3.1.3 第1课时 函数的奇偶性-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学函数的奇偶性核心知识点，从生活对称美导入，结合二次函数、反比例函数实例，系统梳理定义、定义域特征及图象性质，构建从直观到抽象的学习支架，涵盖判断方法与综合应用。 资料以情境化导入和分层训练为特色，通过“思考-例题-探究”链条培养数学眼光与思维，如剪纸图片抽象对称本质，分段函数判断体现逻辑推理，课中辅助教学突破重难点，课后助力学生查漏补缺。

3．1.3　函数的奇偶性 新课导入 学习目标 　　生活因对称而美丽，观看下图中的剪纸工艺品图片，感受剪纸艺术中的对称美吧． 这种对称美在我们学习的函数中也有所体现，数学上也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性． 1.了解奇偶性的概念，会判定函数的奇偶性． 2．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题． 3．理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式． 第1课时　函数的奇偶性 思考1　二次函数y＝x2的图象关于什么对称？ 提示：y轴． 思考2　反比例函数y＝的图象关于什么对称？ 提示：原点． [知识梳理] 类别 偶函数 奇函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x) 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x) 定义域特征 关于原点对称 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 [例1] (对接教材例1)判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝x2－3|x|； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝ 【解】　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)3－x＝－x3－x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (2)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)2－3|－x|＝x2－3|x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数． (3)由题意得解得x＝±2，即函数的定义域为{x|x＝±2}，关于原点对称，则f(x)＝＋＝0， 所以函数f(x)既是奇函数也是偶函数． (4)方法一：函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， 对∀x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有－x∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 当x＞0时，－x＜0， f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)； 当x＜0时，－x＞0， f(－x)＝－x＋1＝f(x). 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数． 方法二： 作出函数f(x)的图象如图．此函数的图象关于y轴对称， 所以函数f(x)是偶函数． 判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法 (2)图象法 注意　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的取值范围代入相应的函数解析式． 　 [跟踪训练1] (1)下列图象对应的函数中具有奇偶性的是(　　) 解析：选B.选项A中图象均不关于原点或y轴对称，故排除；选项C，D中图象对应函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其对应的函数是偶函数． (2)判断下列函数的奇偶性． ①f(x)＝； ②f(x)＝|x－2|＋|x＋2|； ③f(x)＝. 解：①函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． ②函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．因为对∀x∈R，都有f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数． ③由得－3≤x≤3且x≠0，即f(x)的定义域为[－3，0)∪(0，3].因为f(x)＝＝＝，f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数． [例2] 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补全函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间． 【解】　(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞). 母题探究　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 解：(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，1). 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题． [跟踪训练2]　 已知函数f(x)是定义在[－3，－1]∪[1，3]上的奇函数，其部分图象如图所示． (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象； (2)比较f(1)与f(3)的大小． 解：(1)由于函数f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示． (2)观察图象，知f(3)<f(1). [例3] (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(x＋1)，那么f(－1)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 (2)已知函数f(x)＝ax2＋bx－4a是偶函数，其定义域为[a－1，－2a]，则a＋b＝(　　) A．1 B．－1 C． D．0 【解析】　(1)因为当x＞0时，f(x)＝x(x＋1)，所以f(1)＝1×2＝2，又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A. (2)由题意得，a－1＋(－2a)＝0，可得a＝－1， 所以f(x)＝－x2＋bx＋4，其定义域为[－2，2]， 由f(－x)＝f(x)可得，－x2－bx＋4＝－x2＋bx＋4对于x∈[－2，2]恒成立，所以2bx＝0，b＝0，则a＋b＝－1.故选B. 【答案】　(1)A　(2)B 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． [跟踪训练3] (1)已知函数y＝xf(x)＋2是R上的偶函数，若f(－3)＝2，则f(3)＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选A.y＝xf(x)＋2是偶函数， 则－3f(－3)＋2＝3f(3)＋2， 且f(－3)＝2，代入得f(3)＝－2. (2)(2026·东营月考)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________________. 解析：方法一：设x<0，则－x>0， 则f(－x)＝－x2－ax，f(x)＝x2＋4x， 因为f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 即－x2－ax＝－x2－4x， 可得a＝4. 方法二：因为f(x)是奇函数， 则f(－1)＝－f(1)，即1－4＝－(－1＋a)， 解得a＝4，经检验a＝4满足条件． 答案：4 1．已知y＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则f(x)的图象是(　　) 解析：选D.因为f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称，根据题目所给的一部分图象可知，符合题意的只有D项．故选D. 2．已知函数f(x)为奇函数，且f(2)＝4，则f(－2)＝(　　) A．2 B．－2 C．－4 D．4 解析：选C.由奇函数的性质得f(－2)＝－f(2)＝－4.故选C. 3．(2026·连云港月考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________． 解析：方法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4. 方法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4. 方法三：由函数f(x)＝0得x1＝－a，x2＝4，由于f(x)是偶函数，所以4－a＝0，所以a＝4. 答案：4 4．(教材P114T2改编)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x－； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解：(1)f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 方法一：因为f(－x)＝(－x)－＝－x＋＝－(x－)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x－是奇函数． 方法二：因为f(x)＋f(－x)＝x－＋(－x)－＝x－－x＋＝0，所以f(x)＝x－是奇函数． (2)因为函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠1}，定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数． (3)方法一：因为函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x＞0时，－x＜0， 所以f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x). 当x＜0时，－x＞0， 所以f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)， 综上可知，函数f(x)为奇函数． 方法二：作出函数f(x)的图象，如图所示的实线部分．由图可知，该函数为奇函数． 1．已学习：函数奇偶性的概念及判断、奇(偶)函数的图象特征． 2．须贯通：函数的奇偶性是一个函数本身具有的“整体”性质，既可以通过定义f(－x)＝±f(x)判断，也可以根据函数图象的对称性判断． 3．应注意：奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 　 学科网（北京）股份有限公司 $