1.1.3 第2课时 全集、补集及综合应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦全集、补集的含义、性质及综合运算，通过数学模拟考试单选题情境导入，引导学生从已知集合关系自然过渡到补集概念，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于运用维恩图、数轴等直观工具，结合定义法、推理法培养数学眼光与思维，如例1用数轴求连续集合补集，例4探究“伙伴关系”集合新定义问题。课堂小结系统梳理方法，助力学生提升运算与推理能力，教师可利用分层练习高效开展教学。

第2课时　全集、补集及综合应用 新课导入 学习目标 在某次数学模拟考试 中，单选题的第8题有四 个选项，某同学求不出 正确答案，但明显知道其余三个是错误 的，那她能做对这道题目吗？理由是什 么？这就是这节课我们所要学习的新知识．  1.在具体情境中，了解全集与补集的含义． 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 3．会用维恩图、数轴解决集合的综合运算问题． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　全集与补集 　　如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F. 思考1　这三个集合之间有什么联系？ 提示：S＝M∪F，M∩F＝∅. 思考2　如果x∈S且x∉M，你能得到什么结论？ 提示：由x组成的集合恰为集合F. 返回导航 [知识梳理] 1．全集 (1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的______，那么称这个给定的集合为全集． (2)记法：全集通常用___表示． 点拨　全集不是固定不变的，是相对于研究的具体问题情境而言的，例如在整数范围内研究问题，则全集U＝Z，在实数范围内研究问题，则全集U＝R. U 子集 返回导航 2．补集及其性质 (1)定义 ∁UA {x| x ∈ U ,且x ∉ A} 返回导航 (2)性质 ①A∪(∁UA)＝___． ②A∩(∁UA)＝____． ③∁UU＝____，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝___． ④(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B). ⑤(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B). A ∅ ∅ U 返回导航 点拨　(1)求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同． (2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 返回导航 [例1] (对接教材例5)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA为(　　) A．{x∈R|0＜x＜2} B．{x∈R|0≤x＜2} C．{x∈R|0＜x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2} 【解析】　借助数轴(如图)易得∁UA＝{x∈R|0＜x≤2}． C 返回导航 感悟提升 求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． 返回导航 [跟踪训练1] (1)设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2，4}，则∁UA＝ (　　) A．{1，3} B．{1，3，5} C．{0，1，3} D．{0，1，3，5} 解析：U＝{x|x是小于5的非负整数}＝{0，1，2，3，4}，所以∁UA＝{0，1，3}．故选C． C 返回导航 (2)设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<－2}，则∁UM＝(　　) A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2<x<2} C．{x|x<－2，或x>2} D．{x|x≤－2，或x≥2} 解析：画出数轴如图，   可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}． A 返回导航 知识点二　集合交、并、补的混合运算 [例2] (1)(2026·德州期中)设集合U＝{x∈N＋|x≤4}，A＝{1，2}，B＝{2，4}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{3} B．{1，2，3，4} C．{3，4} D．{2，3，4} 【解析】　由条件可得，U＝{1，2，3，4}，A∪B＝{1，2，4}， 所以∁U(A∪B)＝{3}． A 返回导航 (2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，则(∁UA)∪B＝___________________，A∩(∁UB)＝_____________． 【解析】　根据题意，画出数轴， 由图1可得∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}． 由图2可得∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}． 所以(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}． {x|x≤2或3≤x≤4} {x|2<x<3} 返回导航 感悟提升 集合混合运算的一般思路 (1)明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式； (2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算； (3)注意对运算结果进行检验． 常用结论　(1)(∁AB)∩(∁AC)＝∁A(B∪C)， (2)∁A(B∩C)＝(∁AB)∪(∁AC). 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知全集U＝{－2，2，4，6}，集合A＝{－2，2，4}，B＝{2，4，6}，则(∁UA)∪(∁UB)＝(　　) A．{2，4} B．{－2，6} C．{2} D．{6} 解析：方法一：由题意得∁UA＝{6}，∁UB＝{－2}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝{－2，6}． 方法二：因为A∩B＝{2，4}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝{－2，6}． B 返回导航 (2)(2026·东营月考)如图，设全集U＝R，M＝{x|x＜－1}，N＝{x|－3＜x＜0}，则图中阴影部分表示的集合为____________________． 解析：题图中阴影部分表示的集合为(∁UM)∩N＝{x|x≥－1}∩{x|－3＜x＜0}＝{x|－1≤x＜0}． {x|－1≤x＜0} 返回导航 应用点一　与补集有关的参数问题 [例3] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 【解】　由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 在数轴上表示，如图， 所以－m≤－2，即m≥2. 所以实数m的取值范围是[2，＋∞). 返回导航 母题探究　若将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？ 解：因为A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B＝B，所以B⊆∁UA， 所以－m≥4，解得m≤－4. 所以实数m的取值范围是(－∞，－4]. 返回导航 感悟提升 由集合的补集求解参数的方法 (1)对于由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)对于与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解． 返回导航 [跟踪训练3] (1)已知全集U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}，∁UM＝{－1}，则实数x的值为(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．－1 解析：由题意得－1∈U且4∈M，所以3－x2＝－1且x2－x＋2＝4，解得x＝2. A 返回导航 (2)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围为________________． 解析：因为B＝{x|1<x<2}，所以∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，又A＝{x|x<a}，A∪(∁RB)＝R，所以只需a≥2，即实数a的取值范围为[2，＋∞). [2，＋∞) 返回导航 应用点二　集合的新定义问题 [例4] (1)(2026·日照月考)若x∈A，则－x∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝{－2，－1，0，1，2，3}的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是(　　) A．6 B．7 C．3 D．1 B 返回导航 【解析】　若x＝－2，则－x＝2； 若x＝－1，则－x＝1； 若x＝0，则－x＝0， 则{－2，2}，{－1，1}，{0}，{－2，2，0}，{－1，1，0}，{－2，2，－1，1}，{－2，2，0，－1，1}为“伙伴关系”集合，共7个． 返回导航 (2)对于集合M，N，定义M－N的运算结果为图中阴影部分表示的集合，定义M⊕N＝(M－N)∪(N－M).若全集U＝R，A＝{x|x＋2≥0}，B＝{x|x<0}，则A⊕B＝(　　) A．{x|x≥0} B．{x|x<－2} C．{x|x<－2或x≥0} D．{x|x≤－2或x>0} C 【解析】　因为M－N＝M∩(∁UN)，所以A－B＝A∩(∁RB)＝{x|x≥－2}∩{x|x≥0}＝{x|x≥0}，B－A＝B∩(∁RA)＝{x|x<0}∩{x|x<－2}＝{x|x<－2}，所以A⊕B＝(A－B)∪(B－A)＝{x|x≥0}∪{x|x<－2}＝{x|x<－2或x≥0}． 返回导航 感悟提升 　　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： (1)紧扣新定义．分析新定义，把新定义的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解集合中的新定义问题的关键． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 返回导航 [跟踪训练4] 设U为全集，对集合X，Y，定义运算“⊕”，满足X⊕Y＝(∁UX)∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，X⊕(Y⊕Z)＝(　　) A．(X∪Y)∪(∁UZ) B．(X∩Y)∪(∁UZ) C．[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z D．(∁UX)∪[(∁UY)∪Z] 解析：根据运算“⊕”的含义，Y⊕Z＝(∁UY)∪Z.因此X⊕(Y⊕Z)＝(∁UX)∪[(∁UY)∪Z]. D 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 29 1．(教材P20练习AT5改编)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤3}，则集合∁UM＝(　　) A．{x|－2<x<3} B．{x|x<－2，或x>3} C．{x|－2≤x≤3} D．{x|x≤2，或x≥3} 解析：由题意得∁UM＝{x|x<－2，或x>3}．故选B． B 返回导航 2．设全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，则A∩(∁UB)＝ (　　) A．{x|1≤x<2} B．{x|x<2} C．{x|x≥5} D．{x|1<x<2} 解析：因为∁UB＝{x|x<2，或x≥5}，所以A∩(∁UB)＝{x|1<x<2}． D 返回导航 3．(教材P20练习BT4改编)已知全集U＝{3，a}，集合A＝{b}，∁UA＝{5}，则a＋b＝________． 解析：由题意得{3，a}＝{b，5}，即a＝5，b＝3，所以a＋b＝8. 8 返回导航 4．(2026·潍坊月考)给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1∉S且x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个． 解析：若集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个． 6 返回导航 课堂小结 1．已学习：全集、补集的概念及性质，交、并、补集的综合运算，利用集合间的关系求参数． 2．须贯通：补集相对于全集而存在，既是集合间的一种关系，也是集合间的一种运算，还是一种数学思想(正难则反). 3．应注意：对补集和全集的概念理解不透彻，集合运算时要注意空集及端点值． 返回导航 $