专题02 有理数的11种运算技巧专项训练（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 以“先观察、再动笔”为核心，系统归纳11种有理数运算技巧，构建从基础到进阶的方法体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心思想|强调运算顺序与符号判断，奠定技巧应用基础|以有理数运算本质为起点，提炼“观察-简化-检验”通用流程| |11种题型精讲|每题型1典例+3-4变式|涵盖凑整、同号归类、裂项相消等技巧，明确特征、方法及易错点|从数的特征（如凑整、同分母）到运算律（分配律逆用），再到高阶技巧（倒序相加、错位相减），层层递进| |压轴挑战|10道综合题|融合多技巧综合应用，突出数形结合与转化思想|对接中考命题趋势，强化知识迁移与复杂问题解决能力|

专题02 有理数的11种运算技巧专项训练 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、凑整法 1 类型二、同号/同分母归类法 2 类型三、相互转化法 3 类型四、拆项法 4 类型五、乘法分配律及其逆用 6 类型六、倒数法 7 类型七、裂项相消法 9 类型八、k进制与十进制的相互转化 10 类型九、数形结合法 14 类型十、倒叙相加法 16 类型十一、错位相减法 18 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 有理数运算是初中数学计算板块的入门基石，期中期末必考。命题由单一运算逐步过渡到混合运算，单纯按顺序计算往往步骤繁琐且容易出错。本专题归纳 11 种高频运算技巧，核心思想是 "先观察、再动笔"，通过合理分组、凑整、拆分、运用运算律等手段简化计算过程，降低出错率。解题时要牢记运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内。所有技巧都建立在准确判断符号的基础上，计算完成务必回代检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、凑整法 典例精讲1（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 题型归纳 1.特征：题目中的数接近整数、整十、整百，或几个数相加可以凑成整数，如 99 加 1、1.98 加 0.02 等. 2.方法：利用加法交换律和结合律，将能凑成整数的数优先结合相加；对于接近整数的数，可以拆成整数与一个较小数的和或差，再进行计算 3.易错提醒：凑整时注意数的符号，负数凑整时符号容易出错；拆数后要保证与原数相等，不能改变数值大小；凑整后剩余的零头不要忘记计算 变式训练1（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 变式训练2（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 变式训练3（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算： 变式训练4（24-25七年级上·全国·随堂练习）利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． (1)； (2)． 类型二、同号/同分母归类法 典例精讲2（25-26七年级上·全国·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型归纳 1.特征：题目中多个加数有正有负，或含有多个分数且部分分母相同，直接按顺序计算符号切换频繁、通分繁琐 2.方法：利用加法交换律和结合律，将所有正数结合在一起相加，所有负数结合在一起相加；将分母相同的分数优先结合相加，避免通分。整数和整数结合，分数和分数结合 3.易错提醒：移动数时必须连同前面的符号一起移动；负数相加时不要漏写负号；同分母分数相加时分子相加减，分母不变，结果要约成最简分数 变式训练1（22-23六年级下·上海·期中）计算：． 变式训练2（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 变式训练3（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2) ． 变式训练4（25-26七年级上·全国·阶段检测）（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值． （2）阅读并解决问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ①计算过程中，第一步把原式化成 的形式，体现了数学的 思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律 ．    ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 类型三、相互转化法 典例精讲3（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1)； (2)． 题型归纳 1.特征：题目中同时含有小数、分数、百分数，或加减混合、乘除混合，形式不统一导致计算不便 2.方法：根据题目特点灵活转化：小数化分数、分数化小数、百分数化小数或分数；减法统一转化为加法，除法统一转化为乘法，使运算形式统一后再计算 3.易错提醒：小数与分数互化时要准确，常见分数与小数的对应值要记牢；减法转加法、除法转乘法时符号和倒数不要出错；转化后要保持数值不变 变式训练1（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 变式训练2（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 变式训练3（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 变式训练4（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：． 类型四、拆项法 典例精讲4阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：. 解：原式： 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算的值． 题型归纳 1.特征：题目中含有带分数，或接近整数的数（如 99、101、负 9.9 等），直接计算较繁琐 2.方法：将带分数拆成整数部分加分数部分，如三又二分之一拆成 3 加二分之一；将接近整数的数拆成整数与一个较小数的和或差，如 99 拆成 100 减 1，再利用分配律或结合律计算 3.易错提醒：带分数拆分后整数部分和分数部分同号，如负三又二分之一应拆成负 3 加负二分之一，而不是负 3 加二分之一；拆项后各项都要参与运算，不要漏乘 变式训练1（25-26六年级上·上海·单元复习）用拆项法计算 (1)； (2)． 变式训练2（25-26七年级上·河北保定·期末）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 变式训练3（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读材料． 对于可以按如下方式计算： 原式 ________ ________ ________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算：． 变式训练4（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 类型五、乘法分配律及其逆用 典例精讲5（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）用简便方法计算 (1) (2) 题型归纳 1.特征：题目形式为一个数乘几个数的和或差，或几项乘法运算含有相同的因数（包括分数、小数），形如 a 乘 b 加 a 乘 c 2.方法：正向运用：将括号外的数分别与括号内的每一项相乘，再将所得的积相加或相减，避免先算括号内通分的麻烦。逆向运用：提取公因数，将剩余的数放在括号内相加或相减，先算括号内的和差，再与公因数相乘 3.易错提醒：正向运用时括号外的数要乘遍括号内的每一项，不要漏乘，注意括号内各项的符号；逆向运用时准确找出公因数，某项全部提取后剩余 1，不要写成 0 变式训练1（25-26七年级上·全国·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4)． 变式训练2（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 变式训练3（25-26七年级上·全国·阶段检测）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式训练4（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：． 类型六、倒数法 典例精讲6（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 题型归纳 1.特征：题目中含有乘除混合运算，或一个数除以几个数的和，直接计算较复杂 2.方法：将所有除法统一转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数），再通过约分简化计算。对于一个数除以几个数的和这类题，可以先求其倒数，利用分配律计算后再取倒数 3.易错提醒：除法没有分配律，不能将被除数分别除以括号内各项再相加；求倒数法只适用于被除数是单个数的情况；倒数求错是常见错误，分数倒数分子分母颠倒 变式训练1（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 变式训练2（26-27七年级·全国·暑假作业）计算的值． 变式训练3（25-26六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 类型七、裂项相消法 典例精讲7（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 题型归纳 1.特征：题目是多个分数相加，分母为两个连续整数的乘积，或两个差相等的数的乘积， 2.方法：将每个分数拆成两个分数的差，拆分后中间项相互抵消，只剩首项和末项，大幅简化求和 3.易错提醒：拆分时注意系数，如 ；抵消后剩余的项要数清楚，不要漏项或多减；结果符号要正确 变式训练1（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算． ． 方法应用：试用“裂项—消项”法解下面各题： (1)； (2)． 变式训练2（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 变式训练3（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 类型八、k进制与十进制的相互转化 典例精讲8（25-26七年级上·河北承德·期中）综合与实践： 阅读材料：【材料1】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数：，记作：234（规定：当时，）； 七进制数：，记作：； 二进制数：记作：． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 【材料2】把一个十进制数转化为与其相等的二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上逆序排列，就是结果．同样的将十进制数化为与其相等的七进制数，可用“除以7取余数”的方法，再将余数从下向上逆序排列即可．如图： 【材料3】二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法：，，，； 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 解决问题： (1)若三进制数，四进制数，试比较a与b的大小关系并说明理由； (2)①将十进制数47转化成二进制数的值为 ； ②进位制数的加减法运算： ．（结果仍用二进制） 题型归纳 1.特征：题目涉及非十进制数（如二进制、八进制、十六进制）与十进制数之间的转换，常以新定义或阅读理解形式出现 2.方法：k 进制转十进制：从右往左，每一位数字依次乘 k 的 0 次方、k 的 1 次方、k 的 2 次方…… 再相加。十进制转 k 进制：除 k 取余法，即用十进制数不断除以 k，记录余数，直到商为 0，将余数从下往上排列即为 k 进制数 3.易错提醒：k 进制数的每一位数字都必须小于 k，如二进制只能出现 0 和 1；k 进制转十进制时次方从 0 开始，不要从 1 开始；十进制转 k 进制时余数要从下往上读，不要从上往下 变式训练1（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，进制就是逢进一，为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．进制的数转化为十进制的数的方法是：若进制表示的数为，则转换为十进制数的过程为（规定当时，）． 根据你所学的知识，完成以下问题： (1)通过计算，把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ①；    ②． (2)已知二进制数，请计算出的十进制表示的数，并直接写出s的值（要求写成二进制表示的数）． (3)通过计算，请把转换成十二进制的数． 变式训练2（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位，进制表示的数中，右起第一位上的表示，第二位上的表示，第三位上的表示，第四位上的表示．故，其中． 例如：；转化为十进制的数，转化为十进制的数（注意：对于任何非零数都有，即）． 结合以上材料，解决下列问题： (1)把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）． ___________，___________； (2)《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满个，则此绳子左边的绳子打个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满进得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数，她一共采集到的野果数量为___________个； (3)如果五进制三位数，与八进制两位数，分别转化为十进制表示的数，则两数和为，求出满足条件的的值． 变式训练3（2025七年级上·广东江门·专题练习）进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法．十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推，进制就是逢进一．为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成类比于十进制，我们可以知道：进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示，故，如：，．根据材料，完成问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：___________； (2)若一个五进制三位数与八进制三位数之和能被13整除（、为1到5之间的整数），求的值； (3)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断与是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由． 变式训练4（25-26七年级上·福建福州·期中）对于任何一种进制——X进制，运算时是逢X进一，十进制是逢十进一、二进制是逢二进一，以此类推进制就是逢X进一.为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成． X进制的数转化为十进制数的方法： 例如：，． 根据材料，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：______，______； (2)一个四进制三位数与一个五进制三位数之和能被6整除均为正整数，求a的值； (3)已知七进制数与六进制数之差为292，请判断能否找到符合条件的和．若能，求出和的值；若不能，请说明理由． 类型九、数形结合法 典例精讲9（24-25七年级上·河北保定·期中）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． 【规律探索】如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则 ； 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则 ； 依此类推，如图3，_________； 如图4，_________； … _________． 【规律应用】计算的值． 【方法迁移】类比以上问题的探究思路，_________． 题型归纳 1.特征：题目涉及有理数的大小比较、绝对值的几何意义、数轴上的距离等问题，单纯代数计算较抽象 2.方法：借助数轴，将有理数对应到数轴上的点，利用位置关系比较大小；利用绝对值的几何意义（点到原点的距离）解决绝对值求和、最值问题 变式训练1（24-25七年级上·北京·期中）有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； (2)如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 变式训练2（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． (1)《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的棍棒，每日取它的一半，永远也截不完，如果将一根一尺长的棍棒看成单位“1”，每天截取一半，截取5次，则截取的棍棒总长度是多少？ (2)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则；以此类推，如图3，；…… ①__________． ②应用：计算． 变式训练3（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，老师拿出如图1所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求解答下列问题： (1)老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为，6，．请将这三个数对应的点标在如图2所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用点A，B，C表示． (2)在（1）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． (3)①请任选其中的两张卡片，将卡片上的数字相乘，结果记作P，则P的最大值比P的最小值大多少？ ②用这四张卡片上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 点到点的距离为6个单位长度； 类型十、倒叙相加法 典例精讲10（26-27七年级上·全国·课后作业）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 题型归纳 1.特征：题目是一列有规律的数相加，首尾两项之和相等，如 1 加 2 加 3 一直加到 100，或等差数列求和 2.方法：将算式正序写一遍，再倒序写一遍，两式对应项相加，每对的和都相等，用项数乘每对的和再除以 2，即可得到原式的结果 3.易错提醒：准确判断项数，项数等于末项减首项的差除以公差再加 1；每对的和要计算正确；最后不要忘记除以 2，因为两式相加是原式的 2 倍 变式训练1（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 变式训练2（20-21六年级上·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设S＝1+2+3+…+100， ① 则S＝100+99+98+…+1．② ①+②，得（即左右两边分别相加）： 2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101． 所以，S＝． 所以，1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： (1)计算：1+2+3+…+101； (2)猜想：1+2+3+…+n＝　　； (3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000． 类型十一、错位相减法 典例精讲11（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 题型归纳 1.特征：题目是一列等比数列求和，即后一项与前一项的比值固定 2.方法：设原式为 S，将 S 的每一项都乘公比 q，得到 qS，两式错位相减，中间相同的项相互抵消，得到关于 S 的方程，解出 S 即可 3.易错提醒：乘公比后要错位对齐，确保相同指数的项相减；相减后首项和末项不要漏；解出 S 后注意系数不要除错，公比为负数时符号容易出错 变式训练1（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设①， 则②， 用②①得.， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 变式训练2（23-24七年级上·山东济南·期中）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设① 则② 用②-①得， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：（_______），（_______）． (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_______粒米．（用幂表示） ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 变式训练3（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 变式训练4（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（专题01有理数的加法（计算题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册）计算：． 2．（第二章有理数及其运算考点小卷-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学全程时习测试卷（北师大版2024））计算：． 3．（广西大学附属中学2024-2025学年七年级上学期开学考试数学试卷（A卷））用简便的方法计算：． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ②   ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)计算：； (4)请借助甲，乙同学的方法，求出的值． 5．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 6．（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 7．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）【探究学习】二进制数和十进制数之间的相互转换． 探究1：把十进制数46改写成二进制数． 方法：把十进制数46改写成二进制数，用这个十进制数46连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来（如图），这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． 所以十进制数46转换成二进制数为，（注：二进制数通常在数的右下角标明基数2） 探究2：把二进制数改写成十进制数． 方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） (1)【问题解决】 ①将二进制数转换成十进制数为：__________； ②将十进制数532转换成八进制数为：__________； (2)【拓展应用】现有三进制数，四进制数，试比较，的大小． 8．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）阅读与思考 下面是七年级某同学课外学习笔记本节选，请仔细阅读并完成相应的任务． 求（n为正整数）的方法 方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除2 ． 可得，即： 方法2：“递归法” 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况： ；；；… ． 两边分别相加可得，． ． 试根据这些结果与方法，完成下列任务： 任务1 计算：____________． 任务2 我们知道：；；；… 请求的值． 任务3 若（n为正整数）； 试计算：． 9．（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 10．（25-26七年级上·甘肃天水·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的11种运算技巧专项训练 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、凑整法 2 类型二、同号/同分母归类法 2 类型三、相互转化法 9 类型四、拆项法 13 类型五、乘法分配律及其逆用 18 类型六、倒数法 22 类型七、裂项相消法 26 类型八、k进制与十进制的相互转化 32 类型九、数形结合法 39 类型十、倒叙相加法 45 类型十一、错位相减法 49 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 有理数运算是初中数学计算板块的入门基石，期中期末必考。命题由单一运算逐步过渡到混合运算，单纯按顺序计算往往步骤繁琐且容易出错。本专题归纳 11 种高频运算技巧，核心思想是 "先观察、再动笔"，通过合理分组、凑整、拆分、运用运算律等手段简化计算过程，降低出错率。解题时要牢记运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内。所有技巧都建立在准确判断符号的基础上，计算完成务必回代检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、凑整法 典例精讲1（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 【答案】0 【分析】运用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】观察发现和可以凑成整数，两个可以凑成， 原式． 题型归纳 1.特征：题目中的数接近整数、整十、整百，或几个数相加可以凑成整数，如 99 加 1、1.98 加 0.02 等. 2.方法：利用加法交换律和结合律，将能凑成整数的数优先结合相加；对于接近整数的数，可以拆成整数与一个较小数的和或差，再进行计算 3.易错提醒：凑整时注意数的符号，负数凑整时符号容易出错；拆数后要保证与原数相等，不能改变数值大小；凑整后剩余的零头不要忘记计算 变式训练1（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 变式训练2（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算及绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握有理数加减运算法则，先化简符号或去绝对值再计算． （1）先将减法化为加法，再合并同类项计算；（2）先去绝对值，再合并同类项计算；（3）直接按顺序进行加减运算；（4）先化简符号，再利用加法结合律简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 变式训练3（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算： 【答案】1 【分析】根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】解： ． 变式训练4（24-25七年级上·全国·随堂练习）利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1.9 【分析】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算． （1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果； （2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果． 【详解】（1） ； （2） ． 类型二、同号/同分母归类法 典例精讲2（25-26七年级上·全国·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是掌握有理数的加减混合运算． （1）先写成省略加号的和式，再计算； （2）先写成省略加号的和式，再计算； （3）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可； （4）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型归纳 1.特征：题目中多个加数有正有负，或含有多个分数且部分分母相同，直接按顺序计算符号切换频繁、通分繁琐 2.方法：利用加法交换律和结合律，将所有正数结合在一起相加，所有负数结合在一起相加；将分母相同的分数优先结合相加，避免通分。整数和整数结合，分数和分数结合 3.易错提醒：移动数时必须连同前面的符号一起移动；负数相加时不要漏写负号；同分母分数相加时分子相加减，分母不变，结果要约成最简分数 变式训练1（22-23六年级下·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】把减法转化为加法，再利用加法交换律与结合律将同分母分数结合，计算即可． 【详解】解： ． 变式训练2（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查有理数加减法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加法即可； （2）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加减法． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式训练3（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的加减混合运算的法则和加法的运算律. （1）利用有理数的加法交换律，将同分母的分数做加减法运算，最后再相加. （2）根据有理数的加减混合运算法则先将算式统一成加法，再利用加法的交换律进行运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式训练4（25-26七年级上·全国·阶段检测）（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值． （2）阅读并解决问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ①计算过程中，第一步把原式化成 的形式，体现了数学的 思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律 ．    ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 【答案】（1）；（2）①省略加号和括号，转化，交换律和结合律；② 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算． （1）根据题意先求出的值，再计算即可； （2）①根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得答案； ②仿照题意利用加法的交换律和结合律简便计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）①计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学的转化思想，为了计算简便，第二步应用了加法的交换律和结合律． 故答案为：省略加号和括号，转化，交换律和结合律； ② ． 类型三、相互转化法 典例精讲3（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型归纳 1.特征：题目中同时含有小数、分数、百分数，或加减混合、乘除混合，形式不统一导致计算不便 2.方法：根据题目特点灵活转化：小数化分数、分数化小数、百分数化小数或分数；减法统一转化为加法，除法统一转化为乘法，使运算形式统一后再计算 3.易错提醒：小数与分数互化时要准确，常见分数与小数的对应值要记牢；减法转加法、除法转乘法时符号和倒数不要出错；转化后要保持数值不变 变式训练1（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的加减法的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键， （1）将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案； （2）利用实数的运算法则，先算括号里面的，再计算即可得到答案； （3）先去括号，再将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式训练2（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2)1 (3)0 【分析】（1）利用加法结合律将同分母的分数先计算，即可实现简便计算； （2）将带分数和带分数计算，小数与小数计算，即可实现简便计算； （3）将转化为，可先用乘法分配律计算，即可实现简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 变式训练3（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)-46 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的加减混合运算的法则和加法的运算律. （1）先将小数化成分数，利用有理数的加法交换律，将同分母的分数做加减法运算，最后再相加. （2）先求绝对值，利用有理数的加法交换律，将同分母的分数做加减法运算，整数做加法运算，最后再相加. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 变式训练4（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，根据有理数的加、减运算法则，加法运算律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 类型四、拆项法 典例精讲4阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：. 解：原式： 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算的值． 【答案】 【分析】根据题意，将带分数拆成成整数部分和分数部分的和，然后整数部分相加减，分数部分相加减，分别计算即可. 【详解】解：原式= = = = =. 故答案为：. 【点睛】本题考查了有理数的加、减法混合运算，关键是要学会将一个带分数拆成整数部分和分数部分分别进行计算. 题型归纳 1.特征：题目中含有带分数，或接近整数的数（如 99、101、负 9.9 等），直接计算较繁琐 2.方法：将带分数拆成整数部分加分数部分，如三又二分之一拆成 3 加二分之一；将接近整数的数拆成整数与一个较小数的和或差，如 99 拆成 100 减 1，再利用分配律或结合律计算 3.易错提醒：带分数拆分后整数部分和分数部分同号，如负三又二分之一应拆成负 3 加负二分之一，而不是负 3 加二分之一；拆项后各项都要参与运算，不要漏乘 变式训练1（25-26六年级上·上海·单元复习）用拆项法计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 变式训练2（25-26七年级上·河北保定·期末）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法运算律，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据乘法对加法的分配律进行求解即可； （2）利用拆项法和乘法对加法的分配律，进行计算即可． 【详解】（1）解：她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：C； （2）解： ． 变式训练3（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读材料． 对于可以按如下方式计算： 原式 ________ ________ ________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）原式 ． （2） ． 变式训练4（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 类型五、乘法分配律及其逆用 典例精讲5（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）用简便方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先将除法化为乘法，再利用乘法分配律简便计算即可； （2）先利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型归纳 1.特征：题目形式为一个数乘几个数的和或差，或几项乘法运算含有相同的因数（包括分数、小数），形如 a 乘 b 加 a 乘 c 2.方法：正向运用：将括号外的数分别与括号内的每一项相乘，再将所得的积相加或相减，避免先算括号内通分的麻烦。逆向运用：提取公因数，将剩余的数放在括号内相加或相减，先算括号内的和差，再与公因数相乘 3.易错提醒：正向运用时括号外的数要乘遍括号内的每一项，不要漏乘，注意括号内各项的符号；逆向运用时准确找出公因数，某项全部提取后剩余 1，不要写成 0 变式训练1（25-26七年级上·全国·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数乘法的简便运算． （1）先分别计算和，再计算乘法即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先将化为，再根据乘法分配律计算即可； （4）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）解： ； （4）解： ． 变式训练2（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可； （2）把原式化为，然后运用乘法分配律解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式训练3（25-26七年级上·全国·阶段检测）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的简便运算，解题的关键是灵活运用乘法分配律、加法交换律与结合律、乘法交换律与结合律，以及拆分带分数简化计算． （1）利用乘法分配律，将括号内各项分别与相乘再求和； （2）将带分数拆分为整数与分数的和，再用乘法分配律计算； （3）拆分带分数为整数和分数部分，分别对整数和分数运用加法交换律与结合律凑整计算； （4）运用乘法交换律与结合律，将便于计算的数结合相乘． 【详解】（1）原式； （2）原式． （3）原式 ． （4）解：原式； 变式训练4（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】42 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，乘法分配律的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．把原式化为，再进一步的利用分配律进行简便运算即可． 【详解】解： ． 类型六、倒数法 典例精讲6（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 【答案】(1) (2)1 (3)． 【分析】本题主要考查了倒数的定义和运用，有理数的四则混合运算等知识． （1）利用倒数的定义即可得出答案； （2）利用倒数的定义即可得出答案； （3）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：a的倒数为：； （2）解：若a、b互为倒数，则； （3）解：的倒数为：， ， ∴． 题型归纳 1.特征：题目中含有乘除混合运算，或一个数除以几个数的和，直接计算较复杂 2.方法：将所有除法统一转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数），再通过约分简化计算。对于一个数除以几个数的和这类题，可以先求其倒数，利用分配律计算后再取倒数 3.易错提醒：除法没有分配律，不能将被除数分别除以括号内各项再相加；求倒数法只适用于被除数是单个数的情况；倒数求错是常见错误，分数倒数分子分母颠倒 变式训练1（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 【答案】(1) 喜欢张明的解法． 理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，所以更喜欢张明的解法； (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意计算原式的倒数，先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：原式的倒数 ， ∴． 变式训练2（26-27七年级·全国·暑假作业）计算的值． 【答案】 【分析】利用有理数乘法分配律求出的结果，即可求解． 【详解】解： 所以原式 变式训练3（25-26六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【答案】(1)乙、丙；甲； (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． 类型七、裂项相消法 典例精讲7（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）利用裂项法解答即可求解； （）把算式转化为，再利用裂项法解答即可求解； （）用裂项的方法变形为，进而计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ； （） ． 题型归纳 1.特征：题目是多个分数相加，分母为两个连续整数的乘积，或两个差相等的数的乘积， 2.方法：将每个分数拆成两个分数的差，拆分后中间项相互抵消，只剩首项和末项，大幅简化求和 3.易错提醒：拆分时注意系数，如 ；抵消后剩余的项要数清楚，不要漏项或多减；结果符号要正确 变式训练1（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算． ． 方法应用：试用“裂项—消项”法解下面各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算； （2）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式训练2（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 变式训练3（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律展开计算即可求出答案； （3）根据规律，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 类型八、k进制与十进制的相互转化 典例精讲8（25-26七年级上·河北承德·期中）综合与实践： 阅读材料：【材料1】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数：，记作：234（规定：当时，）； 七进制数：，记作：； 二进制数：记作：． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 【材料2】把一个十进制数转化为与其相等的二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上逆序排列，就是结果．同样的将十进制数化为与其相等的七进制数，可用“除以7取余数”的方法，再将余数从下向上逆序排列即可．如图： 【材料3】二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法：，，，； 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 解决问题： (1)若三进制数，四进制数，试比较a与b的大小关系并说明理由； (2)①将十进制数47转化成二进制数的值为 ； ②进位制数的加减法运算： ．（结果仍用二进制） 【答案】(1) ，理由如下： ， ， ∵， ∴； (2)①；② 【分析】本题考查了进位制的转化，熟练掌握进位制转化的方法是解题的关键． （1）仿照材料，把3进制和4进制数字转化为十进制数，再比较大小，即可得到结果； （2）①仿照材料，把十进制转化为2进制，即可得到结果； ②对2进制数进行加减运算，即可得到结果． 【详解】（1）解：（1）略 （2）解：①； 故答案为：； ②根据二进制的加法法则可得：． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：题目涉及非十进制数（如二进制、八进制、十六进制）与十进制数之间的转换，常以新定义或阅读理解形式出现 2.方法：k 进制转十进制：从右往左，每一位数字依次乘 k 的 0 次方、k 的 1 次方、k 的 2 次方…… 再相加。十进制转 k 进制：除 k 取余法，即用十进制数不断除以 k，记录余数，直到商为 0，将余数从下往上排列即为 k 进制数 3.易错提醒：k 进制数的每一位数字都必须小于 k，如二进制只能出现 0 和 1；k 进制转十进制时次方从 0 开始，不要从 1 开始；十进制转 k 进制时余数要从下往上读，不要从上往下 变式训练1（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，进制就是逢进一，为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．进制的数转化为十进制的数的方法是：若进制表示的数为，则转换为十进制数的过程为（规定当时，）． 根据你所学的知识，完成以下问题： (1)通过计算，把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ①；    ②． (2)已知二进制数，请计算出的十进制表示的数，并直接写出s的值（要求写成二进制表示的数）． (3)通过计算，请把转换成十二进制的数． 【答案】(1)①；② (2)， (3) 【分析】（）根据十进制数的转换方法计算即可； （）根据十进制数的转换方法求出的值，进而再转化为二进制数即可； （）仿照十进制数的转换方法解答即可求解； 本题考查了进位制，有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， 又由（）知，， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ∴． 变式训练2（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位，进制表示的数中，右起第一位上的表示，第二位上的表示，第三位上的表示，第四位上的表示．故，其中． 例如：；转化为十进制的数，转化为十进制的数（注意：对于任何非零数都有，即）． 结合以上材料，解决下列问题： (1)把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）． ___________，___________； (2)《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满个，则此绳子左边的绳子打个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满进得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数，她一共采集到的野果数量为___________个； (3)如果五进制三位数，与八进制两位数，分别转化为十进制表示的数，则两数和为，求出满足条件的的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了不同进制数与十进制数的转化，熟练掌握进制数的位权规则是解答本题的关键． （1）利用进制数的位权表示方法，将二进制、五进制数转化为十进制数； （2）结合六进制“逢进”的规则确定六进制数，再通过位权展开转化为十进制数； （3）先将五进制、八进制数分别转化为十进制数，再根据两数和的条件列方程求解未知数． 【详解】（1）解：，； （2）解：写出这个六进制数字为； ， 她一共采集到的野果数量为个； （3）解：， ， ，此时满足条件的． 变式训练3（2025七年级上·广东江门·专题练习）进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法．十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推，进制就是逢进一．为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成类比于十进制，我们可以知道：进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示，故，如：，．根据材料，完成问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：___________； (2)若一个五进制三位数与八进制三位数之和能被13整除（、为1到5之间的整数），求的值； (3)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断与是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由． 【答案】(1)43 (2) (3) 解：与不互为“如意数”，理由如下： ， ， ∴， 令， ∴，且为的整数， ∴，， ∵，， ∴，，不符合题意， ∴与不互为“如意数”． 【分析】本题考查了数的整除性，十进制计算方法，理解新定义是解此题的关键． （1）根据题干所给的计算方法列式计算即可； （2）先表示出和，再求和，最后由和能被13整除计算即可得解； （3）先表示出与，再求和，最后结合“如意数”的定义即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∴， ∵一个五进制三位数与八进制三位数之和能被13整除， ∴能被13整除， ∵，且a为整数， ∴； （3）略 变式训练4（25-26七年级上·福建福州·期中）对于任何一种进制——X进制，运算时是逢X进一，十进制是逢十进一、二进制是逢二进一，以此类推进制就是逢X进一.为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成． X进制的数转化为十进制数的方法： 例如：，． 根据材料，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：______，______； (2)一个四进制三位数与一个五进制三位数之和能被6整除均为正整数，求a的值； (3)已知七进制数与六进制数之差为292，请判断能否找到符合条件的和．若能，求出和的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)21，11 (2) (3) 不能找到符合条件的m和，理由如下： 因为，， 所以， 整理得：， 即， ∵七进制中，为整数，六进制中，为整数， ∴代入n的可能值进行验证： 时，（非整数）； 时，（非整数）； 时，m的值均大于（超出了七进制的范围） 因此，不能找到符合条件的m和． 【分析】该题主要考查其它进制与十进制的转化、还考查了整式的加减的应用． （1）根据转化算法公式直接代入即可算出． （2）把这两个数都转化为十进制数求和，再根据和是6的整数倍的特征求解即可； （3）把两个数都转化为十进制数做差，再根据与之差为292列等式，再根据所得等式，进一步讨论m、n的值． 【详解】（1）解：因为， 故答案为：； ， 故答案为：； （2）解：因为四进制三位数， 五进制三位数， ∴能被6整除， ∵能被6整除，中能被6整除， ∴也能被6整除， ∵是的首位数字且为正整数， ∴． 当时，，能被6整除； 当时，，不能被6整除； 当时，，不能被6整除． 所以； （3）略 类型九、数形结合法 典例精讲9（24-25七年级上·河北保定·期中）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． 【规律探索】如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则 ； 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则 ； 依此类推，如图3，_________； 如图4，_________； … _________． 【规律应用】计算的值． 【方法迁移】类比以上问题的探究思路，_________． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律． （1）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解； （2）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解； （3）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：； （2）； （3）． 题型归纳 1.特征：题目涉及有理数的大小比较、绝对值的几何意义、数轴上的距离等问题，单纯代数计算较抽象 2.方法：借助数轴，将有理数对应到数轴上的点，利用位置关系比较大小；利用绝对值的几何意义（点到原点的距离）解决绝对值求和、最值问题 变式训练1（24-25七年级上·北京·期中）有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； (2)如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中数据计算即可作答； （2）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 【详解】（1）解：任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （2）将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 变式训练2（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． (1)《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的棍棒，每日取它的一半，永远也截不完，如果将一根一尺长的棍棒看成单位“1”，每天截取一半，截取5次，则截取的棍棒总长度是多少？ (2)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则；以此类推，如图3，；…… ①__________． ②应用：计算． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了数字类规律探索、有理数的乘方运算，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据题意列出运算式子，计算有理数的乘方与加法即可得； （2）①根据前面三个等式，归纳类推出一般规律即可得； ②将式子变形为，再利用（2）①的结论计算即可得． 【详解】（1）解： ， 答：截取的棍棒总长度是． （2）解：①， ， ， 归纳类推得：， 故答案为：； ② ． 变式训练3（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，老师拿出如图1所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求解答下列问题： (1)老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为，6，．请将这三个数对应的点标在如图2所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用点A，B，C表示． (2)在（1）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． (3)①请任选其中的两张卡片，将卡片上的数字相乘，结果记作P，则P的最大值比P的最小值大多少？ ②用这四张卡片上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 【答案】(1) 点对应，点对应，点对应6，如图所示： (2)0；6 (3)①200；②（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数轴的应用，解题的关键是读懂题意，正确地运算． （1）根据数轴上点对应的数，在数轴上标出A，B，C三点即可； （2）结合数轴上A点位置得到点位置和所对应的数，从而得到结果； （3）①根据有理数乘法运算法则求出P的最大值和最小值，即可得到结果； ②根据，，6，20四个数字按要求进行混合运算，使其结果为24即可． 【详解】（1）解： （2）解：以点为折点，将此数轴向右折叠，点落在数轴上的点处， 在数轴上对应数字0， ∵点对应6， 点到点的距离为6个单位长度； （3）解：①由题意可得P的最大值为：， 最小值为：， ， 即P的最大值比P的最小值大200． ②．（答案不唯一） 类型十、倒叙相加法 典例精讲10（26-27七年级上·全国·课后作业）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：题目是一列有规律的数相加，首尾两项之和相等，如 1 加 2 加 3 一直加到 100，或等差数列求和 2.方法：将算式正序写一遍，再倒序写一遍，两式对应项相加，每对的和都相等，用项数乘每对的和再除以 2，即可得到原式的结果 3.易错提醒：准确判断项数，项数等于末项减首项的差除以公差再加 1；每对的和要计算正确；最后不要忘记除以 2，因为两式相加是原式的 2 倍 变式训练1（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)500500 (2)15150 【分析】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可． （2）计算出和的值；． 【详解】（1）解：（1）设，① 则，② ①②得：， ， ； （2）设，① 则，② ①②得：， ， ． ． 变式训练2（20-21六年级上·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设S＝1+2+3+…+100， ① 则S＝100+99+98+…+1．② ①+②，得（即左右两边分别相加）： 2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101． 所以，S＝． 所以，1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： (1)计算：1+2+3+…+101； (2)猜想：1+2+3+…+n＝　　； (3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000． 【答案】(1)5151 (2) (3) 【分析】（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果； （3）根据（2）中结论即可得到结果． 【详解】（1）解：设S＝1+2+3+…+100+101① 则S＝101+100+…+3+2+1   ② ①+②，2S＝102+102+102+102+102+…+102＝101×102． 所以，S＝， 所以，1+2+3+…+100+101＝5151； （2）解：解：设S＝1+2+3+…+n① 则S＝n+…+3+2+1   ② ①+②，2S＝（n+1）+…+（n+1）＝（n+1）×n． 猜想：1+2+3+…+n＝， 故答案为：； （3）解：1001+1002…+2000=． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． 类型十一、错位相减法 典例精讲11（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给的错位相减法进行求解即可． 【详解】解：设①， 将等式两边同时乘以6得：②， 再将得：， 即． 题型归纳 1.特征：题目是一列等比数列求和，即后一项与前一项的比值固定 2.方法：设原式为 S，将 S 的每一项都乘公比 q，得到 qS，两式错位相减，中间相同的项相互抵消，得到关于 S 的方程，解出 S 即可 3.易错提醒：乘公比后要错位对齐，确保相同指数的项相减；相减后首项和末项不要漏；解出 S 后注意系数不要除错，公比为负数时符号容易出错 变式训练1（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设①， 则②， 用②①得.， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【答案】(1)9 (2)①；② 【分析】此题主要考查规律型：图形的变化类，有理数的混合运算，数学常识，列代数式，解答本题的关键是能准确理解并运用定义和同底数幂相乘运算法则进行求解． （1）根据材料一进行求解； （2）①由题意可得，第n个格放粒米进行求解； ②根据材料二中的方法进行求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：9； （2）解：①由题意得，第一格放的米粒数为； 第二格放的米粒数为； 第三格放的米粒数为； 第四格放的米粒数为； … 第n格放的米粒数为， 在第64格中应放粒米； 故答案为：； ②由题意得： ， 则， ， 即． 变式训练2（23-24七年级上·山东济南·期中）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设① 则② 用②-①得， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：（_______），（_______）． (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_______粒米．（用幂表示） ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【答案】(1)9；7 (2)①；② 【分析】本题考查了数字类规律探索，弄清材料中的求解方法是解题的关键． （1）根据材料一给出的方法进行求解即可； （2）①根据题意先确定出前几个格中每个格放的米粒数，从中发现规律即可得答案；②先列出式子，再根据材料二的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：9；7 （2）解：①第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……， 按这个方法第n格放， ∴在第64格中应放粒米； 故答案为： ②解：根据题意得：①， 则②， 用得，， 所以． 变式训练3（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3；243；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：3，243； （2），，， ， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ． 变式训练4（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． （1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以a，再错位相减求解 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）设， 则②， 得：， 所以， 即． （3）解：设①， 则②， ②−①得：， 所以， 即． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（专题01有理数的加法（计算题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．每一项裂项后，根据有理数的加减运算法则即可求解． 【详解】解： ． 2．（第二章有理数及其运算考点小卷-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学全程时习测试卷（北师大版2024））计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，利用有理数加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（广西大学附属中学2024-2025学年七年级上学期开学考试数学试卷（A卷））用简便的方法计算：． 【答案】111109 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则．根据有理数加法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ②   ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)计算：； (4)请借助甲，乙同学的方法，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）令，则，，计算求解即可； （4）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：令，则， ∴， ∴； （4）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 5．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可； （2）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 6．（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【答案】(1) 解：小云的方法不对， 正确做法： ； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算运算法则和运算顺序，运算律是解题的关键． （）小云的方法不对，根据有理数的混合运算的计算方法可以解答本题； （）根据小南的方法可以解答本题． 【详解】（1）略 （2）解： ． 7．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）【探究学习】二进制数和十进制数之间的相互转换． 探究1：把十进制数46改写成二进制数． 方法：把十进制数46改写成二进制数，用这个十进制数46连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来（如图），这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． 所以十进制数46转换成二进制数为，（注：二进制数通常在数的右下角标明基数2） 探究2：把二进制数改写成十进制数． 方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） (1)【问题解决】 ①将二进制数转换成十进制数为：__________； ②将十进制数532转换成八进制数为：__________； (2)【拓展应用】现有三进制数，四进制数，试比较，的大小． 【答案】(1)①23；② (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算． （1）①根据二进制的算法计算转化为十进制数． ②根据十进制的算法计算转化为八进制数． （2）把三进制数和四进制数转化成10进制数，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：① ②余4 余2 余0 余1． 故将十进制数532转换成八进制数为． （2）解： 即． 8．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）阅读与思考 下面是七年级某同学课外学习笔记本节选，请仔细阅读并完成相应的任务． 求（n为正整数）的方法 方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除2 ． 可得，即： 方法2：“递归法” 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况： ；；；… ． 两边分别相加可得，． ． 试根据这些结果与方法，完成下列任务： 任务1 计算：____________． 任务2 我们知道：；；；… 请求的值． 任务3 若（n为正整数）； 试计算：． 【答案】任务1：2550；任务2：；任务3： 【分析】本题考查了数字的变化规律、乘方，完全平方公式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，举一反三． 任务1：根据方法1：“头尾相加法”即可解答； 任务2：根据方法2，“递归法”，计算即可； 任务3：根据规律仿写并计算即可． 【详解】解：任务1：根据方法1可知： ， 故答案为：2550； 任务2：根据方法2：有： ； ； ；… ； 两边相加可得，， ； 任务3：（n为正整数） ，，，……，； ． 9．（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． （1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【详解】（1）解：原式的倒数为： ， ∴； （2）解： ． 10．（25-26七年级上·甘肃天水·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $