6.3.2 离散型随机变量的方差(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦离散型随机变量方差的定义应用与性质拓展，通过基础计算到实际情境分析的层级设计，系统构建知识逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|1-10题|含分布列直接计算、参数求解、方差性质应用（如D(aX+b)）|从方差定义出发，结合分布列性质推导计算方法，延伸至两点分布等特殊模型的方差公式| |综合运用|11-14题|情境化问题（如座位编号、投资收益）、跨知识结合（如椭圆、双曲线）|通过实际问题强化方差的稳定性分析功能，体现用数学语言表达现实世界随机现象的核心素养|

3.2　离散型随机变量的方差 1.若随机变量ξ的分布列为： ξ －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则 =（　　） A．　 B．　 C．　 D． 2.已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 3 P a 则X的方差DX=（　　） A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.9 3.已知下表为离散型随机变量X的分布列，则P（X≥DX）=（　　） X 0 1 2 3 P A．　 B．　　 C．　 D． 4.已知随机变量X的分布列为P（X=k）=，k=1，2，3，则D（3X＋5）=（　　） A．6　 B．9　　 C．3　 D．4 5.〔多选〕若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0）=，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（　　） A．P（X=1）=EX　 B．E（4X＋1）=4 C．DX=　 D．D（4X＋1）=4 6.〔多选〕已知随机变量ξ满足P（ξ=0）=，P（ξ=1）=x，P（ξ=2）=－x．若0＜x＜，则（　　） A．Eξ随着x的增大而增大 B．Eξ随着x的增大而减小 C．Dξ随着x的增大而增大 D．Dξ随着x的增大而减小 7.若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为　　　　． 8.已知离散型随机变量X的可能取值为x1=－1，x2=0，x3=1，且EX=0.1，DX=0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为　　　　，　　　　，　　　　． 9.已知盒子中装有n（n＞1，n∈N＋）个一等品和2个二等品，从中任取2个产品（取到每个产品都是等可能的），用随机变量X表示取到一等品的个数，X的分布列如下表所示，则DX=　　　　． X 0 1 2 P a b 10.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为： 甲保护区： X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区： Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平． 11.编号为1，2，3的3位同学随意入座编号为1，2，3的3个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X，则X的方差为（　　） A．　 B． C．　 D．1 12.〔多选〕已知离散型随机变量X的分布列为（　　） X 0 5 10 P m n 其中m＞0，n＞0，则下列选项正确的有（　　） A．m＋n= B．若m＜n，则椭圆m2x2＋n2y2=1的长轴长为2n C．若均值EX=4，则双曲线－=1的渐近线方程为y=±x D．若均值EX=4，则方差DX=19 13.已知离散型随机变量X的分布列如下表，若EX=0，DX=1，则a=　　　　，b=　　　　． X －1 0 1 2 P a b c 14.已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列如下． X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 （1）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求DY1和DY2； （2）用x（0≤x≤100）万元投资A项目，（100－x）万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和，求f（x）的最小值，并求出此时x的值． 3.2　离散型随机变量的方差 1.C　由题意，得Eξ＝（－1）×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，则Dξ＝（－1＋0.3）2×0.5＋（0＋0.3）2×0.3＋（1＋0.3）2×0.2＝0.61，＝. 2.A　由分布列的性质可知，＋＋a＝1，所以a＝，所以EX＝0×＋1×＋3×＝1，DX＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（3－1）2×＝1. 3.A　由题意得EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝2，DX＝（0－2）2×＋（1－2）2×＋（2－2）2×＋（3－2）2×＝1，故P（X≥DX）＝P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝. 4.A　EX＝1×＋2×＋3×＝2，∴DX＝×[（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2]＝，∴D（3X＋5）＝9DX＝9×＝6. 5.ABC　因为随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝，所以P（X＝1）＝，EX＝0×＋1×＝，所以P（X＝1）＝EX，故A正确；E（4X＋1）＝4EX＋1＝4×＋1＝4，故B正确；DX＝×＋×＝，故C正确；D（4X＋1）＝42DX＝16×＝3，故D不正确.故选A、B、C. 6.BD　∵随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝x，P（ξ＝2）＝－x，0＜x＜，∴Eξ＝x＋－2x＝－x，Dξ＝（0－＋x）2×＋（1－＋x）2×x＋（2－＋x）2×（－x）＝－x2－x＋＝－（x＋）2＋，∴Eξ随着x的增大而减小，Dξ随着x的增大而减小.故选B、D. 7.0.5　解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则Dξ＝p（1－p），所以p（1－p）＝0.25，解得p＝0.5. 8.0.4　0.1　0.5　解析：由题意知，－p1＋p3＝0.1，1.21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5. 9.　解析：由分布列可得a＋b＝，P（X＝1）＝＝，所以n＝2，又P（X＝0）＝＝＝a，所以b＝，进而可得EX＝＋2b＝1，故DX＝（0－1）2a＋（1－1）2×＋（2－1）2b＝a＋b＝. 10.解：甲保护区的违规次数X的均值和方差分别为： EX＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3， DX＝（0－1.3）2×0.3＋（1－1.3）2×0.3＋（2－1.3）2×0.2＋（3－1.3）2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数Y的均值和方差分别为： EY＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3， DY＝（0－1.3）2×0.1＋（1－1.3）2×0.5＋（2－1.3）2×0.4＝0.41. 因为EX＝EY，DX＞DY，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高. 11.D　由题意得X的可能取值为0，1，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴EX＝0×＋1×＋3×＝1，∴DX＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（3－1）2×＝1.故选D. 12.ACD　对于选项A，由分布列的性质可得m＋n＝，所以A正确；对于选项B，若m＜n 则椭圆m2x2＋n2y2＝1的长轴长为，所以B不正确；对于选项C，EX＝5m＋10n＝4，又m＋n＝，所以m＝，n＝，所以双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以C正确；对于选项D，DX＝（0－4）2×＋（5－4）2×＋（10－4）2×＝19，所以D正确. 13.　　解析：由题意知解得 14.解：（1）EY1＝5%×100×0.8＋10%×100×0.2＝6， DY1＝（5%×100－6）2×0.8＋（10%×100－6）2×0.2＝4. EY2＝2%×100×0.2＋8%×100×0.5＋12%×100×0.3＝8， DY2＝（2%×100－8）2×0.2＋（8%×100－8）2×0.5＋（12%×100－8）2×0.3＝12. （2）f（x）＝D（Y1）＋D（Y2）＝（）2DY1＋（）2DY2＝[x2＋3（100－x）2]＝（4x2－600x＋3×1002）. 当x＝75时，f（x）取得最小值，最小值为3. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $