1.5.1 平面上两点间的距离(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦“平面上两点间的距离公式”，通过公交站点选址的生活情境导入，衔接平面直角坐标系知识，为后续点到直线距离等内容搭建学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以情境化问题培养数学眼光，通过判断三角形形状、坐标法证明几何问题等分层题型发展数学思维与运算能力，结合跟踪训练与分层作业，助力学生提升逻辑推理与应用意识，教师可直接用于课堂教学，提高教学效率。

1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 第一章　直线与方程 1 课标要求 探索并掌握平面上两点间的距离公式（直观想象、数学运算、逻辑推理）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个 公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行. 【问题】　如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　两点间的距离公式 条件 点P1（x1，y1），P2（x2，y2） 结论 P1P2＝ ⁠ 特例 点P（x，y）到原点O（0，0）的距离OP＝ ⁠ 提醒：（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关；（2）当直线P1P2 平行于x轴时，P1P2＝｜x2－x1｜；当直线P1P2平行于y轴时，P1P2＝｜ y2－y1｜. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）点P1（0，a），点P2（b，0）之间的距离为a－b. （　×　） （2）当A（x1，y1），B（x2，y2）两点的连线与坐标轴平行或垂直时， 两点间的距离公式不适用. （　×　） （3）已知A（a，0），B（0，b），则线段AB的中点坐标为（ ， ）. （　√　） × × √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知A（－2，3），B（－2，－3），则AB＝（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 解析：　AB＝ ＝6. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知点A（－2，－1），B（a，3），且AB＝5，则a的值为（　　） A. 1 B. －5 C. 1或－5 D. －1或5 解析：　∵AB＝ ＝5，∴a＝－5或a＝1. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 10 题型一　两点间的距离公式 （链接教科书第34页例1（1））（1）直线y＝x上的两点P，Q的横 坐标分别是1，5，则PQ＝（　B　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 解析：由题意得P（1，1），Q（5，5），∴PQ＝ ＝4 . B 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）已知△ABC的顶点坐标为A（－1，5），B（－2，－1），C（4， 3），M是BC边上的中点，则AM＝ ⁠. 解析：由B（－2，－1），C（4，3），∴M点的坐标为（1，1），故 AM＝ ＝2 . 2 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 1. 求两点间距离的方法 首先根据题目条件确定点的坐标，再代入两点间的距离公式求值，代入时 注意点的坐标的对应位置要准确. 2. 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2中点M坐标为（ ， ）. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 　已知△ABC的顶点为A（2，3），B（－1，0），C（2，0），则 △ABC的周长为 ⁠. 解析：AB＝ ＝3 ，BC＝ ＝3，AC ＝ ＝3， 故△ABC的周长为3＋3＋3 ＝6＋3 . 6＋3 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　两点间距离公式的应用 （链接教科书第34页例1（2））（1）已知点P（a，2），A（－2， －3），B（1，1），若PA＝PB，则a＝ ⁠； 解析：因为点P（a，2），A（－2，－3），B（1，1），且PA＝PB， 则 ＝ ，解得a＝－ . － 　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）〔一题多解〕已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－3，1），B （3，－3），C（1，7），试判断△ABC的形状. 解：法一　∵AB＝ ＝ 2 ， AC＝ ＝2 ， 又BC＝ ＝2 ， ∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 法二　∵kAC＝ ＝ ，kAB＝ ＝－ ， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又AC＝ ＝2 ， AB＝ ＝2 ， ∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 1. 判断三角形形状的解题策略 （1）先采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的 方向； （2）根据两点间的距离公式分别求出三边的长，确定是等腰、等边、还 是直角三角形. 2. 由两点间的距离求参数值（范围），一般可将条件转化为含参数的方程 或不等式（方程组或不等式组）求解. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 已知点M（－1，4），N（7，0），y轴上一点P满足PM＝PN，则点 P的坐标为（　　） A. （0，－3） B. （0，－4） C. （0，－6） D. （0，－7） 解析：　由于点P在y轴上，设P（0，b），又M（－1，4），N（7， 0），PM＝PN，∴ ＝ ，解得b ＝－4.故点P的坐标为（0，－4），故选B. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 在已知直线2x－y＝0上存在一点P，使它到点M（5，8）的距离为5， 则直线PM的方程为 ⁠. 解析：∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P点坐标为（a，2a）， ∴ ＝5，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a ＝ ，∴点P的坐标为（2，4）或（ ， ）.∴直线PM的方程为 ＝ 或 ＝ ，即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0. 4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　坐标法的应用 （链接教科书第36页例3）在△ABC中，AD是BC边上的中线，试建 立适当的直角坐标系，求证：AB2＋AC2＝2（AD2＋DC2）. 证明：以BC边所在直线为x轴，D为原点，建立平面直 角坐标系，如图所示， 设A（b，c），C（a，0），则B（－a，0）. 因为AB2＝（a＋b）2＋c2，AC2＝（a－b）2＋c2， AD2＝b2＋c2，DC2＝a2，所以AB2＋AC2＝2（a2＋b2＋c2）， AD2＋DC2＝a2＋b2＋c2， 所以AB2＋AC2＝2（AD2＋DC2）. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 利用坐标法解平面几何问题的四个步骤 （1）建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； （2）用坐标表示有关的点； （3）将几何关系转化为坐标运算； （4）把代数运算结果“翻译”成几何关系. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD. 求证：AC＝BD. 证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设A（0，0），B（a，0），C （b，c）， 则点D的坐标是（a－b，c）. ∴AC＝ ＝ ， BD＝ ＝ . 故AC＝BD. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 已知点（x，y）到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是（　） A. x2－y2＝1 B. x2＋y2＝0 C. ＝1 D. ＝0 解析：　由两点间的距离公式得 ＝1. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. A（2，1），B（4，2）两点间的距离为（　　） A. 3 B. 3 C. D. 2 解析：　由两点间的距离公式得AB＝ ＝ ， 故选C. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知点M（x，－4）与点N（2，3）间的距离为7 ，则x＝ ⁠ ⁠. 解析：由MN＝7 ，得MN＝ ＝7 ，即x2 －4x－45＝0，解得x＝9或x＝－5.故所求x的值为9或－5. 9或－ 5 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知△ABC的顶点坐标为A（－1，5），B（－2，－1），C（2， 3），求BC边上的中线长. 解：BC的中点坐标为（0，1）， 则BC边上的中线长为 ＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 28 1. 已知点A（7，4），B（4，8），则A，B两点间的距离为（　　） A. 25 B. 5 C. 4 D. 解析：由两点间的距离公式得AB＝ ＝ ＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知直线l1：x＋2y－5＝0，直线l2：3x－y－1＝0的交点为A，O为坐 标原点，则点A到原点的距离为（　　） A. 1 B. 2 C. 解析：　解方程组 得 即A（1，2），而O为 坐标原点，则AO＝ ＝ ，所以点A到原点的距离为 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知坐标平面内三点A（3，2），B（0，5），C（4，6），则△ABC 的形状是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　由两点间的距离公式，可得AB＝ ，BC＝CA＝ ，且 BC2＋CA2≠AB2，∴△ABC为等腰三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率为 ，则MN＝（　　） A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 解析：　∵过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率k＝ ＝ ，解得a＝2，∴M（－2，2），N（2，4），∴MN＝ ＝2 .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 直线l1：3ax－y－2＝0和直线l2：（2a－1）x＋5ay－1＝0分别过定 点A和B，则AB＝（　　） A. B. C. 解析：　直线l1：y＝3ax－2过定点A（0，－2），直线l2：a（2x＋5y）－（x＋1）＝0过定点B（－1， ），所以AB＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕直线x＋y－1＝0上与点P（－2，3）的距离等于 的点的坐 标可能是（　　） A. （－4，5） B. （－3，4） C. （－1，2） D. （0，1） 解析：设所求点的坐标为（x0，y0），有x0＋y0－1＝0，且 ＝ ，两式联立解得 或 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 已知点A（－2，13），点B（－2，－5），则AB＝ ⁠. 解析：AB＝｜y1－y2｜＝｜13＋5｜＝18. 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 若动点P的坐标为（x，1－x），x∈R，则动点P到原点的最小值 是 ⁠. 解析：由两点间的距离公式得P到原点的距离为 ＝ ＝ ， ∴最小值为 ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝 对值为 ，则A，B两点间的距离为 　​ 　. 解析：设点A（a，2a－1），点B（b，2b－1），因为｜a－b｜＝ ，所以AB＝ ＝ ｜a－b｜ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB 的中点到原点的距离为 ，求a的值. 解：由题易知a≠0，∴在直线ax＋2y－1＝0中， 令y＝0，有x＝ ，则A（ ，0），令x＝0，有y＝ ，则B（0， ）， 故AB的中点为（ ， ）， ∵线段AB的中点到原点的距离为 ， ∴ ＝ ，解得a＝±2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. 过定点A的直线x－my＝0（m∈R）与过定点B的直线mx＋y－m＋3 ＝0（m∈R）交于点P（x，y），则PA2＋PB2＝（　　） A. B. 10 C. 2 D. 20 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　直线x－my＝0过定点A（0，0），直线mx＋y－m＋3＝0可化 为m（x－1）＋y＋3＝0，由 可得 所以定点B （1，－3），当m＝0时，直线方程为x＝0，y＋3＝0，此时两直线垂直； 当m≠0时，由两直线的斜率之积为k1k2＝ ×（－m）＝－1可知两直线 垂直，所以PA⊥PB，所以PA2＋PB2＝AB2＝（0－1）2＋[0－（－3）]2 ＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕对于 ，下列说法正确的是（　　） A. 可看作点（x，0）与点（1，2）的距离 B. 可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离 C. 可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离 D. 可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离 解析： ＝ ＝ ＝ ，故可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离，可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离，可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离，故选项A不正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 设A（－3，1），B（2，4），点P在x轴上，则PA＋PB的最小值 为 ，此时点P的坐标为 ⁠. 解析：由题意得，点A（－3，1）关于x轴的对称点为A'（－3，－1）， PA＋PB＝PA'＋PB≥A'B（当且仅当A'，P，B三点共线时取等号），又B （2，4），则A'B＝ ＝5 ，∴直线A'B的方程为 ＝ ，即x－y＋2＝0，∴当PA＋PB取最小值时，点P为直线x－y ＋2＝0与x轴的交点，∴此时点P的坐标为（－2，0）. 5 （－2，0）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 在△ABC中，D是BC边上的任意一点（D与B，C不重合），且AB2 ＝AD2＋BD·DC. 求证：△ABC为等腰三角形. 证明：作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在的直线为x轴， OA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设A（0，h），B（b，0），C（c，0），D（d，0）. 因为AB2＝AD2＋BD·DC， 则由两点间距离公式得b2＋h2＝d2＋h2＋（d－b）（c－d）， 整理得－（d－b）（b＋d）＝（d－b）（c－d）. 因为点D与点B，C不重合，所以d－b≠0， 所以－b－d＝c－d，即－b＝c.所以OB＝OC，于是AB＝AC，即△ABC为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $