2.4 第2课时 一元二次方程的应用（2）备课包 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第2课时　一元二次方程的应用(二) 【课堂导入】 【复习导入】 1．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设元；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)写出答案． 2．销售问题中的等量关系： (1)一件商品的利润＝一件商品的售价－一件商品的进价． (2)商品的总利润＝一件商品的利润×销售商品的数量． (3)商品的利润率＝商品的利润/商品的进价×100%. 【教学目标】 课题 第2课时　一元二次方程的应用(二) 授课人 素养目标 1.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型． 2．总结运用方程解决实际问题的一般步骤，进一步提高分析问题、解决问题的能力． 3．会建立一元二次方程模型，解决实际生活中的问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 教学重点 能够利用一元二次方程解决有关实际问题，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 教学难点 能根据具体问题中的数量关系建立方程模型并解决问题. 授课类型 新授课 【课堂流程】 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 　　通过上一节课的学习，你认为列方程解应用题的关键是什么？列方程解应用题的一般步骤有哪些？列方程应注意什么问题？ 通过回顾列一元二次方程解应用题的关键、步骤及注意事项，帮助学生重温建模方法，体会解决实际问题的技巧 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题1：王美丽卖玫瑰花，如果每束玫瑰花盈利10元，平均每天可售出40束．经调查发现，若每束降价1元，则平均每天可多售出8束．王美丽的丈夫李贪心认为卖得越多，挣的钱就越多，因此决定让王美丽大幅度降价，王美丽不愿意，王美丽认为应该提升价格，因为提升的越多，盈利就越多．同学们认为他们谁的说法靠谱呢？ 问题2：如果你是卖玫瑰花的老板，你会用什么方法计算每天的销售利润呢？ 处理方式：这两个问题都可采用提问学生口答的方式进行．重在引导学生参与，一起交流对这两个问题的理解. 通过两个贴近生活的问题呈现，引导学生思考对降价促销的理解，在交流讨论中归纳出利润的计算方法（利润＝每束玫瑰花的利润×销售束数）， 续表 教学步骤 互动探究 设计意图 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元．调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 问题1：降价前，销售1天获得的利润是多少？你是如何计算的？ 问题2：降价后，哪些量发生了变化？如何计算调价后每天的销售利润呢？ 问题3：本题中我们该设“谁”为未知数好呢？ 处理方式：题目给出后，首先让学生整体、系统地了解题意．然后再通过上述3个问题逐个交流，最后定格在“每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000”这一相等关系上，也就是说我们要通过这一相等关系来解决问题．同时，对于问题3，要放手让学生交流到位，使其真正体会间接设“每台降价x元”能简化计算，因此教学时不要急于求成，要给学生充分的时间去分析、理解．当学生交流充分后，教师通过课件给出下列表格，让学生快速填写．附表： 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为________元． 每天的销售量/台 每台的销售利润/元 总销售利润/元 降价前 降价后 填完上表后，让学生列出方程即可(不用去解方程). 问题4：如果我们既不设每台的定价是多少，也不设每台降价多少元，想一想，那么我们还可以怎么“设”呢？ 处理方式：让学生进行一定程度的交流，教师可在学生交流的基础上进行适当引导，旨在引出设法“设每台冰箱降了x个50元”，如果引导不出这种设法，那么教师可直接给出．引出(或给出)设法后，让学生完成下表并列出方程解决问题. 如果设每台冰箱降了x个50元，那么每台冰箱的定价应为________元. 填完上表后，让学生再列出新的方程，也不要求解. 每天的销售量/台 每台的销售利润/元 总销售利润/元 降价前 降价后 问题5：比一比看谁解得又快又对．(课件展示上述两个未求解的方程) 处理方式：可找两名学生在黑板上解，同时可以让学号为单号的学生解第一个方程，学号为双号的学生解第二个方程. 解此类应用题的关键在于掌握题目中的相等关系并列出方程，但学生解方程时错误率较高，常出现“好列不好解”的情况；教学中有针对性地安排板演与分层练习，暴露并纠正解方程中的典型错误， 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　某商场服装部销售一种品牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了增加销量，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件衬衫每降价1元，平均每天可多卖出2件． (1)若降价3元，则平均每天的销售数量为36件． (2)当每件衬衫降价多少元时，该商店每天的销售利润为1 200元？ 解：设每件衬衫降价x 元，由题意可列方程为(40－x)(30＋2x)＝1 200， 解得x1＝0，x2＝25. 当x＝0 时，能卖出30 件； 当x＝25 时，能卖出80件． 因为要减少库存，所以应降价25 元． 答：每件衬衫应降价25元． 【变式训练】 1．某厂工业废气2025年排放量为300万立方米．为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米．设平均每年废气排放量减少的百分率为x，则可列方程为300(1－x)2＝144． 2．某商场将进货价为40元的台灯以50元售出，平均每月能售出600个，调查表明，售价在50元至70元的范围内，这种台灯的售价每上涨2元，其销售量就减少20个，为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 解：设每个台灯的售价上涨x元，则销售量减少(20·)个，由题意，得 (50＋x－40)(600－20·)＝10 000， 整理，得x2－50x＋400＝0， 解得x1＝10，x2＝40. 当x＝10时，售价为60元，符合题意； 当x＝40时，售价为90元，不符合题意，舍去． 答：这种台灯的售价应定为60元. 学生在前面活动中积累的经验可帮助其比较顺利地分析此问题，遇有疑难通过合作交流解决；在训练中，学生进一步体会建模的重要性，大部分学生能独立解决问题，体现了由扶到放的教学过程，培养自主探究与合作交流能力。 活动4：随堂检测 【随堂检测】 1．某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（　B　） A． B． C． D． 2．列方程（组解应用题： 端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒进价50元，售价65元，每天可售出300盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒售价每降价1元，每天销量将增加10盒，若要实现每天销售利润3500元，则每盒应降价多少元销售？ 解：设每盒降价元，则每盒售价为元，每盒利润为元，每天销量为盒， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每盒应降价5元销售． 通过典型练习题让学生进一步巩固利润问题的建模方法，当堂检测学习效果，及时发现并纠正列方程、解方程中的问题， 活动4：随堂检测 3.实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． 探索规律：（1）求该文创产品平均每次降价的百分率； 解决问题：（2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 解：（1）设平均每次降价的百分率为， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为． （2）设每件应降价元， 依题意，得， 解得，． 由题意可得：要尽快减少库存， ， 答：每件应降价36元． 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 课堂小结 1.课堂小结： (1)平均变化率问题：核心公式为a(1±x)n＝b(a为初始量，x为平均变化率，n为变化次数，b为变化后量)．解题时先明确增长/降低方向，设出变化率，代入公式列方程，求解后舍去负根或不符合实际的解． (2)销售利润问题：核心等量关系为总利润＝单件利润×销售量．设价格变动量或销量变动量为未知数，用含未知数的式子表示单件利润和销售量，再根据总利润目标列方程，注意检验解是否符合“单价、销量为正”的实际要求． 2．布置作业： 教材第53页随堂练习第1题，第54页习题2.4第5～8题. 引导学生自主归纳本节课学习的主要内容，让学生在梳理知识的过程中理清思路、形成体系，深化对用一元二次方程解决几何问题的理解， 教学反思 本节课学习一元二次方程在平均变化率、销售利润等实际问题中的应用。教学中我引导学生抓住“增长（降低）率公式”和“总利润＝单件利润×销量”两个核心模型，通过典型例题讲解建立方程的思路与方法，帮助学生理解增长与降低、定价与销量之间的数量关系，体会数学模型在解决实际问题中的价值。从课堂反馈看，学生能够理解基本思路，多数人能按步骤列出方程并求解，部分学生已能熟练运用两个模型解决问题。但不足之处也较明显：一是部分学生对平均变化率公式的结构掌握不牢，审题时不能正确区分增长与降低，设问“求增长（降低）率”时列式错误；二是销售利润问题中，学生不会用未知数表示变化后的单价与销量，列式易出错；三是个别学生求出根后忽略检验其是否符合实际意义，导致答案不合理。针对这些问题，后续教学将强化审题训练，引导学生圈画关键词、明确数量关系，通过列表、画图等方式把信息直观化；加强公式结构与含义的理解辨析，设计增长与降低的对比练习；规范“设未知数—列方程—解方程—检验”的完整流程，让学生体会检验的必要性，不断提升学生构建方程模型解决实际问题的能力，深化数学应用意识． 引导学生结合本节课的学习过程进行教学反思，回顾知识掌握与方法运用情况，总结经验与不足，以便教师在后续教学中优化教学设计、改进教学方法，进一步提升课堂教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　一元二次方程的应用(二) —— 夯实基础 —— 1．2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”以恒定速度完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．小明去年开了一家商店，去年12月份开始盈利，去年12月份盈利4800元，今年2月份的盈利达到6912元，那么每月盈利的月平均增长率为（　　） A． B． C． D． 3．某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨元，则下列说法正确的是（　　） A．涨价后每件工艺品的售价是元 B．涨价后每件售出工艺品的利润是元 C．涨价后每天销售工艺品的数量是件 D．可列方程为 4．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为　　 ． 5．某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率． 6．某商家推出一款玩具，成本为40元个，当售价定为70元个时平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个．商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元？ —— 能力提升 —— 7.今年政府继续支持家电以旧换新，涵盖了冰箱、洗衣机、电视、空调等8类家电商品．某地出台最高补贴标准为每件销售价格的给予补贴（每位消费者仅补贴一件，且补贴不得超过1000元）．马老师购买某品牌的全自动洗衣机一件，享受最高补贴后实际支付了2916元．已知此品牌的全自动洗衣机当时的售价是从4800元经过连续两次降价后的价格，且每次降低的百分率相同，设这个百分率为，则根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，则平均每次降价的百分率是 　　 ． 9．新世纪百货某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装盈利1400元，则每件童装应降价　　 元． 10．欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为50元件，原来售价为100元件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件． （1）如果每天要获得2400元的利润，并使顾客得到更大的优惠，问每件应降价多少元？ （2）由于库存原因，经理决定降价销售，经过两次降价后每件童装的售价为81元件，每次降价的百分率相同，求降价的百分率． 11.某菜农在11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜．当天就可以按6元的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损耗，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天，且储藏若干天后一次性售出）． （1）若该菜农要将这批黄瓜储藏天后一次性出售，则天后这批黄瓜的销售单价为 元，销售量是　　．（均用含的代数式表示） （2）若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏多少天后出售？ 12．某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元． ①若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为　　 万元； ②如果汽车的销售价位28万元部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利销售利润返利） 13.某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元双时，每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双与降低价格（元间存在如图所示的函数关系． （1）求出与的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？ （3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得9000元的利润．若能，求出定价；若不能，请说明理由． —— 思维拓展 —— 14．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 答案详解 1．解：由题意可得， ， 故选：． 2．解：设每月盈利的月平均增长率为，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 所以每月盈利的月平均增长率为， 故选：． 3．解：根据涨价金额分析售价、单件利润、销量的变化，根据总利润单件利润销量可列出对应的方程逐项分析判断如下： ．涨价后每件工艺品的售价应为元，而非元，原说法错误，不符合题意． ．涨价后每件工艺品的利润为元，而非元，原说法错误，不符合题意． ．单价每涨1元，每天少售出10件， 涨元时，少售出件， 原销量为300件， 涨价后每天销售工艺品的数量是件，原说法正确，符合题意． ．总利润单件利润销量，单件利润为元，销量为件，故方程应为，而非，原说法错误，不符合题意． 故选：． 4．解：由题意得：， 故答案为：． 5．解：设每年投资的年平均增长率为， 根据题意列一元二次方程得：， 整理得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每年投资的平均增长率为． 6．解：设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元，平均每天的销售量为 个， 得：， 解得：或， 由题意可得：， 答：每个玩具应降价12元． 7.解：此品牌的全自动洗衣机当时的售价是从4800元经过连续两次降价后的价格，且每次降低的百 分率相同，设这个百分率为， ， 故选：． 8．解：设平均每次降价， 由题意得：， 解得：或（舍去）， 即平均每次降价为． 故答案为：． 9．解：设每件童装应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 每件童装应降价12或20元． 故答案为：12或20． 10．解：（1）设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可出售件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要使顾客得到更大的优惠， ． 答：每件应降价20元． （2）设每次降价的百分率均为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：降价的百分率为． 11.解：（1）该菜农要将这批黄瓜储藏天后一次性出售，则天后这批黄瓜的销售单价为元， 销售量是． 故答案为：；； （2）由题意得，， 整理，得， 解得，， 因为储藏时间不超过10天，所以不符合题意，舍去． 答：需要将采摘的黄瓜储藏5天后出售． 12．解：（1）该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：， 故答案为：26.8； （2）设需要售出部汽车， 由题意可知，每部汽车的销售利润为：（万元）， 当，根据题意，得，整理，得， 解这个方程，得（不合题意，舍去），． 当时，根据题意，得，整理，得， 解这个方程，得（不合题意，舍去），． ，舍去． 答：要卖出6部汽车． 13.解：（1）设与的函数关系式为， 将，代入得：， 解得：， 与的函数关系式为； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 答：每双运动鞋的售价应该定为88元； （3）公司每天能获得9000元的利润，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 每双运动鞋的利润不低于成本价的， ， 解得：， 符合题意，， 答：公司每天能获得9000元的利润，此时每双运动鞋的定价为元． 14．解：（1）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）设每平方米草莓平均利润下调元， ， 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $