2.2.1 直线的点斜式方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

**基本信息** 高中数学直线的点斜式方程同步练，新授课场景下采用"A级基础巩固+B级综合运用"分层设计，通过基础概念到综合应用的递进路径，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础巩固|点斜式方程概念、斜率与倾斜角关系、平行垂直判定|单选/填空直接应用公式（如第1题求方程），多选题辨析概念（如第6题直线方程适用条件），夯实基础运算能力| |B级综合运用|直线图像综合判断、恒过定点问题、面积最值求解|解答题结合几何性质（如第15题面积最小化），多选题探究直线特征（如第13题恒过定点），发展推理意识与模型观念|

2.2.1　直线的点斜式方程 （时间：60分钟　满分：106分） ［备注：单选、填空题5分，多选题6分］ 1.已知某直线的倾斜角为30°，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为（　　） A．y=x＋2　 B．y=－x＋2 C．y=－x－2　 D．y=x－2 2.直线y－2=－（x＋1）的倾斜角及在y轴上的截距分别为（　　） A.60°，2　　 B.120°，2－ C．60°，2－　 D．120°，2 3.（2026•商丘月考）经过点（－1，1），斜率是直线y=x－2的斜率的2倍的直线方程是（　　） A．x=－1　 B．y=1 C．y－1=（x＋1）　 D．y－1=2（x＋1） 4.“a=3”是“直线l1：y=x－与直线l2：y=－x＋平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.（2026•苏州月考）若直线y=ax＋b经过第一、二、三象限，则点（－a，－b）位于（　　） A．第一象限　 B．第二象限 C．第三象限　 D．第四象限 6.〔多选〕给出下列四个结论，正确的是（　　） A．方程k=与方程y－2=k（x＋1）可表示同一直线 B．直线l过点P（x1，y1），倾斜角为90°，则其方程是x=x1 C．直线l过点P（x1，y1），斜率为0，则其方程是y=y1 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 7.〔多选〕已知两条直线l1：y－3=k（x－1），l2：y－3=－（x－2），则下列说法正确的是（　　） A．l1与l2一定相交　 B．l1与l2一定平行 C．l1与l2一定垂直　 D．l1与l2不可能平行 8.（2026•宁德质检）在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是　　　　． 9.（2026•云浮质检）已知直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是30，则直线l的方程为　　　　． 10.（13分）分别求下列直线的方程： （1）经过点A（2，－3），且与直线y=2x－6平行； （2）经过点B（－1，2），且与x轴平行； （3）经过点C（0，－3），且与直线y=x＋2垂直； （4）经过点（2，2），且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2. 11.（2026•常州月考）直线l1：y=ax＋b与直线l2：y=bx＋a（ab≠0，a≠b）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） 12.在同一平面直角坐标系中，直线y=kx＋b总是在直线y=2x－3的上方，则实数k，b的取值应该满足的条件是（　　） A．k＞2，b＞－3　 B．k＞2，b=－3 C．k=2，b＞－3　 D．k=2，b=－3 13.〔多选〕已知直线l：y=kx＋3k＋4，k∈R，则下列说法正确的是（　　） A．直线恒过一定点 B．直线可以平行于x轴 C．直线可以垂直于x轴 D．若直线不过第四象限，则k＞0 14.（15分）已知在平面直角坐标系中的两点A（8，－6），B（2，2）． （1）求线段AB的中垂线的方程； （2）求以向量为方向向量且过点P（2，－3）的直线l的方程． 15.（15分）已知直线l的方程为y－1=k（x－2）（k∈R）． （1）证明：直线l恒过第一象限； （2）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由． 2.2.1　直线的点斜式方程 1.A　由题意得，直线的斜率k=tan 30°=，又直线在y轴上的截距为2，故直线的方程为y=x＋2.故选A． 2.B　该直线的斜率为－，当x=0时，y=2－，所以其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－． 3.C　由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是，由直线的点斜式方程可得方程为y－1=（x＋1）． 4.C　若直线l1与直线l2平行，则=－且－≠，解得a=3.故“a=3”是“直线l1：y=x－与直线l2：y=－x＋平行”的充要条件． 5.C　因为直线y=ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞0，所以（－a，－b）位于第三象限，故选C． 6.BC　A不正确，方程k=不含点（－1，2）；B正确；C正确；D不正确，只有k存在时成立． 7.ACD　两直线的斜率之积为－1，故l1与l2一定垂直并相交，A、C正确；当k=－时，无实数解，故l1与l2不可能平行，D正确，B错误．故选A、C、D． 8.y=x－6或y=－x－6　解析：因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为或－，又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y=x－6或y=－x－6. 9.y=x±5　解析：由直线l的斜率为，可设直线l的方程为y=x＋b．令x=0，得y=b；令y=0，得x=－b．由题意得|b|＋＋ =30.∴|b|＋|b|＋|b|=30，∴b=±5.∴所求直线l的方程为y=x±5. 10.解：（1）由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y＋3=2（x－2）． （2）由题意知，直线的斜率k=tan 0°=0，所以直线的方程为y－2=0（x＋1），即y=2. （3）由题意知，所求直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－3，所以直线的方程为y=－x－3. （4）当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2，经检验符合题目的要求； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－2=k（x－2）， 令y=0，得x=， 由三角形的面积为2，得×||×2=2. 解得k=． 可得直线的方程为y－2=（x－2）． 综上可知，直线的方程为x=2或y=x＋1. 11.D　对于A，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于B，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0．故选D． 12.C　若两直线相交，则一定不满足题意，所以两直线平行，则k=2.因为直线y=kx＋b总是在直线y=2x－3的上方，所以直线y=kx＋b在y轴上的截距必大于直线y=2x－3在y轴上的截距，即b＞－3. 13.AB　直线l：y=kx＋3k＋4即l：y－4=k（x＋3），k∈R，所以直线经过定点P（－3，4），选项A正确；当k=0时，直线平行于x轴，选项B正确；由于直线的斜率k存在且为任意实数，故直线不能垂直于x轴，选项C错误；若直线l不过第四象限，则即k≥0，故D错误．故选A、B． 14.解：（1）易知线段AB的中点的坐标为（5，－2）， ∵kAB==－， ∴线段AB的中垂线的斜率为， ∴由直线的点斜式方程可得线段AB的中垂线的方程为y＋2=（x－5），即y=x－． （2）由已知得=（－6，8），则直线l的斜率为－，又直线过点P（2，－3）， 由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋3=－（x－2），即y=－x－． 15.解：（1）证明：由点斜式方程y－1=k（x－2）可知，直线l恒过点（2，1），该点位于第一象限，所以直线l恒过第一象限． （2）存在，理由如下： 若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则k＜0，A（2－，0），B（0，1－2k）， 所以△ABO的面积S=（1－2k）•（2－）=［4＋（－4k）＋（－）］≥×（4＋4）=4，当且仅当－4k=－，即k=－时，等号成立，故存在使△ABO面积最小的直线l，其方程为y－1=－（x－2），即y=－x＋2. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $