1.1.5 两条直线的交点坐标-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 1．5　两条直线的交点坐标 知识点一　两条直线的交点问题 1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　) A．(4，1) B．(1，4) C． D． 答案　C 解析　由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是． 2．如果直线l1：4ax＋y＋2＝0与直线l2：(1－3a)x＋y－2＝0相交，交点的纵坐标为8，则a的值为(　　) A． B．－ C．－ D． 答案　A 解析　由方程组解得由题意知＝8，即a＝． 3．经过直线l1：x＋3y－2＝0与直线l2：x－y－2＝0的交点，且与直线l3：2x－5y＋4＝0垂直的直线l的方程是________． 答案　y＝－x＋5 解析　解法一：由方程组得即直线l1与l2的交点坐标为(2，0)，∵l⊥l3，l3的斜率为，∴kl＝－，又直线l经过点(2，0)，∴直线l的方程是y＝－(x－2)，即y＝－x＋5． 解法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，∴可设直线l的方程为x＋3y－2＋λ(x－y－2)＝0，即(λ＋1)x＋(3－λ)y－2－2λ＝0，∵l⊥l3，∴2(λ＋1)－5(3－λ)＝0，∴λ＝，∴直线l的方程是y＝－x＋5． 4．分别判断下列直线是否相交．若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3． 解　(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2． 5．若直线l1：ax＋y－4＝0与直线l2：x－y－2＝0的交点位于第一象限，求实数a的取值范围． 解　当a＝－1时，l1：x－y＋4＝0，此时l1∥l2，不满足题意； 当a≠－1时，解方程组 得 由题知 解得－1<a<2，即实数a的取值范围为(－1，2)． 知识点二　过定点的直线系问题 6．若非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线＋＝1恒过一定点，则定点坐标为(　　) A． B．(1，3) C．(－3，－2) D． 答案　A 解析　∵非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，∴＝＋．∵＋＝1，∴＋y＝1，∴6x＋(a＋1)y＝3a，∴(6x＋y)＋a(y－3)＝0．由解得∴定点坐标为． 7．设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P．线段AB的中点为Q，求|PQ|的值． 解　由于直线x＋my－m＝0经过的定点为(0，1)，所以A(0，1)， 直线mx－y－m＋3＝0变形为m(x－1)－y＋3＝0， 所以经过定点(1，3)，故B(1，3)， 且两直线垂直，因此△ABP为直角三角形， 所以|PQ|＝|AB|＝＝． 一、选择题 1．设A＝{(x，y)|x＋y－4＝0}，B＝{(x，y)|2x－y－5＝0}，则A∩B＝(　　) A．{1，3} B．{(1，3)} C．{(3，1)} D．∅ 答案　C 解析　由得故A∩B＝{(3，1)}． 2．过两条直线l1：x－3y＋4＝0与l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 答案　D 解析　过两条直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0． 3．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　) A．－24 B．6 C．±6 D．以上都不对 答案　C 解析　联立两条直线的方程，得解得x＝．∵两直线的交点在y轴上，∴＝0，∴k＝±6(经检验知符合题意)．故选C． 4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过的定点是(　　) A．(2，3) B．(－2，3) C． D．(－2，0) 答案　B 解析　直线方程可化为(x＋2)a－x－y＋1＝0，由题意得解得故选B． 5．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　当k＝－时，两直线平行，无交点，不符合题意，故k≠－．由得则两直线的交点为，依题意得解得k>，所以直线l的倾斜角的取值范围是． 二、填空题 6．已知A＝{(x，y)|2x－y－1＝0}，B＝{(x，y)|x＋3y－11＝0}，C＝{(x，y)|y＝3x＋b}，若(A∩B)⊆C，则b＝________． 答案　－3 解析　A∩B＝＝{(2，3)}，把(2，3)代入y＝3x＋b，得b＝－3． 7．过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于直线l3：x＋2y－5＝0的直线方程为______________． 答案　8x＋16y＋21＝0 解析　由得交点坐标为．又直线l3的斜率为－，所以所求直线的方程为y＋＝－，即8x＋16y＋21＝0． 8．直线l和两条直线l1：x－3y＋10＝0及l2：2x＋y－8＝0都相交，且以这两个交点为端点的线段的中点是P(0，1)，则直线l的方程是__________，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为________． 答案　x＋4y－4＝0　2 解析　由直线l和两条直线l1，l2均有交点，知这两个交点必分别在l1，l2上，设两交点坐标分别为A(3y1－10，y1)，B(x2，－2x2＋8)．∵线段AB的中点是P(0，1)，∴解得∴A，B两点的坐标分别为(－4，2)，(4，0)，∴过A，B的直线方程为x＋4y－4＝0．令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝4，故直线l与坐标轴围成的三角形的面积为×4×1＝2． 三、解答题 9．若光线沿直线7x－y－3＝0入射到直线2x－y＋2＝0后反射，求反射光线所在直线的方程． 解　由得 即直线7x－y－3＝0与直线2x－y＋2＝0的交点为N(1，4)． 在直线7x－y－3＝0上取点H(0，－3)， 设点H(0，－3)关于2x－y＋2＝0的对称点为H′(m，n)， 则 解得即H′(－4，－1)． 因为kNH′＝＝1，所以反射光线所在直线的方程为y＝x＋3． 10．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0． (1)若直线l1，l2，l3交于一点，求实数m的值； (2)若直线l1，l2，l3不能围成三角形，求实数m的值． 解　(1)因为直线l1，l2，l3交于一点，所以l1与l2不平行．所以m≠4， 联立解得 所以l1与l2的交点为， 将该点代入直线l3的方程有2·－3m·－4＝0， 整理得3m2＋m－2＝0，解得m＝或－1． (2)因为l1，l2，l3不能围成三角形， ①当l1，l2，l3交于一点时，由(1)知m＝或－1； ②当l1∥l2时，4－m＝0，解得m＝4； ③当l1∥l3时，由题意得，－12m－2＝0，解得m＝－； ④当l2∥l3时，由题意得，－3m2－2＝0，无解． 所以实数m的值为－1，－，，4． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$