2.2.2 第2课时 直线的两点式和一般式方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦高中数学直线的两点式、截距式和一般式方程，系统梳理两点式（x1≠x2,y1≠y2）、截距式（不过原点及坐标轴）的条件与方程形式，以及一般式Ax+By+C=0（A,B不同时为0）与其他形式的互化，构建从具体到一般的知识支架。 以体育排队问题引入培养数学眼光，通过“想一想”对比方程适用范围、“规律方法”总结策略发展数学思维，一题多解（如面积最小问题用点斜式与截距式）助力数学语言表达。课中辅助分层教学，课后通过多样题型帮助学生查漏补缺。

第二课时　直线的两点式和一般式方程 　　 　　上体育课时，老师检查学生队伍是不是一条直线，只要看第一个学生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一条直线上. 【问题】　老师如此做的依据是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线的两点式与截距式方程 两点式 截距式 条件 P1（x1，y1）和P2（x2，y2） 其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上截距为a， 在y轴上截距为b 图形 方程 　＝　 ＋＝1 适用 范围 不表示　垂直于　坐标轴的直线 不表示　垂直于　坐标轴及过　原点　的直线 【想一想】 　方程＝和方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）的适用范围相同吗？ 提示：不同.前者为分式形式，要求x1≠x2，y1≠y2，后者为整式形式，适用于任何两点的直线方程. 知识点二　直线的一般式方程 1.定义：关于x，y的二元一次方程 　Ax＋By＋C＝0　（其中A，B不同时为0）叫作直线的一般式方程，简称一般式. 2.系数的几何意义 （1）当B≠0时，直线斜率k＝　－　，在y轴上的截距b＝　－　； （2）当B＝0，A≠0直线斜率不存在，直线过点（－，0）； （3）v＝（A，B）为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量.u＝（－B，A）或u＝（B，－A）是直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量. 3.一般式与其他形式的互化 提醒：（1）当B≠0时，则－＝k（斜率），－＝b（y轴上的截距）；（2）当B＝0，A≠0时，则－＝a（x轴上的截距），此时不存在斜率. 【想一想】 　直线与二元一次方程有怎样的关系？ 提示：（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示. （2）每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.（　√　） （2）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.（　√　） （3）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0来表示.（　√　） （4）直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－.（　×　） 2.过点A（5，6）和点B（－1，2）的直线的两点式方程是（　B　） A.＝　 B.＝ C.＝　 D.＝ 3.直线x－2y＝4的截距式方程是　＋＝1　. 解析：求直线方程的截距式，必须把方程化为＋＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式. 4.经过点A（2，5），B（－3，6）的直线方程为　x＋5y－27＝0　. 解析：由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0. 　　 题型一　直线的两点式方程 （1）已知△ABC的三个顶点分别为A（2，8），B（－4，0），C（6，0），则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为（　D　） A.2x－y＋4＝0　　　 B.x＋2y＋4＝0 C.2x＋y－4＝0　 D.x－2y＋4＝0 （2）已知两点A（－1，2），B（m，3），则直线AB的方程为　x＝－1或y＝x＋＋2　. 解析：（1）由A（2，8），C（6，0），则A，C的中点坐标为D（4，4），则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D（4，4），则所求直线方程为y＝（x＋4），即x－2y＋4＝0， 故选D. （2）当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；当m≠－1时，直线AB的方程为＝，即y＝x＋＋2.所以x＝－1或y＝x＋＋2. 规律方法 求直线的两点式方程的策略及注意点 （1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程； （2）由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.　 已知A（－3，2），B（5，－4），C（0，－2），在△ABC中. （1）求BC边所在的直线方程； （2）求BC边上的中线所在直线的方程. 解：（1）BC边过两点B（5，－4），C（0，－2）， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0. （2）设BC的中点为M（a，b），则a＝＝，b＝＝－3，所以M（，－3）， 又BC边上的中线过点A（－3，2），所以由两点式得＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 题型二　直线的截距式方程 〔一题多解〕（链接教科书第87页例4）已知直线l过点M（2，1），且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程. 解：法一　设直线l的方程为y－1＝k（x－2）（k＜0），则A（2－，0），B（0，1－2k）， S△AOB＝（1－2k）（2－）＝［4＋（－4k）＋（－）］≥×（4＋4）＝4， 当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立. 故直线l的方程为y－1＝－（x－2），即x＋2y－4＝0. 法二　设直线l：＋＝1，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M（2，1），所以＋＝1， 则1＝＋≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×8＝4， 当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. 【母题探究】 1.（变条件）在本例条件下，当｜OA｜＋｜OB｜取最小值时，求直线l的方程. 解：由本例法二知，＋＝1，a＞0，b＞0， 所以｜OA｜＋｜OB｜＝a＋b＝（a＋b）·（＋） ＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立， 所以当｜OA｜＋｜OB｜取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0. 2.（变条件）〔一题多解〕本例中，当｜MA｜·｜MB｜取得最小值时，求直线l的方程. 解：法一　由本例法一知A（，0），B（0，1－2k）（k＜0）. 所以｜MA｜·｜MB｜＝·＝2×＝2［（－k）＋］≥4. 当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号.此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 法二　由本例法二知A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，＋＝1.所以｜MA｜·｜MB｜＝｜｜·｜｜＝－·＝－（a－2，－1）·（－2，b－1）＝2（a－2）＋b－1＝2a＋b－5＝（2a＋b）（＋）－5＝2（＋）≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 规律方法 截距式方程应用的注意事项 （1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式直线方程的逆向应用. 〔一题多解〕已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）. （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程. 解：（1）证明：法一　直线l的方程可化为k（x＋2）＋（1－y）＝0， 令解得∴无论k取何值，直线l总经过定点（－2，1）. 法二　方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k（x＋2），显然直线l恒过定点（－2，1）. （2）法一　由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意， 故k的取值范围是[0，＋∞）. 法二　直线l方程可化为y＝kx＋1＋2k，∴∴k∈[0，＋∞）. （3）由题意可知k≠0，再由l的方程，得A（－，0），B（0，1＋2k）. 依题意得解得k＞0.∵S＝·｜OA｜·｜OB｜＝·｜｜·｜1＋2k｜ ＝·＝（4k＋＋4）≥×（2×2＋4）＝4， 当且仅当k＞0且4k＝，即k＝时“＝”成立， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 题型三　直线的一般式方程 （链接教科书第88页例5、例6）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： （1）斜率是且经过点A（5，3）； （2）经过A（－1，5），B（2，－1）两点； （3）〔一题多解〕经过点A（3，1），v＝（3，－2）是直线的一个法向量. 解：（1）由点斜式方程得y－3＝（x－5）， 整理得x－y＋3－5＝0. （2）由两点式方程得＝， 整理得2x＋y－3＝0. （3）法一　因为v＝（3，－2）是直线l的一个法向量，所以可以设l的方程为3x－2y＋C＝0，代入点A（3，1），可求得C＝－7，因此所求方程为3x－2y－7＝0. 法二　设P（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则P在直线l上的充要条件是与v＝（3，－2）垂直.又因为＝（x－3，y－1），所以3×（x－3）＋（－2）×（y－1）＝0， 整理可得一般式方程为3x－2y－7＝0. 规律方法 求直线一般式方程的策略 （1）当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程； （2）在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式. 根据下列条件求直线的一般式方程： （1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）； （2）斜率为，且在y轴上的截距为4； （3）经过两点A（2，－3），B（－1，－5）； （4）在x，y轴上的截距分别为2，－4. 解：（1）因为k＝2，且经过点A（1，3），由直线的点斜式方程可得y－3＝2（x－1），整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0. （2）由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y＝x＋4. 整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0. （3）由直线的两点式方程可得＝，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0. （4）由直线的截距式方程可得＋＝1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0. 　　 1.已知点A（1，2），B（－1，－2），则直线AB的方程是（　　） A.2x－y＝0　 B.2x＋y－4＝0 C.x＋2y－5＝0　 D.x－2y＋3＝0 解析：A　∵直线的两点式方程为＝，代入 A（1，2），B（－1，－2）得＝，整理得直线AB的方程是2x－y＝0.故选A. 2.在x轴和y轴上的截距分别为－2，3的直线方程是（　　） A.＋＝1　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 解析：C　由直线的截距式方程可得＋＝1. 3.〔多选〕若AC＞0，BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0经过（　　） A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限　 D.第四象限 解析：ABC　由题意，直线方程为y＝－x－，因为AC＞0，BC＜0，所以＜0，＞0，＝·＜0，于是－＞0，－＞0，故直线过第一、第二和第三象限.故选A、B、C. 4.△ABC中，已知A（2，1），B（－2，3），C（0，1），则BC边上的中线所在直线的一般式方程为　x＋3y－5＝0　. 解析：线段BC的中点D（－1，2）.BC 边上的中线所在的直线的方程：y－1＝（x－2），化简为一般式方程：x＋3y－5＝0. 　　 1.直线3x－2y－4＝0的截距式方程是（　　） A.－＝1　 B.＋＝1 C.－＝4　 D.x－＝1 解析：B　由3x－2y－4＝0，得3x－2y＝4，即x－y＝1，即＋＝1，所以直线的截距式方程为＋＝1. 2.两条直线－＝1与－＝1的图象可能是下图中的（　　） 解析：B　两直线的方程分别化为y＝x－n，y＝x－m，易知两直线的斜率符号相同. 3.经过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的条数为（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 解析：B　直线经过原点时满足条件，此时直线方程为y＝x，即3x－2y＝0；若直线不经过原点时满足条件，设直线方程为x－y＝a，把点P（2，3）代入可得2－3＝a，解得a＝－1.∴直线方程为x－y＝－1，即x－y＋1＝0.综上可得满足条件的直线的条数为2.故选B. 4.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为（　　） A.，1　 B.，－1 C.－，1　 D.－，－1 解析：D　令直线ax＋by－1＝0中x＝0，得y＝，由题意知＝－1，则b＝－1.因为x－y－＝0，即y＝x－的斜率为，所以tan α＝，α∈[0，π），所以倾斜角α＝，所以直线ax＋by－1＝0的倾斜角为π，则其斜率为－，所以－＝－，所以a＝－，故选D. 5.〔多选〕已知直线ax－y＋3－a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（　　） A.1　 B.－1 C.3　 D.－3 解析：BC　依题意可知a≠0， 所以当3－a＝0，即a＝3时，直线ax－y＋3－a＝0化为3x－y＝0，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当3－a≠0，即a≠3时，直线ax－y＋3－a＝0在x轴上的截距为，在y轴上的截距为3－a，故＝3－a，解得a＝－1；综上所述，实数a＝3或a＝－1.故选B、C. 6.直线x＋y－1＝0的倾斜角的大小为　　.（角度用弧度制表示） 解析：由直线x＋y－1＝0，可得直线的斜率k＝－，所以直线的倾斜角为. 7.如果直线l过点P（1，3），且直线l的法向量为a＝（－3，1），则直线l的方程为　3x－y＝0　. 解析：因直线l的法向量为a＝（－3，1），直线l的方程为－3x＋y＋c＝0，又因点P（1，3）在直线l上，则c＝0. 8.若直线（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m＝　3　. 解析：由已知得∴m＝3. 9.过点P（1，2）且在两坐标轴上截距和为0（不过原点）的直线方程为　x－y＋1＝0　，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为　　. 解析：当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直线方程为＋＝1，即x－y＝a，因为直线过P（1，2），所以1－2＝a，所以a＝－1，直线方程为x－y＋1＝0.当直线方程为x－y＋1＝0时，与x轴的交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，1），所以三角形面积为×1×1＝. 10.在△ABC中，已知点A（4，0），B（－3，4），C（1，2）. （1）求BC边上中线的方程； （2）若某一直线过B点，且在x轴上截距比在y轴上截距大1，求该直线的一般式方程. 解：（1）因为B（－3，4），C（1，2），所以BC的中点坐标为（－1，3）， 所以BC边上中线的斜率为k＝－，所以BC边上中线的方程为y＝－（x－4），即3x＋5y－12＝0. （2）根据题意，该直线的斜率存在且不为0，不妨设该直线方程为y－4＝k（x＋3）， 所以令x＝0，则y＝3k＋4，令y＝0，则x＝－3， 因为在x轴上截距比在y轴上截距大1， 所以－3＝3k＋5，即3k2＋8k＋4＝0， 解得k＝－或k＝－2， 即2x＋3y－6＝0或2x＋y＋2＝0. 11.已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A（2，1），则过点P1（a1，b1）和点P2（a2，b2）的直线方程是（　　） A.2x＋y＋1＝0　 B.2x－y＋1＝0 C.2x＋y－1＝0　 D.x＋2y＋1＝0 解析：A　把A（2，1）代入两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0，∴2（a1－a2）＝b2－b1，过点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程是＝，∴y－b1＝－2（x－a1），则2x＋y－（2a1＋b1）＝0，∵2a1＋b1＋1＝0，∴2a1＋b1＝－1，∴所求直线方程为2x＋y＋1＝0.故选A. 12.〔多选〕下列说法中，正确的有（　　） A.过点P（1，2）且在x，y轴截距相等的直线方程为x＋y－3＝0. B.直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2 C.直线x－y＋1＝0的倾斜角为60° D.过点（3，4）并且倾斜角为90°的直线方程为x－3＝0 解析：BD　过点P（1，2）且在x，y轴截距相等的直线方程，要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，当直线过原点时，直线方程为2x－y＝0；当直线不过原点时，直线方程为x＋y－3＝0，所以A错误.令x＝0，得y＝－2，所以直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，所以B正确.直线x－y＋1＝0的斜率为，设倾斜角为α，则tan α＝，α∈[0，π），所以α＝30°，所以C错误.过点（3，4）并且倾斜角为90°，斜率不存在，所以直线方程为x＝3，即x－3＝0，所以D正确.故选B、D. 13.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（－2，0），C（1，0），分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为　x＋4y－14＝0　. 解析：过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N（图略）.∵四边形ACGH为正方形，∴Rt△AMH≌Rt△COA，∵OC＝1，MH＝OA＝2，∴OM＝OA＋AM＝3，∴点H的坐标为（2，3），同理得到F（－2，4），∴直线FH的方程为＝，化为一般式方程为x＋4y－14＝0. 14.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成30°和45°角，过点P（1，0）作直线AB分别交射线OA，OB于A，B两点，若AB的中点C恰好落在直线y＝－x上，求直线AB的一般式方程. 解：由题意可得kOA＝tan 30°＝， kOB＝tan（180°－45°）＝－1， 所以直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x. 设A（m，m），B（n，－n）， 则AB的中点C. 由点C在直线y＝－x上，且A，P，B三点共线， 得 得n＝，所以B（，－）. 所以kAB＝kBP＝＝－， 所以直线AB的方程为y＝－（x－1）， 所以直线AB的一般式方程为（3＋）x＋2y－3－＝0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $