2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦高中数学“直线的方程”第一课时，核心知识点为直线的点斜式与斜截式方程。通过梳理确定直线位置的几何要素（定点、斜率），引导学生从具体情境中抽象出方程形式，搭建从几何直观到代数表达的学习支架，为后续两点式、一般式方程学习奠定基础。 该资料以斜拉桥为现实情境引入，通过问题链驱动学生探索斜拉索方程，体现数学抽象与直观想象素养。设置“想一想”“提醒”等环节辨析截距与距离、斜截式与一次函数关系，培养数学思维。课中助力教师引导探究，课后例题与分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2.2.2　直线的方程 课标 要求 　　根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系（数学抽象、直观想象）. 第一课时　直线的点斜式方程与斜截式方程 　　 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线. 【问题】　（1）已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？ （2）若某条斜拉索过点B（0，b），斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P（x，y）满足什么条件？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线的方程与方程的直线 　如果直线l上点的　坐标　都是方程F（x，y）＝0的解，而且以方程F（x，y）＝0的　解　为坐标的点都在直线l上，则称F（x，y）＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F（x，y）＝0的直线，“直线l”也可说成“直线F（x，y）＝0”，记作l：F（x，y）＝0. 知识点二　直线方程的点斜式、斜截式 名称 条件 方程 图形 点斜式 直线l过定点P（x0，y0），斜率为k 　y－y0＝k（x－x0）　 斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b）（直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距） 　y＝kx＋b　 提醒：（1）经过点P0（x0，y0）的直线有无数条，可以分为两类：①斜率存在的直线，方程为y－y0＝k（x－x0）；②斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0.（2）直线的斜截式y＝kx＋b是直线的点斜式y－y0＝k（x－x0）的特例.（3）截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零. 【想一想】 1.若直线的倾斜角为0°，且经过点P0（x0，y0），能用点斜式表示吗？ 提示：能. 2.直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？ 提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0. 3.直线的斜截式方程等同于一次函数的解析式吗？ 提示：不一定.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，当k＝0时，y＝b不是一次函数. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一条直线的方程都可以写成点斜式y－y0＝k（x－x0）.（　×　） （2）x轴所在的直线方程为x＝0.（　×　） （3）直线在y轴上的截距不能等于0.（　×　） （4）直线的点斜式方程也可写成＝k.（　×　） 2.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则（　　） A.直线经过点（－1，2），斜率为－1 B.直线经过点（2，－1），斜率为－1 C.直线经过点（－1，－2），斜率为－1 D.直线经过点（－2，－1），斜率为1 答案：C 3.直线2x＋y＋1＝0在y轴上的截距是（　　） A.1　 B.－1 C.－　 D. 解析：B　在直线方程中令x＝0得y＝－1，故选B. 4.经过点（－1，1），倾斜角为150°的直线方程为　y－1＝－（x＋1）　. 　　 题型一　直线的点斜式方程 已知在第一象限的△ABC中，A（1，1），B（5，1），A＝60°，B＝45°，求： （1）AB边所在直线的方程； （2）AC边与BC边所在直线的点斜式方程. 解：（1）如图所示，因为A（1，1），B（5，1），所以AB∥x轴， 所以AB边所在直线的方程为y＝1. （2）因为A＝60°，所以kAC＝tan 60°＝， 所以直线AC的点斜式方程为y－1＝（x－1）. 因为B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1， 所以直线BC的点斜式方程为y－1＝－（x－5）. 规律方法 求直线的点斜式方程的思路 提醒：只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程. 1.若直线l过点（－1，2）且斜率k＝－，则l的方程为（　　） A.3x＋2y－1＝0　　　 B.2x＋3y－1＝0 C.3x＋2y＋1＝0　 D.2x－3y－1＝0 解析：A　由点斜式可得直线方程为y－2＝－（x＋1），整理得3x＋2y－1＝0.故选A. 2.已知直线l的一个方向向量d＝（3，4），且过点（－1，2），则直线l的点斜式方程为　y－2＝（x＋1） 　. 解析：因为直线l的一个方向向量d＝（3，4），所以直线l的斜率为，所以直线方程为y－2＝（x＋1）. 题型二　直线的斜截式方程 （链接教科书第89页练习A4题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率为2，在y轴上的截距是5； （2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； （3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5. （2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2. （3）由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 规律方法 直线的斜截式方程的求解策略 （1）用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别； （2）直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然.因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断. （1）写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； （2）求过点A（6，－4），斜率为－的直线的斜截式方程； （3）已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标. 解：（1）易知k＝－1，b＝－2，故直线的斜截式方程为y＝－x－2. （2）由于直线的斜率k＝－，且过点A（6，－4），根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－（x－6），化成斜截式为y＝－x＋4. （3）直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为（0，1）. 1.已知直线l过点（4，5），且一个方向向量为（－1，2），则直线l的方程为（　　） A.y－5＝－（x－4）　 B.y－5＝（x－4） C.y－5＝－2（x－4）　 D.y－5＝2（x－4） 解析：C　由题可得kl＝＝－2.又直线l过点（4，5），代入点斜式方程得y－5＝－2（x－4）. 2.已知直线l的方程是y－2＝3（1－x），则直线l的斜率是（　　） A.2　 B.－1 C.3　 D.－3 解析：D　将直线的方程化为点斜式方程为y－2＝－3（x－1），所以直线的斜率为－3. 3.直线y＝6－3x的斜率为　－3　，在坐标轴上的截距之和等于　8　. 解析：由直线的斜截式方程y＝6－3x＝－3x＋6，直线的斜率为－3，在坐标轴上的截距之和为6＋2＝8. 4.在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4斜率相等的直线的斜截式方程为　y＝－3x＋2　. 　　 1.已知直线的点斜式方程为y－4＝2（x＋5），则该直线的一个方向向量为（　　） A.（2，－1）　 B.（－1，2） C.（1，2）　 D.（2，1） 解析：C　直线方程为y＝2x＋14，斜率为2，选项A中＝－，选项B中＝－2，选项D中，选项C中斜率为＝＝2.所以该直线的一个方向向量为（1，2）. 2.经过点（－1，1），斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是（　　） A.x＝－1 B.y＝1 C.y－1＝（x＋1） D.y－1＝2（x＋1） 解析：C　由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是.由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝（x＋1）. 3.已知点A（1，m）在直线x－y＋1＝0上，则实数m的值为（　　） A.2　 B.3 C.4　 D.5 解析：A　因为点A（1，m）在直线x－y＋1＝0上，故1－m＋1＝0⇒m＝2.故选A. 4.直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则有（　　） A.k＞0，b＞0　 B.k＞0，b＜0 C.k＜0，b＞0　 D.k＜0，b＜0 解析：C　直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则有k＜0，b＞0.故选C. 5.〔多选〕函数y＝ax＋ 的图象可能是（　　） 解析：AB　∵a≠0，∴C错；当a＞0时， ＞0，即直线的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距大于0，故A可能；当a＜0时， ＜0，即直线的倾斜角为钝角，且在y轴上的截距小于0，故B可能，D不可能. 6.已知直线l的方程为9x－4y＝36，则l在y轴上的截距为　－9　. 解析：把直线方程9x－4y＝36化为y＝＝x－9的形式，便可知道直线l在y轴上的截距.令x＝0，则y＝－9. 7.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P（3，3），则直线l的方程为　x＝3　. 解析：直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在.又直线过定点P（3，3），所以直线l的方程为x＝3. 8.如图，直线l过点P（－1，2），分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为　y＝2x＋4　. 解析：设A（a，0），B（0，b）.由P（－1，2）为AB的中点，∴∴ ∴kAB＝2，直线在y轴上的截距为4，∴直线方程为y＝2x＋4. 9.已知直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是30，则直线l的方程为　y＝x±5　. 解析：由直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x＋b.令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b.由题意得｜b｜＋｜－b｜＋＝30.∴｜b｜＋｜b｜＋｜b｜＝30，∴b＝±5.∴所求直线l的方程为y＝x±5. 10.直线l1过点P（－1，2），斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程. 解：直线l1的方程是y－2＝－（x＋1）.∵k1＝－＝tan α1， ∴α1＝150°.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－，∴l2的方程为y－2＝－（x＋1）. 11.直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a（ab≠0，a≠b）在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（　　） 解析：D　对B，l2斜率为正，在y轴上的截距也为正，故不可能有l1斜率为负的情况.故B错误.当a，b＞0时，l1和l2斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足.故选D. 12.〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第二象限 B.直线y＝ax－3a＋2过定点（3，2） C.过点（2，－1）且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－（x－2） D.斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3 解析：ABC　对于A，由直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，知直线的斜率k＜0，截距b＞0，故点（k，b）在第二象限，故A正确；对于B，直线方程y＝ax－3a＋2，整理得y－2＝a（x－3），可得此直线过定点（3，2），故B正确；对于C，由点斜式方程，知过点（2，－1）且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－（x－2），故C正确；由直线的斜截式方程，得斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，故D错误.故选A、B、C. 13.直线l过点P（1，4），分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A，B两点，O为坐标原点，当｜OA｜＋｜OB｜最小时，l的点斜式方程为　y－4＝－2（x－1）　. 解析：经检验直线l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k（k＜0），则直线l的方程为y－4＝k（x－1），令y＝0得A，令x＝0得B（0，4－k），则｜OA｜＋｜OB｜＝＋（4－k）＝5－＝5＋≥5＋4＝9，当且仅当－k＝，即k＝－2时，｜OA｜＋｜OB｜取得最小值.此时l的方程为y－4＝－2（x－1）. 14.已知直线l过点P（3，2）. （1）若直线l过Q（1，4），求直线l的方程； （2）若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程. 解：（1）直线l的斜率k＝＝－1，此时直线l的方程为y－2＝－（x－3），即x＋y－5＝0，所以直线l的方程为x＋y－5＝0. （2）设直线l的方程为y＝k（x－3）＋2，由题意可得k＜0，令x＝0，则y＝－3k＋2； 令y＝0，则x＝3－，即A（3－，0），B（0，－3k＋2），｜OA｜＝3－，｜OB｜＝2－3k，从而S△AOB＝×（2－3k）·（3－）＝×（12－9k－）≥6＋＝12，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取到最小值12，所以直线方程为y＝－（x－3）＋2. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $