1.2.2 直线的两点式方程(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦直线的两点式与截距式方程，通过斜拉桥情境导入，以桥面和桥塔建立坐标系，提出用两点坐标表示直线方程的问题，衔接确定直线位置的几何要素，构建从情境到概念再到应用的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过“想一想”辨析方程适用范围，典例研析中分类讨论截距为零情况，跟踪训练含参数两点式方程，培养学生思维严谨性。规律方法总结助学生系统掌握方程选择技巧，对学生提升知识应用能力，对教师提供丰富教学资源与实施思路。

1.2　直线的方程 1.2.2　直线的两点式方程 第一章　直线与方程 1 课标要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程 （数学抽象）. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围（逻辑推理）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x 轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔 上一点与桥面上一点的直线. 【问题】　（1）怎样表示该直线的方程呢？ （2）能否用直线上两个已知点的坐标来表示该直线的方程？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　直线的两点式与截距式方程 两点式 截距式 条件 直线l经过两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），其中x1≠x2，y1≠y2 直线l在x轴上截距为a，在y轴上的截距为b 图形 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 两点式 截距式 方程 ＝ ＋ ＝1 适用 范围 不能表示 ⁠坐标轴 的直线 不能表示 ⁠坐标轴的直线 及过 ⁠的直线 垂直于　 垂直于　 原点　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 1. 直线的两点式方程与这两个点的顺序有关吗？ 提示：两点式方程与这两个点的顺序无关. 2. 方程 ＝ 和方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1） 的适用范围相同吗？ 提示：不同.前者为分式形式，要求x1≠x2，y1≠y2，后者为整式形式，适 用于过任何两点的直线方程. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示. （　√　） （2）能用截距式表示的直线都能用两点式表示. （　√　） （3）过点（1，3）和（1，5）的直线也可以用两点式方程来表示. （　×　） √ √ × 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 过点A（5，6）和点B（－1，2）的直线的两点式方程是（　B　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ ＝ B 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为（　A　） A. － ＝1 B. ＋ ＝1 C. － ＝1 D. ＋ ＝0 A 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 12 题型一　直线的两点式方程 （链接教科书第15页例4）已知△ABC的顶点是A（－3，2），B （5，－4），C（0，－2）. （1）求BC边所在直线的方程； 解：∵BC边过两点B（5，－4），C（0，－2）， ∴由直线的两点式方程得 ＝ ， 即2x＋5y＋10＝0. 故BC边所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）求BC边上的中线所在直线的方程. 解：设BC的中点为M（x0，y0）， 则x0＝ ＝ ，y0＝ ＝－3. ∴M ， 又BC边上的中线经过点A（－3，2）. ∴由直线的两点式方程得 ＝ ， 即10x＋11y＋8＝0. 故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 求直线的两点式方程的策略以及注意点 （1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足 两点式方程的适用条件，若满足即可用两点式求方程； （2）若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论； （3）在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式 求方程. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 写出下列直线的两点式方程： （1）经过A（2，5）和B（－3，－2）两点； 解：因为直线过点A（2，5），B（－3，－2）， 所以该直线的两点式方程为 ＝ . （2）经过C（0，3）和D（3，0）两点； 解：因为直线过点C（0，3），D（3，0）， 所以该直线的两点式方程为 ＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）经过E（2，m）和F（n，3）两点. 解：当m＝3时，直线垂直于y轴，方程为y＝3， 当n＝2时，直线垂直于x轴，方程为x＝2. 当m≠3且n≠2时，由两点式得直线方程为 ＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　直线的截距式方程 （链接教科书第14页例3）求过点A（3，4），且在两坐标轴上的截距 互为相反数的直线l的方程. 解：①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的 方程为 ＋ ＝1. 又l过点A（3，4），所以 ＋ ＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为 ＋ ＝1，即x－y＋1＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 ②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时， 设直线l的方程为y＝kx，因为l过点（3，4），所以4＝k·3，解得k＝ ，直线l的方程为y＝ x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 　（变条件）若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解：（1）当截距不为0时，设直线l的方程为 ＋ ＝1， 又l过点（3，4），所以 ＋ ＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. （2）当截距为0时，由例可得直线l的方程为4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 求直线的截距式方程的方法 （1）由已知直线的横、纵截距； （2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为 零，则代入公式 ＋ ＝1，可得所求的直线方程. 提醒：直线的截距式方程是两点式方程的特例，若题目中出现直线在两坐 标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴 上的截距的多少倍等条件时，一定要注意考虑“截距为零”的情况. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 　求过点P（6，－2），且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线 方程. 解：设直线方程的截距式为 ＋ ＝1. 则 ＋ ＝1，解得a＝2或a＝1， 则直线方程是 ＋ ＝1或 ＋ ＝1， 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　直线方程的灵活选用 试用合适的方法求满足下列条件的直线方程： （1）斜率为－2，经过点（3，4）； 解：斜率k＝－2，过点（3，4），由点斜式得直线方程为y－4＝－2（x －3），即2x＋y－10＝0. （2）斜率为3，在y轴上的截距是2； 解：斜率k＝3，在y轴上的截距是2，由斜截式得直线方程为y＝3x＋2， 即3x－y＋2＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）经过两点（－2，－1）和（－1，5）； 解：直线经过两点（－2，－1）和（－1，5），由两点式得直线方程为 ＝ ，即6x－y＋11＝0. （4）经过两点（－4，0）和（0，2）. 解：由直线经过两点（－4，0）和（0，2），可知直线在x轴、y轴上的截 距分别为－4和2，由截距式得直线方程为 ＋ ＝1，即x－2y＋4＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 直线方程的选择技巧 （1）若给出直线经过一个点，常考虑用点斜式，但要注意平行于x轴的直 线斜率为0，垂直于x轴的直线斜率不存在； （2）若已知直线的斜率，通常用斜截式； （3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标 轴平行或重合；若两点是与坐标轴的交点，就选用截距式； （4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 求经过点（－2，2）且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的 方程. 解：由题意知，直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直 线l的方程为 ＋ ＝1，由已知可得 解得 或 所以 ＋ ＝1或 ＋ ＝1， 故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 〔一题多解〕直线 － ＝1在y轴上的截距是（　　） A. －3 B. 3 C. －4 D. 4 解析：法一　令x＝0，则y＝－4，即直线 － ＝1在y轴上的截距是－4. 法二　由 － ＝1得 ＋ ＝1，∴直线在y轴上的截距为－4. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 经过点A（－3，2），B（4，4）的直线的两点式方程为（　　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ ＝ 解析：　因为直线经过点A（－3，2），B（4，4），所以由方程的两 点式可得直线方程为 ＝ ，即 ＝ .故选A. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知直线l过点P（4，1）且直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2 倍，则直线l的方程为 ⁠. 解析：由题意知，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的斜率为k，则 其方程为y－1＝k（x－4）.令x＝0，得y＝1－4k；令y＝0，得x＝4－ .所以1－4k＝2（4－ ），解得k＝ 或k＝－2.所以直线l的方程为y－1 ＝ （x－4）或y－1＝－2（x－4），即y＝ x或2x＋y－9＝0. y＝ x或2x＋y－9＝0 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知三角形的顶点是A（1，3），B（－2，－1），C（1，－1），求 这个三角形三边所在直线的方程. 解：由题意作出图形如图所示，直线AB过A（1，3），B（－2，－1）， 其两点式方程为 ＝ ，整理得4x－3y＋5＝0， 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1. 直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 31 1. 过P1（2，0），P2（0，3）两点的直线方程是（　　） A. ＋ ＝0 B. ＋ ＝0 C. ＋ ＝1 D. － ＝1 解析：　由截距式，得所求直线的方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知直线l的两点式方程为 ＝ ，则l的斜率为（　　） A. － B. C. － D. 解析：　由两点式方程 ＝ ，知直线l过点（－5，0），（3，－3），所以l的斜率为 ＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 若直线 ＋ ＝1过第一、二、三象限，则（　　） A. a＞0，b＞0 B. a＞0，b＜0 C. a＜0，b＞0 D. a＜0，b＜0 解析：　因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第 一、二、三象限，故a＜0，b＞0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知直线l的两点式方程为 ＝ ，则（　　） A. 直线l经过点（5，2） B. 直线l的斜截式方程为x＝ y－ C. 直线l的倾斜角为锐角 D. 直线l的点斜式方程为y－2＝ （x－5） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析： 　由题意知，直线l经过两点（8，9），（2，5），且点（5，2） 不适合方程，因此A错误；将两点式方程化为斜截式方程，可得y＝ x＋ ，因此B错误；直线l的斜率为 ＞0，所以直线l的倾斜角为锐角，因此 C正确；直线l的斜率为 ，且过点（2，5），所以直线l的点斜式方程为y －5＝ （x－2），因此D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 〔一题多解〕两条直线 － ＝1与 － ＝1的图象可能是（　　） 解析：　法一　两直线的方程分别化为y＝ x－n，y＝ x－m，易知 两直线的斜率符号相同. 法二　将两直线方程分别化为截距式l1： ＋ ＝1，l2： ＋ ＝1，假 定l1的位置，判断m，n的正负，从而确定l2的位置，知B符合. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 不经过原点的直线都可以用方程 ＋ ＝1表示 B. 若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为（4， 1），则直线l的方程为 ＋ ＝1 C. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x＋y＝a（a∈R）表示 D. 直线3x－2y＝4的截距式方程为 ＋ ＝1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　 与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；因为线 段AB的中点为（4，1），所以直线l过点（8，0），（0，2），所以直线 l的方程为 ＋ ＝1，故B正确；直线x－y＝0在两坐标轴上的截距相等， 但不能用x＋y＝a（a∈R）表示，故C错误；方程3x－2y＝4可化为 ＋ ＝1，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 过点（1，3）且在x轴上的截距为2的直线方程是 ⁠. 解析：由题意知直线过点（2，0），又直线过点（1，3），由两点式可 得， ＝ ，整理得3x＋y－6＝0. 3x＋y－6＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 若直线2x－y－4＝0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a－b ＝ ⁠. 解析：直线2x－y－4＝0化为截距式为 ＋ ＝1.∴a＝2，b＝－4，∴a －b＝2－（－4）＝6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 已知直线l过点P（2，3），且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点. 若△AOB的面积为12（O为坐标原点），则直线l的方程为 ⁠ ⁠. 解析：设直线l的方程为 ＋ ＝1（a＞0，b＞0），则△AOB的面积为 ab＝12　①.因为直线l过点P（2，3），所以 ＋ ＝1　②.联立① ②，解得a＝4，b＝6，故直线l的方程为 ＋ ＝1，即3x＋2y－12＝0. 3x＋2y－12 ＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. （2026·常州月考）已知△ABC中，A（1，－4），B（6，6），C （－2，0）.求： （1）△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； 解：平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线. 因为线段AB，AC的中点坐标分别为（ ，1），（－ ，－2），所以平行 于BC边的中位线所在直线的方程为 ＝ ，整理得，6x－8y－13＝ 0，化为截距式方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）BC边的中线所在直线的方程并化为斜截式方程. 解：因为BC边的中点为（2，3），所以BC边上的中线所在直线的方程为 ＝ ，即7x－y－11＝0，化为斜截式方程为y＝7x－11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. 某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（kg）之间的关 系如图所示，则乘客最多可免费携带行李的 质量为（　　） A. 20 kg B. 25 kg C. 30 kg D. 35 kg 解析：　由图可知，直线过点（60，10），（80，15），由直线的两点式方程可得 ＝ ，化简可得y＝ x－5，令y＝0，解得x＝20，即乘客最多可免费携带行李的质量为20 kg.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A（2，1）， 则过点P1（a1，b1）和点P2（a2，b2）的直线方程是（　　） A. 2x＋y＋1＝0 B. 2x－y＋1＝0 C. 2x＋y－1＝0 D. x＋2y＋1＝0 解析：　把A（2，1）的坐标代入两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y ＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0，∴2（a1－a2）＝b2－b1，过 点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程是 ＝ ，∴y－b1 ＝－2（x－a1），则2x＋y－（2a1＋b1）＝0，∵2a1＋b1＋1＝0，∴2a1 ＋b1＝－1，∴所求直线方程为2x＋y＋1＝0.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 直线l： ＋ ＝1中，已知a＞0，b＞0.若l与坐标轴围成的三角形的 面积不小于10，则ab最小值为 ⁠. 解析：因为a＞0，b＞0，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝ ab，则 ab≥10，得ab≥20. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 已知A是直线l：y＝3x上的第一象限内的一点，B（3，2）为定点， 直线AB交x轴正半轴于点C，求使△AOC面积最小的点A的坐标. 解：如图，设点A的坐标为（m，3m）（m＞0）. 当直线AB不垂直于x轴时，由两点式得AB的方程为 ＝ （m≠ ，且m≠3）. 令y＝0，得xC＝ . 因为点C在x轴的正半轴上，所以 ＞0，即m＞ .所以△AOC的面积 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 S＝ × ×3m＝ ＝ × ＝ ×（3m－2＋ ＋4）≥ ×（2 ＋4）＝ ×8＝ ，当且仅当3m－2＝ ，即m＝ 时等号成立，此时点A的坐标为（ ，4）. 当直线AB与x轴垂直时，点A的坐标为（3，9），此时S△AOC＝ ×3×9＝ ＞ . 综上所述，△AOC面积的最小值为 ，此时点A的坐标为（ ，4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $