2.3.1 抛物线及其标准方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

### 基本信息 聚焦抛物线定义与标准方程，以定义转化为核心方法，构建从概念理解到综合应用的完整知识链，培养几何直观与推理能力。 ### 专项设计 |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|10题|抛物线定义转化（距离问题）、标准方程与焦点准线互化|从定义生成标准方程，推导焦点准线公式，应用于基础计算| |B级综合运用|4题|几何图形辅助分析（如圆与抛物线结合）、轨迹方程分类讨论|结合圆/双曲线综合应用，深化定义迁移，培养模型观念|

3.1　抛物线及其标准方程 1.抛物线y=－x2的准线方程为（　　） A．x=　 B．x=1 C．y=1　 D．y=2 2.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（－1，1），则该抛物线焦点坐标为（　　） A．（－1，0）　 B．（1，0） C．（0，－1）　 D．（0，1） 3.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点到直线y=x＋1的距离为，则p=（　　） A．1　 B．2 C．2　 D．4 4.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q．则线段FQ的垂直平分线（　　） A．经过点O　 B．经过点P C．平行于直线OP　 D．垂直于直线OP 5.已知抛物线y2=16x的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在圆C：（x－6）2＋（y－2）2=4上，则|PQ|＋|PF|的最小值为（　　） A.4　　 B.6 C.8　　 D.10 6.〔多选〕已知F为抛物线y2=4x的焦点，A为抛物线上的一点，|AF|=2，则下列说法正确的是（　　） A．焦点F（1，0） B．准线方程为y=－1 C．点A（1，2）或A（1，－2） D．焦点到准线的距离为4 7.已知双曲线－y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则m=　　　　． 8.在抛物线y2=－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是　　　　　　． 9.平面上一动点P到定点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，则动点P的轨迹方程为　　　　． 10.根据下列条件分别求抛物线的标准方程： （1）抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2=144的左顶点； （2）抛物线的焦点F在x轴上，直线y=－3与抛物线交于点A，|AF|=5. 11.已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，过M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，若∠MFO=120°（O为坐标原点），△MNF的周长为12，则|NF|=（　　） A．4　 B． C．3　 D．5 12.〔多选〕设抛物线y2=4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（　　） A．抛物线的准线方程是x=－1 B．当PF⊥x轴时，|PF|取最小值 C．若A（2，3），则|PA|＋|PF|的最小值为 D．以线段PF为直径的圆与y轴相切 13.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|=　　　　． 14.已知抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a＋4，0）为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M，N，点P为线段MN的中点． （1）求|AM|＋|AN|的值； （2）是否存在这样的a，使2|AP|=|AM|＋|AN|？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 3.1　抛物线及其标准方程 1.C　抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1. 2.B　抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－，由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为.故选B. 3.B　抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为，它到直线y＝x＋1的距离为d＝＝，解得p＝2或p＝－6（舍去），故选B. 4.B　连接PF，由题意及抛物线的定义可知｜PQ｜＝｜FP｜，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B. 5.C　如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则｜PF｜＝｜PA｜，当CP垂直于抛物线的准线时，｜CP｜＋｜PA｜最小，此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为x＝－4，C（6，2），圆C半径为2，所以｜PQ｜＋｜PF｜的最小值为｜AQ｜＝｜CA｜－2＝10－2＝8.故选C. 6.AC　由y2＝4x可知2p＝4，即p＝2，所以抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1，故A正确，B错误；由抛物线定义可知｜AF｜＝xA－（－1）＝2，即xA＝1，代入抛物线方程可得＝4，即yA＝±2，所以点A（1，2）或A（1，－2），故C正确；由抛物线方程可知，焦点到准线的距离为p＝2，故D错误，故选A、C. 7.3　解析：由题意得m＋1＝22，解得m＝3. 8.（－6，6）或（－6，－6）　解析：由方程y2＝－12x，知焦点F（－3，0），准线l：x＝3.设所求点为P（x，y），则由定义知｜PF｜＝3－x.又｜PF｜＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.所以所求点的坐标为（－6，6）或（－6，－6）. 9.y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0） 解析：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，由于点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合题意；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F（1，0）与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）. 10.解：（1）双曲线方程可化为－＝1，左顶点为（－3，0）， 由题意设抛物线方程为y2＝－2px（p＞0）且＝－3， ∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x. （2）设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），A（m，－3）， 由抛物线定义得5＝｜AF｜＝｜m＋｜. 又（－3）2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9， 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 11.A　因为∠MFO＝120°，所以∠FMN＝60°.又M是抛物线C上一点，所以｜FM｜＝｜MN｜，则△FMN是等边三角形.又△FMN的周长为12，所以｜NF｜＝＝4，故选A. 12.ACD　对于A，抛物线的准线方程为x＝－＝－1，故A正确；对于B，设P（x0，y0），则x0≥0，＝4x0，F（1，0），则｜PF｜＝＝x0＋1≥1，当x0＝0时取得最小值，此时P（0，0）在原点，故B错误；对于C，A在抛物线外部，故当P，A，F三点共线时｜PA｜＋｜PF｜取得最小值，为｜AF｜＝＝，故C正确； 对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，设P（m，n），线段PF的中点为B（x1，y1），可得x1＝（1＋m），由抛物线的定义，得｜PF｜＝｜PQ｜＝m＋1，∴x1＝｜PF｜，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选A、C、D. 13.8　解析：如图，设准线l与x轴交于点E，∠AFE＝60°，因为F（2，0），所以E（－2，0），则＝tan 60°，即｜AE｜＝4，所以点P的坐标为（6，4），故｜PF｜＝｜PA｜＝6＋2＝8. 14.解：（1）设M（xM，yM），N（xN，yN），由抛物线的定义，得｜AM｜＋｜AN｜＝xM＋xN＋2a. 又圆的方程为[x－（a＋4）]2＋y2＝16， 将y2＝4ax代入，得x2－2（4－a）x＋a2＋8a＝0， ∴xM＋xN＝2（4－a），∴｜AM｜＋｜AN｜＝8. （2）不存在.理由如下： 假设存在这样的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜.过点P作PP'垂直抛物线的准线，垂足为P'（图略）. ∵｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，∴｜AP｜＝｜PP'｜. 由抛物线的定义知点P必在抛物线上， 这与点P是线段MN的中点矛盾， ∴这样的a不存在. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $