精品解析：河北沧州部分高中2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题

2026年高三年级下学期第一次模拟考试 数学试题 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求解集合、集合，再根据并集定义求出. 【详解】，则，得. ，则，得 所以. 2. 已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件建立关于首项和公差的方程组求解. 【详解】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 3. 已知，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，则，， 若，则，解得. 4. 已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为椭圆离心率范围为，可得，即， 当，椭圆焦点在轴上时， 由可得，则， 所以离心率，解得， 此时，所以椭圆两个焦点为. 5. 已知函数图象的一个对称中心为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的范围可知函数的图象是由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到的，从而可得，根据正切函数的对称中心，求出的值即可得答案. 【详解】因为，所以， 所以函数的图象是由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到的， 又因为函数的对称中心为， 由题意可得， 令， 得， 将代入得，， 从而得， 所以. 6. 已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】补全函数的图象，分、、三种情况解不等式，结合图象可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】因为是定义在区间上的偶函数，补充函数的图象如下图所示： 对于不等式， 若，则，可得或或，解得或或， 此时； 若，则，可得，解得，此时. 显然满足不等式. 综上所述，不等式的解集为. 7. 如图所示，六面体由上、下两个三棱锥组合而成，其中，，，若二面角和二面角的平面角的大小分别为和，上、下两个三棱锥的内切球半径分别为，，六面体的内切球半径为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由二面角的平面角可得之间的等量关系，然后由一个字母结合等体积法可表示出内切球半径，据此可得答案. 【详解】设. 如下图在三棱锥中，取中点为，连接，由题设可得， 从而由二面角平面角定义可得.由所设数据，可得. 由余弦定理可得：，得. 在三棱锥中，类似可得：，得. 在三棱锥中，设在底面的投影点为，则为三棱锥的高，又. 则，， 注意到. 对于三棱锥，类似可得， .则， 则. 【点睛】关键点睛：本题涉及二面角定义，几何体的内切球相关计算.本题关键为掌握如下结论，对于存在内切球的几何体，总有，其中表示几何体体积，为几何体表面积，为内切球半径. 8. 若，不等式恒成立，则的最大值为（） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对原不等式变形，构造新函数求出最大值，再利用恒成立计算即可 【详解】由，得，此时. 原不等式变形得 令，求导得 令，解得. ，，单调递增； ，，单调递减. 不等式恒成立，则 设， 令， ，单调递减； ，单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立，则 两边同乘： 因为，两边除以，得 当，等号成立，的最大值为2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 第十五届全国运动会于年月日至日举行，截至月日，金牌榜总数前名的金牌数量依次为，，，，，，，，，，则（ ） A. 该组数据的众数为 B. 该组数据的中位数为 C. 该组数据的极差为 D. 该组数据的分位数为 【答案】AC 【解析】 【分析】将这个数据从小到大排列，依次按照众数、中位数、极差、百分位数的定义计算即可. 【详解】将这个数据从小到大排列为，，，，，，，，，， 对于A，观察这组数据，其中出现了次，其余数字均只出现次，因此，众数为，故A正确； 对于B，这组数据共有个，中间两个数是第个和第个数，分别是和，因此中位数为，故B错误； 对于C，这组数据中最大值为，最小值为，因此极差为，故C正确； 对于D，由于不是整数，因此该组数据的分位数是第个数，即，故D错误. 10. 已知双曲线与圆有且仅有两个公共点，若为双曲线上一动点，的中点为，直线的斜率为（其中为坐标原点），则（ ） A. B. 点在以为直径的圆的外部 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】联立双曲线与圆方程消去，得到关于的二次方程，令判别式为零即可判断A选项；写出以为直径的圆方程，将中点的坐标代入判断其与圆的位置关系即可判断B选项；用中点坐标表示，利用双曲线方程消去，得到关于的二次函数，配方求其最小值即可判断C选项；由斜率定义将用表示后代入双曲线方程，得到关于的二次方程有实数解，故判别式非负，从而解出斜率范围，从而判断D选项． 【详解】对于选项A： 由双曲线方程得，代入圆方程：， 展开整理得关于的一元二次方程：， 因为两曲线均关于轴对称，若有且仅有两个公共点，则这两个公共点必关于轴对称，即它们对应同一个纵坐标，所以方程在实数范围内有两个相等的实数根， 即. 化简： 因，故，所以A正确； 对于选项B：因为，所以双曲线方程为，圆心， 设在双曲线上，则，线段的中点， 为直径的圆方程为：， 将点代入该圆方程左侧并减去右侧，判断位置关系： 由得，代入上式：. 所以点相对于该圆的位置满足“在圆上或圆外”，当时点恰在圆上，所以B错误； 对于选项C：， 代入，得， 因为，所以，所以C正确； 对于选项D： 直线的斜率， 所以，代入双曲线得： 因为存在实数使点在双曲线上，所以该二次方程有实数解， 所以， 解得，所以D正确． 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，通过举特例可判断选项正误；对于B，由题可得，然后利用可判断选项正误；对于C，由题设结合二倍角余弦公式，可判断选项正误； 对于D，由结合题设，可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，取，则，即此时，故A错误； 对于B，， 因，则，则； 令，则在上单调递增， 则当时，.则，又， 则，从而有，故B正确； 对于C，，由B分析可得， 则，又，则，故C正确； 对于D，由，则，又，，从而. 则，从而，故D错误. 【点睛】关键点睛：本题涉及证明三角不等式.证明三角不等式常利用正，余弦函数的有界性，从而达到放缩的目的，此外本题反复利用了时，这一常见不等式，在此老师也建议同学们积累. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，若复数满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 且对恒成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 14. 已知一个数阵排列如下： 记第行第个数为，其排列规律为：第行的数列是在第行的每两个相邻的数之间插入这两个数的乘积构成的新数列.设第行有个数，，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得，构造等比数列可求得；由题意可得，进而可得，两边取对数，构造等比数列可求得. 【详解】由题意可得，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； 因为，所以， 根据插入的各项为， 所以， 又，所以， 所以， 两边取对数，所以， 所以， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，. （1）若，，求； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边的等式转化为角的关系式，结合已知求出，再借助已知条件变形结合正弦定理求得边长； （2）把用与表达，代入化简得到，利用基本不等式确定的上界，进而推出的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以. 因为，所以，又，所以. 【小问2详解】 因为，所以，因为， 所以. 因为，当且仅当时取等号， 所以，所以的最小值为. 16. 已知点在抛物线上，焦点为，，经过点的直线交抛物线于，两点. （1）求抛物线的方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点在抛物线上以及抛物线的定义列方程组求，即可得抛物线方程； （2）设直线，，，与抛物线方程联立可得韦达定理，结合弦长公式运算求解即可. 【小问1详解】 由抛物线方程可知：焦点，准线， 由题意可知：，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 因为点在抛物线内部，则直线的斜率不为0，且直线与抛物线必相交， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，， 可得， 则，解得， 所以直线的方程为或. 17. 如图，在正四棱锥中，是棱的中点，过的平面与棱，分别交于点，（包括端点），，交于点，，. （1）若平面，求； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求四棱锥的体积的最小值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点线面的位置关系得到点是的重心，从而由比例关系可得答案； （2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，求出平面的法向量，利用夹角公式进行求解； （3）设，，由共线定理推论可得，由基本不等式可得，并得到体积最小值 【小问1详解】 设，如图. 因为，所以，， 因为平面，平面，所以平面，平面， 因为平面平面，所以，所以点也是与的交点， 即点是的重心，所以. 因为平面，平面平面， 所以，所以. 【小问2详解】 分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 因为，，所以，，，. 因为， . 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 四棱锥的体积 . 由（1）知，恒过点，点为的重心.设，， 因为，，，三点共线， 所以，即， 由基本不等式可得，所以，当且仅当时取等号. 因为，所以， 所以， 所以四棱锥的体积的最小值为. 18. 已知函数只有一个极小值点，无极大值点. （1）求实数的取值范围. （2）记（为常数），求证：函数在上单调递减. （3）有互不相等的实数，，，，且，证明：. 【答案】（1） （2）由（1）知， 因为，记， 所以， 所以为增函数，当时，， 所以在上单调递减． （3）构造函数， 由（2）知在上单调递减，， ． 因为，所以， 因为为偶函数，所以，， 又在上单调递增，， 所以，即． 【解析】 【分析】（1）通过分析导函数  的零点个数及变号情况，讨论参数  对不同取值下极值点个数的影响，最终确定的取值范围； （2）利用第一问中时 递增的性质，对求导并判断其在  上的符号为负，从而证明单调递减； （3）构造函数 （ 为等差数列的对称中心），由第二问结论得  在  上递增，将四点代入转化为  在正半轴上的函数值比较即可． 【小问1详解】 由题易知，记． 由于只有一个极小值点，无极大值点，所以有唯一解，且在该解处的符号由负变正． 设曲线与直线的切点为，则，解得． 当时，无解，函数无极值点； 当时，有唯一解，但，所以无极值点； 当时，有两解，不满足题意． 当时，，函数单调递增，无极值点； 当时，恒成立，因为，，，， 所以有唯一解，即函数有极小值，无极大值． 综上，实数的取值范围为． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 19. 在概率论和统计学中，对于一个离散型随机变量，方差，期望运算为（，为常数）.对于任意的两个离散型随机变量，，可推广得协方差为，期望运算为.假设有两个独立的粒子探测器甲和乙，各自进行一系列实验检测粒子.记甲、乙各自进行次实验后检测到粒子的次数分别为，，且，. （1）当时，求. （2）求证：. （3）求满足的的值. 【答案】（1） （2）证明：设，，， 因为，相互独立，所以. 所以 ， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）由独立事件概率公式和互斥事件概率公式即可得答案； （2）设，，，从而，根据期望的定义推导出结论； （3）推导出，从而得到不等式，解不等式可得答案 【小问1详解】 由题意得，且，相互独立， 则 ， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 . ， 由，得， 故. 当时，，当时，，当时，， 当时， ， 所以当且仅当时，. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级下学期第一次模拟考试 数学试题 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数图象的一个对称中心为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，六面体由上、下两个三棱锥组合而成，其中，，，若二面角和二面角的平面角的大小分别为和，上、下两个三棱锥的内切球半径分别为，，六面体的内切球半径为，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若，不等式恒成立，则的最大值为（） A. 1 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 第十五届全国运动会于年月日至日举行，截至月日，金牌榜总数前名的金牌数量依次为，，，，，，，，，，则（ ） A. 该组数据的众数为 B. 该组数据的中位数为 C. 该组数据的极差为 D. 该组数据的分位数为 10. 已知双曲线与圆有且仅有两个公共点，若为双曲线上一动点，的中点为，直线的斜率为（其中为坐标原点），则（ ） A. B. 点在以为直径的圆的外部 C. D. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，若复数满足，则______. 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 14. 已知一个数阵排列如下： 记第行第个数为，其排列规律为：第行的数列是在第行的每两个相邻的数之间插入这两个数的乘积构成的新数列.设第行有个数，，则______，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，. （1）若，，求； （2）若，求的最小值. 16. 已知点在抛物线上，焦点为，，经过点的直线交抛物线于，两点. （1）求抛物线的方程； （2）若，求直线的方程. 17. 如图，在正四棱锥中，是棱的中点，过的平面与棱，分别交于点，（包括端点），，交于点，，. （1）若平面，求； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求四棱锥的体积的最小值. 18. 已知函数只有一个极小值点，无极大值点. （1）求实数的取值范围. （2）记（为常数），求证：函数在上单调递减. （3）有互不相等的实数，，，，且，证明：. 19. 在概率论和统计学中，对于一个离散型随机变量，方差，期望运算为（，为常数）.对于任意的两个离散型随机变量，，可推广得协方差为，期望运算为.假设有两个独立的粒子探测器甲和乙，各自进行一系列实验检测粒子.记甲、乙各自进行次实验后检测到粒子的次数分别为，，且，. （1）当时，求. （2）求证：. （3）求满足的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $