1.5.1 全称量词与存在量词(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版)

**基本信息** 聚焦全称与存在量词核心概念，通过分层题型构建"识别-转化-判断-应用"的完整方法链，强化符号意识与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念识别|3题（1,7,15(1)）|量词符号直接判断，日常语言与符号互化|从量词定义到命题表述，建立符号与语义的对应| |真假判断|5题（3,5,6,9,12）|全称命题证所有元素满足，存在命题找反例或实例|基于集合属性与命题结构，发展推理意识| |含参应用|4题（4,10,14,11）|分离参数结合最值分析，全称命题求最小值，存在命题求最大值|从静态判断到动态参数范围，体现模型观念|

1.5.1　全称量词与存在量词 （时间：60分钟　满分：101分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列命题中是存在量词命题的是（　　） A.∀x∈R，x2＞0 B.∃x∈R，x2≤0 C.平行四边形的对边平行 D.矩形的任一组对边相等 2.“关于x的不等式ax＋b＞0有解”等价于（　　） A.∃x∈R，使得ax＋b＞0成立 B.∃x∈R，使得ax＋b≤0成立 C.∀x∈R，ax＋b＞0成立 D.∀x∈R，ax＋b≤0成立 3.下列四个命题中，是真命题的为（　　） A.任意x∈R，有x2＋3＜0 B.任意x∈N，有x2＞1 C.存在x∈Z，使x5＜1 D.存在x∈Q，使x2＝3 4.已知命题p：存在实数2≤x≤4，使2x＋5－m＜0成立，若命题p为真命题，则实数m的取值范围为（　　） A.m＞9 B.m＞13 C.m＞10 D.m＜－12 5.〔多选〕下列命题中是真命题的是（　　） A.∀x∈R，｜x＋1｜＞0 B.∀x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0 C.∃x∈N，使≤x D.不存在x∈N*，使x为29的约数 6.〔多选〕下列命题是真命题的有（　　） A.所有平行四边形的对角线都互相平分 B.若x，y是无理数，则xy一定是有理数 C.若m＜1，则关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根 D.两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比 7.命题“有些负实数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“∃”或“∀”可表述为　　　　. 8.若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是　　　　. 9.（10分）用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假： （1）有理数都能写成小数形式； （2）不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根； （3）存在一个实数x，使x2＋x＋4＝0. 10.（13分）已知M＝{x｜a≤x≤a＋1}. （1）“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围； （2）“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围. 11.已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的集合M是（　　） A.{a｜a≥－3} B.{a｜a＞－3} C.{a｜a≤－3} D.{a｜a＜－3} 12.〔多选〕下列命题中是真命题的是（　　） A.∃x∈R，x≤0 B.至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C.∃x∈{x｜x是无理数}，x＋2 026是无理数 D.∃a，b∈R，使得a2＋b2－2a－2b＋2＜0 13.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的一组有序数对（a，b）为　　　　. 14.已知命题p：∀x∈{x｜1≤x≤2}，x＋1≥a，命题q：∃x∈{x｜－1≤x≤1}，使得2x＋a－1＞0成立.若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为　　　　. 15.（15分）设q（x）：｜x－1｜＝1－x. （1）写出q（1），q（2），并判断它们是不是真命题； （2）写出“∀a∈R，q（a）”，并判断它是不是真命题； （3）写出“∃a∈R，q（a）”，并判断它是不是真命题. 1.5.1　全称量词与存在量词 1.B　2.A　3.C　4.A　5.BC 6.AD　易知A是真命题；当x＝，y＝时，xy＝，是无理数，所以B是假命题；由关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根，得解得0＜m＜1，所以C是假命题；两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比，所以D是真命题.故选A、D. 7.∃x＜0，（1＋x）（1－9x）＞0 解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述. 8.{a｜a≤3}　解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3. 9.解：（1）∀a∈Q，a都能写成小数形式.此命题是真命题. （2）∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根. 当m＝－1时，方程无实根，此命题是假命题. （3）∃x∈R，x2＋x＋4＝0.因为x2＋x＋4＝（x＋）2＋＞0恒成立，所以此命题是假命题. 10.解：（1）“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1， 所以实数a的取值范围是{a｜a＞－1}. （2）“∃x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2， 所以实数a的取值范围是{a｜a＞－2}. 11.D　因为x＋3≥0，所以A＝{x｜x≥－3}.又因为对∀a∈M，都有a∉A，所以a＜－3.故选D. 12.ABC　∃x∈R，x≤0，A为真命题；至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如1满足条件，B为真命题；∃x∈{x｜x是无理数}，x＋2 026是无理数，例如x＝π，C为真命题；因为a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，所以D为假命题.综上可得，A、B、C为真命题. 13.（，）（答案不唯一） 解析：由题意可知（，），（，），（，）等等都符合题意. 14.{a｜a≤－1}　解析：当p是真命题时，a≤（x＋1）min，又1≤x≤2，所以a≤2.当q为真命题时，则a＞（1－2x）min，由－1≤x≤1，得a＞－1.故当p真q假时，有得a≤－1. 15.解：（1）q（1）：｜1－1｜＝1－1，真命题. q（2）：｜2－1｜＝1－2，因为｜2－1｜＝1，1－2＝－1，所以｜2－1｜≠1－2，假命题. （2）∀a∈R，｜a－1｜＝1－a，由（1）知，q（2）为假命题，所以“∀a∈R，｜a－1｜＝1－a”为假命题. （3）∃a∈R，｜a－1｜＝1－a，由（1）知，q（1）为真命题，所以“∃a∈R，｜a－1｜＝1－a”为真命题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $