第二章 平面解析几何（单元分层自测·培优冲刺卷）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 高二数学平面解析几何单元培优卷，整合福建、上海等地期末真题，覆盖直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线核心知识，梯度设计合理，适配单元复习提升，培养几何直观与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线倾斜角（第2题）、椭圆离心率（第7题）|结合几何图形（第3题曲线与面积），考查直观想象| |多选题|3/15|双曲线渐近线（第10题）、圆锥截线（第11题）|关联数学史（阿波罗尼斯圆锥曲线），体现文化传承| |填空题|3/15|直线夹角（第12题）、光学性质应用（第14题）|创新设计激光反射情境，培养应用意识| |解答题|5/50|轨迹方程（第15题）、抛物线焦点（第17题）|综合考查逻辑推理（如第19题动圆与椭圆交点轨迹），适配高考命题趋势|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第二章平面解析几何·培优冲刺卷（参考答案） 一、 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 A B B A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 ABC ACD BCD 三、填空题（共3小题，共15分） 12.0或5 13.25 14.8 四、解答题（共5小题，共77分） 15.(13分) 【详解】()因为动圆M与圆G(x+5+y广=1外切，所以MC=r+1, 因为动圆M与圆G(x-+y广1内切，所以MC=r-1(>1), 所以MG-MC2,根据双曲线的定义，点M的轨迹为双曲线的右支，(3分) 且2a=2,2c=GG=25,所以a=l,e=5所以B=c2-d2=3-1=2, -=1(0205分) 所以圆心M的轨迹方程E为2 3 C22 4 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2、2 (②①白1)知，B的方程为-2，设46，州8(）， y=kx+m 由2x2-y2=2,消去y得，(k2-2x2+2kx+(m2+2)=0, △=(2m2-4(m2+2(k2-2）=8(m+2-K）)>0,且k≠±2， 2k+m=1 +五电M2为4B的中点，得2子，解得m清足A09分 所以直线1的方程为y=4x-7,即4x-y-7=0 -2km -m2+2 ②由0，+=k2-2=2-2·PA=(x+1,y),PB=(+1,) 则Pi-PB=(G+s+)+=(G+(5+1)+(低+ms+m） =g++(++++刂-(g+号++2g+m+刊 _3k2-2km-m2(3k+m)(k-m） k2-2 K2-2,由以AB为直径的圆恒过点P,得PAPB=0, 于是3k+m-m)=0,解得m=k或m=-3k,（1分) 当m=k时直线y=(+)过P10),不行合题忘， 当m=-3时，直线y=(x-3引过定点B,0, 所以直线1过定点，该定点坐标为3,0).(13分) 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(15分) 【详解】(1)对于双曲线C:x- 3l,a=1,6=5,c=Q+F=2: b 放双曲线C的渐近线方程为y=±。，即y=±W5x:(2分) ②黄msQa>0,由g套时5(20.50 则M派=（-2-%，-n,M派=(2-m,-)） 由=-，得2-m2-*(-=m-4+r=小.4分) 即m2+n2=3, 又M在双曲线 C:x2_2 、七之二12一3二1，顶则7—大 3, 31+2 结合m2+2=3,得T3 n2=3。m2=3 ,则”2，(6分) 6 n= 由于n>0,故"2， 买5=2太=，我45gm肠兮明4受-6分 2 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)设P%>0%>0),由00-20P知2x.2 六直股到+不有在则5=2.P0020,不得合，台 设直线'方程为：y=k(x-2) 与双曲线C:2-号1联立化简得(-3列r-4x+4秋+3=0， -3≠0△>0显然成立，设交点4，小B(6,) 4k2 由韦达定理：+石23二-3？〔9分1 由4B=205得5x4-)=20-2x,-2) 从而=2(2-2x)x1.即（-=16(，-，即(6+广-4x=16(6-. 422 将韦达定理代入k2-3 4×42+3-16(飞-1 k2-3 化简得+)=4(6-(-3（※），12分) 2y-= 因为 =k226-1,即%=k(6-), 由已知P(W)在双面线上，行3戏-6=3， 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k2=3坊-3-3(+1) 从而3x-(k(。-1=3得(x-12。-1代入（※）式， 为冬-4ky名，2-46 x。-1 程得0=)体金3x好-6=3，%>0，解得名、小 3 2 315 则点p的坐标为2’2(15分) 17.(15分) 【详解】(1)由题意得F,0),准线方程为x=-1, 则点F到抛物线准线的距离为2.(2分) (2)当斜率不存在时，直线方程为x=1, y2=4x 设A(x4,yA),B(xaya),联立方程组x=1, 解得=2。=-2，可得4例=4 (4分) 当斜率存在时，设直线方程为y=k(x-), y2=4x 联立方程组y=k(x-1),可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 4 由韦达定理得x4+xB=2+ 2,由焦半径公式得AB=4+4 >4, 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上可得， A的最小值为4.(6分) (3)如图，作出符合题意的图形， 设直线方程为x=my+t,设M(x,y),N(g2,y2), y2=4x 联立方程组x=my+t,可得y2-4my-4t=0, 可得4=16(m2+4)>0 由韦达定理得片+乃=4my=4 设线段MW中点为Q,）,由中点坐标公式得5=，三 2 + 由思意得线段中点到，轴的距离为x-=4,4_广十片 2 2 8 -y+2}-2y4_16m2-2x(-40=2m2+ 8 8 ,(10分) 有45--1答=，而OM=6,0m=6, 1616 得到0M0=6+=-,而0M-0N=4, 可得-=4，解得1=2+22欧=2-25.42分) 或 2时，满足4=16(m+0>0 当/=2+2V2 ',此时2m2+1≥1=2+2W2 当1=2-25时，此时A=16m+2-22)>0, 解得m>22-2 ,此时2m+1>4W2-4+2-22=22-2 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上可得，线段MN中点到y轴的距离的取值范围为(2W2-2+切).(15分) 18.(17分) 【详解】(1)因为椭圆5：￡+ :。+方=1(a>b>0)的左焦点为r(-1,0,离心率为；， c-c=1h=a-2=4i=5 c1→ 所以a2a=2 所以稀圆Ξ的标准方程为4十了1,4分) (2)当直线1斜率为零时，此时A,B为左右顶点，不管A,B哪一个为左顶点，均不满足 AF2=2BF2 (6分) 当直线1斜幸不存在时，此时根据椭圆的对称性，显然M2B明不成立，(8分) 当直线1存在斜率且不为零时，设直线1的方程为 =my+1(m≠0) x=my+1 于是有 ￡+’=1→(3m+4y+6mv-9=0 43 显然△=36m2+36(3m2+4)=14m2+144>0 设4,86，为）则有%+%=4”40，(2分 7/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y三-2 因为M52BE,所以片，即片=-2%， -2y+h=- 6m 6m -9 因此由+为=3m+443m+4<0今 3m2+4 -9 (14分) (-2y)y-3m㎡+4 6m y2= 3m2+4 →26m29 5,(15分) 2y= 9 m2+4 wti 或*、36 所以直线1的方程为5× 5+1 化为-殷式为5x-25-5=0,或5x+25-5=0.(17分》 19.(17分) +y= 【详解】(1)当a=2'b=1'4=V3时联立 +-3:得3-8=0解得x=±26 3 2设4，），B(-),又知4(-a0),4(a0) y-(x+a) 则直线A4的方程为x+a 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=”x-a叫②6分 直线4，B的方程为x-a 03料广-安若：-。8分 由点45在简因C,上，放子+芳-1， --)@种手-若-g:0分 x2 y2 )证明：设，），由矩形4BCD与矩形BCD的面积机等，得4-45，故= (12分) 因为点A:4均在椭圆上，所以， ×-)-)4分) 由与，知*巧，所+号=.从而听+= 216分) 因此个+号=a2+62 为定值.(17分) 9/9 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第二章 平面解析几何·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二上·福建漳州·期末）过点的直线与圆相切，则的斜率为（   ） A．-2或0 B．或0 C．或0 D．或0 2．（25-26高一下·上海嘉定·期末）直线的倾斜角为（    ）． A．0° B．75° C．90° D．不存在 3．（24-25高二下·河南商丘·期末）如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点、的距离之积为定值．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期末）点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（25-26高二下·河北·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 6．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、、在椭圆上，且满足，，若椭圆的离心率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南长沙·三模）存在实数使得成立，则的范围为（    ） A． B．， C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·广西桂林·期末）已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， 10．（25-26高二下·海南·期末）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 11．（2026·江苏扬州·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（     ）． A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 三、填空题 12．（25-26高二下·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 13．（25-26高二下·上海青浦·期末）若将方程化简为的形式，则________． 14．（25-26高二下·上海宝山·期末）圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则______．    四、解答题 15．（25-26高二上·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 16．（25-26高二下·上海·期末）已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； (3)已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 17．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 18．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 19．（25-26高二下·海南·期末）如图，椭圆（，，为常数），动圆，．点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点．    (1)若，，，求与的四个交点的坐标． (2)求直线与直线交点的轨迹方程． (3)设动圆与相交于，，，四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第二章 平面解析几何·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二上·福建漳州·期末）过点的直线与圆相切，则的斜率为（   ） A．-2或0 B．或0 C．或0 D．或0 【答案】C 【分析】先设出直线的斜率，再写出直线方程，最后利用直线和圆相切列出关于斜率的方程，求解出斜率. 【详解】设直线的斜率为，则的方程为，整理得. 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，，解得或. 故选：C 2．（25-26高一下·上海嘉定·期末）直线的倾斜角为（    ）． A．0° B．75° C．90° D．不存在 【答案】C 【分析】利用直线的斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】直线的斜率不存在， 所以直线的倾斜角为. 3．（24-25高二下·河南商丘·期末）如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点、的距离之积为定值．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得出，由三角形的面积公式以及曲线的定义得出，由此得出，，结合平方关系可求得的值. 【详解】因为原点在曲线上，所以． 设是曲线上任意一点，则由题意，得， 由，且，得， 所以， 由勾股定理可得， 设点，其中，， 则， 因为 ， 故. 故选：B. 4．（25-26高二下·重庆·期末）点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】焦点，准线方程为， 分别过作轴的垂线，垂足为， 则， 等号成立时三点共线， 故到轴的最短距离为 5．（25-26高二下·河北·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构特点求得范围，再结合基本不等式即可求解. 【详解】根据题意可得，解得. 令， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为5. 6．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用圆心到渐近线距离小于半径列出不等式求出的范围，最后根据离心率公式求出离心率的范围. 【详解】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 7．（25-26高三上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、、在椭圆上，且满足，，若椭圆的离心率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：设、、，利用平面向量的坐标运算得出，同理得出，由此得出，令，则，即可得出的取值范围； 解法二：利用二级结论得出，推导出，，由此得出，结合可得出的取值范围. 【详解】解法一：设、、，易知、， 由可得， 所以，整理得， 又因为，所以，则， 所以， 由，可得， 同理，所以， 所以． 因为，令，则，， 所以． 解法二：因为，所以． 又（二级结论），其中，故， 所以，故，同理， 所以． 由，则，可得． 故选：B. 8．（2026·湖南长沙·三模）存在实数使得成立，则的范围为（    ） A． B．， C． D． 【答案】A 【分析】设，将问题转化为有解，联立方程组即可. 【详解】由可得， 设，则可得， 则点在以为焦点的双曲线的左支上，即点满足， 又点满足，则有解， 若，则方程组无解； 若，则联立，得， 则，得或， 故的范围为. 二、多选题 9．（25-26高二下·广西桂林·期末）已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， 【答案】ABC 【分析】配方得圆标准方程后即可得圆心坐标和圆半径，可判断AB，圆心坐标代入直线方程求得参数值判断C，利用圆心到直线的距离等于半径求得参数值判断D. 【详解】由题意圆的标准方程是，所以圆心坐标是，半径是，AB均正确； 当直线平分圆时，直线过圆心，即，，C正确； 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，D错. 10．（25-26高二下·海南·期末）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】本题围绕双曲线的基本性质展开，结合双曲线定义、直线与双曲线位置关系、焦点三角形性质、距离最值模型逐一判断选项. 【详解】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 11．（2026·江苏扬州·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（     ）． A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 【答案】BCD 【分析】建立直角坐标系，利用平面几何知识可判断AB；根据圆锥和截面相交求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】已知圆锥的轴截面是斜边长的等腰直角三角形， 可得，，是中点，. 以为原点，以方向为轴，以与垂直向内的方向为轴， 以方向为轴建立空间直角坐标系， 得，，，，. 选项A：截口为圆时，截面平行于底面，圆半径， 面积，A错误； 选项B：截面过，椭圆长轴为线段， 可得， 故长轴长为，B正确； 选项C，如图，作出符合题意的图形， 设抛物线与底面圆的交点为，以为原点， 以为轴，在平面建立平面直角坐标系. 由于圆锥底面半径为，则，得，，， 将代入抛物线方程，得， 故抛物线的焦点到准线的距离为1，C正确； 选项D，如图，作出符合题意的图形， 在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点的坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为，则， 将代入双曲线方程得，解得， 则离心率，D正确. 三、填空题 12．（25-26高二下·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或．    13．（25-26高二下·上海青浦·期末）若将方程化简为的形式，则________． 【答案】 25 【分析】方程左侧是平面上点到两个定点(0，5)的距离之和，根据椭圆的定义，若距离之和大于两定点间的距离，那么该点的轨迹是椭圆，以此作为解题突破口。 【详解】方程可以看作点P(x，y)到距离之和为26， 由椭圆的定义可知，方程表示的轨迹是以 �� 1 ， �� 2 为焦点的椭圆， 设椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距分别为，，. 所以  所以 因此方程为 所以 因为a>0，b>0 所以a=12，b=13 故 �� + �� = 12 + 13 = 25 . 14．（25-26高二下·上海宝山·期末）圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则______．    【答案】8 【分析】由椭圆定义、双曲线定义结合离心率公式即可得解. 【详解】由椭圆定义得①，②， ①﹣②得，， 即的周长为， 将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回， 不妨设，激光从发出后经C处反射后经过，再由D处反射后返回，如图，    由椭圆定义知的周长为， 一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回， 经过的路程为的周长为， 将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，经过的路程为的周长为， 因为光线的速度相同，且双曲线与椭圆共焦点， 所以. 四、解答题 15．（25-26高二上·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②过定点，定点坐标为 【分析】（1）由已知可得，，由双曲线的定义可求得圆心M的轨迹方程E； （2）①设，联立直线与双曲线方程，消去，利用根与系数的关系可得，求解即可；②结合①，求得，利用，可得的关系，进而分类讨论可求得直线l所过定点. 【详解】（1）因为动圆M与圆外切，所以， 因为动圆M与圆内切，所以， 所以，根据双曲线的定义，点M的轨迹为双曲线的右支， 且，所以，所以， 所以圆心M的轨迹方程E为. （2）①由（1）知，E的方程为，设， 由，消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. ② 由①，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 16．（25-26高二下·上海·期末）已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； (3)已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的方程即可求得渐近线方程； （2）设，根据可得，结合即可求得，利用三角形面积公式即可求解； （3）分斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时表示出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，结合题意建立方程，可得答案. 【详解】（1）对于双曲线，， 故双曲线C的渐近线方程为，即； （2）设，由题意可知， 则， 由，得， 即， 又M在双曲线上，故，则， 结合，得，则， 由于，故， 又，故的面积. （3）设，由知 若直线斜率不存在，则，此时，不符合题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， 得， 化简得，即， 解得，结合，解得， 则点的坐标为. 17．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出角度坐标和准线方程，再求解距离即可. （2）对直线斜率是否存在进行讨论，再结合焦半径公式求解最值即可. （3）利用中点坐标公式并结合题意表示出距离，再利用平面向量数量积的坐标表示得到或，最后分类讨论得到最值即可. 【详解】（1）由题意得，准线方程为， 则点到抛物线准线的距离为. （2）当斜率不存在时，直线方程为， 设，，联立方程组， 解得，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，由焦半径公式得， 综上可得，的最小值为. （3）如图，作出符合题意的图形， 设直线方程为，设，， 联立方程组，可得， 可得，由韦达定理得， 设线段中点为，由中点坐标公式得， 由题意得线段中点到轴的距离为 ， 而，而， 得到，而， 可得，解得或， 当时，满足，此时， 当时，此时， 解得，此时， 综上可得，线段中点到轴的距离的取值范围为. 18．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据椭圆焦点坐标特点，结合椭圆离心率公式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用转化法进行求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，离心率为， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； （2）当直线l斜率为零时，此时A，B为左右顶点，不管A，B哪一个为左顶点，均不满足， 当直线l斜率不存在时，此时根据椭圆的对称性，显然不成立， 当直线l存在斜率且不为零时，设直线l的方程为， 于是有， 显然， 设，则有， 因为，所以，即， 因此由 ， 所以直线l的方程为，或， 化为一般式为，或. 19．（25-26高二下·海南·期末）如图，椭圆（，，为常数），动圆，．点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点．    (1)若，，，求与的四个交点的坐标． (2)求直线与直线交点的轨迹方程． (3)设动圆与相交于，，，四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值． 【答案】(1)，，， (2) (3)证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得，故 因为点，均在椭圆上，所以， 由，知，所以．从而 因此为定值． 【分析】（1）联立椭圆与圆的方程即可得出交点坐标； （2）设出直线的方程、直线的方程，求得交点满足的方程，利用在椭圆上，化简即可得到M的轨迹方程； （3）根据矩形与矩形的面积相等，可得坐标之间的关系，利用均在椭圆上，即可证得为定值. 【详解】（1）当，，时联立，得解得 ∴四个交点坐标分别为，，， （2）设，，又知，， 则直线的方程为 直线的方程为 由得 由点在椭圆上，故， 从而代入得； （3）略 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第二章 平面解析几何·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二上·福建漳州·期末）过点的直线与圆相切，则的斜率为（   ） A．-2或0 B．或0 C．或0 D．或0 2．（25-26高一下·上海嘉定·期末）直线的倾斜角为（    ）． A．0° B．75° C．90° D．不存在 3．（24-25高二下·河南商丘·期末）如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点、的距离之积为定值．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期末）点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（25-26高二下·河北·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 6．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、、在椭圆上，且满足，，若椭圆的离心率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南长沙·三模）存在实数使得成立，则的范围为（    ） A． B．， C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·广西桂林·期末）已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， 10．（25-26高二下·海南·期末）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 11．（2026·江苏扬州·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（     ）． A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 三、填空题 12．（25-26高二下·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 13．（25-26高二下·上海青浦·期末）若将方程化简为的形式，则________． 14．（25-26高二下·上海宝山·期末）圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则______．    四、解答题 15．（25-26高二上·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 16．（25-26高二下·上海·期末）已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； (3)已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 17．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 18．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 19．（25-26高二下·海南·期末）如图，椭圆（，，为常数），动圆，．点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点．    (1)若，，，求与的四个交点的坐标． (2)求直线与直线交点的轨迹方程． (3)设动圆与相交于，，，四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $