1 第1章 直线与方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了直线与方程的核心知识，涵盖倾斜角、斜率、直线方程、距离公式及对称问题等，通过题型串联构建从基础要素到综合应用的知识网络，体现知识点间的内在逻辑联系。 其亮点在于融入创新题型与分层设计，如“直角距离”“曼哈顿几何”等引导学生用数学眼光抽象概念，通过定点分析、对称推理培养逻辑思维，基础题与综合题结合满足不同学生需求，助力教师精准教学，提升复习效率。

第1章 直线与方程 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.若直线l:x-my=0(|m|≤1),则l的倾斜角α的取值范围为 (　　　) A. ∪ 　　　     B.  C. ∪ 　　　    D.      D     解析　当m=0时,直线l的倾斜角为 ;当m≠0时,直线l的斜率k= ,因为|m|≤1,所以k≥1或k≤-1,则由正切 函数的图象可得 ≤α< 或 <α≤ . 综上,l的倾斜角α的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.经过直线l1:x+y-2=0与直线l2:x-2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:2x-y+3=0的直线方程是 (　　　) A.x+2y-3=0　　　    B.2x-y+1=0 C.2x-y-3=0　　　     D.2x-y+3=0     A     解析　根据题意,联立 解得  则直线l1,l2的交点坐标是(1,1). 设与直线2x-y+3=0垂直的直线方程为x+2y+m=0, 将(1,1)代入x+2y+m=0,解得m=-3,故所求直线方程为x+2y-3=0. 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知点A(-1,9),B(5,1),点C在x轴上,△ABC是直角三角形,则满足题意的三角形的个数是 (　　　) A.1　　　    B.2 C.3　　　    D.4     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　已知A(-1,9),B(5,1),设C(x,0). 解法一:显然直线AB,BC,AC的斜率都存在. 若A为直角顶点,则kAB·kAC=-1,即 × =-1,解得x=-13; 若B为直角顶点,则kAB·kBC=-1,即 × =-1,解得x= ; 若C为直角顶点,则kBC·kAC=-1,即 × =-1,解得x=2(二重根). 故有三个满足要求的直角三角形. 解法二:若A为直角顶点,则 · =(6,-8)·(x+1,-9)=6x+78=0,解得x=-13; 若B为直角顶点,则 · =(-6,8)·(x-5,-1)=-6x+22=0,解得x= ; 若C为直角顶点,则 · =(-1-x,9)·(5-x,1)=x2-4x+4=(x-2)2=0,解得x=2(二重根). 故有三个满足要求的直角三角形. 第1讲　描述运动的基本概念 4.已知点P(-2,-1),则点P到直线l:(1+k)x+y-k-2=0的距离的最大值为(　　　) A.1　　　     B.  C. 　　　    D.2     B     解析　直线l的方程(1+k)x+y-k-2=0可化为k(x-1)+x+y-2=0, 令 解得 所以直线l过定点(1,1),记为Q, 当PQ与直线l垂直时,点P到直线l的距离最大,为PQ= = . 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知直线l1:2x+y+6=0与直线l2:ax-y+2=0垂直,点P在直线l2上运动,A(2,4),B(2,1),则|PA-PB|的最大值是  (　　　) A. 　　　    B.  C. 　　　    D.      D     解析　因为l1与l2垂直,所以-2×a=-1,解得a= ,所以l2:y= x+2, 设点B(2,1)关于直线l2的对称点为C(m,n),连接PC,AC, 则  第1讲　描述运动的基本概念 解得 所以C , 所以|PA-PB|=|PA-PC|≤AC= = ,当且仅当P,A,C三点共线时等号成立,所以|PA-PB| 的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面上两点,定义d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|为A,B的“直角距离”.若d(A,B)=2,则线段AB 长度的最小值为 (　　　) A. 　　　    B.  C.2　　　     D.      A     解析　由题意得d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|=2, 令a=|x1-x2|,b=|y1-y2|, 则a+b=2,且a≥0,b≥0, 则线段AB的长度L= =  = = = , 当a=1时,L取得最小值 ,此时a=b=1,即|x1-x2|=1,|y1-y2|=1,满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知平面直角坐标系xOy中,定点A(0,6),点B在x轴上运动,点C是坐标平面内一点,满足△ABC为正三角 形,则线段OC长度的最小值为 (　　　)   A. 　　　     B.3 C.2 　　　    D.4     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由对称性不妨设点B(a,0),a<0,设直线AB的倾斜角为α,则kAB=tan α=- , kAC=tan = = = , kBC=tan = = = , 所以直线BC:y= (x-a),直线AC:y= x+6, 由 解得  第1讲　描述运动的基本概念 即C , 则点C的轨迹为直线 x-y-6=0, 而点O(0,0)到直线 x-y-6=0的距离d= =3, 因此线段OC长度的最小值为3. 第1讲　描述运动的基本概念 8.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=kx+b(k>0)将△ABC分割成面积相等的两部分,则b的取值范围是  (　　　) A. 　　　    B.  C. 　　　     D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设O为坐标原点,由题意可得,S△ABC= ·AB·OC=1. 直线y=kx+b(k>0)与x轴的交点为 (记为M), 由直线y=kx+b(k>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,可得b>0, 故- <0,故点M在射线OA(不包括点O)上. 设直线y=kx+b和线段BC(不包括端点)的交点为N,则由 可得点N的坐标为 . ①若点M和点A重合(如图1),则点N为线段BC的中点,故N , 把点A,N的坐标代入y=kx+b,可得k=b= . 第1讲　描述运动的基本概念   ②若点M在线段OA(不包括端点)上(如图2),则点N在线段BC(不包括端点)上,b> , 由题意可得△NMB的面积为 ,即 ·MB·yN= ,即 × × = ,可得k= >0,解得b< ,故 <b< .   第1讲　描述运动的基本概念 ③若点M在线段OA的延长线上(如图3),则b< ,由点M的横坐标- <-1,得b>k. 设直线y=kx+b与线段AC的交点为P, 则由 可得点P的坐标为 , 由题意可得,△CPN的面积为 ,即 ·(1-b)·|xN-xP|= ,即 (1-b)· = ,化简可得2(1-b)2=|k2-1|. 由于b>k>0,0<k<1,∴2(1-b)2=1-k2, 等号两边开方可得 (1-b)= <1,∴1-b< ,即b>1- ,故1- <b< .   综上可得,b的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知直线l1:x+(a+1)y+a-2=0,直线l2:ax+2y+8=0,下列说法正确的是 (　　　　) A.l1始终过点(3,-1) B.若l1∥l2,则a=1或a=-2 C.若l1⊥l2,则a=-  D.当a>0时,l2始终不过第一象限     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,x+(a+1)y+a-2=0可化为(y+1)a+x+y-2=0, 令 解得 所以直线l1过定点(3,-1),故A正确; 对于B,若l1∥l2,则a(a+1)=2,解得a=1或a=-2, 当a=1时,l1:x+2y-1=0,l2:x+2y+8=0,此时l1∥l2, 当a=-2时,l1:x-y-4=0,l2:-2x+2y+8=0,即l2:x-y-4=0, 此时l1与l2重合,故a=-2舍去,所以a=1,故B错误; 对于C,若l1⊥l2,则a+2(a+1)=0,解得a=- ,故C正确; 对于D,当a>0时,直线l2:y=- x-4始终过点(0,-4),且斜率- <0, 所以该直线过第二、三、四象限,不过第一象限,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.下列说法正确的是 (　　　　) A.直线3x-2y+12=0在x轴上的截距与在y轴上的截距的积为-24 B.方程2x+ty-3=0(t∈R)能表示平行于y轴的直线 C.过点P(2,1)作直线l,使点A(-2,3),B(1,2)到l的距离相等,则l的方程为x+3y-5=0 D.点(2,0)关于直线x-y-1=0的对称点为(1,1)     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,令x=0,得y=6,则直线在y轴上的截距为6,令y=0,得x=-4,则直线在x轴上的截距为-4,所以直 线在x轴上的截距与在y轴上的截距的积为-24,故A正确; 对于B,当t=0时,方程为2x-3=0,表示平行于y轴的直线x= ,故B正确; 对于C,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,不满足A,B到直线l的距离相等, 当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,由A,B到直线l的距离相 等,可得 = ,解得k=- 或k=- , 当k=- 时,直线l的方程为x+3y-5=0,当k=- 时,直线l的方程为3x+5y-11=0, 所以直线l的方程为x+3y-5=0或3x+5y-11=0,故C错误; 对于D,设点(2,0)关于直线x-y-1=0的对称点的坐标为(a,b), 第1讲　描述运动的基本概念 则 解得a=b=1,则对称点的坐标为(1,1),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.以下四个命题是真命题的是 (　　　　) A.若直线的倾斜角α∈ ,则直线的斜率不存在或斜率k的取值范围是(-∞,- ]∪[1,+∞) B.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3,-3) C.若直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a=-3 D.若直线l1:x-2y+3=0与l2:2x+ay-2=0平行,则l1与l2之间的距离为      AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,当α= 时,直线的斜率不存在; 当α∈ 时,k=tan α∈[1,+∞); 当α∈ 时,k=tan α∈(-∞,- ], 所以直线的斜率不存在或斜率k的取值范围是(-∞,- ]∪[1,+∞),故A正确. 对于B,方程(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)可化为m(x+3)+(3x+4y-3)=0, 令 得  所以直线恒过定点(-3,3),故B错误. 对于C,由直线l1与l2互相垂直,可得a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0, 解得a=-3或a=1,故C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,由直线l1与l2平行,可得1×a=2×(-2),解得a=-4, 则l2:2x-4y-2=0,化简得x-2y-1=0, 则l1与l2之间的距离为 = ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知直线l1:2x+y-6=0,l2:x-2y=0,直线l与l1,l2分别交于点B,C,若点P(1,2)在线段BC上,且PB=2PC,则l的方 程为________________.     7x+y-9=0     解析　由点P在线段BC上,且PB=2PC,得 =2 . 设B(a,6-2a),C(2b,b), 则(1-a,2a-4)=2(2b-1,b-2), 即 解得 则B ,C . 因为kl= =-7,所以l的方程为y-2=-7(x-1),即7x+y-9=0. 第1讲　描述运动的基本概念 13.已知m∈(-∞,-2),θ∈R,则 的取值范围是______________.     (-1,0)     解析     表示平面直角坐标系中点(m,1)(记为A)与点(sin2θ,-cos2θ)(记为B)所连直线的斜率, 其中点A在直线y=1(x<-2)上,点B在线段x-y=1(0≤x≤1)上, 取点M(-2,1),当点B的坐标为(1,0)时,直线MB的斜率为 =- ,当点B的坐标为(0,-1)时,直线MB的斜率 为 =-1, 当m→-∞,点B的坐标为(1,0)时,直线AB的斜率趋近于0且小于0, 所以 的取值范围是(-1,0). 第1讲　描述运动的基本概念 14.定义:点P(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0(a,b不全为零)的有向距离为δP= .已知两定点F1(-2,0)与F 2(2,0),F1,F2到直线l的有向距离之差的绝对值等于2 ,且F1,F2在直线l的同侧,则平面上不在任何一条直 线l上的点组成的图形面积为_________.     8     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得 = , = , 因为| - |=2 ,所以 =2 ,即 =2 ,化简得a2=b2,所以a=±b. 又a,b不全为零,所以a≠0,且b≠0. 当a=b时,方程ax+by+c=0可化为y=-x- ; 当a=-b时,方程ax+by+c=0可化为y=x+ . 又F1,F2在直线l的同侧,所以 · = · = = = -2>0,解得 <-2或 >2, 所以直线y=-x- 可表示平面上两平行直线y=-x+2与y=-x-2之间带状区域以外的点(不含直线y=-x±2上的 点),直线y=x+ 可表示平面上两平行直线y=x+2与y=x-2之间带状区域以外的点(不含直线y=x±2上的点), 第1讲　描述运动的基本概念 如图,   由图可知,平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形是以F1F2为对角线的正方形,由F1F2=4,可得该正 方形的面积S= ×4×4=8. 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)如图,在△ABC中,顶点A在x轴上,BC边上的高AD所在直线的方程为x-2y+2=0,∠A的平分线所 在直线的方程为y=0,点B的坐标为(1,3). (1)求直线BC的方程; (2)求直线AC的方程及点C的坐标.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为BC边上的高AD所在直线的方程为x-2y+2=0, 所以直线BC的斜率为-2, (2分) 又点B的坐标为(1,3),所以直线BC的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0. (5分) (2)已知直线AD的方程为x-2y+2=0,令y=0,可得x=-2,即A(-2,0),(6分) 因为∠A的平分线所在直线的方程为y=0,所以直线AB与AC关于x轴对称, (8分) 易知点B(1,3)关于x轴的对称点为(1,-3)(记为E),所以直线AC的斜率kAC=kAE= =-1, 所以直线AC的方程为y-0=-1×(x+2),即x+y+2=0. (10分) 联立 解得 即点C的坐标为(7,-9). (13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的三个顶点分别是A(2,3),B(1,2),C(4,-3). (1)若直线l1过点C,且点A,B到直线l1的距离相等,求直线l1的方程; (2)若直线l2过点B,且与x轴、y轴的正半轴分别交于P,Q两点,求证:当OP+2OQ取得最小值时,直线l2将△ ABC分割成面积相等的两部分. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为点A,B到直线l1的距离相等,所以直线l1与直线AB平行或直线l1过线段AB的中点. (1分) ①当直线l1与直线AB平行时, 因为kAB= =1= ,且l1过点C, 所以l1的方程为y+3=x-4,即x-y-7=0. (3分) ②当直线l1过线段AB的中点时,取AB的中点D,则D , 所以kCD= =- , 所以l1的方程为y+3=- (x-4),即11x+5y-29=0. (5分) 综上可得,直线l1的方程为x-y-7=0或11x+5y-29=0. (6分) 第1讲　描述运动的基本概念 (2)证明:由题意设P(a,0),Q(0,b),a>0,b>0,则直线l2的方程为 + =1. 因为直线l2过点B(1,2),所以 + =1,由基本不等式可得OP+2OQ=a+2b=(a+2b) =1+4+ + ≥5+2  =9, (8分) 当且仅当 即 时取等号, (9分) 此时直线l2的方程为 + =1,即x+y-3=0, (10分) 易知当OP+2OQ取最小值时,点P(3,0)也为AC与x轴的交点, 点A到直线l2的距离d1= = , 第1讲　描述运动的基本概念 点C到直线l2的距离d2= = , (12分) 则S△BAP= ·BP·d1= ·BP, S△BCP= ·BP·d2= ·BP, 所以S△BAP=S△BCP,得证. (15分)   第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)一束光从光源C(1,2)射出,经x轴反射后(反射点为M),射到线段y=-x+b,x∈[3,5]上的点N处. (1)若M(3,0),b=7,求光从C出发,到达点N时所走过的路程; (2)若b=8,求反射光线所在直线的斜率的取值范围; (3)若b≥6,求光从C出发,到达点N时所走过的最短路程s. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设C(1,2)关于x轴的对称点为C',则C'(1,-2),直线C'M的方程为y=x-3, 由 得x=5∈[3,5],此时N(5,2), (2分) 所以光所走过的路程为C'N= =4 . (4分) (2)对于线段y=-x+8,x∈[3,5],其端点坐标分别为(3,5),(5,3), (5分) 设A(3,5),B(5,3),由(1)知C'(1,-2),则kC'A= ,kC'B= , 所以反射光线所在直线的斜率的取值范围是 . (7分) (3)当反射光线所在直线与直线y=-x+b垂直时,光所走过的路程最短,此时反射光线所在直线的方程为y= x-1-2=x-3. 由 得x= .因为b≥6,所以x= ≥ . (10分) 第1讲　描述运动的基本概念 若x= ∈ ,则6≤b≤7,光从C出发,到达点N时所走过的最短路程为点C'到直线y=-x+b的距离,此 时s= = = ;(12分) 若x= ∈(5,+∞),则b>7,光从C出发,到达点N时所走过的最短路程为线段C'B'的长,其中B'(5,b-5), 此时s= = . (14分) 综上,s=  (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)已知在△ABC中,AB边上的高所在的直线方程为x+y=0,AC边上的高所在的直线方程为2x-3y+1 =0,点A的坐标为(1,2). (1)求垂心H的坐标; (2)求BC所在的直线方程; (3)若M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为N,求点N到直线BC的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)如图所示,设△ABC的边AB上的高为CD,边AC上的高为BE,   则直线CD:x+y=0,直线BE:2x-3y+1=0, 联立 解得 所以垂心H . (3分) 第1讲　描述运动的基本概念 (2)kAH= = , 由“三条高线交于一点”可得AH⊥BC,所以kBC=- , (6分) 因为AC⊥BE,所以设AC所在直线的方程为3x+2y+m=0,代入A(1,2)的坐标,解得m=-7, 所以AC所在直线的方程为3x+2y-7=0, (8分) 联立直线AC与CD的方程, 可得 解得 所以C(7,-7), (10分) 所以BC所在直线的方程为y+7=- (x-7),即2x+3y+7=0. (11分) (3)设M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为N(x0,y0),则有MN⊥l, 第1讲　描述运动的基本概念 且MN的中点 在l上,所以 (13分) 整理得 解得 所以N(1,0), (15分) 所以点N到直线BC的距离为 = . (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”,是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的.下图是抽 象的城市路网,其中线段AB是欧式空间中定义的两点之间的最短距离,但在城市路网中,我们只能走有 路的地方,不能“穿墙”而过,所以在“曼哈顿几何”中,这两点之间的最短距离用d(A,B)表示,称作“曼 哈顿距离”,也叫“折线距离”,即d(A,B)=AC+CB,因此“曼哈顿距离”公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则d(A,B) =|x2-x1|+|y2-y1|. (1)①点S(3,7),T(2,-1),求d(S,T)的值; ②写出到定点G(1,1)的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程; (2)已知点N(1,0),直线l:2x-y+2=0,求点N到直线l的“曼哈顿距离”的最小值; (3)我们把到两定点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的“曼哈顿距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫作“曼哈顿 椭圆”. 第1讲　描述运动的基本概念 ①求“曼哈顿椭圆”的方程; ②根据“曼哈顿椭圆”的方程,研究“曼哈顿椭圆”几何性质中的范围、对称性,并说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)①根据“曼哈顿距离”的定义得d(S,T)=|2-3|+|-1-7|=9.(1分) ②易知到定点G(1,1)的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程为|x-1|+|y-1|=2. (3分) (2)设直线l:2x-y+2=0上任意一点M的坐标为(x1,2x1+2), 则d(M,N)=|1-x1|+|-2x1-2|, (4分) 当x1<-1时,d(M,N)=-3x1-1,此时d(M,N)>2; 当-1≤x1≤1时,d(M,N)=x1+3,此时2≤d(M,N)≤4; 当x1>1时,d(M,N)=3x1+1,此时d(M,N)>4. (8分) 综上所述,点N到直线l的“曼哈顿距离”的最小值为2. (9分) (3)①设“曼哈顿椭圆”上任意一点为P(x,y),则d(P,F1)+d(P,F2)=2a,即|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2a(a>c>0),即|x+c |+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0), 所以“曼哈顿椭圆”的方程为|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0). (11分) 第1讲　描述运动的基本概念 ②由方程|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,得2|y|=2a-|x+c|-|x-c|, 因为|y|≥0,所以2a-|x+c|-|x-c|≥0,即2a≥|x+c|+|x-c|, 所以 或 或 解得-a≤x≤a,(13分) 由方程|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,得|x+c|+|x-c|=2a-2|y|,即2a-2|y|= 所以2a-2|y|≥2c,所以c-a≤y≤a-c, 所以“曼哈顿椭圆”的范围为-a≤x≤a,c-a≤y≤a-c. 将点(-x,y)代入“曼哈顿椭圆”方程得,|-x+c|+|-x-c|+2|y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,方程不变,所以“曼哈 顿椭圆”关于y轴对称, (15分) 将点(x,-y)代入“曼哈顿椭圆”方程得,|x+c|+|x-c|+2|-y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,方程不变,所以“曼哈顿 椭圆”关于x轴对称, 第1讲　描述运动的基本概念 将点(-x,-y)代入“曼哈顿椭圆”方程得,|-x+c|+|-x-c|+2|-y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,方程不变,所以“曼哈 顿椭圆”关于原点中心对称. 综上,“曼哈顿椭圆”关于x轴,y轴对称,并且关于原点中心对称. (17分)   第1讲　描述运动的基本概念 $