6.3.1 离散型随机变量的均值(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学离散型随机变量的均值这一核心知识点，从分布列出发定义均值为取值与概率的加权平均，明确其刻画取值平均水平的意义，构建从概念理解到实际应用的学习支架。 资料以投资项目决策等实际问题引入，通过摸球次数、驾照考试等题型示例培养数学建模与数据分析能力，体现用数学眼光观察现实世界、用数学思维解决问题，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

3.1　离散型随机变量的均值 课标 要求 通过具体实例，理解随机变量的均值，并能解决简单的实际问题（数学运算、数学建模、数据分析）. 　　一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5 000万元；如果项目失败，将损失3 000万元. 【问题】　设这个项目成功的概率为P，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则P满足什么条件时你才会对该项目进行资助？为什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　离散型随机变量的均值 1.定义：设离散型随机变量X的分布列如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX＝　x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn　为随机变量X的均值或数学期望（简称期望）. 2.意义：均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的　平均水平　. 提醒：（1）均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数；（2）随机变量的均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动. 【想一想】 1.若两点分布中随机变量X＝0的概率为p，则X的期望是多少？ 提示：若两点分布中X＝0的概率为p，则X＝1的概率为1－p，所以X的期望EX＝0×p＋1×（1－p）＝1－p. 2.如何从加权平均数的角度理解均值的概念？ 提示：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）随机变量X的均值EX是个变量，其随X的变化而变化.（　×　） （2）随机变量的均值反映了样本的平均水平.（　×　） （3）若随机变量X的均值EX＝2，则E（2X）＝4.（　√　） （4）若随机变量X服从两点分布，则EX＝P（X＝1）.（　√　） 2.随机变量X服从两点分布，其分布列如表所示，则EX＝（　　） X 0 1 P a A.　　　B. C.　　　D. 解析：A　由题意知＋a＝1，所以a＝，EX＝0×＋1×a＝a＝. 3.已知离散型随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则E（2X＋1）＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　 ∵EX＝（－1）×＋0×＋1×＝－，∴E（2X＋1）＝2EX＋1＝2×（－）＋1＝.故选C. 4.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为　　. 解析：X的取值为2，3.P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝. ∴EX＝2×＋3×＝. 题型一　求离散型随机变量的均值 在一个不透明的纸袋里装有5个除颜色外完全相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数ξ的均值. 解：由题意得，ξ可能的取值为1，2，3，4，5，则P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝×＝，P（ξ＝3）＝××＝，P（ξ＝4）＝×××＝，P（ξ＝5）＝××××1＝， 故ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 由离散型随机变量的均值的定义知Eξ＝×（1＋2＋3＋4＋5）＝3. 通性通法 求离散型随机变量的均值的一般步骤 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值； 第二步是“探求概率”，即求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； 第四步是“求均值”，利用均值的定义求均值. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和均值. 解：ξ的所有可能取值为1，2，3，4. ξ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（ξ＝1）＝0.6. ξ＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P（ξ＝2）＝（1－0.6）×0.7＝0.28. ξ＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P（ξ＝3）＝（1－0.6）×（1－0.7）×0.8＝0.096. ξ＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P（ξ＝4）＝（1－0.6）×（1－0.7）×（1－0.8）＝0.024. 则ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 所以Eξ＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. 题型二　均值的实际应用 某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题选对得20分，选错得0分；②多选题选对得30分，选对但不全得10分，有选错的得0分；③每名竞赛参与者答题3道.学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题.现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3. （1）若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； （2）如何选择方案，能使得该学生的得分更高？ 解：（1）由题意知，随机变量X的取值可能是0，20，40，60， 可得P（X＝0）＝0.2×0.2×0.2＝0.008， P（X＝20）＝0.8×0.2×0.2＋0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8＝0.096， P（X＝40）＝0.8×0.8×0.2＋0.8×0.2×0.8＋0.2×0.8×0.8＝0.384， P（X＝60）＝0.8×0.8×0.8＝0.512， 则随机变量X的分布列为 X 0 20 40 60 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以期望为EX＝0×0.008＋20×0.096＋40×0.384＋60×0.512＝48. （2）若该学生选择方案二，记得分为变量Y，则Y的取值可能为0，10，20，30，40，50，70， 可得P（Y＝0）＝0.3×0.2×0.2＝0.012， P（Y＝10）＝0.3×0.2×0.2＝0.012， P（Y＝20）＝0.3×0.8×0.2×2＝0.096， P（Y＝30）＝0.3×0.8×0.2×2＋0.4×0.2×0.2＝0.112， P（Y＝40）＝0.3×0.8×0.8＝0.192， P（Y＝50）＝0.3×0.8×0.8＋0.4×0.8×0.2×2＝0.32， P（Y＝70）＝0.4×0.8×0.8＝0.256， 则随机变量Y的分布列为 Y 0 10 20 30 40 50 70 P 0.012 0.012 0.096 0.112 0.192 0.32 0.256 所以期望为EY＝0×0.012＋10×0.012＋20×0.096＋30×0.112＋40×0.192＋50×0.32＋70×0.256＝47. 结合（1）知EX＞EY， 所以选择方案一，能使得该学生的得分更高. 通性通法 1.实际问题中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计. 2.均值模型应用的三个解答步骤 （1）审题：确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； （2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值； （3）对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故障 时间x（年） 0＜x≤1 1＜x≤2 x＞2 0＜x≤2 x＞2 轿车数量（辆） 2 3 45 5 45 每辆利润 （万元） 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题： （1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； （2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列； （3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由. 解：（1）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）＝＝. （2）依题意得，X1的分布列为 X1 1 2 3 P X2的分布列为 X2 1.8 2.9 P （3）由（2）得EX1＝1×＋2×＋3×＝2.86（万元）. EX2＝1.8×＋2.9×＝2.79（万元）. ∵EX1＞EX2，∴应生产甲品牌轿车. 1.若离散型随机变量X的分布列如表，则EX＝（　　） X 0 1 2 3 4 5 P A.　　 　B. C.　　 　D. 解析：D　EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为（　　） A.0 B. C.1 D.－1 解析：A　因为P（X＝1）＝，P（X＝－1）＝，所以由均值的定义得EX＝1×＋（－1）×＝0. 3.某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的均值效益是（　　） A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 600元 解析：B　出海的均值效益EX＝5 000×0.6＋（1－0.6）×（－2 000）＝3 000－800＝2 200（元）. 4.马老师从课本上抄录的一个随机变量ξ的概率分布列如表： ξ 1 2 3 P ？ ！ ？ 请小牛同学计算ξ的均值.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案Eξ＝　2　. 解析：令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1，∴Eξ＝a＋2b＋3a＝2（2a＋b）＝2. 5.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验.若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是　　. 解析：试验次数ξ的可能取值为1，2，3，则P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝×＝，P（ξ＝3）＝××＝. 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 所以Eξ＝1×＋2×＋3×＝. 1.已知随机变量X满足P（X＝1）＝0.3，P（X＝0）＝0.7，则EX＝（　　） A.0.3　　　B.0.7　　　C.0.21　　　D.1 解析：A　根据题意可知，随机变量X服从两点分布，所以EX＝0.3. 2.已知随机变量X的分布列如下表，Y＝2X＋1，则EY＝（　　） X 1 0 －1 P a A. B. C. D.2 解析：B　由题可知＋＋a＝1，所以a＝，所以EX＝1×＋0×＋（－1）×＝，因此EY＝E（2X＋1）＝2EX＋1＝，故选B. 3.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8，若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是（　　） A.0.8 B.0.992 C.1 D.1.24 解析：D　记射击次数为随机变量X，则X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝0.8，P（X＝2）＝0.2×0.8＝0.16，P（X＝3）＝0.2×0.2×0.8＋0.2×0.2×0.2＝0.04，∴EX＝1×0.8＋2×0.16＋3×0.04＝1.24.故选D. 4.设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P p1 p2 p3 则EX＝2的充要条件是（　　） A.p1＝p2 B.p2＝p3 C.p1＝p3 D.p1＝p2＝p3 解析：C　由离散型随机变量X的分布列知，当EX＝2时，解得p1＝p3，此时p1＋p2＋p3＝2p1＋p2＝1.EX＝p1＋2p2＋3p3＝4p1＋2p2＝2.故EX＝2的充要条件是p1＝p3. 5.〔多选〕设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为 X 0 1 2 P －p p 则下列说法正确的是（　　） A.p∈［0，］ B.EX最大值为 C.p∈［0，］ D.EX最大值为 解析：AB　由表可得从而得p∈［0，］，期望EX＝0×（－p）＋1·p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，EX最大值＝. 6.〔多选〕已知某一随机变量X的分布列如下，且EX＝6.3，则（　　） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.a＝7 B.b＝0.4 C.E（aX）＝44.1 D.E（bX＋a）＝2.62 解析：ABC　由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，且EX＝4×0.5＋0.1×a＋9×b＝6.3，解得b＝0.4，a＝7.∴E（aX）＝aEX＝7×6.3＝44.1，E（bX＋a）＝bEX＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故A、B、C正确. 7.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的均值EX＝　　. 解析：分布列如下表所示： X 0 1 2 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＝＝. 8.随机变量X的取值为0，1，2，若P（X＝0）＝，EX＝1，则P（X＝1）＝　　. 解析：设P（X＝1）＝p，因为P（X＝0）＝，EX＝1，故0×＋1×p＋2×（1－－p）＝1，所以p＋－2p＝1，解得p＝. 9.盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个球，记总分为ξ，则P（ξ＝4）＝　　，Eξ＝　　. 解析：ξ的所有可能取值为3，4，5，6，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝6）＝＝，Eξ＝3×＋4×＋5×＋6×＝. 10.甲、乙两人进行定点投篮游戏，规则是一人投篮，若投中，则继续投篮，否则由另一人投篮.已知第一次由甲投篮，每次投篮甲、乙命中的概率分别为，. （1）求第三次仍由甲投篮的概率； （2）在前3次投篮中，记甲投篮的次数为X，求X的分布列和期望. 解：（1）第三次由甲投篮包括第一次甲命中，第二次甲命中和第一次甲未命中，第二次乙未命中，所以第三次仍由甲投篮的概率P＝×＋（1－）×（1－）＝. （2）由题意知X的取值为1，2，3. P（X＝1）＝（1－）×＝， P（X＝2）＝（1－）×（1－）＋×（1－）＝， P（X＝3）＝×＝， 故X的分布列为 X 1 2 3 P EX＝1×＋2×＋3×＝. 11.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中华优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（　　） A. B.1 C. D.2 解析：B　记抽到自己准备的书的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，4，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝4）＝＝，则EX＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.故选B. 12.〔多选〕已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b a＋b 则EX的可能取值有（　　） A.0 B. C. D.2 解析：BC　由分布列的性质可得且a＋b＋（a＋b）＝1，则a＋b＝，所以a＝－b，则0≤－b≤1.又0≤b≤1，所以0≤b≤.因为EX＝0×a＋1×b＋2×（a＋b）＝1＋b，所以1≤EX≤，所以EX可取和. 13.设口袋中有黑球、白球共9个.从中任取2个球，若取到白球个数的均值为，则口袋中白球的个数为　3　. 解析：设白球有m个，则取到白球的均值是×0＋×1＋×2＝，即＋×2＝，解得m＝3. 14.某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没有摸出红球，则不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，每次随机摸取1球，有放回地连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1 000元，试从概率的角度分析该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 解：（1）选择方案一若享受免单优惠，则需要摸出三个红球，设“顾客享受免单优惠”为事件A，则P（A）＝＝，所以两位顾客均享受免单优惠的概率为P（A）·P（A）＝. （2）若选择方案一，设该顾客最后付款的金额为X元，则X的可能取值为0，600，700，1 000. P（X＝0）＝＝，P（X＝600）＝＝， P（X＝700）＝＝，P（X＝1 000）＝＝， 故X的分布列为 X 0 600 700 1 000 P 所以EX＝0×＋600×＋700×＋1 000×＝. 若选择方案二，设该顾客摸到红球的个数为Y，最后付款的金额为Z（单位：元），则Z＝1 000－200Y， 易得EY＝， 所以EZ＝E（1 000－200Y）＝1 000－200EY＝820. 因为EX＜EZ，所以该顾客选择方案一更合算. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $