} C. {x｜x≤2} D. {x｜－1＜x≤2} 解析：　∵ ≥1，∴ －1≥0，∴ ≥0，即 ≤0，即（x－2）（x＋1）≤0且x＋1≠0，解得－1＜x≤2. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是 （　　） A. [－4，4] B. （－4，4） C. （－∞，－4]∪[4，＋∞） D. （－∞，－4）∪（4，＋∞） 解析：欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4 ≤a≤4，即实数a的取值范围是[－4，4]. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2（0＜x＜240，x∈N），若每台产品的售价为25万元， 则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是 台. 解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，所以x2＋50x－30 000≥0，解 得x≤－200（舍去）或x≥150，又因为0＜x＜240，x∈N，所以150≤x ＜240，x∈N. 150　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 32 1. 不等式 ＜ 的解集是（　　） A. {x｜x＜2} B. {x｜x＞2} C. {x｜0＜x＜2} D. {x｜x＜0或x＞2} 解析：不等式 ＜ 等价于 － ＜0，等价于 ＜0，等价于2x（2－x）＜0，解得x＜0或x＞2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 与不等式 ≥0同解的不等式是（　　） A. （x－3）（2－x）≥0 B. 0＜x－2≤1 C. ≥0 D. （x－3）（2－x）＞0 解析：解不等式 ≥0，得2＜x≤3，A项，解不等式（x－3）（2－x）≥0得2≤x≤3，故不正确.B项，解不等式0＜x－2≤1得2＜x≤3，故正确.C项，解不等式 ≥0得2≤x＜3，故不正确.D项，解不等式（x－3）（2－x）＞0得2＜x＜3，故不正确.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖 出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了 使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的 销售单价x（单位：元）的取值范围是（　　） A. {x｜10≤x＜16} B. {x｜12≤x＜18} C. {x｜15＜x＜20} D. {x｜10≤x＜20} 解析：由题意得[30－（x－15）×2]x＞400，即x2－30x＋200＜0，∴10＜x＜20，又∵x＞15，∴15＜x＜20.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为 （　　） A. {a｜－1≤a≤4} B. {a｜－1＜a＜4} C. {a｜a≥4或a≤－1} D. {a｜－4≤a≤1} 解析：　由题意知，原不等式可化为－（x－2）2＋4≥a2－3a在R上有 解，∴a2－3a≤4，即（a－4）（a＋1）≤0，∴－1≤a≤4，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 若函数y＝x2－ax＋9的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围为 （　　） A. a＜6 B. －6＜a＜6 C. 0＜a≤6 D. －6≤a≤6 解析：　依题意x2－ax＋9＞0在R上恒成立，所以Δ＜0，由Δ＝a2－36＜ 0，解得－6＜a＜6.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕下列不等式中，与不等式 ＜2解集相同的是（　　） A. （x＋8）（x2＋2x＋3）＜2 B. x＋8＜2（x2＋2x＋3） C. ＜ D. 2x2＋3x－2＞0 解析：依题意，注意到x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2＞0，因此不等 式 ＜2等价于x＋8＜2（x2＋2x＋3），化简得2x2＋3x－2＞0.故选 B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 现有含盐7％的食盐水200克，生产含盐5％以上、6％以下的食盐水，设 需要加入含盐4％的食盐水为x克，则x的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：5％＜ ＜6％，解得x的取值范围是{x｜100＜x＜ 400}. {x｜100＜x＜ 400}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 若不等式 ＞ax＋ 的解集是{x｜4＜x＜b}，则实数a＝ 　 　，b ＝ ⁠. 解析：设 ＝t（t＞0），则x＝t2，由题意易知不等式at2－t＋ ＜0的 解集为{t｜2＜t＜ }，所以2， 是方程at2－t＋ ＝0的两根，即 解得 　 36　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10）， 每小时可获得利润100（ 5x＋1－ ）元.要使生产该产品2小时获得的利润 不低于3 000元，则x的取值范围是 ⁠. 解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100 ≥3 000，整理得5x－14－ ≥0，又1≤x≤10，所以5x2－14x－ 3≥0，解得3≤x≤10.故x的取值范围为[3，10]. [3，10]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 设m为实数，y＝（m＋1）x2－mx＋m－1. （1）若方程y＝0有实数根，求实数m的取值范围； 解：当m＋1＝0，即m＝－1时， 方程即x＝2，符合题意； 当m＋1≠0，即m≠－1时， Δ＝m2－4（m＋1）（m－1）≥0， 所以－ ≤m≤ ，且m≠－1， 综上，实数m的取值范围为{m｜－ ≤m≤ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）若不等式y＞0的解集为∅，求实数m的取值范围； 解：当m＋1＝0，即m＝－1时，x＞2，不符合题意； 当m＋1≠0时， 所以m≤－ ， 综上，实数m的取值范围为{m｜m≤－ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）若不等式y＞0的解集为R，求实数m的取值范围. 解：当m＋1＝0时，x＞2，不符合题意； 当m＋1≠0时， 所以m＞ . 综上，实数m的取值范围为{m｜m＞ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 在R上定义运算ⓧ：xⓧy＝x（1－y），若不等式（x－a）ⓧ（x＋ a）＜1对任意实数x恒成立，则（　　） A. －1＜a＜1 B. 0＜a＜2 C. － ＜a＜ D. － ＜a＜ 解析：根据题意，不等式（x－a）ⓧ（x＋a）＜1可变形为（x－a）（1－x－a）＜1，∴x2－x－a2＋a＋1＞0.要使x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，则Δ＝（－1）2－4（－a2＋a＋1）＜0，即4a2－4a－3＜0，∴－ ＜a＜ ，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意x∈R恒成立，则下列关系 正确的是（　　） A. b2－4c＋4≤0 B. b≤0 C. c≥1 D. b＋c≥0 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：对于A，将x2＋bx＋c≥2x＋b整理为x2＋（b－2）x＋c－b≥0，因为x2＋bx＋c≥2x＋b对任意x∈R恒成立，所以Δ≤0，即（b－2）2－4（c－b）≤0，整理得b2－4c＋4≤0，A正确；对于B，令b＝1，c＝2，则Δ＝（1－2）2－4（2－1）＝1－4＝－3＜0，B错误；对于C，由A知4c≥b2＋4，即c≥ ＋1≥1，C正确；对于D，b＋c≥b＋ ＋1＝（ ＋1）2≥0，D正确，故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 若对x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3＜0成立，则a的取值范围 是 ⁠. 解析：要使x2－ax－3＜0在[－3，－1]上恒成立，则必使函数y＝x2－ax －3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由于函数的图象开口向上，此时 a应满足： 即 解得a＜－2. 故当a∈（－∞，－2）时，有x2－ax－3＜0在x∈[－3，－1]上恒成立. （－∞，－2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 某小商品在2024年的价格为8元/件，年销量是a件.现经销商计划在 2025年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的 期望价格是4元/件.经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和 顾客期望价格之差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件. （1）写出该商品价格下调后，经销商的年收益y（单位：元）与实际价格 x（单位：元/件）的函数关系式； 解：由题意知，该商品价格下调后为x元/件，则年销量增加到 件，故经销商的年收益y＝ （x－3），5.5≤x≤7.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2025 年的收益比2024年至少增长20％？ 解：当k＝2a时，依题意有 （x－3）≥（8－3）a×（1＋20％），化简得 ≥0，解得x≥6或4＜x≤5. 又5.5≤x≤7.5，故6≤x≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可 以保证经销商2024年的收益比2023年至少增长20％. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $