2.2.1 直线的倾斜角与斜率(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本高中数学讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，系统梳理倾斜角的定义及范围、斜率的概念及计算公式、直线的方向向量和法向量，衔接平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素，为后续学习直线方程搭建从几何到代数的桥梁。 资料以交通工程“坡度”为情境引入，通过问题驱动抽象出斜率概念，结合图形分析倾斜角范围和方向向量关系培养直观想象，例题与变式训练强化数学运算能力。课中助力教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 课标 要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素（数学抽象）. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式（直观想象）. 3.理解直线的方向向量及法向量，并能利用直线的方向向量判定直线的平行（数学运算）. 　　 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度.如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB（如果是下降，则DB的值为负实数），则坡度k＝＝.若k＞0，则表示上坡，若k＜0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小. 【问题】　“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角 （1）定义：给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴　相交　，将x轴绕着它们的交点按　逆时针　方向旋转到与直线重合时所转的　最小正角　记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角； （2）范围：直线的倾斜角θ的取值范围是0°～180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 2.直线的斜率 （1）直线的斜率：如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率； （2）斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝　　.当x1＝x2时，直线P1P2斜率不存在. 提醒：（1）直线倾斜角的范围是θ∈[0，π）；（2）当θ＝时，直线l的倾斜角为，但斜率不存在. 知识点二　直线的方向向量和法向量 1.直线的方向向量 （1）定义：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l　平行或重合　，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作　a∥l　； （2）直线的斜率与方向向量的关系 如果已知a＝（u，v）为直线l的一个方向向量，则： ①当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°； ②当u≠0时，直线l的斜率k＝. 2.直线的法向量 如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l. 【想一想】 1.设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方向向量吗？ 提示：（1，1）. 2.如果a＝（－1，2）是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？ 提示：（2，1）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任一直线都有倾斜角，都存在斜率.（　×　） （2）任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.（　×　） （3）若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.（　×　） （4）经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线.（　×　） 2.若直线l经过原点和（－1，1），则它的倾斜角是（　　） A.45°　　　　　　　　 B.135° C.45°或135°　 D.－45° 解析：B　作出直线l，如图所示，由图易知，应选B. 3.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（　　） A.　 B. C.1　 D. 解析：A　由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝. 4.已知直线l经过点A（－1，3）与B（2，0），则直线l的一个方向向量为　（1，－1）（答案不唯一）　，斜率k＝　－1　，倾斜角θ＝　135°　. 解析：＝（3，－3）＝3（1，－1），则k＝－1，θ＝135°. 　　 题型一　直线的倾斜角 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（　　） A.α＋45°　　 　　　 B.α－135° C.135°－α　 D.α＋45°或α－135° 解析：D　由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°（0°≤α＜180°），即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°（如图）. 规律方法 求直线的倾斜角的方法及两点注意 （1）方法：结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角； （2）两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°； ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 1.如图，直线l的倾斜角为（　　） A.60°　 B.120° C.30°　 D.150° 解析：D　由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. 2.已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　） A.0°≤α＜90°　 B.90°≤α＜180° C.90°＜α＜180°　 D.0°＜α＜180° 解析：C　直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°. 题型二　直线的斜率 已知直线l过点M（m＋1，m－1），N（2m，1）. （1）当m为何值时，直线l的斜率是1？ （2）当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？ 解：（1）kMN＝＝1，解得m＝. 所以当m＝时，直线l的斜率是1. （2）l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1. 所以当m＝1时，直线l的倾斜角为90°. 【母题探究】 1.（变结论）本例条件不变，试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围. 解：由题意知解得1＜m＜2. 所以直线l为锐角时实数m的取值范围是（1，2）. 2.（变条件）若将本例中的“N（2m，1）”改为“N（3m，2m）”，其他条件不变，结果如何？ 解：（1）由题意知＝1，解得m＝2. 所以当m＝2时，直线l的斜率为1. （2）由题意知m＋1＝3m，得m＝. 所以当m＝时，直线l的倾斜角为90°. 规律方法 1.利用斜率公式求直线斜率的注意事项 （1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； （2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. 2.在0°≤α＜180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. （1）A（2，3），B（4，5）； （2）C（－2，3），D（2，－1）； （3）P（－3，1），Q（－3，10）. （4）E（a，2），F（3，6） 解：（1）存在.直线AB的斜率kAB＝＝1，则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1， 又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°. （2）存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1， 则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°. （3）不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. （4）当a＝3时，斜率不存在，倾斜角为90°；当a≠3时，直线的斜率k＝，倾斜角α满足tan α＝（0°≤α＜180°）. 题型三　求直线的方向向量或法向量 已知直线l经过点A（1，2），B（4，5），求直线l的一个方向向量和法向量，并确定直线l的斜率和倾斜角. 解：＝（4－1，5－2）＝（3，3）是直线l的一个方向向量.由法向量与方向向量垂直，法向量可以为（－1，1）.因此直线的斜率k＝1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而θ＝45°. 规律方法 求直线方向向量和法向量的方法 （1）若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为＝（x2－x1，y2－y1），直线的法向量和方向向量垂直； （2）直线的方向向量和法向量不唯一. 已知直线l经过点M（3，3）和N（2，3＋），求直线l的一个方向向量和法向量，并求直线l的斜率和倾斜角. 解：＝（2－3，3＋－3）＝（－1，），∴直线l的一个方向向量为（－1，）， 由于法向量与方向向量垂直， ∴法向量v＝（，1），斜率k＝－，由tan θ＝－知θ＝120°. 题型四　直线的倾斜角与斜率的应用 （1）经过点P（0，－1）作直线l，若直线l与连接A（1，－2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（　A　） A.[－1，1]　　 B.（－∞，－1]∪[1，＋∞） C.[－1，1）　　 D.（－∞，－1）∪[1，＋∞） （2）已知三点A（a，2），B（5，1），C（－4，2a）在同一直线上，则a＝（　A　） A.2或　 B.2 C.　 D.－2 解析：（1）根据题意画图如图，kPA＝＝－1，kPB＝＝1，在射线PA逆时针旋转至射线PB时斜率逐渐变大， 直线l与线段AB总有公共点，所以－1≤k≤1.故选A. （2）由题意可得kBC＝kAB，即＝，解得a＝2或a＝.故选A. 规律方法 1.求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围. 2.利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在. 3.的几何意义是直线的斜率，所以可借助几何方法解决函数的值域问题. 　已知坐标平面内三点A（－1，1），B（1，1），C（2，＋1）. （1）求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； （2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围. 解：（1）由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝，kAC＝＝. 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 又∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°. tan 60°＝，∴BC的倾斜角为60°. tan 30°＝，∴AC的倾斜角为30°. （2）如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，∴k的取值范围为. 　　 1.斜率不存在的直线一定是（　　） A.过原点的直线　 B.垂直于x轴的直线 C.垂直于y轴的直线　 D.垂直于坐标轴的直线 解析：B　只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在. 2.已知点A（4，2），B（1，），若向量是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为（　　） A.30°　 B.60° C.120°　 D.150° 解析：A　依题意，直线l的斜率即直线AB的斜率，即k＝＝，设其倾斜角α，则tan α＝，因为α∈[0°，180°），故得α＝30°.故选A. 3.若过两点M（3，y），N（0，）的直线的倾斜角为150°，则y的值为（　　） A.　 B.0　 C.－　 D.3 解析：B　由题意知＝tan 150°＝－，∴y＝0.故选B. 4.已知经过两点A（－1，1），B（4，a）的直线的斜率为1，则a的值为　6　. 解析：由题意可知＝1，解得a＝6. 　　 1.直线x＝tan的倾斜角为（　　） A.　 B. C.　 D.0 解析：C　因为直线x＝tan垂直于x轴，故该直线的倾斜角为. 2.已知下列命题：①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α；②直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α；③直线的倾斜角为α，则sin α＞0.上述命题中不正确的是（　　） A.①②　 B.①③ C.②③　 D.①②③ 解析：D　①，α＝90°时，直线的斜率不存在，①错误.②，tan 225°＝tan（180°＋45°）＝tan 45°＝1，直线的倾斜角为45°，不是225°，②错误.③，当α＝0°时，sin α＝0，③错误.所以不正确的是①②③.故选D. 3.若三点A（2，3），B（3，2），C共线，则实数m的值为（　　） A.2　 B. C.　 D. 解析：C　根据斜率公式得kAB＝－1，kAC＝，∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴＝－1，∴m＝. 4.已知两点M（2，－3），N（－3，－2），直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A.k≤－4　 B.k≥ C.k≤－4或k≥　 D.－4≤k≤ 解析：C　kPM＝＝－4，kPN＝＝，直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，如图，则k≤kPM或k≥kPN，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－4或k≥.故选C. 5.〔多选〕如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　） A.k1＜k3＜k2　　 B.k3＜k2＜k1 C.α1＜α3＜α2　　 D.α3＜α2＜α1 解析：AD　由图可知0＜α3＜α2＜＜α1＜π，即a3＜α2＜α1，故C错误，D正确.又因为当0＜α＜时，k＞0，且k随α的增大而增大，故k2＞k3＞0；当＜α＜π时，k＜0，故k1＜0；故k1＜k3＜k2，故A正确，B错误.故选A、D. 6.已知u＝（2，－2）为直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为　　. 解析：设直线l的倾斜角为α，因为u＝（2，－2）为直线l的一个方向向量，所以k＝＝－，所以tan α＝－（α∈[0，π）），所以α＝. 7.已知直线l上的两个点M（1，2），N（5，4），则直线l的一个法向量为　（2，－4）（答案不唯一）　. 解析：∵直线经过M（1，2），N（5，4），∴＝（4，2），∴是直线l一个方向向量，又直线的法向量与方向向量互相垂直，∴直线l的一个法向量为（2，－4）. 8.直线的斜率为k，若－1＜k＜，则直线的倾斜角的范围是　∪　. 解析：设直线的倾斜角为α，－1＜k＜，所以－1＜tan α＜，又α∈[0，π），所以α∈∪. 9.已知A（m，－m＋3），B（2，m－1），C（－1，4），直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则m的值为　4　. 解析：由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1.所以kAC＝，kBC＝.所以＝3·.整理得－m－1＝（m－5）（m＋1），即（m＋1）（m－4）＝0，所以m＝4或m＝－1（舍去）.所以m＝4. 10.已知A（1，2），B（2，1），C（0，m）三点. （1）若过A，C两点的直线的倾斜角为45°，求m的值； （2）A，B，C三点可能共线吗？若能，求出m值. 解：（1）过A，C两点的直线的斜率为kAC＝＝2－m， 又直线AC的倾斜角为45°，所以kAC＝tan 45°＝1＝2－m，得m＝1. （2）kAC＝＝2－m，kAB＝＝－1， 若A，B，C三点共线，则有kAB＝kAC，即－1＝2－m，解得m＝3，所以A，B，C三点能共线，且m＝3. 11.已知直线l1的斜率为－1，直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小30°，则直线l2的斜率为（　　） A.－2＋　 B.－2－ C.　 D. 解析：B　因为直线l1的斜率为－1，所以直线l1的倾斜角为135°，又直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小30°，所以直线l2的倾斜角为105°，tan 105°＝tan（45°＋60°）＝＝＝－2－，故直线l2的斜率为－2－.故选B. 12.若三点A（3，1），B（－2，k），C（8，1）能构成三角形，则实数k的取值范围为　（－∞，1）∪（1，＋∞）　. 解析：kAB＝＝，kAC＝＝＝0.要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，即kAB≠kAC，∴≠0.∴k≠1. 13.〔一题多解〕（创新思维）台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点A（－2，3）无旋转射入，经过x轴（桌边）上的点P反弹后，经过点B（5，7），则点P的坐标为　　. 解析：法一　设P（x，0），A点关于x轴对称的点A'（－2，－3）， 则kA'P＝＝，kA'B＝＝，由题意，A'，B，P三点共线，∴kA'P＝kA'B，即＝，解得x＝，故P点的坐标为. 法二　设P（x，0），则kAP＝，kBP＝，由光学知识可得kAP＝－kBP.即－＝，解得x＝，∴P点的坐标为（，0）. 14.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解：在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以kOD＝kBC＝tan 60°＝.因为CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB＝kCD＝0，由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，所以kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $