3.3.1 空间向量基本定理(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 围绕空间向量基本定理，通过基的判断、向量分解、位置关系证明等题型，系统构建“概念-表示-应用”逻辑链，提炼共面判断、线性表示等方法，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题（选择/填空/解答）|基的判断（共面条件分析）、向量分解（线性表示技巧）、模长计算（向量平方）|从基概念生成，到向量线性表示，再到垂直证明（数量积为零），形成概念-性质-应用推导链| |综合运用|4题（选择/解答）|四点共面（向量共面定理）、动态问题（参数方程）|结合多面体（棱锥/棱柱）深化应用，衔接空间几何与向量工具，体现模型观念|

3.1　空间向量基本定理 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a=＋＋，向量b=＋－，则与a，b不能构成空间一组基的是（　　） A．　 B． C．　 D．或 3.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点．若=a，=b，=c，则=（　　） A．a－b＋c B．a－b－c C．a－b＋c D．a－b＋c 4.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AB=AC=BC=1，M是B1C1的中点，则|AM|=（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 5.〔多选〕若{a，b，c}是空间的一组基，则下列向量组也可以作为空间一组基的是（　　） A．a＋c，b，a－c　 B．a＋b，b，a－b C．a－b，b－c，c　 D．a＋c，b，a－b－c 6.〔多选〕在正方体ABCD －A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且=＋m－n，则（　　） A．m=　 B．m=－ C．n=　 D．n=－ 7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，点O为空间任一点，设=a，=b，=c，则用a，b，c表示向量=　　　　． 8.（2026•宁德月考）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心．若=x＋y＋z，则x＋y－z=　　　　． 9.在如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，∠BAA1=30°，N为A1D1上一点，且A1N=λA1D1．若BD⊥AN，则λ=　　　　． 10.在正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设=a，=b，=c． （1）用a，b，c表示，； （2）求证：EF⊥FG； （3）求证：E，F，G，H四点共面． 11.已知体积为9π的圆锥MO底面圆周上有三点A，B，C，其中M为圆锥顶点，O为底面圆圆心，且圆锥MO的轴截面为正三角形．若空间中一点N满足=x＋y＋z（其中x＋y＋z=1），则||的最小值为（　　） A.3　　 B.2 C.3　　 D.6 12.〔多选〕如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列关系正确的是（　　） A．＋＋= B．＋－= C．－＋= D．－＋= 13.在空间四边形ABCD中，=a－2c，=5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则=　　　　．向量，，　　　　（填“能”或“不能”）构成一组基． 14.如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若=m，=n，=t，求证：＋＋为定值，并求出该定值． 3.1　空间向量基本定理 1.B　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基，否则不能当基.当{a，b，c}为基时，一定有a，b，c为非零向量.因此p⇒/ q，q⇒p. 2.C　∵＝（a－b），∴与a，b共面，∴a，b，不能构成空间一组基. 3.C　＝－＝－＝（＋）－＝（－）＝（＋－）＝（－＋－－）＝－＋＝a－b＋c.故选C. 4.C　如图所示，＝＋＋＝＋＋（－）＝＋＋，故｜｜2＝（＋＋）2＝，则AM＝. 5.ACD　A选项：设a＋c＝mb＋n（a－c），即a＋c＝mb＋na－nc，不存在m，n使得等式成立，因此a＋c，b，a－c不共面，故可以作为一组基；B选项：设a＋b＝mb＋n（a－b），即a＋b＝（m－n）b＋na，令此时等式成立，即a＋b，b，a－b共面，故不可以作为一组基；C选项：设a－b＝m（b－c）＋nc，即a－b＝mb＋（n－m）c，不存在m，n使得等式成立，因此a－b，b－c，c不共面，故可以作为一组基；D选项：设a＋c＝mb＋n（a－b－c），即a＋c＝（m－n）b＋na－nc，不存在m，n使得等式成立，因此a＋c，b，a－b－c不共面，故可以作为一组基.故选A、C、D. 6.AD　根据空间向量基本定理，有＝＋＋，所以m＝，－n＝，即n＝－. 7.a－b＋c　解析：∵＝－2，∴－＝－2（－），∴b－a＝－2（－c），∴＝a－b＋c. 8.－2　解析：如图，由题意可得＝－＝－（＋）＝－－＋＝x＋y＋z，则x＝－，y＝－，z＝1，故x＋y－z＝－2. 9.－1　解析：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一组基.设AB＝1，因为BD⊥AN，所以·＝0，因为＝－＝b－a，＝＋＝c＋λb，所以（b－a）·（c＋λb）＝0，所以＋λ－－＝0，所以λ＝－1. 10.解：（1）E，F分别是OA，AB的中点，则EF∥OB，且｜EF｜＝｜OB｜，所以＝＝b， F，G分别是AB，BC的中点，则FG∥AC，且｜FG｜＝｜AC｜， ＝＝－＝c－a. （2）证明：设四面体的棱长为a，则向量a，b，c两两之间的夹角均为， 则a·b＝a·c＝b·c＝， 所以·＝b·（c－a）＝（b·c－a·b）＝0， 故EF⊥FG. （3）证明：＝－＝（b＋c－a）， ＝－＝（－）＝（c－a）， ＝b， 所以＝＋，从而E，F，G，H四点共面. 11.A　由题意得，点N在圆O所在平面内，所以｜｜的最小值是顶点M到圆O所在的平面的距离，即为圆锥MO的高.设圆锥MO底面圆的半径为r，因为圆锥MO的轴截面为正三角形，所以圆锥MO的高为r，则圆锥MO的体积为πr2×r＝9π，解得r＝3.所以｜｜的最小值为3.故选A. 12.AC　＋＋＝＋＝，A正确.因为＋＋＝，所以＋－＝－＝，B不正确.－＋＝＋＋＝＋＝，C正确.－＋＝＋＋＝＋＝，D不正确. 13.3a－b＋3c　不能　解析：＝（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋＋＋＋＋＝（＋）＝3a－b＋3c.假设，，共面，则＝λ＋μ＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝（λ＋5μ）a－5μb＋（8μ－2λ）c＝3a－b＋3c.∴解得∴，，共面，∴不能构成一组基. 14.证明：连接AG并延长交BC于点H，连接DM（图略）. 由题意，可令{，，}为空间向量的一组基， ＝＝（＋）＝＋×＝＋×（＋）＝＋（－）＋（－）＝＋＋. 因为点D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，即－＝λ（－）＋μ（－）， 所以＝（1－λ－μ）＋λ＋μ＝（1－λ－μ）m＋λn＋μt， 由空间向量基本定理，知＝（1－λ－μ）m，＝λn，＝μt，所以＋＋＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4. 所以＋＋为定值，且定值为4. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $