第2章 培优点2 一元二次不等式的恒(能)成立问题-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的恒（能）成立问题，通过例1（R上恒成立）、例2（给定区间恒成立）、例3（能成立）逐步展开，从基础到应用构建知识脉络，为学生提供阶梯式学习支架。 其亮点在于“感悟提升”总结解题规律，如恒成立的判别式条件、能成立转化为最值问题，培养数学思维中的推理能力。结合二次函数图像分析实例，发展几何直观（数学眼光），尝试训练巩固知识，教师使用可系统教学，学生提升问题解决能力。

培优点2　一元二次不等式 的恒(能)成立问题 类型一 在R上恒成立问题 [例1] 若对一切x∈R，不等式ax2＋2x＋2>0恒成立，求实数a的取值范围． 返回首页 感悟提升 返回导航 感悟提升 提醒　若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 返回导航 类型二 在给定区间上的恒成立问题 [例2] 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值范围． 返回首页 在给定区间上的恒成立问题 (1)当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈[α，β]上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈[α，β]上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 感悟提升 返回导航 类型三 一元二次不等式的能成立问题 [例3] 已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为 (　　) A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1＜a＜4} C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1} 【解析】　由于－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4， 又因为－x2＋4x≥a2－3a在R上有解， 只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4， 则实数a的取值范围为{a|－1≤a≤4}． A 返回首页 感悟提升 解决能成立问题的方法 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． (2)对一些简单的问题，m>y能成立可转化为m＞ymin，m<y能成立可转化为m＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围．当y取不到最小值或最大值时，注意参数取值范围的变动． 返回导航 [尝试训练] 1.若命题“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．－16≤a≤0 B．－16<a<0 C．－4≤a≤0 D．－4<a<0 解析：因为∀x∈R，x2＋ax－4a≥0， 所以a2－4×1×(－4a)＝a2＋16a≤0， 解得－16≤a≤0. 故实数a的取值范围是－16≤a≤0.故选A． A 返回首页 C 返回首页 3．若当1≤x≤2时，x2－ax＞0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≥1} B．{a|a＞1} C．{a|a≤1} D．{a|a＜1} 解析：x2－ax＞0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a＞0在1≤x≤2上恒成立，故1－a＞0，即a＜1. D 返回首页 4．若关于x的方程x2＋kx－k＋3＝0有实数解，则实数k的取值范围是_________________________． 解析：由题设，Δ＝k2－4(3－k)＝k2＋4k－12＝(k＋6)(k－2)≥0，所以k≤－6或k≥2. k≤－6或k≥2 返回首页 $