6.3.2 离散型随机变量的方差(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦离散型随机变量的方差与标准差核心知识点，前承均值概念，通过定义（E(X-EX)²）及标准差（方差的算术平方根）构建知识支架，帮助学生理解数据离散程度的度量。 资料以甲、乙工人次品数比较引入，结合建筑材料抗拉强度等实例分析，培养数学抽象与建模能力，题型涵盖计算与实际应用，助力数学运算素养提升。课中辅助教师引导概念理解，课后通过分层练习帮助学生巩固，查漏补缺。

3.2　离散型随机变量的方差 课标 要求 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念（数学抽象）. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题（数学建模、数学运算）. 　　甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品中次品数分别用X，Y表示，X，Y的分布列如下： 次品数X 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 次品数Y 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 【问题】　如何比较甲、乙两人的技术水平？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　离散型随机变量的方差与标准差 1.方差的定义 若离散型随机变量X的分布列如下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称DX＝E（X－EX）2＝　（xi－EX）2pi　为随机变量X的方差，方差反映了随机变量的取值偏离于均值的　平均程度　. 2.标准差 称DX的算术平方根　　为随机变量X的标准差，记作σX. 提醒：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.（　×　） （2）若a是常数，则Da＝0.（　√　） （3）离散型随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.（　√　） （4）若a，b为常数，则＝a.（　×　） 2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值EX甲＝EX乙，方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计（　　） A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析：B　由EX甲＝EX乙，DX甲＞DX乙知B正确. 3.已知随机变量X的分布列如下，则DX＝（　　） X 1 2 3 P A.　　 　B.1 C.　 　　D. 解析：C　由题意得EX＝1×＋2×＋3×＝，所以DX＝（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝.故选C. 4.已知随机变量X，DX＝，则X的标准差为　　. 解析：X的标准差＝＝. 题型一　求离散型随机变量的方差 某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，求选择a线路的旅游团数X的均值EX和方差DX. 解：由题意知X的可能取值有0，1，2，3， 则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝， DX＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝×＋×＋×＋×＝. 通性通法 1.求离散型随机变量方差的步骤 （1）理解随机变量X的意义，写出X的所有取值； （2）求出X取每个值的概率； （3）写出X的分布列； （4）计算EX； （5）计算DX. 2.线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b，则Dη＝a2Dξ. 1.设随机变量X的分布列如下表所示，若EX＝，则DX＝（　　） X 1 2 3 P x y A.　 　　B. C.　　 　D. 解析：B　由随机变量分布列的性质得x＋y＝，由EX＝，得1×＋2x＋3y＝，解得x＝，y＝.∴DX＝×＋×＋×＝. 2.已知随机变量ξ的分布列如下表： ξ －1 0 1 P （1）求Eξ，Dξ，； （2）设η＝2ξ＋3，求Eη，Dη. 解：（1）Eξ＝（－1）×＋0×＋1×＝－，Dξ＝×＋×＋×＝，＝. （2）Eη＝2Eξ＋3＝，Dη＝4Dξ＝. 题型二　方差的实际应用 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度结果如下： X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中，X，Y分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度（哪一个的稳定性较好）. 解：EX＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125. EY＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125. DX＝0.1×（110－125）2＋0.2×（120－125）2＋0.4×（125－125）2＋0.1×（130－125）2＋0.2×（135－125）2＝50. DY＝0.1×（100－125）2＋0.2×（115－125）2＋0.4×（125－125）2＋0.1×（130－125）2＋0.2×（145－125）2＝165. 由此可得EX＝EY，DX＜DY， 故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲种材料的稳定性好. 通性通法 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 （1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高； （2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定； （3）下结论：依据均值和方差的意义得出结论. 已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，甲、乙射击结果互不影响.记甲、乙两名射手在一次射击中的环数分别为ξ，η. （1）求ξ，η的分布列； （2）求ξ，η的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术. 解：（1）依题意，有0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. 因为乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙击中7环的概率为1－（0.3＋0.3＋0.2）＝0.2，所以ξ，η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， Dξ＝（10－9.2）2×0.5＋（9－9.2）2×0.3＋（8－9.2）2×0.1＋（7－9.2）2×0.1＝0.96， Dη＝（10－8.7）2×0.3＋（9－8.7）2×0.3＋（8－8.7）2×0.2＋（7－8.7）2×0.2＝1.21. 由于Eξ＞Eη，说明甲平均击中的环数比乙高，又Dξ＜Dη，说明甲击中的环数比乙集中，比较稳定，所以甲比乙的射击技术好. 题型三　分布列、均值、方差的综合应用 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为、. （1）求第三次由乙投篮的概率； （2）在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、均值及标准差. 解：（1）P＝×＋×＝. （2）由题意，得X的所有可能取值为0，1，2， P（X＝0）＝×＝. P（X＝1）＝×＋×＝， P（X＝2）＝×＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 P EX＝0×＋1×＋2×＝， DX＝×＋×＋×＝.∴σX＝＝. 通性通法 处理综合问题的方法 第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立； 第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率； 第三步：列分布列，并计算均值及方差. 某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益（即均值）也相等. （1）求a，b，c的值； （2）若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解：（1）依题意得，＋＋a＝1，解得a＝. 设投资到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润， 则X1和X2的分布列分别为 X1 0.4x －0.2x 0 P X2 0.3x －0.1x P b c 所以EX1＝0.4x×＋（－0.2x）×＋0×＝0.2x， EX2＝0.3bx－0.1cx， 因为EX1＝EX2， 所以0.3bx－0.1cx＝0.2x， 即0.3b－0.1c＝0.2.　① 又b＋c＝1，　② 由①②，解得b＝，c＝， 所以a＝，b＝，c＝. （2）选择项目B.理由如下： 当投入100万元资金时，由（1）知x＝100， 所以EX1＝EX2＝20， DX1＝（40－20）2×＋（－20－20）2×＋（0－20）2×＝600， DX2＝（30－20）2×＋（－10－20）2×＝300. 所以EX1＝EX2，DX1＞DX2，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B. 1.设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P（A）＝m，令随机变量X＝则X的方差DX＝（　　） A.m B.2m（1－m） C.m（m－1） D.m（1－m） 解析：D　由题意得X服从两点分布，P（X＝1）＝m，P（X＝0）＝1－m，所以DX＝m（1－m）. 2.若X是离散型随机变量，P（X＝x1）＝，P（X＝x2）＝，且x1＜x2，若EX＝，DX＝，则x1＋x2＝（　　） A.　 　　B.　 　　C.3　 　　D. 解析：C　∵EX＝x1＋x2＝，∴x2＝4－2x1.又DX＝×＋×＝，x1＜x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3. 3.〔多选〕下列说法中错误的是（　　） A.离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的概率的平均值 B.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的平均水平 C.离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的平均水平 D.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的概率的平均值 解析：ABD　EX反映了X取值的平均水平，DX反映了X取值的离散程度. 4.已知随机变量X，且D（10X）＝，则X的标准差为　　. 解析：由题意可知D（10X）＝，即100DX＝，∴DX＝，∴＝.即X的标准差为. 5.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P（ξ＝0）＝，Eξ＝1，则Dξ＝　　. 解析：设P（ξ＝1）＝a，P（ξ＝2）＝b，则解得所以Dξ＝1×＋×0＋×1＝. 1.若随机变量ξ的分布列为： ξ －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由题意，得Eξ＝（－1）×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，则Dξ＝（－1＋0.3）2×0.5＋（0＋0.3）2×0.3＋（1＋0.3）2×0.2＝0.61，＝. 2.已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 3 P a 则X的方差DX＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.9 解析：A　由分布列的性质可知，＋＋a＝1，所以a＝，所以EX＝0×＋1×＋3×＝1，DX＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（3－1）2×＝1. 3.已知下表为离散型随机变量X的分布列，则P（X≥DX）＝（　　） X 0 1 2 3 P A. B. C. D. 解析：A　由题意得EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝2，DX＝（0－2）2×＋（1－2）2×＋（2－2）2×＋（3－2）2×＝1，故P（X≥DX）＝P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝. 4.已知随机变量X的分布列为P（X＝k）＝，k＝1，2，3，则D（3X＋5）＝（　　） A.6 B.9 C.3 D.4 解析：A　EX＝1×＋2×＋3×＝2，∴DX＝×[（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2]＝，∴D（3X＋5）＝9DX＝9×＝6. 5.〔多选〕若随机变量X服从两点分布，其中P（X＝0）＝，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（　　） A.P（X＝1）＝EX B.E（4X＋1）＝4 C.DX＝ D.D（4X＋1）＝4 解析：ABC　因为随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝，所以P（X＝1）＝，EX＝0×＋1×＝，所以P（X＝1）＝EX，故A正确；E（4X＋1）＝4EX＋1＝4×＋1＝4，故B正确；DX＝×＋×＝，故C正确；D（4X＋1）＝42DX＝16×＝3，故D不正确.故选A、B、C. 6.〔多选〕已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝x，P（ξ＝2）＝－x.若0＜x＜，则（　　） A.Eξ随着x的增大而增大 B.Eξ随着x的增大而减小 C.Dξ随着x的增大而增大 D.Dξ随着x的增大而减小 解析：BD　∵随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝x，P（ξ＝2）＝－x，0＜x＜，∴Eξ＝x＋－2x＝－x，Dξ＝（0－＋x）2×＋（1－＋x）2×x＋（2－＋x）2×（－x）＝－x2－x＋＝－（x＋）2＋，∴Eξ随着x的增大而减小，Dξ随着x的增大而减小.故选B、D. 7.若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为　0.5　. 解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则Dξ＝p（1－p），所以p（1－p）＝0.25，解得p＝0.5. 8.已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且EX＝0.1，DX＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为　0.4　，　0.1　，　0.5　. 解析：由题意知，－p1＋p3＝0.1，1.21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5. 9.已知盒子中装有n（n＞1，n∈N＋）个一等品和2个二等品，从中任取2个产品（取到每个产品都是等可能的），用随机变量X表示取到一等品的个数，X的分布列如下表所示，则DX＝　　. X 0 1 2 P a b 解析：由分布列可得a＋b＝，P（X＝1）＝＝，所以n＝2，又P（X＝0）＝＝＝a，所以b＝，进而可得EX＝＋2b＝1，故DX＝（0－1）2a＋（1－1）2×＋（2－1）2b＝a＋b＝. 10.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为： 甲保护区： X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区： Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平. 解：甲保护区的违规次数X的均值和方差分别为： EX＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3， DX＝（0－1.3）2×0.3＋（1－1.3）2×0.3＋（2－1.3）2×0.2＋（3－1.3）2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数Y的均值和方差分别为： EY＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3， DY＝（0－1.3）2×0.1＋（1－1.3）2×0.5＋（2－1.3）2×0.4＝0.41. 因为EX＝EY，DX＞DY，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高. 11.编号为1，2，3的3位同学随意入座编号为1，2，3的3个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X，则X的方差为（　　） A. B. C. D.1 解析：D　由题意得X的可能取值为0，1，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴EX＝0×＋1×＋3×＝1，∴DX＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（3－1）2×＝1.故选D. 12.〔多选〕已知离散型随机变量X的分布列为（　　） X 0 5 10 P m n 其中m＞0，n＞0，则下列选项正确的有（　　） A.m＋n＝ B.若m＜n，则椭圆m2x2＋n2y2＝1的长轴长为2n C.若均值EX＝4，则双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x D.若均值EX＝4，则方差DX＝19 解析：ACD　对于选项A，由分布列的性质可得m＋n＝，所以A正确；对于选项B，若m＜n 则椭圆m2x2＋n2y2＝1的长轴长为，所以B不正确；对于选项C，EX＝5m＋10n＝4，又m＋n＝，所以m＝，n＝，所以双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以C正确；对于选项D，DX＝（0－4）2×＋（5－4）2×＋（10－4）2×＝19，所以D正确. 13.已知离散型随机变量X的分布列如下表，若EX＝0，DX＝1，则a＝　　，b＝　　. X －1 0 1 2 P a b c 解析：由题意知解得 14.已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列如下. X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 （1）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求DY1和DY2； （2）用x（0≤x≤100）万元投资A项目，（100－x）万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和，求f（x）的最小值，并求出此时x的值. 解：（1）EY1＝5%×100×0.8＋10%×100×0.2＝6， DY1＝（5%×100－6）2×0.8＋（10%×100－6）2×0.2＝4. EY2＝2%×100×0.2＋8%×100×0.5＋12%×100×0.3＝8， DY2＝（2%×100－8）2×0.2＋（8%×100－8）2×0.5＋（12%×100－8）2×0.3＝12. （2）f（x）＝D（Y1）＋D（Y2）＝（）2DY1＋（）2DY2＝[x2＋3（100－x）2]＝（4x2－600x＋3×1002）. 当x＝75时，f（x）取得最小值，最小值为3. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $