6.3.1 离散型随机变量的均值(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦离散型随机变量均值，以题载法构建从概念到应用的完整训练体系，强化数学建模与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|均值公式直接应用、分布列性质求参数、随机变量函数均值计算|从定义出发，通过单点分布、两点分布夯实公式应用，结合性质拓展| |综合运用|4题|实际情境分布列构建、期望比较决策|以射击、抽奖等情境深化建模能力，体现从数学思维到实际应用的逻辑链条|

3.1　离散型随机变量的均值 1.已知随机变量X满足P（X=1）=0.3，P（X=0）=0.7，则EX=（　　） A．0.3　 B．0.7 C．0.21　 D．1 2.已知随机变量X的分布列如下表，Y=2X＋1，则EY=（　　） X 1 0 －1 P a A．　　 B．　　 C．　　 D．2 3.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8，若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是（　　） A．0.8　 B．0.992 C．1　 D．1.24 4.设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P p1 p2 p3 则EX=2的充要条件是（　　） A．p1=p2　 B．p2=p3 C．p1=p3　 D．p1=p2=p3 5.〔多选〕设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为 X 0 1 2 P －p p 则下列说法正确的是（　　） A．p∈［0，］　 B．EX最大值为 C．p∈［0，］　 D．EX最大值为 6.〔多选〕已知某一随机变量X的分布列如下，且EX=6.3，则（　　） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．a=7　 B．b=0.4 C．E（aX）=44.1　 D．E（bX＋a）=2.62 7.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的均值EX=　　　　． 8.随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）=，EX=1，则P（X=1）=　　　　． 9.盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个球，记总分为ξ，则P（ξ=4）=　　　　，Eξ=　　　　． 10.甲、乙两人进行定点投篮游戏，规则是一人投篮，若投中，则继续投篮，否则由另一人投篮．已知第一次由甲投篮，每次投篮甲、乙命中的概率分别为，． （1）求第三次仍由甲投篮的概率； （2）在前3次投篮中，记甲投篮的次数为X，求X的分布列和期望． 11.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中华优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（　　） A．　　 B.1 C．　　 D.2 12.〔多选〕已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b a＋b 则EX的可能取值有（　　） A．0　 B． C．　 D．2 13.设口袋中有黑球、白球共9个．从中任取2个球，若取到白球个数的均值为，则口袋中白球的个数为　　　　． 14.某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种． 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没有摸出红球，则不打折． 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，每次随机摸取1球，有放回地连摸3次，每摸到1次红球，立减200元． （1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1 000元，试从概率的角度分析该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 3.1　离散型随机变量的均值 1.A　根据题意可知，随机变量X服从两点分布，所以EX＝0.3. 2.B　由题可知＋＋a＝1，所以a＝，所以EX＝1×＋0×＋（－1）×＝，因此EY＝E（2X＋1）＝2EX＋1＝，故选B. 3.D　记射击次数为随机变量X，则X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝0.8，P（X＝2）＝0.2×0.8＝0.16，P（X＝3）＝0.2×0.2×0.8＋0.2×0.2×0.2＝0.04，∴EX＝1×0.8＋2×0.16＋3×0.04＝1.24.故选D. 4.C　由离散型随机变量X的分布列知，当EX＝2时，解得p1＝p3，此时p1＋p2＋p3＝2p1＋p2＝1.EX＝p1＋2p2＋3p3＝4p1＋2p2＝2.故EX＝2的充要条件是p1＝p3. 5.AB　由表可得从而得p∈［0，］，期望EX＝0×（－p）＋1·p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，EX最大值＝. 6.ABC　由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，且EX＝4×0.5＋0.1×a＋9×b＝6.3，解得b＝0.4，a＝7.∴E（aX）＝aEX＝7×6.3＝44.1，E（bX＋a）＝bEX＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故A、B、C正确. 7.　解析：分布列如下表所示： X 0 1 2 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＝＝. 8.　解析：设P（X＝1）＝p，因为P（X＝0）＝，EX＝1，故0×＋1×p＋2×（1－－p）＝1，所以p＋－2p＝1，解得p＝. 9.　　解析：ξ的所有可能取值为3，4，5，6，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝6）＝＝，Eξ＝3×＋4×＋5×＋6×＝. 10.解：（1）第三次由甲投篮包括第一次甲命中，第二次甲命中和第一次甲未命中，第二次乙未命中，所以第三次仍由甲投篮的概率P＝×＋（1－）×（1－）＝. （2）由题意知X的取值为1，2，3. P（X＝1）＝（1－）×＝， P（X＝2）＝（1－）×（1－）＋×（1－）＝， P（X＝3）＝×＝， 故X的分布列为 X 1 2 3 P EX＝1×＋2×＋3×＝. 11.B　记抽到自己准备的书的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，4，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝4）＝＝，则EX＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.故选B. 12.BC　由分布列的性质可得且a＋b＋（a＋b）＝1，则a＋b＝，所以a＝－b，则0≤－b≤1.又0≤b≤1，所以0≤b≤.因为EX＝0×a＋1×b＋2×（a＋b）＝1＋b，所以1≤EX≤，所以EX可取和. 13.3　解析：设白球有m个，则取到白球的均值是×0＋×1＋×2＝，即＋×2＝，解得m＝3. 14.解：（1）选择方案一若享受免单优惠，则需要摸出三个红球，设“顾客享受免单优惠”为事件A，则P（A）＝＝，所以两位顾客均享受免单优惠的概率为P（A）·P（A）＝. （2）若选择方案一，设该顾客最后付款的金额为X元，则X的可能取值为0，600，700，1 000. P（X＝0）＝＝， P（X＝600）＝＝， P（X＝700）＝＝， P（X＝1 000）＝＝， 故X的分布列为 X 0 600 700 1 000 P 所以EX＝0×＋600×＋700×＋1 000×＝. 若选择方案二，设该顾客摸到红球的个数为Y，最后付款的金额为Z（单位：元），则Z＝1 000－200Y， 易得EY＝， 所以EZ＝E（1 000－200Y）＝1 000－200EY＝820. 因为EX＜EZ，所以该顾客选择方案一更合算. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $